第06講角度計算七大幾何模型

內容導航——預習三步曲

第一步：學

析教材學知識：教材精講精析、全方位預習

第二步：練

練題型強知識：7大核心考點精準練

第三步：測

過關測穩(wěn)提升：小試牛刀檢測預習效果、查漏補缺快速提升

【知識點18字模型】

【結論】如圖，AC與BD相交于點O，則∠A+∠B=∠C+∠D.

【證明】在△ABO中，∠A＋∠B＋∠AOB=180°.在△CDO中，∠C+∠D＋∠COD=180°.

∵∠AOB=∠COD，∴∠A＋∠B=∠C+∠D.

【知識點2飛鏢模型】

【結論】如圖所示，已知四邊形ABDC，則∠BDC=∠A+∠B+∠C.

【證明】如圖,延長BD交AC于點E.

∠BEC是△ABE的外角，∵∠BEC=∠A+∠B.又∵∠BDC是△CDE的外角，

∴∠BDC=∠BEC+∠C=∠A+∠B+∠C.

【知識點3A字模型】

【結論】如圖所示，∠DAE的兩邊上各有一點B，C，連接BC，則∠DBC+∠ECB=180°+∠A.

【證明】∴∠DBC和∠ECB是△ABC的外角，∴∠DBC=∠A+∠ACB，∠ECB=∠A+∠ABC.

又∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠DBC＋∠ECB=∠A＋∠ACB＋∠ABC＋∠A=180°＋∠A.

【知識點4老鷹抓小雞模型】

【結論】如圖所示，∠A+∠BFC=∠DBF+∠FCE.

【證明】如圖，連接AF.

∵∠DBF是△ABF的外角，∠FCE是△ACF的外角，∴∠FCE=∠CAF+∠CFA，

∴∠DBF＋∠FCE=∠BAF＋∠BFA+∠CAF+∠CFA=∠BAC+∠BFC，

即∠BAC+∠BFC=∠DBF＋∠FCE.

【知識點5雙內角平分線模型】

【結論】如圖所示，在△ABC中，BD，CD分別是∠ABC和∠ACB的平分線,則∠BDC=90°+∠A.

1

2

【證明】

設∠ABD=∠DBC=c，∠ACD=∠BCD=y.

由△ABC的內角和為180°,得∠A＋2x＋2y=180°.①

由△BDC的內角和為180°,得∠BDC＋x＋y=180°.②

由②得x＋y=180°-∠BDC.③

把③代入①,得∠A＋2(180°-∠BDC)=180°，即2∠BDC=180°＋∠A，

即∠BDC=90°+∠A.

1

【知識點6雙外2角平分線模型】

【結論】如圖所示，∠ABC的外角平分線BD和CD相交于點D，則∠BDC=90°-∠A.

1

2

【證明】設∠EBD=∠CBD=x，∠BCD=∠FCD=y.

由△BCD的內角和為180°,得x＋y＋∠BDC=180°.①

易得2x＋2y=180°＋∠A.②

由①得x+y=180°-∠BDC.③

把③代人②,得2(180°-∠BDC)=180°+∠A，

即2∠BDC=180°-∠A，

即∠BDC=90°-∠A.

1

【知識點7內外2角平分線模型】

【結論】如圖所示，∠ABC的內角平分線BD和外角平分線CD相交于點D，則∠D=∠A.

1

2

【證明】設∠ABD=∠DBC=x，∠ACD=∠ECD=y.

由外角定理得2y=∠A+2x，①

y=∠D+x.②

把②代人①,得2(∠D+x)=xA+2x,

即∠D=∠A.

1

2

【題型18字模型】

【例1】如圖1，線段、相交于點，連接、，我們把形如圖1的圖形稱之為“8字形”．如圖2，

在圖1的條件下，??和??的平分?線和??相?交?于點，并且與、分別相交于、．試解答下

列問題：∠???∠??????????????

(1)在圖1中，證明：；

(2)仔細觀察，在圖2∠中?“8+字∠?形=”的∠個?+數(shù)∠：?_____個；

(3)圖2中，當度，度時，求的度數(shù)．

(4)圖2中和∠?=為5任0意角時∠，?=其他40條件不變，∠試?問與、之間存在著怎樣的數(shù)量關系．（直接寫出

結果，不必∠?證明∠）?．∠?∠?∠?

