第08講三角形全等的判定

內(nèi)容導航——預習三步曲

第一步：學

析教材學知識：教材精講精析、全方位預習

練題型強知識：8大核心考點精準練

第二步：記

串知識識框架：思維導圖助力掌握知識框架、學習目標復核內(nèi)容掌握

第三步：測

過關(guān)測穩(wěn)提升：小試牛刀檢測預習效果、查漏補缺快速提升

【知識點1判定兩個三角形全等的基本事實（邊邊邊）】

1.三邊分別相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“邊邊邊”或“SSS”）．

2.數(shù)學語言表達：如圖所示，AB=A′B′，AC=A′C′，BC=B′C′，則△ABC≌△A′B′C′.

【知識點2判定兩個三角形全等的基本事實（邊角邊）】

1.兩邊和它們的夾角分別相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“邊角邊”或“SAS”）．

2.數(shù)學語言表達：如圖所示，AB=A′B′，∠B=∠B′，BC=B′C′，則△ABC≌△A′B′C′.

【知識點3判定兩個三角形全等的基本事實（角邊角）】

1.兩邊和它們的夾邊分別相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“角邊角”或“ASA”）．

2.數(shù)學語言表達：如圖所示，∠B=∠B′，BC=B′C′，∠C=∠C′，則△ABC≌△A′B′C′.

【知識點4判定兩個三角形全等的基本事實（角角邊）】

1.兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“角角邊”或“AAS”）．

2.數(shù)學語言表達：如圖所示，∠A=∠A′，∠B=∠B′，BC=B′C′，則△ABC≌△A′B′C′.

【知識點5直角三角形全等的判定（斜邊、直角邊）】

1.斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等（可以簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）．

2.數(shù)學語言表達：如圖所示，AB=A′B′，BC=B′C′，則△ABC≌△A′B′C′.

【題型1利用SSS證明三角形全等】

【例1】如圖，是上一點，．求證：．

?????=??,??+??=??,??=??△???≌△???

【答案】見解析

【分析】由已知可得，由可證明．

【詳解】證明：??=??SSS，△???≌△???

∵，??=??,??+??=??

∴即??+??=．??

在??=??中，

△???≌△???

，

??=??

??=??

．

??=??

【∴點△睛??】?此≌題△主??要?考S查SS學生對全等三角形的判定()這一知識點的理解和掌握，此題難度不大，要求學生應(yīng)

SSS

熟練掌握．

【變式1-1】如圖，已知在同一條直線上，，，．

求證：．?,?,?,???=????=????=??

△???≌△???

【答案】證明見詳解

【分析】根據(jù)三角形全等的判定定理，即可得到結(jié)論．

【詳解】∵，

∴AE+EF=?C?F+=EF?，?即：AF=CE，

在與中，

△???△???

∵，

??=??

??=??

∴（）

??=??SSS

【點△睛?】??本≌題△主?要??考查三角形全等的判定定理，掌握SSS判定三角形全等，是解題的關(guān)鍵．

【變式1-2】如圖，在四邊形中，，點E，F(xiàn)分別在，上，，，

判斷與的數(shù)量關(guān)系并加?以??說?明．∠?=∠?=90°??????=????=??

????

【答案】，見解析

【分析】本??題=考?查?三角形全等的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，連接，先證，得到

，結(jié)合角平分線性質(zhì)求解即可得到證明；??△???≌△???(SSS)

【∠詳??解?】=證∠?明?：?，證明：

連接，??=??

在??與中，

△???△???

∵，

??=??

??=??

∴，

??=??

△???≌△???(SSS)

，

∴，

∵∠???=∠???，

∴∠?=∠?．=90°

【變?式?=1-3?】?如圖，在線段上有兩點E，F(xiàn)，在線段的異側(cè)有兩點A，D，且滿足，，，

連接．??????=????=????=??

??

(1)求證：；

(2)若△??，?≌△???，平分時，求的度數(shù)．

【答案∠】?(=1)證40明°過∠程??見?解=答20°??∠???∠???

