專題04二元一次方程組內容導航串講知識：思維導圖串講知識點，有的放矢重點速記：知識點和關鍵點梳理，查漏補缺舉一反三：核心考點能舉一反三，能力提升復習提升：真題感知+提升專練，全面突破【知識點1二元一次方程的概念】概念：方程中含有兩個未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)都是1，像這樣的方程叫做二元一次方程.【易錯點剖析】（1）在方程中“元”是指未知數(shù)，“二元”就是指方程中有且只有兩個未知數(shù).（2）“未知數(shù)的次數(shù)為1”是指含有未知數(shù)的項（單項式）的次數(shù)是1.（3）二元一次方程的左邊和右邊都必須是整式.【典例1】下列方程中，屬于二元一次方程的是（填序號）．①；②；③；④．【典例2】已知是關于，的二元一次方程，則．【知識點2二元一次方程的解】定義：使二元一次方程兩邊的值相等的兩個未知數(shù)的值，叫做二元一次方程的解.【易錯點剖析】二元一次方程的每一個解，都是一對數(shù)值，而不是一個數(shù)值，一般要用大括號聯(lián)立起來，即二元一次方程的解通常表示為的形式.【典例3】已知是二元一次方程的一個解，則代數(shù)式的值為．【知識點3二元一次方程組的概念】概念：把具有相同未知數(shù)的兩個二元一次方程合在一起，就組成了一個二元一次方程組.此外，組成方程組的各個方程也不必同時含有兩個未知數(shù).例如，二元一次方程組.【易錯點剖析】（1）它的一般形式為（其中，，，不同時為零）．（2）更一般地，如果兩個一次方程合起來共有兩個未知數(shù)，那么它們組成一個二元一次方程組．（3）符號“”表示同時滿足，相當于“且”的意思．【典例4】觀察所給的4個方程組：①；②；③；④，其中，符合二元一次方程組定義的是（寫出所有正確的序號）．【知識點4二元一次方程組的解】概念：一般地，二元一次方程組的兩個方程的公共解，叫做二元一次方程組的解.【易錯點剖析】（1）方程組中每個未知數(shù)的值應同時滿足兩個方程，所以檢驗是否是方程組的解，應把數(shù)值代入兩個方程，若兩個方程同時成立，才是方程組的解，而方程組中某一個方程的某一組解不一定是方程組的解.（2）方程組的解要用大括號聯(lián)立；（3）一般地，二元一次方程組的解只有一個，但也有特殊情況，如方程組無解，而方程組的解有無數(shù)個.【典例5】已知是關于x，y的二元一次方程組的解，則的值為．【知識點5三元一次方程組的概念與解】定義：含有三個未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項的次數(shù)都是1的方程叫做三元一次方程；含有三個相同的未知數(shù)，每個方程中含未知數(shù)的項的次數(shù)都是1，并且一共有三個方程，像這樣的方程組叫做三元一次方程組.【易錯點剖析】理解三元一次方程組的定義時，要注意以下幾點：（1）方程組中的每一個方程都是一次方程；（2）如果三個一元一次方程合起來共有三個未知數(shù)，它們就能組成一個三元一次方程組.【典例6】若是三元一次方程組的解，則的值是．【知識點6解二元（三元）一次方程組】1.用代入消元法解二元一次方程組的一般過程：①從方程組中選定一個系數(shù)比較簡單的方程進行變形，用含有（或）的代數(shù)式表示（或），即變成（或）的形式；②將（或）代入另一個方程（不能代入原變形方程）中，消去（或），得到一個關于（或）的一元一次方程；③解這個一元一次方程，求出（或）的值；④把（或）的值代入（或）中，求（或）的值；⑤用“”聯(lián)立兩個未知數(shù)的值，就是方程組的解.2.