【分析】（1）利用三角形的內角和定理與對頂角相等可得結論；

（2）由交點有點，再分類確定即可得到答案；

（3）由（1）可得?,?,?，，再兩式相加，結合角平分線的定

義可得∠???，+再∠?把=∠?+∠?，??∠???代+入∠?計=算∠即?可??得+到∠答?案；

（4）由（∠?1）+可∠?得=2∠?∠?=50°∠?，=40°，再兩式相加，結合角平分線的定

義可得∠???．+∠?=∠?+∠???∠???+∠?=∠???+∠?

【詳解】∠（?1+）∠證?明=：2∠∵?，

又∵，∠?+∠?+∠???=∠?+∠?+∠???=180°

∴∠???=∠???；

（2∠）?交+點∠有?點=∠?+∠，?

以為交點的?8,字?形,?有1個，為與，

以?為交點的8字形有4個，為△???與△???，與，與，與，

以?為交點的8字形有1個，為△???與△???，△???△???△???△???△???△???

所以?，“8字形”圖形共有6個．△???△???

故答案為：6；

（3）由（1）可得，①，

∠???+②∠，?=∠?+∠???

∠∵???+和∠?=∠?的?平?+分∠線?和相交于點，

∴∠???∠???，????，?

∠???=∠???∠???=∠???

由①+②，得，

即∠???，+∠?+∠???+∠?=∠?+∠???+∠???+∠?

又∵2∠?=∠?+，∠?，

∴∠?=50°∠?=40°，

∴2∠?=50；°+40°=90°

（4∠）?關=系4：5°．

理由：由（21）∠?得=∠?+∠?①，

∠???+∠②?，=∠?+∠???

∠∵???+和∠?=∠?的?平?+分∠線?和相交于點，

∴∠???∠???，????，?

由∠①?＋??②=，∠得???∠???=∠???，

∴∠???．+∠?+∠???+∠?=∠?+∠???+∠???+∠?

【變2式∠?1=-1】∠?如+圖∠，?是由線段AB，CD，DF，BF，CA組成的平面圖形，∠D＝28°，則∠A+∠B+∠C+∠F的

度數(shù)為．

【答案】208°

【分析】首先求出∠F+∠B＝∠D+∠EGD，然后證明出∠C+∠A+∠F+∠B﹣∠D＝180°，最后結合題干∠D

＝28°求出∠A+∠B+∠C+∠F的度數(shù)．

【詳解】解：∵如圖可知∠BED＝∠F+∠B，∠CGE＝∠C+∠A，

又∵∠BED＝∠D+∠EGD，

∴∠F+∠B＝∠D+∠EGD，

又∵∠CGE+∠EGD＝180°，

∴∠C+∠A+∠F+∠B﹣∠D＝180°，

又∵∠D＝28°，

∴∠A+∠B+∠C+∠F＝180°+28°＝208°．

故答案為208°．

【變式1-2】如圖，平分，交于點F，平分交于點E，與相交于點G，．

??∠???????∠?????????∠?=42°

（1）若，求的度數(shù)；

（2）若∠???=6，0°求的∠?度??數(shù)．

【答案】∠（?1=）38°；（∠2?）．

【分析】（1）根72據(jù)°角平分4線0的°定義可得∠ADP=，然后利用三角形外角的性質即可得解；

1

（2）根據(jù)角平分線的定義可得∠ADP=∠PDF，∠2C∠B?P?=?∠PBA，再根據(jù)三角形的內角和定理可得

∠A+∠ADP=∠P+∠ABP，∠C+∠CBP=∠P+∠PDF，所以∠A+∠C=2∠P，即可得解．

【詳解】解：（1）∵DP平分∠ADC，

∴∠ADP=∠PDF=，

1

∵，2∠???

∴∠???=60，°

∴∠???=30°；

（2∠）?∵??BP=平∠分??∠?A+B∠C?，=D3P0平°+分4∠2°A=DC7，2°

∴∠ADP=∠PDF，∠CBP=∠PBA，

∵∠A+∠ADP=∠P+∠ABP，

∠C+∠CBP=∠P+∠PDF，

∴∠A+∠C=2∠P，

∵∠A=42°，∠C=38°，

∴∠P=（38°+42°）=40°．

1

【變式12-3】【問題背景】

（1）如圖1的圖形我們把它稱為“8字形”，請說明∠A+∠B=∠C+∠D；

【簡單應用】

（2）如圖2，AP、CP分別平分∠BAD．∠BCD，若∠ABC=46°，∠ADC=26°，求∠P的度數(shù)；

【問題探究】

（3）如圖3，直線AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，若∠ABC=36°，∠ADC=16°，

請猜想∠P的度數(shù)，并說明理由．

【拓展延伸】

（4）①在圖4中，若設∠C=α，∠B=β，∠CAP=∠CAB，∠CDP=∠CDB，試問∠P與∠C、∠B之間的

11

數(shù)量關系為：（用α、β表示∠P）；33

②在圖5中，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P與∠B、∠D的關系，直接寫出結

論．

【答案】（1）見解析；（2）36°；（3）26°，理由見解析；（4）①∠P=②∠P=

2?+?180°+∠?+∠?

