拓撲學(xué)期末考試題及答案一、選擇題（每題5分，共30分）1.設(shè)\(X\)是一個拓撲空間，\(A,B\subseteqX\)，則下列關(guān)系中正確的是（）A.\(\overline{A\cupB}=\overline{A}\cap\overline{B}\)B.\(\overline{A\capB}=\overline{A}\cap\overline{B}\)C.\(\overline{A\cupB}=\overline{A}\cup\overline{B}\)D.\((A\cupB)^{\circ}=A^{\circ}\cupB^{\circ}\)答案：C。根據(jù)閉包的性質(zhì)，對于任意兩個子集\(A,B\subseteqX\)，有\(zhòng)(\overline{A\cupB}=\overline{A}\cup\overline{B}\)。而\(\overline{A\capB}\subseteq\overline{A}\cap\overline{B}\)，一般情況下等號不成立；\((A\cupB)^{\circ}\supseteqA^{\circ}\cupB^{\circ}\)，一般情況下等號不成立。2.拓撲空間\(X\)中，點\(x\)的鄰域系\(\mathcal{N}(x)\)滿足（）A.若\(U\in\mathcal{N}(x)\)且\(U\subseteqV\)，則\(V\in\mathcal{N}(x)\)B.若\(U,V\in\mathcal{N}(x)\)，則\(U\capV\notin\mathcal{N}(x)\)C.空集\(\varnothing\in\mathcal{N}(x)\)D.若\(U\in\mathcal{N}(x)\)，則\(U\)是開集答案：A。鄰域系的性質(zhì)：若\(U\)是\(x\)的鄰域且\(U\subseteqV\)，則\(V\)也是\(x\)的鄰域；若\(U,V\in\mathcal{N}(x)\)，則\(U\capV\in\mathcal{N}(x)\)；空集不是任何點的鄰域；鄰域不一定是開集。3.設(shè)\(X=\{a,b,c\}\)，\(\tau=\{\varnothing,\{a\},\{a,b\},X\}\)是\(X\)上的一個拓撲，則單點集\(\{c\}\)的閉包\(\overline{\{c\}}\)是（）A.\(\{c\}\)B.\(\{b,c\}\)C.\(\{a,c\}\)D.\(X\)答案：D。閉包是包含該集合的最小閉集，\(\{c\}\)的補集\(\{a,b\}\)是開集，所以\(\{c\}\)是閉集，又因為包含\(\{c\}\)的閉集只有\(zhòng)(X\)本身，所以\(\overline{\{c\}}=X\)。4.若拓撲空間\(X\)是離散空間，則\(X\)中任意子集\(A\)的邊界\(\partialA\)是（）A.\(A\)B.\(\varnothing\)C.\(XA\)D.\(X\)答案：B。在離散空間中，任意子集都是既開又閉的。根據(jù)邊界的定義\(\partialA=\overline{A}-A^{\circ}\)，由于\(A\)既開又閉，\(\overline{A}=A\)且\(A^{\circ}=A\)，所以\(\partialA=\varnothing\)。5.設(shè)\(f:X\rightarrowY\)是拓撲空間\(X\)到\(Y\)的連續(xù)映射，\(A\subseteqX\)，則\(f(\overline{A})\)與\(\overline{f(A)}\)的關(guān)系是（）A.\(f(\overline{A})\subseteq\overline{f(A)}\)B.\(f(\overline{A})\supseteq\overline{f(A)}\)C.\(f(\overline{A})=\overline{f(A)}\)D.沒有必然聯(lián)系答案：A。因為\(f\)連續(xù)，對于任意閉集\(B\subseteqY\)，\(f^{-1}(B)\)是\(X\)中的閉集。\(\overline{f(A)}\)是\(Y\)中的閉集，\(f^{-1}(\overline{f(A)})\)是\(X\)中的閉集且\(A\subseteqf^{-1}(\overline{f(A)})\)，所以\(\overline{A}\subseteqf^{-1}(\overline{f(A)})\)，從而\(f(\overline{A})\subseteq\overline{f(A)}\)。6.拓撲空間\(X\)是\(T_0\)空間的充要條件是（）A.對于\(X\)中任意兩個不同的點\(x,y\)，存在開集\(U\)使得\(x\inU,y\notinU\)或者\(x\notinU,y\inU\)B.對于\(X\)中任意兩個不同的點\(x,y\)，存在開集\(U\)使得\(x\inU,y\notinU\)且存在開集\(V\)使得\(y\inV,x\notinV\)C.對于\(X\)中任意兩個不同的點\(x,y\)，存在包含\(x\)和\(y\)的開集\(U\)D.對于\(X\)中任意兩個不同的點\(x,y\)，存在不包含\(x\)和\(y\)的開集\(U\)答案：A。