專題05不等式與不等式組

內(nèi)容導(dǎo)航

串講知識(shí)：思維導(dǎo)圖串講知識(shí)點(diǎn)，有的放矢

重點(diǎn)速記：知識(shí)點(diǎn)和關(guān)鍵點(diǎn)梳理，查漏補(bǔ)缺

舉一反三：核心考點(diǎn)能舉一反三，能力提升

復(fù)習(xí)提升：真題感知+提升專練，全面突破

【知識(shí)點(diǎn)1不等式】

1．不等式的定義：用符號(hào)“＜”(或“≤”)，“＞”（或“≥”），≠連接的式子叫做不等式.

2．不等式的解：能使不等式成立的未知數(shù)的值叫做不等式的解.

3．不等式的解集：對(duì)于一個(gè)含有未知數(shù)的不等式，它的所有解組成這個(gè)不等式的解集．

（1）不等式表示方法：一般地，一個(gè)含有未知數(shù)的不等式有無數(shù)個(gè)解，它的解集是一個(gè)范圍。

一般用x>a、x<a、x≥a、x≤a來表示。

（2）數(shù)軸表示法：

4．解不等式：求不等式的解集的過程叫做解不等式．

【典例1】式子：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是不等式

2

的有（）3<54?+5>0?=3?+??≠?4?+2≥?+1

A．4個(gè)B．3個(gè)C．2個(gè)D．1個(gè)

【詳解】解：①；②；⑤；⑥是不等式，

∴共個(gè)不等式3．<54?+5>0?≠?4?+2≥?+1

故選：4A．

【典例2】用不等式表示：

(1)x的與3的差大于2；(2)與3的和小于或等于零；(3)a的2倍與4的差是正數(shù)；

1

24?

(4)b的與c的和是非負(fù)數(shù)；(5)x與17的和比x的5倍?。?/p>

1

2

【詳解】（1）解：x的與3的差大于2即

11

22??3>2

（2）解：與3的和小于或等于零，即

（3）解：a4?的2倍與4的差是正數(shù)，即4?+3≤0

2??4>0

（4）解：b的與c的和是非負(fù)數(shù)，即

11

22?+?≥0

（5）解：x與17的和比x的5倍小，即

?+17<5?

【知識(shí)點(diǎn)2不等式的性質(zhì)】

1．不等式的性質(zhì)1：

不等式兩邊同時(shí)加（或減）同一個(gè)數(shù)（或式子），不等號(hào)的方向不變。

即若a＞b，則ac＞bc。

2．不等式的性質(zhì)2：

不等式的兩邊同時(shí)乘上（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變。

ab

若a＞b，c＞0，則ac＞bc(＞)。

cc

3．不等式的性質(zhì)3：

不等式的兩邊同時(shí)乘上（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變。

ab

若a＞b，c＜0，則ac＜bc(＜)。

cc

【典例3】有下列說法：①若，則；②若，則；③若，且，則

22

；④若，則?>?．其?中?正>確??的是?+?（>填2?序+號(hào)1）．?>??>??=?

22

【?詳?>解?】?解：若??>，??當(dāng)?>時(shí)，?，故①不正確；

22

由?>時(shí)?，則?≠0，?即?>??，故②正確；

若?+?且>2?+1時(shí)，?則>?+1，故?③>錯(cuò)?誤；

若?>??=，即?>0，則??>，??故④正確．

22

綜上??，>②?④?正確．?≠0?>?

故答案為：②④．

【知識(shí)點(diǎn)3一元一次不等式（組）的概念】

1．一元一次不等式的概念：

只含有1個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的次數(shù)是1的整式不等式，叫做一元一次不等式。整個(gè)不等式中分母

不含有字母。

2．一元一次不等式組的概念：

把含有相同未知數(shù)的幾個(gè)一元一次不等式合在一起，就組成一個(gè)一元一次不等式組。

3．一元一次不等式組的解集：

幾個(gè)一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由他們組成的一元一次不等式組的解集。

4．一元一次不等式組的解集的求法：

先分別求出不等式組中的每一個(gè)不等式，然后找出他們解集的公共部分。

5．不等式組的解的情況與圖示（a<b）：

x＞a

①同大取大：，圖示：，解集為x>b。

x＞b

x＜a

②同小取小：，圖示：，解集為x<a。

x＜b

x＞a

③大小小大中間找：，圖示：，解集為a<x<b。

x＜b

x＞b

④大大小小無解答：，圖示：，解集為無解。

x＜a

【典例4】有下列不等式：①；②；③；④；⑤．其中一元一

2??1

次不等式有（填序號(hào)?）4<．0?+2>2???3>2?π>53?>?3

【詳解】解：①?zèng)]有未知數(shù)，不是一元一次不等式，不符合題意；

②，?未4<知0數(shù)的最高次不是1，不是一元一次不等式，不符合題意；

2

③?+2>2?有兩個(gè)未知數(shù)，不是一元一次不等式，不符合題意；

??是3一>元2?一次不等式．

④∴一⑤元一次不等式有④⑤共個(gè)．

故答案為：④⑤．2

【典例5】已知是關(guān)于的一元一次不等式，則的值為．

??2

【詳解】解：已知??3?≤5是關(guān)?于的一元一次不等式，?