【分析】（1）根據(jù)三角形內角和定理即可證明；32

（2）直接利用（1）中的結論兩次，兩式相加，然后根據(jù)角平分線的性質求解即可；

（3）由AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，推出∠1=∠2，∠3=∠4，推出∠PAD=180°

﹣∠2，∠PCD=180°﹣∠3，由∠P+（180°﹣∠1）=∠D+（180°﹣∠3），∠P+∠1=∠B+∠4，推出2∠P=∠B+∠D，

即可解決問題．

（4）①同法利用（1）種的結論列出方程即可解決問題．

②同法利用（1）種的結論列出方程即可解決問題．

【詳解】（1）在AEB中，∠A+∠B+∠AEB=180°．

在CED中，∠△C+∠D+∠CED=180°．

∵∠△AEB=∠CED，

∴∠A+∠B=∠C+∠D；

（2）由（1）得：∠1+∠B=∠3+∠P，∠4+∠D=∠2+∠P，

∴∠1+∠B+∠4+∠D=∠3+∠P+∠2+∠P．

∵∠1=∠2，∠3=∠4，

∴2∠P=∠B+∠D=46°+26°=72°，

∴∠P=36°．

（3）∠P=26°，理由是：如圖3：

∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，

∴∠1=∠2，∠3=∠4，

∴∠PAD=180°﹣∠2，∠PCD=180°﹣∠3．

∵∠PAB=∠1，∠P+∠PAB=∠B+∠4，

∴∠P+∠1=∠B+∠4．

∵∠P+（180°﹣∠2）=∠D+（180°﹣∠3），

∴2∠P=∠B+∠D，

∴∠P=（∠B+∠D）=×（36°+16°）=26°．

11

（4）①設2∠CAP=m，∠2CDP=n，則∠CAB=3m，，∠CDB=3n，

∴∠PAB=2m，∠PDB=2n．

∵∠C+∠CAP=∠P+∠PDC，∠P+∠PAB=∠B+∠PDB，

∵∠C=α，∠B=β，

∴α+m=∠P+n，∠P+2m=β+2n，

∴α－∠P=n－m，∠P－β=2n－2m=2（n－m），

∴2α+β=3∠P

∴∠P=．

2?+?

故答案為3：∠P=．

2?+?

②設∠BAP=x，∠3PCE=y，則∠PAO=x，∠PCB=y．

∵∠PAO+∠P=∠PCD+∠D，∠B+∠BAO=∠OCD+∠D，

∴x+∠P=180°－y+∠D，∠B+2x=180°－2y+∠D，

∴∠P=．

180°+∠?+∠?

故答案為：∠2P=．

180°+∠?+∠?

2

【題型2飛鏢模型】

【例2】如圖，用鐵絲折成一個四邊形ABCD（點C在直線BD的上方），且∠A=70°，∠BCD=120°，若使

∠ABC、∠ADC平分線的夾角∠E的度數(shù)為100°，可保持∠A不變，將∠BCD（填“增大”或“減

小”）°．

【答案】增大10

【分析】利用三角形的外角性質先求得∠ABE+∠ADE=30°，根據(jù)角平分線的定義得到∠ABC+∠ADC=60°，

再利用三角形的外角性質求解即可．

【詳解】解：如圖，連接AE并延長，連接AC并延長，

∠BED=∠BEF+∠DEF=∠ABE+∠BAD+∠ADE=100°，

∵∠BAD＝70°，

∴∠ABE+∠ADE=30°，

∵BE，DE分別是∠ABC、∠ADC平分線，

∴∠ABC+∠ADC=2（∠ABE+∠ADE）=60°，

同上可得，∠BCD=∠BAD+∠ABC+∠ADC=130°，130°-120°=10°，

∴∠BCD增大了10°．

故答案為：增大，10．

【變式2-1】在社會實踐手工課上，小茗同學設計了如上圖這樣一個零件，如果，，

，，，那么．∠?=52°∠?=25°∠?=

30°∠?=35°∠?=72°∠?=°

【答案】70

【分析】延長、，交于點G，連接，根據(jù)三角形內角和定理和四邊形的內角和為即可求解．

【詳解】解：延??長??、，交于點G，連??接，如圖，360°

??????