\(T_0\)空間的定義就是對于\(X\)中任意兩個不同的點\(x,y\)，存在開集\(U\)使得\(x\inU,y\notinU\)或者\(x\notinU,y\inU\)；選項B是\(T_1\)空間的定義。二、填空題（每題5分，共20分）1.設(shè)\(X\)是拓撲空間，\(A\subseteqX\)，則\(A\)的內(nèi)部\(A^{\circ}\)是包含于\(A\)的所有______的并集。答案：開集。根據(jù)內(nèi)部的定義，\(A^{\circ}\)是包含于\(A\)的最大開集，它等于包含于\(A\)的所有開集的并集。2.若拓撲空間\(X\)是可數(shù)補空間，\(A\)是\(X\)中的可數(shù)子集，則\(A\)的閉包\(\overline{A}\)是______。答案：\(X\)。在可數(shù)補空間中，閉集是可數(shù)集或者整個空間\(X\)。因為\(A\)是可數(shù)集，包含\(A\)的最小閉集就是\(X\)，所以\(\overline{A}=X\)。3.設(shè)\(f:X\rightarrowY\)是拓撲空間\(X\)到\(Y\)的映射，\(f\)連續(xù)的充要條件是對于\(Y\)中的任意閉集\(B\)，\(f^{-1}(B)\)是\(X\)中的______。答案：閉集。這是連續(xù)映射的一個等價定義，\(f\)連續(xù)當(dāng)且僅當(dāng)對于\(Y\)中的任意閉集\(B\)，\(f^{-1}(B)\)是\(X\)中的閉集。4.拓撲空間\(X\)的一個基\(\mathcal{B}\)滿足：對于\(X\)中的任意開集\(U\)以及任意\(x\inU\)，存在______使得\(x\inB\subseteqU\)。答案：\(B\in\mathcal{B}\)?；亩x就是對于\(X\)中的任意開集\(U\)以及任意\(x\inU\)，存在\(B\in\mathcal{B}\)使得\(x\inB\subseteqU\)。三、判斷題（每題4分，共20分）1.若拓撲空間\(X\)中存在一個既開又閉的非空真子集，則\(X\)是不連通的。（）答案：正確。連通空間的定義是\(X\)不能表示為兩個非空、不相交的開集的并集。若存在既開又閉的非空真子集\(A\)，則\(X=A\cup(XA)\)，\(A\)和\(XA\)都是非空、不相交的開集，所以\(X\)不連通。2.拓撲空間\(X\)中任意多個開集的交集一定是開集。（）答案：錯誤。拓撲空間中任意多個開集的并集是開集，但任意多個開集的交集不一定是開集，只有有限個開集的交集才一定是開集。3.若\(f:X\rightarrowY\)是拓撲空間\(X\)到\(Y\)的一一映射且\(f\)連續(xù)，則\(f\)是同胚映射。（）答案：錯誤。同胚映射要求\(f\)是一一對應(yīng)、連續(xù)且\(f^{-1}\)也連續(xù)。僅\(f\)連續(xù)不能得出\(f\)是同胚映射。4.拓撲空間\(X\)中的聚點一定屬于\(X\)。（）答案：正確。聚點的定義是在拓撲空間\(X\)中，對于點\(x\inX\)，如果\(x\)的任意鄰域都包含\(X\)中除\(x\)以外的點，那么\(x\)是\(X\)的聚點，所以聚點一定屬于\(X\)。5.設(shè)\(X\)和\(Y\)是拓撲空間，\(X\timesY\)是它們的積空間，則\(X\timesY\)中的開集一定可以表示為\(U\timesV\)的形式，其中\(zhòng)(U\)是\(X\)中的開集，\(V\)是\(Y\)中的開集。（）答案：錯誤。積空間\(X\timesY\)的基元素可以表示為\(U\timesV\)的形式（\(U\)是\(X\)中的開集，\(V\)是\(Y\)中的開集），但開集是基元素的并集，不一定能直接表示為\(U\timesV\)的形式。四、解答題（每題15分，共30分）1.設(shè)\(X=\{1,2,3,4\}\)，\(\tau=\{\varnothing,\{1\},\{2,3\},\{1,2,3\},X\}\)是\(X\)上的拓撲，求集合\(A=\{1,4\}\)的內(nèi)部\(A^{\circ}\)、閉包\(\overline{A}\)和邊界\(\partialA\)。解：求內(nèi)部\(A^{\circ}\)：包含于\(A\)的開集只有\(zhòng)(\{1\}\)，所以\(A^{\circ}=\{1\}\)。求閉包\(\overline{A}\)：先求\(A\)的補集\(A^c=\{2,3\}\)，它是開集，所以\(A\)是閉集，那么\(\overline{A}=A=\{1,4\}\)。求邊界\(\partialA\)：根據(jù)邊界的定義\(\partialA=\overline{A}-A^{\circ}\)，將\(\overline{A}=\{1,4\}\)和\(A^{\circ}=\{1\}\)代入可得\(\partialA=\{4\}\)。2.證明：若\(f:X\rightarrowY\)和\(g:Y\rightarrowZ\)都是拓撲空間之間的連續(xù)映射，則\(g\circf:X\rightarrowZ\)也是連續(xù)映射。證明：設(shè)\(C\)是\(Z\)中的任意閉集。因為\(g\)連續(xù)，所以\(g^