用加減消元法解二元一次方程組的一般過程：①根據(jù)“等式的兩邊都乘以（或除以）同一個不等于0的數(shù)，等式仍然成立”的性質，將原方程組化成有一個未知數(shù)的系數(shù)絕對值相等的形式；②根據(jù)“等式兩邊加上（或減去）同一個整式，所得的方程與原方程是同解方程”的性質，將變形后的兩個方程相加（或相減），消去一個未知數(shù)，得到一個一元一次方程；③解這個一元一次方程，求出一個未知數(shù)的值；④把求得的未知數(shù)的值代入原方程組中比較簡單的一個方程中，求出另一個未知數(shù)的值；⑤將兩個未知數(shù)的值用“”聯(lián)立在一起即可.3.解三元一次方程組的一般過程：①利用代入法或加減法，把方程組中一個方程與另兩個方程分別組成兩組，消去兩組中的同一個未知數(shù)，得到關于另外兩個未知數(shù)的二元一次方程組；②解這個二元一次方程組，求出兩個未知數(shù)的值；③將求得的兩個未知數(shù)的值代入原方程組中的一個系數(shù)比較簡單的方程，得到一個一元一次方程；④解這個一元一次方程，求出最后一個未知數(shù)的值；⑤將求得的三個未知數(shù)的值用“{”合寫在一起．【典例7】用指定的方法解下列方程組(1)（代入法）(2)（加減法）考點一：由二元一次方程組的解的情況求參例1.若關于x，y的方程組的解滿足，則k的值為（

）A．2022 B．2023 C．2024 D．2025【變式1-1】m為何值時，關于x、y的二元一次方程組的解x、y是互為相反數(shù)（

）A．1 B． C．5 D．14【變式1-2】關于x、y的二元一次方程組的解滿足方程，則．【變式1-3】關于x，y的方程（m﹣1）x+4y＝2和3x+（n+3）y＝1，下列說法正確的有．（寫出所有正確的序號）①當m＝1，n＝﹣3時，由這兩個方程組成的二元一次方程組無解；②當m＝1且n≠﹣3時，由這兩個方程組成的二元一次方程組有解；③當m＝7，n＝﹣1時，由這兩個方程組成的二元一次方程組有無數(shù)個解；④當m＝7且n≠﹣1時，由這兩個方程組成的二元一次方程組有且只有一個解．考點二：二元一次方程組中的錯解與同解問題例2.在解方程組時，由于粗心，甲看錯了方程組中的，而得解為，乙看錯了方程組中的，而得解為，根據(jù)上面的信息解答：(1)求出正確的，的值；(2)求出原方程組的正確解，并代入代數(shù)式求值．【變式2-1】在解方程組時，由于粗心，甲看錯了方程組中的，而得解為，乙看錯了方程組中的，而得解為(1)甲把看成了什么，乙把看成了什么；(2)求出原方程組的正確解．【變式2-2】已知關于x，y的方程組與有相同的解．(1)請求出這個相同的解；(2)求a，b的值；(3)請判斷“無論m取何值，（1）中的解都是關于x、y的方程的解”，這句話是否正確？并說明理由．【變式2-3】已知關于x，y的方程組與方程組有相同的解．(1)求這個相同的解；(2)求m，n的值．考點三：二元一次方程組的特殊解法例3.若關于x，y的二元一次方程組的解是，則關于x，y的方程組的解是（

）A． B． C． D．【變式3-1】若關于的二元一次方程組的解是，則關于的二元一次方程組的解是．【變式3-2】已知關于，的方程組的解為，請直接寫出關于、的方程組的解是．【變式3-3】解方程組，若設，則原方程組化為，解得，所以，解得，我們把某個式子看成一個整體，用一個字母去替代它，這種解方程組的方法叫做換元法．(1)關于的二元一次方程組的解為，則關于的二元一次方程組，其中_________，_________，解得________，_________；(2)知識遷移：請用這種方法解方程組；(3)拓展應用：已知關于的二元一次方程組的解為，求關于的方程組的解．考點四：二元一次方程組的整數(shù)解例4．已知關于，的二元一次方程組有正整數(shù)解，其中為整數(shù)，則的值為（