∴，，

∴∠???=180°?∠??∠???∠???=180°?∠??∠???，

∴∠???+∠???=180°?∠??∠???+1．80°?∠??∠???=360°?∠??∠??∠???=253°

∵∠???=360，°?∠???+∠???=107°

∴∠???=72°，

∴∠???=108°，

∴∠???=360．°?∠????∠??∠???=110°

故答∠?案??為=：770°．

【變式2-2】如圖，若，則．

∠???=115°∠?+∠?+∠?+∠?+∠?+∠?=

【答案】230°

【分析】根據(jù)三角形外角的性質，得到∠EOC=∠E+∠2=115°，∠2=∠D+∠C，∠EOC=∠1+∠F=115°，

∠1=∠A+∠B，即可得到結論．

【詳解】解：如圖

∵∠EOC=∠E+∠2=115°，∠2=∠D+∠C，

∴∠E+∠D+∠C=115°，

∵∠EOC=∠1+∠F=115°，∠1=∠A+∠B，

∴∠A+∠B+∠F=115°，

∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=230°，

故答案為：230°．

【變式2-3】如圖1所示的圖形，像我們常見的學習用品——圓規(guī)．我們不妨把這樣圖形叫做“規(guī)形圖”，請

發(fā)揮你的聰明才智，解決以下問題：

(1)觀察“規(guī)形圖”，試探究與、、之間的關系，并說明理由；

(2)請你直接利用以上結論∠，?解??決以∠下?三∠個?問題∠?：

①如圖2，把一塊三角尺放置在上，使三角尺的兩條直角邊、恰好經(jīng)過點B、C，若，

直接寫出?的?結?果；△???????∠?=50°

②如圖3，∠???平+分∠???，平分，若，求的度數(shù)；

③如圖4，??∠???的1?0?等分線∠?相??交于點∠??、?=、50°,、∠??，?若=130°∠???，求的度

數(shù)．∠???,∠????1?2??9∠???=140°,∠??1?=77°∠?

【答案】(1)，見解析

(2)①；②∠???；=③∠?+∠?+∠?

【分析4】0°（1）9首0°先連接70°并延長，然后根據(jù)外角的性質，即可判斷出；

（2）①由（1）可得??，然后根據(jù)，∠???=∠?，+即∠可?求+出∠?

的值；②由（1）可得∠???+∠???+∠?=∠???，再根據(jù)∠?=40°∠???=90°，求出∠???+∠???

的值；然后根據(jù)∠???=∠???+∠???+∠???，即可求出∠???=的50度°,數(shù)∠?；?③?設=130°∠，???+∠???，

1

∠???=2∠???+∠???+∠???∠???∠???1=?°∠???1=?°

結合已知可得，，再根據(jù)（1）可得，，

即可判斷出∠的?度??數(shù)=．10?°∠???=10?°∠?+?°+?°=77°∠?+10?°+10?°=140°

【詳解】（1∠）?解：，理由如下：

如圖，連接并延∠長??．?=∠?+∠?+∠?

??

根據(jù)外角的性質，可得，，

又∵∠???，=∠???+∠?∠???=，∠?+∠???

∴∠???=∠???+∠??，?∠???=∠???+∠???

故答∠?案?為?=：∠?+∠?+∠?；

（2）①由（∠1）??可?得=∠?+∠?+∠?，

∵，∠???+，∠???+∠?=∠???

∴∠?=50°∠???=90°；

②∠由?（??1）+可∠?得??=90°?50°=40°，

∴∠???=∠???+∠???+∠???，

∴∠???+∠???=∠????∠???=，130°?50°=80°

1

∴2∠???+∠???=80°÷2=40°；

1

③∠設???=2∠??，?+∠???+，∠???=50°+40°=90°

則∠???1=?°，∠???1=?°，

則∠???=10?°∠??，?=10?°，

解得∠?+?°+?°，=77°∠?+10?°+10?°=140°

所以?+?=7°，

即∠的?度=數(shù)77為°?7°．=70°

【題∠型?3A字模70型°】

【例3】如圖，將一個三角形剪去一個角后，，則等于（）

∠1+∠2=230°∠?

A．B．C．D．

【答案】3B5°50°65°70°

【分析】本題考查了三角形的外角的性質，三角形的內角和定理的應用；根據(jù)三角形的外角的性質可得

，由三角形內角和為180°，得度數(shù)．∠1+

【∠詳2=解】∠?解+：∠如4+圖∠所?示+∠3∠?

