第頁廣西醫(yī)科大學(xué)附中2026屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)單元能力提升訓(xùn)練：推理與證明本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分．滿分150分．考試時間120分鐘．第Ⅰ卷(選擇題共60分)一、選擇題(本大題共12個小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．用反證法證明命題“若，則全為0”其反設(shè)正確的是()A．至少有一個不為0 B．至少有一個為0C．全不為0 D．中只有一個為0【答案】A2．設(shè)為正整數(shù),計(jì)算得觀察上述結(jié)果可推測出一般結(jié)論()A． B．C． D．【答案】C3．對于直角坐標(biāo)系內(nèi)任意兩點(diǎn)P1（x1，y1）、P2（x2，y2），定義運(yùn)算，若M是與原點(diǎn)相異的點(diǎn)，且，則∠MON()A． B． C． D．【答案】B4．對于大于1的自然數(shù)m的三次冪可用奇數(shù)進(jìn)行以下方式的“分裂”：……仿此，若的“分裂數(shù)”中有一個是59，則m的值為()A．7 B．8 C．9 D．10【答案】B5．已知a，b，c都是正數(shù)，則三數(shù)()A．都大于2 B．都小于2C．至少有一個不大于2 D．至少有一個不小于2【答案】D6．給出命題：若是正常數(shù)，且，，則(當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立).根據(jù)上面命題，可以得到函數(shù)（）的最小值及取最小值時的x值分別為()A．11+6， B．11+6， C．5， D．25，【答案】D7．觀察下列各式：則，…，則的末兩位數(shù)字為()A． B． C． D．【答案】A8．對大于或等于2的自然數(shù)的正整數(shù)冪運(yùn)算有如下分解方式：22＝1＋332＝1＋3＋542＝1＋3＋5＋723＝3＋533＝7＋9＋1143＝13＋15＋17＋19根據(jù)上述分解規(guī)律，若，的分解中最小的正整數(shù)是21，則()A． B． C． D．【答案】B9．設(shè)都是正數(shù)，則，，三個數(shù)()A．都大于2 B．都小于2C．至少有一個大于2 D．至少有一個不小于2【答案】D10．觀察式子：……，由此可歸納出的式子為()A． B．C． D．【答案】C11．用反證法證明：“方程且都是奇數(shù),則方程沒有整數(shù)根”正確的假設(shè)是方程存在實(shí)數(shù)根為()A．整數(shù) B．奇數(shù)或偶數(shù) C．自然數(shù)或負(fù)整數(shù) D．正整數(shù)或負(fù)整數(shù)【答案】C12．用反證法證明命題“三角形的內(nèi)角至多有一個鈍角”時，假設(shè)正確的是()A．假設(shè)至少有一個鈍角 B．假設(shè)沒有一個鈍角C．假設(shè)至少有兩個鈍角 D．假設(shè)沒有一個鈍角或至少有兩個鈍角【答案】C第Ⅱ卷(非選擇題共90分)二、填空題(本大題共4個小題，每小題5分，共20分，把正確答案填在題中橫線上)13．若依此類推，第個等式為【答案】14．若等差數(shù)列的首項(xiàng)為公差為，前項(xiàng)的和為，則數(shù)列為等差數(shù)列，且通項(xiàng)為．類似地，請完成下列命題：若各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，前項(xiàng)的積為，則________________________．【答案】數(shù)列為等比數(shù)列，通項(xiàng)為15．觀察下列等式：…，根據(jù)以上規(guī)律,____________.(用具體數(shù)字寫出最后結(jié)果)【答案】129616．對大于或等于的自然數(shù)的次方冪有如下分解方式：根據(jù)上述分解規(guī)律，的分解式為____________.【答案】31+33+35+37+39+41三、解答題(本大題共6個小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)17．已知中至少有一個小于2.【答案】假設(shè)都不小于2，則因?yàn)?，所以，即，這與已知相矛盾，故假設(shè)不成立綜上中至少有一個小于2.18．已知⊙與的邊分別相切于和，與外接圓相切于，

是的中點(diǎn)（如圖）．求證：．【答案】已知⊙與的邊分別相切于和，與外接圓相切于，∵和都是⊙的半徑，∴由對稱性知，且于．即又∵，∴∽過作兩圓的公切線，則又∵，即 故．19．設(shè)，（其中，且）．(1）請你推測能否用來表示；(2）如果（1）中獲得了一個結(jié)論，請你推測能否將其推廣．【答案】（1）由，又，因此．(2）由，即，于是推測．證明：因?yàn)?，（大前提）．所以，，，（小前提及結(jié)論）所以．20．已知均為實(shí)數(shù)，且，求證：中至少有一個大于.（請用反證法證明）【答案】假設(shè)都不大于，即，得，而，即，與矛盾，中至少有一個大于.21．用電阻值分別為a1、a2、a3、a4、a5、a6(a1>a2>a3>a4>a5>a6)的電阻組裝成一個如圖的組件，在組裝中應(yīng)如何選取電阻，才能使該組件總電阻值最??？證明你的結(jié)論．【答案】設(shè)6個電阻的組件（如圖3）的總電阻為RFG．當(dāng)Ri=ai，i=3，4，5，6，R1，R2是a1，a2的任意排列時，RFG最?。C明如下1°設(shè)當(dāng)兩個電阻R1，R2并聯(lián)時，所得組件阻值為R：則．故交換二電阻的位置，不改變R值，且當(dāng)R1或R2變小時，R也減小，因此不妨取R1>R2．2°設(shè)3個電阻的組件(如圖1)的總電阻為RAB：顯然R1+R2越大，RAB越小，所以為使RAB最小必須取R3為所取三個電阻中阻值最小的一個．3°設(shè)4個電阻的組件(如圖2)的總電阻為RCD：若記，．則S1、S2為定值．于是．只有當(dāng)R3R4最小，R1R2R3最大時，RCD最小，故應(yīng)取R4<R3，R3<R2，R3<R1，即得總電阻的阻值最?。?°對于圖3，把由R1、R2、R3組成的組件用等效電阻RAB代替．要使RFG最小，由3°必需使R6<R5；且由1°，應(yīng)使RCE最?。?°知要使RCE最小，必需使R5<R4，且應(yīng)使RCD最?。?°，要使RCD最小，應(yīng)使R4<R3<R2且R4<R3<R1．這就說明，要證結(jié)論成立22．某少數(shù)民族的刺繡有著悠久的歷史，下圖(1)、(2)、(3)、(4)為她們刺繡最簡單的四個圖案，這些圖案都由小正方形構(gòu)成，小正方形數(shù)越多刺繡越漂亮，現(xiàn)按同樣的規(guī)律刺繡(小正方形的擺放規(guī)律相同)，設(shè)第n個圖形包含f(n)個小正方形．(1)求出，并猜測的表達(dá)式；(2)求證：＋＋＋…＋．【答案】(1)∵f(1)＝1，f(2)＝5，f(3)＝13，f(4)＝25，∴f(5)＝25＋4×4＝41.∵f(2)－f(1)＝4＝4×1，f(3)－f(2)＝8＝4×2，f(4)－f(3)＝12＝4×3，f(5)－f(4)＝16＝4×4，由上式規(guī)律得出f(n＋1)－f(n)＝4n.∴f(n)－f(n－1)＝4(n－1)，f(n－1)－f(n－2)＝4·(n－2)，f(n－2)－