）A． B．3 C．或4 D．3或15【變式4-1】已知為正整數(shù)，且方程組的解，均為整數(shù)，則的值是．【變式4-2】已知關于x、y的方程組(1)請寫出的所有正整數(shù)解；(2)若方程組的解滿足，求m的值；(3)如果方程組有正整數(shù)解，求整數(shù)m的值．【變式4-3】已知關于的方程組(1)請直接寫出方程的所有正整數(shù)解；(2)無論數(shù)取何值，方程總有一個固定的解，請求出這個解；(3)若方程組的解中恰為整數(shù)，也為整數(shù)，求的值．考點五：二元一次方程組中多結論問題例5.已知關于，的二元一次方程組，下列結論正確的是（

）①當時，方程組的解也是的解；②，均為正整數(shù)的解只有1對；③無論取何值，、的值不可能互為相反數(shù)；④若方程組的解滿足，則．A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③【變式5-1】已知關于，的二元一次方程組，給出下列結論中，正確的是（

）①當這個方程組的解，的值互為相反數(shù)時，；②當時，方程組的解也是方程的解；③無論取什么實數(shù)，的值始終不變；④若用表示，則．A．①② B．②③ C．②③④ D．①③④【變式5-2】已知關于，的方程組，下列結論：①當時，，的值互為相反數(shù)：②若是方程組的解，則；③當時，方程組的解也是方程的解；④若，則．其中正確的個數(shù)是（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個考點六：二元一次方程組中新定義問題例6.定義：關于x，y的二元一次方程與互為“對稱二元一次方程”，其中如二元一次方程與二元一次方程互為“對稱二元一次方程”．(1)直接寫出二元一次方程的“對稱二元一次方程”；(2)二元一次方程與它的“對稱二元一次方程”的公共解為，求出m，n的值．【變式6-1】定義：關于x，y的二元一次方程（其中）中的常數(shù)項c與未知數(shù)x系數(shù)a互換，得到的方程叫“變更方程”，例如：“變更方程”為．(1)方程的“變更方程”為________；(2)方程與它的“變更方程”組成的方程組的解為________；(3)已知關于x，y的二元一次方程的系數(shù)滿足，且與它的“變更方程”組成的方程組的解恰好是關于x，y的二元一次方程的一個解，求代數(shù)式的值．【變式6-2】對于關于，的二元一次方程組（其中，，，，，是常數(shù)），給出如下定義：若該方程組的解滿足，則稱這個方程組為“開心”方程組．(1)下列方程組是“開心”方程組的是________（只填寫序號）；；；(2)若關于，的方程組是“開心”方程組，求的值；(3)若對于任意的有理數(shù)，關于，的方程組都是“開心”方程組，求的值．【變式6-3】定義：關于的二元一次方程（其中）中的常數(shù)項與未知數(shù)系數(shù)互換，得到的方程叫“變更方程”，例如：的”變更方程”為．(1)方程與它的“變更方程”組成的方程組的解為______；(2)已知關于的二元一次方程的系數(shù)滿足，且與它的“變更方程”組成的方程組的解恰好是關于的二元一次方程的一個解，求代數(shù)式的值；(3)已知整數(shù)滿足條件，并且是關于的二元一次方程的“變更方程”，求的值．考點七：二元一次方程組的實際應用例7.已知用2輛A型車和3輛B型車裝滿貨物一次可運貨23噸；用3輛A型車和2輛B型車裝滿貨物一次可運貨22噸，某物流公司現(xiàn)有64噸貨物，計劃同時租用A型車m輛，B型車n輛，一次運完，且恰好每輛車都裝滿貨物．根據(jù)以上信息，解答下列問題：(1)一輛A型車和一輛B型車裝滿貨物一次可分別運貨多少噸？(2)請你幫物流公司設計出所有可行的租車方案；(3)若A型車每輛租金1500元/次，B型車每輛租金2000元/次，請選出最省錢的租車方案，并求出最少租金費．