．∵∠1+∠2=∠?+∠4+∠?+∠3=∠?+180°=230°

∴故∠選?：=B5．0°

【變式3-1】如圖是某建筑工地上的人字架，若，那么的度數(shù)為．

∠1=120°∠3?∠2

【答案】

【分析】根60據(jù)°平角的定義求出，再利用三角形的外角的性質即可解決問題．

【詳解】解：如圖∠4

，，

，∵∠1+∠4=180°∠1=120°

∴∠4=60°，

∵∠3=∠2+∠4，

∴故∠答3案?為∠2：=∠4．=60°

【變式3-2】6探0索°歸納：

(1)如圖1，已知為直角三角形，，若沿圖中虛線剪去，則______；

(2)如圖2，已知△???中，，∠剪?去=90后°成四邊形，則∠?___∠__1_+；∠2=

(3)如圖2，根據(jù)（△1?）??與（2∠）?的=求3解0°過程，你∠?歸納猜想∠與1+∠的2關=系是______；

(4)如圖3，若沒有剪掉，而是把它折成如圖3形狀，試探∠1究+∠2∠?與的關系，并說明理由．

【答案】(1)∠1+∠2∠?

(2)270°

(3)210°

(4)∠1+∠2=180°+∠?

【分∠析1】+（∠21）=利2∠用?三角形的外角定理及直角三角形的性質求解；

（2）利用三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角和求解；

（3）根據(jù)（1）、（2）中思路即可求解；

（4）根據(jù)折疊對應角相等，得到，，進而求出，

，最后利用∠???=∠???即∠?可?求?解=．∠???∠1=180°?2∠???∠2=180°?

【2詳∠?解??】（1）解：如∠?圖??所+示∠：???=180°?∠?

在中，由外角性質可知：

△???，

∠1=∠?+∠???=90°+∠???，

∠∴2=∠?+∠???=90°+∠???，

∵∠1+∠為2=直角90三°角+形∠?，??+90°，+∠???=180°+∠???+∠???

∴△???∠?=90°，

∴∠???+∠???=180°?∠?=．90°

故答∠1案+為∠：2=180．°+90°=270°

（2）解：如圖27所0°示：

在中，由外角性質可知：

△???，，

∠∵1=∠?+∠，???∠2=∠?+∠???

∴∠?=30°

∠1+∠2=∠?+∠???+∠?+∠???

=∠?+∠???+∠???+∠?

．

=180°+30°

（=3）21解0°：由（1）、（2）中思路，由三角形外角性質可知：

，，

∠∴1=∠?+∠???∠2=∠?+∠???

∠1+∠2=∠?+∠???+∠?+∠???

，

=∠?+∠???+∠???+∠?

=∴180°+∠與?的關系是：，

故答∠1案+為∠：2∠?∠1+．∠2=180°+∠?

（4）解：∠1+∠與2=1的80關°系+為∠?：，理由如下：

如圖，∠1+∠2∠?∠1+∠2=2∠?

∵是由折疊得到的，

∴△???△?，??，

∴∠???=∠???∠??，?=∠???，

∴∠1=180°?2∠???∠2=180°?2∠???，

∠1+∠2=(180°?2∠???)+(180°?2∠???)=360°?2∠???+∠???

又∵，

∴∠???+∠???=180°?∠?，

∴∠1+∠2與=360的°關?系2180°?∠?=2∠．?

【題∠型1+4∠2老鷹∠抓?小雞?！闲?】+∠2=2∠?

【例4】把三角形紙片沿折疊．

′

?????

(1)如圖1，點落在四邊形內部點A處時，與、之間有一種數(shù)量關系始終保持不變，寫

′

出這種關系并?證明；????∠?∠???∠???

(2)如圖2，點落在四邊形外部點A處時，直接寫出與、之間的數(shù)量關系．

′

【答案】(1)?????，見解析∠?∠???∠???

(2)2∠?=∠???+∠???

【分2析∠?】=本∠題?考??查?了∠三??角?形的內角和定理、折疊的性質．

（1）由折疊得到，，根據(jù)平角得到，

′′

，再結合三∠角??形?內=角∠和?得??到∠???=∠???，即∠?可??解+決2問∠題??；?=180°∠???+2∠???=

（128）0由°折疊得到，∠?+∠???+∠，?根?據(jù)?=平1角8得0°到，

′′

，再結合三∠角??形?內=角∠和?得??到∠???=∠???，即∠?可??解+決2問∠題??．?=180°2∠????∠???=

【1詳80解°】（1）解：∠?+∠?．??+∠???=180°

證明：∵三角形紙片2∠?=沿∠???折+疊∠得??到?，

′

∴，?????，△???