??2

∴??3，?≤5?

∴??2=1或,??3≠0，且，

∴??2=或1?，?且2=?1，?≠3

∴?=3，?=1?≠3

故答?案=為1：1．

【典例6】將不等式組的解集表示在數(shù)軸上，正確的是（）

?12?+9≤3

5??1<0

A．B．

C．D．

【詳解】解：，

?12?+9≤3①

5??1<0②

解①得，，

解②得，?≥3，

解集表示在?<數(shù)5軸上如圖所示，

，

故選：B．

【知識(shí)點(diǎn)4解一元一次不等式（組）】

解一元一次不等式具體步驟：

①去分母：在不等式兩邊同時(shí)乘上分母的最小公倍數(shù)。（根據(jù)等式的性質(zhì)2）

②去括號(hào)：利用去括號(hào)的法則去括號(hào)。

③移項(xiàng)：把含有未知數(shù)的移到等號(hào)的左邊，常數(shù)移到等號(hào)的右邊。（根據(jù)等式的性質(zhì)1）

④并：利用合并同類項(xiàng)法則進(jìn)行合并。

⑤系數(shù)化為1：不等式兩邊除以系數(shù)或乘上系數(shù)的倒數(shù)。當(dāng)系數(shù)為負(fù)數(shù)時(shí)，不等號(hào)方向一定要改變。

（根據(jù)不等式的性質(zhì)2或3）

【典例7】解不等式組：，并求出不等式組所有整數(shù)解的和（完成下列各空）．

3?23???2?2≤9①

4<1②

(1)解不等式①，得___________；

(2)解不等式②，得___________；

(3)把不等式①和②的解集在數(shù)軸上表示出來：

(4)原不等式組的解集為：___________．

(5)原不等式組所有整數(shù)解的和為：___________．

【詳解】（1）解：

3?2??2≤9

3?2?+4≤9

?2?≤2

?≥?1

（2）解：

3??2

4<1

3??2<4

3?<6

（?3）<解2：作圖如下，

（4）解：不等式①的解集是，不等式②的解集是，根據(jù)“大小小大中間找”原則，公共部分為

．?≥?1?<2?1≤

（?5<）2解：不等式組的整數(shù)解為，，，它們的和為．

?1≤?<2?101?1+0+1=0

【知識(shí)點(diǎn)5用一元一次不等式（組）解決實(shí)際問題】

列不等式（組）解應(yīng)用題的基本步驟與列方程解應(yīng)用題的步驟相類似，即：

（1）審：認(rèn)真審題，分清已知量、未知量；

（2）設(shè)：設(shè)出適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)；

（3）找：找出題中的不等關(guān)系，要抓住題中的關(guān)鍵字，如“大于”“小于”“不大于”“至少”“不超過”“超過”等關(guān)

鍵詞的含義；

（4）列：根據(jù)題中的不等關(guān)系，列出不等式（組）；

（5）解：解出所列的不等式（組）的解集；

（6）答：檢驗(yàn)是否符合題意，寫出答案.

考點(diǎn)一：由不等式（組）的解集求參

例1.若不等式的解都能使不等式成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）

?+57

2>???2?>2?+1?

A．B．C．D．

5533

?≤2?≤?2?≤?2?≤2

【答案】B

【分析】本題考查一元一次不等式的解集．先求出不等式得到，進(jìn)而根據(jù)意義得到

?+57

，求解即可．2>???2?>?42?+

【1詳≤解?】4解：解不等式，得，

?+57

2>???2?>?4

，

∵?>2?+1，

∴2?+1，≤?4

5

∴?≤?2

故選：B

【變式1-1】已知關(guān)于x的不等式組的解集為，則a，b的值為（）

???≥?

4≤?<6

A．，B．，2???<2C?．+1，D．，

【答案】?D=7?=?3?=6?=?3?=?3?=6?=?3?=7

【分析】先求出每一個(gè)不等式的解集，后確定不等式組的解集．

本題考查了一元一次不等式組的解法，熟練進(jìn)行不等式求解是解題的關(guān)鍵．

【詳解】解：∵

???≥?①

∴解不等式①，得2???<2?，+解1②不等式,②，得，

?+2?+1

?≥?+??<2

∴不等式組的解集為，

?+2?+1

∵不等式組的解集為?+?≤?<，2

∴4，≤?<6

?+2?+1

解得?+?=4，,2=，6

故選：?=D?．3?=7

【變式1-2】關(guān)于x的不等式組的解集中每一個(gè)值均不在的范圍中，則a的取值范

2???>3

?1≤?≤5

圍是（）2?+8>4?