【變式7-1】已知：用輛型車和輛型車載滿貨物一次可運貨噸；用輛型車和輛型車載滿貨物一次可運貨噸．某物流公司現(xiàn)有噸貨物，計劃同時租用型車a輛，型車b輛，一次運完，且恰好每輛車都載滿貨物．根據(jù)以上信息，解答下列問題：(1)輛型車和輛車型車都載滿貨物一次可分別運貨多少噸？(2)請你幫該物流公司設計租車方案；(3)若型車每輛需租金元次，型車每輛需租金元次．請選出最省錢的租車方案，并求出最少租車費．【變式7-2】隨著“低碳生活，綠色出行”理念的普及，新能源汽車正逐漸成為人們喜愛的交通工具．某汽車銷售公司計劃購進一批新能源汽車嘗試進行銷售，據(jù)了解，6輛型汽車、5輛型汽車的進價共計980萬元；3輛型汽車、7輛型汽車的進價共計940萬元．(1)求，兩種型號的汽車每輛進價分別為多少萬元？(2)若“五一”搞活動，該公司了解到、兩種型號汽車均按照原來的六折出售，所以公司計劃正好用960萬元購進以上兩種型號的新能源汽車（兩種型號的汽車均購買），請你幫助該公司設計購買方案；(3)若該汽車銷售公司銷售1輛型汽車可獲利6000元，銷售1輛型汽車可獲利4000元，在（2）中的購買方案中，假如這些新能源汽車全部售出，哪種方案獲利最大？最大利潤是多少元？【變式7-3】某廣告公司要利用長為240cm、寬為40cm的板裁切甲、乙兩種廣告牌，已知甲廣告牌尺寸為，乙廣告牌尺寸為．(1)若該廣告公司用1塊板裁切出的甲廣告牌的數(shù)量是乙廣告牌的數(shù)量的3倍，在不造成板材浪費的前提下，求此時裁切出的甲、乙廣告牌的數(shù)量；(2)求1塊板的所有無浪費裁切方案；(3)現(xiàn)需要甲、乙兩種廣告牌各500塊，該公司倉庫已有488塊乙廣告牌，還需要購買該型號板材多少塊（恰好全部用完）？寫出購買數(shù)量，并說明如何裁切．1．《九章算術》中記載：今有玉方一寸，重七兩；石方一寸，重六兩，今有石立方三寸，中有玉，并重十一斤、問玉、石重各幾何？大意是：若有玉1立方寸，重7兩；石1立方寸，重6兩．今有石為棱長3寸的正方體（體積為27立方寸），其中含有玉，總重11斤（注：1斤=16兩）．問玉、石各重多少？若設玉重兩，石重兩，則可列方程為（）A． B． C． D．2．已知關于x，y方程組的解滿足，則a的值．3．已知方程組和方程組的解相同，則．4．甲、乙兩人共同解方程組，甲將①中的看成了它的相反數(shù)解得，乙抄錯②中的解得，則．5．若關于，的方程組有無數(shù)個解，則的值為．6．已知關于，的方程組．(1)方程有一個正整數(shù)解，還有一個正整數(shù)解為________．(2)若方程組的解滿足，求的值；(3)無論實數(shù)取何值，關于，的方程總有一個固定的解，請求出這個解為________．7．已知關于，的二元一次方程組，求的值．本題常規(guī)思路是將①②兩式聯(lián)立組成方程組，解得，的值再代入求值，可得到答案．此常規(guī)思路運算量比較大，其實仔細觀察兩個方程未知數(shù)的系數(shù)之間的關系，就可以通過適當變形，求得該整式的值，例如由可得，這種解題思想就是通常所說的“整體思想”．根據(jù)上述材料解答下面問題：(1)已知方程組，由可得__________；(2)用“整體思想”解答：已知方程組，求的值；(3)請說明在關于，的方程組中，無論取何值，的值始終不變．8．對于有理數(shù)x，y，定義新運算：，，其中a，b是常數(shù)．例如，，已知，，則根據(jù)定義可以得到：(1)_______，_______；(2)若，求的值；(3)若關于x，y的方程組的解也滿足方程，求m的值；(4)若關于x，y的方程組的解為，則關于x，y的方程組的解為_______．9．某鐵件加工廠用如圖1所示的長方形和正方形鐵片（長方形的