′′

∴∠???=∠???∠???，=∠???，

又∠∵???+2∠???=180°∠??，?+2∠???=180°

∴∠?+∠???+∠???=180°，

∴∠???+2∠???+∠??；?+2∠???=360°=2∠?+∠???+∠???

（22）∠解?：=∵∠?三?角?+形∠紙?片??沿折疊得到，

′

∴，?????，△???

′′

∴∠???=∠???∠???，=∠???，

又∠∵???+2∠???=180°2∠??，??∠???=180°

∴∠?+∠???+∠???=180°，

∴∠???+2∠???+2∠?．???∠???=360°=2∠?+∠???+∠???

【變2式∠?4=-1】∠如??圖?，?三∠角??形?紙片中，，，將紙片的角折疊，使點落在內，若

???∠?=100°∠?=40°?△???∠?=

，則的度數(shù)是（）

30°∠?

A．B．C．D．

【答案】3C0°40°50°60°

【分析】本題考查了三角形折疊中的角度問題，三角形外角的定義與性質，熟練掌握以上知識點求得

是解題的關鍵．延長，交于點，連接，利用三角形外角的定義可知∠?+

′′′

∠?=2，∠???，從?而?得到?????，再根據(jù)三角形內角和求得∠?，=即∠可??求?得+答

′′′

∠案?．??∠?=∠???+∠???∠?+∠?=2∠???∠???

【詳解】解：延長，交于點，連接，如圖，

′′

???????

則，

′

∠???=∠???，，

′′′′

∵∠?=∠???+∠???∠?=∠???+∠???，

′′′′′

∴∠?+∠中?，=∠???+∠，???+∠??，?+∠???=∠???+∠???=2∠???

∵△???∠?=100°∠?=40°，

∴∠???=180°?∠??∠?=180°?1，00°?40°=40°

∴∠?+∠?=，2∠???=2×40°=80°

∵∠?=30°．

∴故∠選?：=C8．0°?30°=50°

【變式4-2】如圖，在中，將沿直線m翻折，點B落在點D的位置，若，則

的度數(shù)是（）△???△???∠1?∠2=60°∠?

A．B．C．D．60°

【答案】3A0°32°35°

【分析】本題主要考查了三角形外角的性質、翻折變換等知識點，熟練掌握三角形外角的性質是解題的關鍵．

由折疊的性質得到，由三角形外角性質可得、，易得

，則∠?=∠?，即∠，3=然∠后2求+解∠?即=可∠．2+∠?∠1=∠?+∠3∠3=

【∠詳1?解∠】?解：如∠2圖+所∠示?：=∠1?∠?2∠?=∠1?∠2

由折疊的性質得：，

根據(jù)外角性質得：∠?=∠?，，

∴，∠3=∠2+∠?=∠2+∠?∠1=∠?+∠3

∴∠3=∠1?∠?，即．

∵∠2+∠?=∠1?∠?2∠?=∠1?∠2

∴∠1?∠2=．60°

故選∠?：=A3．0°

【變式4-3】如圖，把△ABC紙片沿DE折疊，當A落在四邊形BCDE內時，則∠A與∠1+∠2之間有始終

不變的關系是（）

A．∠A=∠1+∠2B．2∠A=∠1+∠2

C．3A=∠1+∠2D．3∠A=2（∠1+∠2）

【答案】B

【分析】本題問的是關于角的問題，當然與折疊中的角是有關系的，∠1與∠AED的2倍和∠2與∠ADE的

2倍都組成平角，結合AED的內角和為180°可求出答案．

【詳解】∵△ABC紙片△沿DE折疊，

∴∠1+2∠AED=180°,∠2+2∠ADE=180°，

∴∠AED=(180°?∠1),∠ADE=(180°?∠2)，

11

∴∠AED+∠2ADE=(180°?∠1)+2(180°?∠2)=180°?(∠1+∠2)

111

222

在ADE中,∠A=180°?(∠AED+∠ADE)=180°?[180°?(∠1+∠2)]=(∠1+∠2)

11

則△2∠A=∠1+∠2，故選擇B項.22

【題型5雙內角平分線模型】

【例5】如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點P．

（1）若∠ABC+∠ACB＝130°，求∠BPC的度數(shù)．

（2）當∠A為多少度時，∠BPC＝3∠A？

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）根11據(jù)5°角平分線∠的?定=義36，°求得，，再根據(jù)三角形內角和定理即可求得；

（2）根據(jù)（1）的方法求得，再結合∠條?件??∠B∠P?C?＝?3∠A，解方程即可求得∠A．∠???