(2)

【分8析0°】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理．

（1）利用即可證明；

（2）根據(jù)三SS角S形內(nèi)角和△定理??即?可≌△解決??問?題．

解決本題的關(guān)鍵是得到．

【詳解】（1）證明△???，≌△???

∵??，=??

∴??+??，=??+??

∴在??=?和?中，

△???△???

，

??=??

??=??

；

??=??

（∴2△）?解??：≌△???(SSS)，

∵△???≌△?，??

∴∠???=∠???=20°，

∴∠?平??分=180°，?∠??∠???=120°

∵??∠???

，

1

∴∠???=2∠???=60°．

【∴題∠型??2?=利1用80°S?AS∠證??明?三?角∠?形=全1等80】°?60°?40°=80°

【例2】如圖，在和中，，，延長，相交于點F，且．求

證：△???．△?????=????=??????∠???=∠???

∠?+∠???=180°

【答案】見解析

【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，證即可求解．

【詳解】證明：∵，△???≌△???

∴∠???=∠???，

即∠????∠???，=∠????∠???

∠???=∠???

在和中，，

??=??

△???△???∠???=∠???

∴，

??=??

∴△???≌△?．??

又∠∵?=∠???，

∴∠???+∠???=．180°

【變∠式?+2-∠1】??如?圖=，180°，，，，，連接，點恰好在

°°

上，求的度數(shù)．??=????=??∠???=∠???∠1=25∠2=30?????

∠3

【答案】

【分析】本55題°考查了全等三角形的判定和性質(zhì)和三角形外角性質(zhì)，證明，利用全等三角形的

性質(zhì)和三角形外角性質(zhì)計算即可．△???≌△???

【詳解】解：，

∠???=∠???

∴∠????∠???=∠????∠???

，

∴在∠???=和∠???中，

△???△???

，

??=??

{∠???=∠???

，

??=??

∴△???≌△???SA，S

°

∴∠???=∠2=30．

°°°

【∴變∠式3=2-∠2?】?如?圖+，∠1已=知2在5+30=5中5，，，在中，，，

連接，，延長交Rt于△點??F?．試說∠?明?：?=90°??=??．Rt△???∠???=90°??=??

????????△???≌△???

【答案】見解析

【分析】本題考查了三角形全等的判定，熟練掌握三角形全等的判定定理是解題關(guān)鍵．先證出，

再利用定理即可得．∠???=∠???

【詳解】S解AS：∵，，

∴∠???=，90°∠???=90°

∴∠???=∠???=90°，即，

在∠????和∠???=中∠，????∠???∠???=∠???

△???△???

，

??=??

∠???=∠???

∴．

??=??

【變△式??2-?3】≌如△圖??，?在SAS中，、，垂足分別為、，點在的延長線上，點在線段，

且△，?連??接?、?⊥．????⊥??????????

??=??,??=??????

(1)求證：；

(2)求的△度?數(shù)?．?≌△???

【答案∠】?(1)見解析

(2)

【分∠析?】=本45題°主要考查了三角形全等的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握三角形全等的

判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

（1）由余角的性質(zhì)得到，根據(jù)三角形全等的判定定理即可得證；

（2）根據(jù)全等三角形的性∠?質(zhì)??得=：∠???，根據(jù)余角的性質(zhì)得到，進而得出是

等腰直角三角形，即可求解．??=??∠???+∠???=90°△???

【詳解】（1）證明：、

∵??⊥????⊥??

，，

∴∠???=∠???=90°

∴∠???+∠???，=90°∠???+∠???=90°

∴在∠???=和∠???中

△???△???

??=??

∠???=∠???；

??=??

（∴2△）?由?（?1≌）△得???SAS，

，△???≌△，???SAS

∴∠???=∠?,??=??

∵∠???=90°,

∴∠?+∠???=90°,

∴即∠???+∠??，?=90°

又∠???=90，°

∵??=是?等?腰直角三角形，

∴△???．

【∴題∠?型=345利°用ASA證明三角形全等】

【例3】如圖，點D是的邊延長線上一點，且，過D作，且，連接

交于點F，若△???，?求?證：??．=????∥????=????