A．或B．或

C．?<1或?>4.5D．?≤1或?≥4.5

【答案】?B>4?<1.5?≥4?≤1.5

【分析】本題考查了不等式的解集，先求出不等式的解集，然后根據(jù)不等式組的解集中每一個(gè)

2???>3

值均不在的范圍中，得出或，然后關(guān)于a2的?不+等8>式4即?可．

【詳解】解?：1解≤不?≤等5式，得2??4≥5，2??3≤?1

解不等式，2?得??>3，?<2??3

∴不等式組2?的+解8集>為4??>2??4，

2??4<?<2??3

∵不等式組的解集中每一個(gè)值均不在的范圍中，

2???>3

?1≤?≤5

∴2?或+8>4?，

解得2??3≤或?12?，?4≥5

故選：?≤B．1?≥4.5

【變式1-3】如果不等式組的解集是．

?+8<4??1

?>3

(1)求的取值范圍；?>?

(2)不等?式的解集為，求m的取值范圍．

【答案】(1)??1；?>??1?<1

(2)．?≤3

【分?析<】1本題考查的是解一元一次不等式組，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不

到”得原則是解題的關(guān)鍵．

（1）求出不等式組各不等式的解集，再與已知解集相比較即可得出m的取值范圍；

（2）根據(jù)不等式的基本性質(zhì)得出m的取值范圍，再結(jié)合（1）中m的取值范圍即可得出結(jié)論．

【詳解】（1）解：，

?+8<4??1①

由①得，，?>?②

不等式組?>3的解集是，

?+8<4??1①

∵?>3

；?>?②

（∴2?）≤不3等式的解為，

∵，??1?>??1?<1

∴解?得?：1<0，

由（1）?知<，1，

?≤3

∴考?點(diǎn)<二1：.由不等式（組）中的整數(shù)解求參

例2．關(guān)于x的不等式恰有三個(gè)非負(fù)整數(shù)解，則b的取值范圍是（）

A．2?+?≤0B．

C．?6<?≤?4D．?6<?<?4

【答案】?A6≤?≤?4?6≤?<?4

【分析】本題主要考查一元一次不等式的整數(shù)解，根據(jù)不等式有三個(gè)非負(fù)整數(shù)解得出的范圍是解題的關(guān)鍵．

?

?2

由不等式得，根據(jù)不等式有三個(gè)非負(fù)整數(shù)解知，求解可得．

??

2?+?≤0?≤?22≤?2<3

【詳解】解：解不等式得：，

?

∵關(guān)于的不等式2?+?恰≤有0三個(gè)?非≤負(fù)?整2數(shù)解，

∴?，2?+?≤0

?

解得2≤：?2<3，

故選：A?．6<?≤?4

【變式】若關(guān)于的不等式組恰有三個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）

2-1x??+1a

2+3>0

A．B．3?+5?+4>C．4?+1+3?D．

1331

0<?<21<?≤2?1≤?≤21<?<2

【答案】B

【分析】此題考查一元一次不等式組的整數(shù)解．先求出不等式組的解集，再根據(jù)不等式組有且只有三個(gè)整數(shù)

解，求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

【詳解】解：解不等式，

??+1

2+3>0

得：，

2

解不等?>式?5，

得：3?，+5?+4>4?+1+3?

∵不等?<式2組?恰有三個(gè)整數(shù)解，

∴這三個(gè)整數(shù)解為0、1、2，

∴，

解得2<2?≤3，

3

1<?≤2

故選：B．

【變式2-2】如果關(guān)于的不等式至少有4個(gè)正整數(shù)解，那么的取值范圍是（）

A．?B．2??5≤2?+C1．D．?

【答案】1C≤?≤21<?<2?≥1?>1

【分析】本題考查了求不等式的解集．根據(jù)正整數(shù)解的個(gè)數(shù)確定關(guān)于的不等式是解題的關(guān)鍵．

求出不等式的解集，根據(jù)不等式至少有4個(gè)正整數(shù)解即可求得的取?值范圍．

?

【詳解】解：解不等式得：，

又不等式2??5至≤少2有?+4個(gè)1正整?數(shù)≤解?，+3

∵個(gè)正整數(shù)2?解?肯5定≤包2?括+11、2、3、4，

∴4，

∴解4不≤等?式+得3：，

故選：C．?≥1

【變式】若關(guān)于的不等式組的所有整數(shù)解之和等于，則所有滿足條件的整數(shù)的

2-3120

23??2≤?+2

值之和為（）??