【詳解】（1）平分∠?，??平分，

∵??∠?????，∠???

11

∴∠∠?A?BC?+=∠2A∠C?B?＝?,1∠3?0°?，?=2∠???

∵，

1

∴∠???+∠???=2(∠???+∠???)=65°，

（∴2∠）???=平1分80°?(∠，???平+分∠???)=，180°?65°=115°

∵??∠?????∠???，

11

∴∠???=2∠???,∠???=2∠???，

1

∴∠???+∠???=2(∠???+，∠???)

∵∠???+∠???=180°?∠?，

1

∴∠???+∠???=90°?2∠?

∠???=180°?(∠???+∠???)

1

=180°?(90°?∠?)

2

1

=∠90B°P+C＝∠3∠?A

2

∵，

1

∴3∠?=90．°+2∠?

【∴變∠式?=5-316】°如圖，△ABC的∠ABC和∠ACB的角平分線BE和CF相交于點O，∠A＝60°，則∠BOC的大

小為（）

A．110°B．120°C．130°D．150°

【答案】B

【分析】由角平分線求出，然后在△ABC中，由∠A=60°即可求出

11

∠ABC+∠ACB=120°，最∠后??在?△=2∠?中??由,∠三?角??形=內2角∠?和?定?理即可求解．

【詳解】解：∵OB、OC分別是∠OABBCC和∠ACB的角平分線，

∴∠OBC＝，，

11

∴∠OBC+∠2O∠?C?B?＝∠∠?A?B?C+=∠2∠A?C?B?＝(∠ABC+∠ACB)

111

∵∠A＝60°，222

∴∠OBC+∠OCB＝(180°﹣60°)＝60°，

1

∴∠BOC＝180°﹣(∠2OBC+∠OCB)

＝180°﹣60°

＝120°．

故選：B．

【點睛】本題考查了角平分線的性質，三角形內角和定理等知識點，熟練掌握角平分線的性質及三角形內角

和定理是解決本題的關鍵．

【變式5-2】如圖，平分，平分，與交于點，若，，則

（）??∠?????∠????????∠???=140°∠???=100°∠?=

A．80°B．75°C．60°D．45°

【答案】C

【分析】連接先求解再求解可得再利用角平分線的定義

可得：??,∠從?而??可+得∠：???,∠???再+利∠用??三?角,形的∠內?角??和+定∠理?可??得,的大小.

【詳解】∠解??：?連+接∠???,∠???+∠???,∠?

??,∵∠???=140°,

∴∠???+∠???=180°?140°=40°,

∵∠???=100°,

∴∠???+∠???=180°?100°=80°,

∴∠??平?分+∠???，=∠平??分?+∠??，??∠????∠???=40°,

∵??∠?????∠???

∴∠???+∠???=2(∠???+∠???)=80°,

∴∠???+∠???=∠???+∠???+∠???+∠???=80°+40°=120°,

故選：

∴∠?=180°?(∠???+∠???)=60°.

【變式5?-.3】已知中，，在圖（1）中、的角平分線交于點，則計算可得

；

△???∠?=60°∠???∠????1∠??1?=

120°

（1）在圖（2）中，設、的兩條三等分角線分別對應交于、，得到則；

（2）在圖（3）中請你∠猜?想??，當∠???、同時n等分時，條?1等?分2角線分∠別?對?2應?交∠于??2、?=，

則（用含∠?n?的?代∠數(shù)??式?表示）．??1?1?2????1

【答∠案??】??1?=

120°

【分析】本題考1查00了°三角形60的°+內角?和定理，角平分線的定義及三等分線，n等分線的定義．

（1）根據(jù)三角形的內角和等于得出，再由、的兩條三等分角線分別對應交于

得出的度18數(shù)0，°進而∠可??得?出+結∠?論?；?∠???∠???

（?21）,?根2據(jù)n∠等?2分?的?+定∠義?求2?出?的度數(shù)，在中，利用三角形內角和定理列式整理

即可得解．∠???1??+∠???1??△???1??

【詳解】解：（1）在中，，

△???∠?=，60°

∴∠??和?+∠?分?別?是=180°?60°=的1三20等°分線，

∵?2??2?∠???,∠???；

222

∴∠?2??+∠?2??=3∠???+∠???=3180°?60°=120°?3×60°

．

22

∴故∠答?案?2為?：=180°；?∠?2??+∠?2??=180°?120°?3×60°=60°+3×60°=100°

（2）∵10和0°分別是的n等分線，

???1????1?∠???,∠???；

??1??1??1×180°??1×60°

∴∠???1??+∠???1??=?∠???+∠???=?180°?60°=???．

??1×180°??1×60°??1×60°180°120°

故∴∠答?案??為?1：?=180°?．∠???1??+∠???1??=180°????=?+?=60°+?