??∠???=∠???△???≌△???

【答案】見詳解

【分析】本題主要考查全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定是解題的關(guān)鍵；由題意易得，

，則有，然后問題可求證．??=??

【∠詳?解=】∠?證?明?,∠：?∵=∠???，∠?=，∠???

∴，??=????=??

??=??

∵，

∴??∥??，

∵∠?=∠???,∠?，=∠???

∴∠???=∠??，?

∴∠?=∠???．

【變△式??3-?1】≌△如?圖?，?已AS知A，，求證：．

??=??∠1=∠2=∠3△???≌△???

【答案】詳見解析

【分析】本題考查了三角形全等的判定，熟練掌握三角形全等的判定方法是解題關(guān)鍵．

首先利用以及對頂角相等，利用三角形內(nèi)角和得出．然后通過，在等式兩邊同時

加上∠，1=從∠而3得出，最后利用判定∠?=∠?．∠1=∠2

【詳解∠】??證?明：∵∠??，?=∠???，ASA△???≌△???

∴．∠1=∠3∠???=∠???

又∠∵?=∠?，

∴∠1=∠2，

即∠1+∠???=∠．2+∠???

在∠???=與∠???中，

△???△???

，

∠???=∠???

??=??

∴．

∠?=∠?

【變△式??3-?2】≌△如?圖?，?在AS四A邊形中，，連接，點E在上，，連

接，．?求??證?：??∥??．??????=??

??∠?+∠???=180°??=??

【答案】見解析

【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，利用互補的性質(zhì)可得，據(jù)此證明

即可．∠???=∠?△???≌△

???

【詳解】證明：∵，

∴，??∥??

∵∠???=∠???，，

∴∠???+∠??，?=180°∠?+∠???=180°

在∠???=和∠?中，

△???△???

，

∠???=∠???

??=??

∴，

∠???=∠?

∴△???≌．△???ASA

【變?式?=3-?3】?如圖，已在與中，，，，，求證：．

△???△?????=??∠???=∠?????⊥????⊥????=??

【答案】證明見解析．

【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題中條件證明出三角形全等是解題的關(guān)鍵．根據(jù)，

，，從而得出，，結(jié)合，即可?得?出⊥??

??⊥??∠???=∠?，?進?而可以解決∠問??題?．=∠???∠???=∠???=90°??=??

【△詳?解??】≌證△明?：??∵ASA，

∴∠???=∠???，

即∠????∠???，=∠????∠???

∵∠???=，∠???，

∴??⊥????⊥??，

在∠???=與∠???=中9，0°

△???△???

，

∠???=∠???

??=??

∴，

∠???=∠???

∴△???≌．△???ASA

【題?型?=4?利?用AAS證明三角形全等】

【例4】如圖，在四邊形中，，，，．求證：．

??????=????=??∠???=∠???∠?=∠???=??

【答案】見解析

【分析】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)線段之間和差關(guān)系，角度之間和差關(guān)系證得，

，利用即可證明，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．??=??

【∠詳??解?】=證∠明??：?∵AAS，，

則??=，????=??

∴?????，=?????

∵??=??，

則∠???=∠???，

∴∠????∠???，=∠????∠???

∠???=∠???

在和中，，

∠???=∠???

△???△???∠?=∠?

∴，

??=??

∴△???≌．△???AAS

【變?式?=4-1?】?如圖，點，在射線，上，．點，在射線上，，．

????????=??????∠???=∠???∠???+∠???=180°

(1)求證：．

(2)試判斷線△?段??≌，△??，?的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

【答案】(1)見解?析?????

(2)，理由見解析

【分?析?+】?（?=1）??由“”可證；

（2）由全等三角形?的??性質(zhì)可△得???≌△?，??，可得結(jié)論．

【詳解】（1）證明：∵??=????=，??

∴∠???+，∠???=180°

∵∠???+∠???+∠???=180°，，

∴∠???+∠???+，∠???=180°∠???=∠???

∠???=∠???

在與中

△???△???

，

∠???=∠???

∠???=∠???

∴??=??（）；

（2△）?解?：?≌△??????，理由如下：

∵??+??，=??

∴△???≌，△???，

∵??=????，=??

∴??+??=??．

【點?睛?+】?本?=題?考?查了全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．

【變式4-2】如圖，，，，，垂足分別為D，E，，．求

的長．∠???=90°??=????⊥????⊥????=2.4cm??=1.6cm

??

【答案】

【分析】本0.8題cm考查了全等三角形的判定及性質(zhì)的運用，根據(jù)條件可以得出，利用得出

，就可以得出，就可以求出的值．∠?=∠???=90°AAS

【△詳?解??】≌解△：?∵??，??=，????

∴??⊥，????⊥??

∴∠?=∠???=90°，

∵∠???+∠??，?=90°

∵∠???=90°，

∴∠???+∠???，=90°

在∠???=和∠???中，

△???△???

，

∠?=∠???

∠???=∠???

∴，

??=??

∴△???≌，△???AAS

∵??=????，=??=2.4cm,

∴??=???????=1.6cm,

∴??=2.4?1．.6=0.8cm,

??=0.8cm

【變式4-3】如圖，在四邊形中，，，垂足為，的延長線交于點

，．????∠???=∠???=90°??⊥???????

???=??

(1)請你在圖中找出一對全等三角形，并說明理由；

(2)連接，交于點，若，求的度數(shù)．

【答案】?(?1)???，理∠?由?解?析=；115°∠???

(2)△??．?≌△???

【分∠析??】?（=7）0根°據(jù)同角的余角相等得出，再由全等三角形的判定方法證全等即可；

（）由第一1問全等可得是等腰直角∠?三??角=形∠，?推??出，再用三角形內(nèi)角和即可求解；

本2題主要考查了全等三角△形??的?判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角∠和?定??理=，4同5°角的余角相等，掌握相關(guān)知識是解題的

關(guān)鍵．

【詳解】（1），理由如下：

∵，△???≌△???

∴??⊥??，

∴∠???=∠???=90°，

在∠???=和∠???=中9，0°?∠???

△???△???

，

∠???=∠???

∠???=∠???

∴；

??=??

（2△）由??（?≌）△知???AAS，理由如下,

∴1，△???≌△??，?

∵??=??∠，???=∠???

∴∠???=90°，

∵∠???=45°，

∴∠???=115°=∠???，

∴∠???=180°?∠????．∠???=20°

【題∠型??5?=利9用0°H?L20證°明=三70角°形全等】

【例5】如圖，已知在線段上，與交于點，且，，求證：

??⊥??,??⊥??,?,??????????=????=??Rt△

．

???≌Rt△???

【答案】見解析

【分析】此題考查了直角三角形全等的判定，解題關(guān)鍵是由推出，利用進行判定．

【詳解】證明：，??=????=??HL

∵??=，?即?，

∴??+??=??+??，??=??

∵??⊥??,??⊥，??

∴∠?=∠與?=90°都為直角三角形，

∴在△???△和???中，

Rt△??，?Rt△???

??=??

．

??=??

【∴變Rt式△5?-1?】?如≌圖Rt，△???(HL，)、分別是、上的點，、分別是、上的點，若、

，，求??證=：???????．?????????⊥????⊥

????=??Rt△???≌Rt△???

【答案】見解析

【分析】本題考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解題關(guān)鍵．利用“”證明全等即可．

【詳解】證明：、，HL

∵??⊥????⊥??

∴在∠???=∠?和??=90°中，

Rt△???，Rt△???

??=??

??=??

【∴變Rt式△5?-2?】?如≌圖Rt，△在???HL中，，直線l經(jīng)過頂點C，過A，B兩點分別作l的垂線，，E，F(xiàn)

為垂足，且；△?????=??????

??=??

求證：

(1)

(2)∠???=．∠???

【答?案?】⊥(?1?)見解析

(2)見解析

【分析】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的兩個銳角互余，證明

是解答的關(guān)鍵．Rt△???≌Rt△???HL

（1）證明，利用全等三角形的對應(yīng)角相等可得結(jié)論；

（2）根據(jù)直Rt角△三?角??形≌的R兩t△個?銳?角?互HL余證明即可得結(jié)論．

【詳解】（1）證明：∵于E點，∠??于?=F點90°

∴在與??⊥中???⊥?