120°

【題型6雙6外0°角+平?分線模型】

【例6】如圖，和是的外角，和分別是和的角平分線，延長和交于

點．設∠?，??∠??，?則△與??之?間的數(shù)量?關?系為??．∠???∠???????

?∠?=?∠?=???

【答案】

1

【分析】本90題°?考2查?了三角形外角性質，角平分線的定義，對頂角的性質，三角形內角和定理，由三角形外角

性質可得，，由角平分線定義得，

11

∠???=?+∠???∠，??進?而=得?+∠???∠?，??=2∠???=2?+∠???，

1111

再∠?根??據(jù)=三2角∠形??內?角=和2定?+理∠可?得??∠???=∠???=2?+∠???，即∠可??得?到=∠???=2?+∠???

111

，進而即可求解，掌握三2角?形+外∠角?性??質+是2解?題+的∠關??鍵?．+?=180°?+?+2180°??=

【1詳80解°】解：由三角形外角性質可得，，，

∵和分別是和的角平∠分?線??，=?+∠???∠???=?+∠???

∴????∠???∠???，，

1111

∴∠???=2∠???=2?+∠???，∠???=2∠???=2?+∠???，

11

∵∠???=∠???=2?+∠??，?∠???=∠???=2?+∠???

∴∠???+∠???+∠?=180°，

11

∴2?+∠???+2?+∠???+?，=180°

1

∴?+?+2∠???+∠???=，180°

1

即?+?+2180，°??=180°

1

故答?=案9為0：°?2?．

1

90°?2?

【變式6-1】在中，的平分線與的平分線相交于點P．的外角平分線與的外角

平分線相交于點△?Q?，?當∠???，則∠???°；∠???∠???

∠?=65°∠???=

【答案】115

【分析】此題主要考查了三角形的內角和定理，三角形的外角性質，準確識圖，熟練掌握三角形的內角和定

理，三角形的外角性質是解決問題的關鍵．

由三角形內角和定理得

，根據(jù)∠角?平??分+線∠定?義??得=180°?∠?=115°,∠???+∠??，?則=180°?∠?,∠???=180°?

(∠???+∠???，)再根據(jù)三角形外角性質∠得???=2∠???,∠???=2∠???∠???+，∠則???=2(∠???+

∠???)=230°，由此∠得???=∠?+∠???,，∠?則??=∠?+，∠然??后?根據(jù)∠???的+平∠?分??線=與

2∠?+的∠平??分?線+相∠?交?于?點=1．80得°+∠?180°+∠?=230°∠?=，50據(jù)°此可得∠的??度?數(shù)．

1

【∠詳??解?】解：∵?，∠???+∠???=2(∠???+∠???)=65°∠???

∴∠?=65°，，

∵∠???的+平∠?分?線?與=180°?的∠平?分=線1相15交°,∠于?點??，+∠???=180°?∠?∠???=180°?(∠???+∠???)

∠???∠????

，

∴∠???=2∠???,∠???=2∠???，

∴由∠三?角??形+外∠角??性?質=得2(：∠???+∠???)=2×115°=230°，

∠???=∠?+∠???,∠???=∠?+∠???，

∴∠???+∠???=2，∠?+∠???+∠???=2∠?+180°?∠?=180°+∠?

∴180°+∠?，=230°

∴∵∠?=5的0平°分線與的平分線相交于點，

∠???∠???，?

11

∴∠???=2∠???,∠???=2∠???，

111

∴∠???+∠???=2(∠???+∠???)=2180°?∠?=，90°?2∠?=65°

∴故∠答?案??為=：118105°．?(∠???+∠???)=180°?65°=115°

【變式6-2】如圖，，分別是和的角平分線，交點是，，分別是和的角

????∠???∠????????∠???∠???

平分線，交點是，，在上，，在上，若，那么．

?????????∠?=69°∠?=

【答案】/69度

【分析】根69據(jù)°角平分線的定義和三角形內角和定理用表示和,得到和的關系,得到答案.

【詳解】解：∵、分別是和的平分線∠?，∠?∠?∠?∠?

????∠???∠???

11

∴∠???=2∠???,∠???=2∠???,

111

∴∠?=180°?2∠????2∠???=180°?2∠???+∠???,

111

=同理18，0°?2360°?∠????∠???=180°?2180°+∠?=90°?2∠?=69°

1

故答案為∠:?=.90°?2∠?=69°.

【變式6-