Rt△???Rt△???

∴??=??

??=??

∴Rt△???≌Rt；△???HL

（2∠）?證??明=：∠在?直??角三角形中，

∴???∠???=90°

∴∠???+∠???=90°

∵∠E、??C?，+F∠三??點?共=線90°

∴

∴∠???=．180°?∠???+∠???=180°?90°=90°

【變?式?⊥5-?3】?如圖，在中，，，D是上一點，E在的延長線上，且，

的延長線與交于Rt點△F?．??試通過∠?觀??察=、9測0°量、??猜=想?等?方法來?探?索與有?何?特殊的位置關(guān)系?，?并=證??明

?你?的猜想．??????

【答案】，證明見詳解

【分析】??⊥??

本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和．先由，得，結(jié)合

，，則證明，故∠???，=結(jié)9合0°三角∠形??內(nèi)?角=和∠以??及?對=頂90角°相等，?即?=可

?作?答．??=??△???≌△???HL∠???=∠???

【詳解】解：∵

∴∠???=90°

∵∠???=∠，???=90，°

∴??=????=??

∴△???≌△???HL

∵∠???=∠???

∴∠???=∠???

即180°?∠????∠???=180°?∠????∠???

故∠???=∠???=90°

【題?型?⊥6??添加條件使三角形全等】

【例6】如圖，在中，、兩點分別在、邊上，且，現(xiàn)增加一個條件，使得

一定成立，則該△條?件??可以是?下?列中的???．???=??△???≌△???

①；②；③；④．

??=??∠???=∠???∠???=∠?????⊥??

【答案】①②③

【分析】本題考查全等三角形的判定，由全等三角形的判定方法，即可判斷．關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定

方法：、、、、．根據(jù)全等三角形的判定方法結(jié)合添加的條件逐一分析即可．

【詳解】S解AS：①AS由AAASS，SSHL，得到，又，由判定，故①符

合題意；??=????=????=??∠?=∠?SAS△???≌△???

②由，推出，而，可得，結(jié)合，由判定，

故②∠符?合??題=意∠；?????=????=????=??∠?=∠?SAS△???≌△???

③如圖，記交點為，

??,???

∵，，，

∠???=∠???∠???=∠?????=??

∴，

∴△???≌，△???，

∴??=??，??=??

∵??=??，，

∴∠由?=∠判?定∠???=∠???，故③符合題意；

④增加AA添S加△???，≌不△能?判??定，故④不符合題意．

增加一個條?件?⊥，?使?得△???一≌定△成??立?，則該條件可以是①②③．

∴故答案為：①②③．△???≌△???

【變式6-1】如圖，，．給出下列條件：①；②，③，④．從

這四個條件中再選∠一1個=使∠2??=??，符合條件的有??=??（填?符?號=）?．?∠?=∠?∠?=∠?

△???≌△???

【答案】①③④

【分析】本題考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．根據(jù)三角形全等的判定

逐個判斷即可得到答案；

【詳解】解：∵，

∴∠1，=∠2

∵∠???=∠，???

∴?添?加=①??，可以用判定；

添加③??=?，?可以用SA判S定△???≌△??；?

添加④∠?=∠?，可以用AAS判定△???≌△???；

添加②∠不?能=判∠定?三角形全等AS．A△???≌△???

故答案為：①③④．

【變式6-2】如圖，在和中，為公共邊，且，O為、的交點．要證明

，需補充一個△條??件?，在△給??出?的以?下?四個條件中：∠①?=∠?=9；0°②????；③△???≌；

△④???，能作為添加條件的是．（填寫序號）??=??∠???=∠???∠???=∠???

??=??

【答案】

【分析】本①題②考③查④了全等三角形的判定和性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握判定三角形全等的方法．根據(jù)全等三

角形的判定與性質(zhì)逐一進行判斷即可．

【詳解】解：，

在和∵∠?=中∠?=90°

△???△???

∠?=∠?

??=??，故正確；

∠???=∠???

∴△???≌△???，ASA①

∵∠???=∠．???

∴在??=?和?中

△???△???

∠?=∠?

∠???=∠???，故正確；

??=??

∴在△???≌和△???中AAS②

△???△???

∠?=∠?

∠???=∠???．

??=??

∴△???≌△．???AAS

∴在??=?和?中

△???△???

∠?=∠?

∠???=∠???，故正確；

??=??

∴在△???≌△和???AAS中，③

Rt△???Rt△???

??=??．

??=??

∴Rt△???．≌Rt△???HL

∴在??=?和?中

△???△???

∠?=∠?

∠???=∠???，故正確；

??=??

∴△能作??為?添≌△加條??件?的A是AS④．

∴故答案為：①．②③④

【變式6-3】①如圖②，③④，，分別為，上的點，與交于點，連接．要，

還須添加一個條件，??如=添?加???，可運??用??，證得????．?請寫出添??加的其△它?一??個≌條△件?，??仍

能證得：??=?．?（說明：原SA圖S不再添△加?點??和≌線△，?要??求寫出所有可能）

△???≌△???

【答案】，，，，，，

【分析】∠本??題?考=查∠全??等?三∠角??形?的=性∠質(zhì)??和?判?斷?，=掌??握判??斷=定?理?是∠解??題?關(guān)=鍵∠；??要?∠???=∠???，∠已??知?一=組∠對??應(yīng)?

邊相等和一個公共角，再添加一個條件可以是角相等，或△???≌△?、??，

依據(jù)是或，也可以是間接條件，得出，∠?如??=∠??，?能∠間?接??證=出∠???和∠???=再∠有??一?組

角相等或AS一A組邊A相AS等即可??=????=??△???△???

【詳解】解：添加，依據(jù)是，

添加∠?，??依=據(jù)∠是???，ASA

添加∠???=∠???，可先得出AAS，從而得出，然后依據(jù)可證

∠?；??=∠???△???≌△???SAS∠???=∠???ASA△???≌

△添加???可得，則依據(jù)證明；

添加∠???=∠???可得∠???=∠???，則依據(jù)AAS可證△???≌△???；

添加∠???=∠，先??證?∠???=∠???，從而得A出SA△???≌，△進?而?得?出，依據(jù)是，

添加??=??，可得△出???≌△?，?進?而SSS∠??，?依=據(jù)∠???，△???≌△???ASA

故答案??為=：????，=??△?，??≌△??，?SA，S，，

．∠???=∠???∠???=∠?????=????=??∠???=∠???∠???=∠???∠???=

【∠題??型?7兩次證明全等】

【例7】如圖所示，已知，，，交于點，連接．試說明：．

??=??∠?=∠???=?????????∠???=∠???

【答案】見解析

【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵

證明，則．證明，可得．

【詳解△】?解??：≌在△???A和AS中??，=??△???≌△???SSS∠???=∠???

△???△???

∵，

∠???=∠???

∠?=∠?

∴，

??=??

△???≌△???AAS

∴．

在??=?和?中，

△???△???

∵，

??=??

??=??

∴，

??=??

∴△???≌△???．SSS

【變∠式??7?-1=】∠如?圖??，在五邊形中，，，，點D是上一點，連接、

，有?，??求??證：∠?=∠?．=90°??=????=??????

??∠???=∠???=90°??=??

【答案】見解析

【分析】此題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，

連接，首先證明出，得到，然后證明出，

得到??．Rt△???≌Rt△???HL??=??Rt△???≌Rt△???HL

【詳解?】?解=：??連接，

??

在和中，

有Rt△???Rt△???

??=??

∴，

??=??

∴Rt△???．≌Rt△???HL

在??=??和中，

有Rt△???Rt△???

??=??,

∴，

??=??,

Rt△???≌Rt△???HL

∴．

【變?式?=7-2?】?如圖，于E，于F，、相交于點D，且．求證：．

??⊥????⊥????????=????=??

【答案】證明見解答

【分析】此題重點考查全等三角形的判定與性質(zhì)，證明，推導出，進而證明

是解題的關(guān)鍵．由于E，于F，△得???≌△?????=??，△而???≌△

°

???，，可根據(jù)??“A⊥A?S?”證明??⊥≌??，得∠???=∠，?則??=∠??，?再=根∠據(jù)??“?=”9證0明∠???=

∠??，?則??=??．△???△?????=????=??AAS△???≌△

【?詳??解】證??明=：??于E，于F，、相交于點D，

∵??⊥????⊥??，????

°

∴在∠???=和∠???=中∠，???=∠???=90

△???△???

，

∠???=∠???

∠???=∠???

，

??=??

∴△???≌△，???AAS

∴??=??，

∴??+??，=??+??

∴在??=?和?中，

△???△???

，

∠???=∠???

∠???=∠???

，

??=??

∴△???≌△．???AAS

【∴變??式=7-?3?】如圖，在中，，于點D，，且，過C作．

Rt△???∠???=90°??⊥????=????=????∥??

(1)求證：；

∠???=∠???

(2)求證：．

【答案】(1?)證?明=見??解析

(2)證明見解析

【分析】本題考查的是同角的余角相等，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記全等三角形的判定方法是解本題的

關(guān)鍵；

（1）證明，即可得到結(jié)論；

（2）先證明∠???+∠???=90°∠，??再?證=明90°=∠???+∠?即??可得到結(jié)論．

【詳解】（1）Rt證△明?：??∵≌Rt△???，△???≌△???

∴∠，???=90°

∵∠???+，∠???=90，°

∴??∥??，??⊥??

∴??⊥??，

∴∠???=90°=；∠???+∠???

（2∠）?證??明=：∠∵???，

∴∠???=9，0°

∵∠???=，90°=∠???，

∴??=????=??，

∴Rt△???，≌Rt△??，?

∵∠?=∠???=??，

∴∠???+∠???，=90°=∠???+∠???

∴∠???=∠???，

∴△???≌．△???

【題?型?=8??全等三角形的實際應(yīng)用】

【例8】如圖，為了測量水池兩邊A，B間的距離，可以先過點A作射線，再過點B作于點D，

在延長線上截取，連接，則的長就是A，B間的距離，?以?此來判斷??⊥??的理由

是（??）??=??????△???≌△???

A．B．C．D．

【答案】SBSSSASASAAAS

【分析】本題主要考查了全等三角形的判定．根據(jù)，，，利用

??=??∠???=∠???=90°??=??SAS

判斷即可．

【詳解△】?解??：≌∵△???，

∴??⊥??，

在∠???=和∠???=中9，0°

△???△???

，

??=??

∠???=∠???=90°

∴．

??=??

故選△：??B?．≌△???SAS

【變式8-1】要測量A，B間的距離（無法直接測出），兩位同學提供了測量方案：

方案Ⅰ：①如圖1，選定點O；②連接，并延長到點C，使，連接圖1：，并延長到點D，使；

③連接，測量的長度即可．????=??????=??

方案Ⅱ：?①?如圖2?，?選定點O；②連接，，并分別延長到點F，E，使，；③連接，

測量的長度即可．??????=????=????

對于方??案Ⅰ、Ⅱ，下列說法正確的是（）

A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行

C．Ⅰ、Ⅱ都不可行D．Ⅰ、Ⅱ都可行

【答案】D

【分析】本題考查了全等三角形的應(yīng)用，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．根據(jù)全等三

角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論．

【詳解】解：方案Ⅰ：在與中，

△???△???

，

??=??

∠???=∠???

∴，

??=??

∴△???≌；△???SAS

方案??Ⅱ=：?在?與中，

△???△???

，

??=??

∠???=∠???

∴，

??=??

∴△???≌，△???SAS

故選??：=D?．?

【變式8-2】小明不慎將一塊三角形的玻璃碎成如圖所示的四塊（圖中所標1、2、3、4），你認為將其中的

哪一塊帶去，就能配一塊與原來大小一樣的三角形玻璃？應(yīng)該帶第塊去，這利用了三角形全等中的

原理．

【答案】4ASA

【分析】根據(jù)全等三角形的判斷方法解答．

【詳解】解：由圖可知，帶第4塊去，符合“角邊角”，可以配一塊與原來大小一樣的三角形玻璃．

故答案為：4；ASA

【點睛】本題考查了全等三角形的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題，熟記三角形全等的判定方法是解題的關(guān)鍵．

【變式8-3】小明與爸爸媽媽在公園里蕩秋千，如圖，小明坐在秋千的起始位置A處，與地面垂直，兩腳

在地面上用力一蹬，媽媽在距地面高的C處接住他后用力一推，爸爸在B處接住?他?，若媽媽與爸爸到

的水平距離、分別為1和.2m，．

??????1.4m2m∠???=90°

(1)與全等嗎？請說明理由；

(2)△爸爸??是?在距△離??地?面多高的地方接住小明的？

【答案】(1)全等，理由見解析

(2)爸爸是在距離地面的地方接住小明的

【分析】（1）由題意可1.知8m，，，即得

出，從而可∠利??用?“=∠?”證??明=90°??=??；∠???+∠???=∠???+∠???=90°

（2∠）?由?全?=等的∠?性??質(zhì)可得出AA，S△?，?從?≌而△可?求??出，進而即可求

出．??=????=????=?????=?????=0.6m

【詳?解?】=（1.81m）與全等．

證明：由題意可△知???△???，．

∵，∠???=∠???=90°??=??

∴∠???=90°．

∴∠???+∠???．=∠???+∠???=90°

∠???=∠???

在和中，，

∠???=∠???

△???△???∠???=∠???

??=??

∴；

（2△）∵???≌△???(AAS，)

∴△??，?≌△???．

∵??、=??分別?為?=??和，

∴????1.4m2m．

∵??=???，??=?????=2?1.4=0.6m

∴??=1.2m．

答：??爸=爸?是?在+距??離=地1面.8m1.8m的地方接住小明的．

1．根據(jù)下列已知條件，能畫出唯一的的是（）

A．，，△???

B．??=5，??=4??，=1

C．∠?=40，°∠?=，50°∠?=90°

D．??=5，??=4∠?，=60°

【答案】∠D?=30°∠?=60°??=5

【分析】本題考查了全等三角形的判定方法，三角形三邊關(guān)系應(yīng)用；判定兩個三角形全等的方法有、、

、、，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．根據(jù)全等三角形的判定，三角形S的SS三S邊A關(guān)S

A系S一A一A判AS斷即H可L．

【詳解】解：A、∵，

5=4+1

不能畫出，故本選項不符合題意；

∴B、已知三△個?角?，?不能畫出唯一三角形，故本選項不符合題意；

C、已知兩邊及其中一邊的對角，不能畫出唯一三角形，故本選項不符合題意；

D、已知兩角及其夾邊，能畫出唯一三角形，故本選項符合題意．

故選：D．

2．如圖，已知，，，以下結(jié)論：①；②；③；

④；⑤??=????=，??其中??正=確?的?個數(shù)為（）△???≌△???∠?=∠???=??+??

∠1=∠2?△???=?△???

A．5個B．4個C．3個D．2個

【答案】B

【分析】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定和性質(zhì)．

利用“”證，依據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等，得．分析線段關(guān)系，判斷

不成立SS．S由全△等?得??≌△???，進而推出．根據(jù)全∠等?三=角∠?形面積相等，得??=??，+統(tǒng)?計?

正確結(jié)論個數(shù)．∠???=∠???∠1=∠2?△???=?△???

【詳解】∵，

∴??=??，即．

∵??+??，=??+??，??=??

∴??=????=，??

∴①△正??確?．≌△???

∵，

∴△???≌△，???

∴②∠?正=確∠．?

由前面已證，僅根據(jù)已知條件無法得出，

∴③錯誤．??=????=??+??

∵，

∴△???≌△???．

∵∠???=∠???，，

∴∠1=180，°?∠???∠2=180°?∠???

∴④∠1正=確∠．2

由于，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)：全等三角形面積相等，

△???≌△???

∴