5?+3>?+2?

A．15B．21C．D．24

【答案】A?6

【分析】本題考查根據(jù)不等式組的解的情況求參數(shù)．求出不等式的解集，利用不等式組的所有整

??3

3<?≤6

數(shù)解之和等于20，求出a的取值即可，進(jìn)一步可求出滿足條件的整數(shù)a的值之和．

【詳解】解：1

23??2≤?+2①

解不等式①得：5?+3>，?+2?②

解不等式②得：?≤6，

??3

?>3

∴不等式組的解集為，

??3

3<?≤6

∵關(guān)于的不等式組的所有整數(shù)解之和等于，

120

23??2≤?+2

即整數(shù)解?有，，，，，或，，，，，，，，

65453?+23>?6+25?43210

∴，或，?1

??3??3

解得1≤：3<2，?或2≤3<?1，

∴a的整6數(shù)≤值?<可9以是6?、37≤、?8，<或0，，，

∴所有滿足條件的整數(shù)為，?3?2?1

故選：A．15

考點(diǎn)三：由不等式（組）有解和無解情況求參

例3．已知關(guān)于的不等式組有解，則的取值范圍是（）

???≥0

??

A．B．7?3??C1．>4D．

?>?2?≥?2?<2?≤2

【答案】C

【分析】本題考查的是解一元一次不等式組，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不

到”的法則是解答此題的關(guān)鍵．先依次求出不等式的解集，再根據(jù)不等式組有解進(jìn)行求解即可．

【詳解】解：，

???≥0①

解不等式①得7：?3??，1>4②

解不等式②得：?≥?，

∵不等式組有解，?<2

∴．

故選?<：2C．

【變式3-1】若關(guān)于x的不等式組1無解，則的取值范圍是（）

?2(???)>0

2?+1?

A．B．??1≥3C．D．

【答案】?B≥4?≤4?>4?<4

【分析】此題主要考查不等式組無解的情況，解題的關(guān)鍵是熟知不等式組的解集．先依次求出不等式的解集，

再根據(jù)不等式組無解進(jìn)行求解．

【詳解】解：1

?2(???)>0①

2?+1

解不等式①得：??1≥3②

解不等式②得：?<?

∵該不等式組無解?≥，4

∴，

故選?≤：4B．

【變式3-2】已知關(guān)于x的不等式．

4????1

4>4??1

(1)當(dāng)時(shí)，求該不等式的正整數(shù)解．

(2)當(dāng)?a=取1何值時(shí)，該不等式有解？并求出其解集．

【答案】(1)不等式的正整數(shù)解為1，2，3

(2)當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為

【分析?】>此?題1考查了不等式的解集，?<熟4練掌握?不<等?1式的基本性質(zhì)是解本題?的>關(guān)4鍵．

（1）把代入不等式，求出解集即可；

（2）不等?=式1去分母，移項(xiàng)合并整理后，根據(jù)有解確定出a的范圍，進(jìn)而求出解集即可．

【詳解】（1）解：將代入不等式，得，

4??1

去分母，得?=1，4>4??1

解得，4??>??4

所以此?<不4等式的正整數(shù)解為1，2，3．

（2）解：由得，

4????1

整理得4>4??，1即4????>??4，

所以當(dāng)??+?<4，?即+4?時(shí)+，1該?不<等4式?有+解1．

當(dāng)?+時(shí)1，≠不0等式?的≠解?集1為；

當(dāng)?>?1時(shí)，不等式的解集為?<4．

?<?1?>4

【變式3-3】已知關(guān)于x的不等式．

7?3??

4+??>2

(1)當(dāng)時(shí)，求該不等式的解集；

(2)a符?合=什5么條件時(shí)，該不等式有解，并求出其解集（用含a的式子表示）．

【答案】(1)

4

?>9

(2)時(shí)，原不等式的解集是；時(shí)，原不等式的解集是

13??713??7

【分?析>】2本題考查求不等式的解?集>，4掌??握2求?不<等2式的解集的步驟和方法?，<是4?解?2題的關(guān)鍵．

（1）將代入不等式，進(jìn)行求解即可；

（2）根據(jù)?=未5知數(shù)的系數(shù)不為0時(shí)，不等式有解集，再分系數(shù)大于0和小于0，2種情況求解即可．

【詳解】（1）解：把代入原不等式，得．

7?3×5?

去分母，得?=5．4+5?>2

移項(xiàng)、合并同?4類+項(xiàng)1，0?得>?．

系數(shù)化為1，得．9?>4

4

?>9

（2）解：∵，

7?3??

∴4+??，>2

∴7?3?+4??>2?．

(4??2)?>3??7

當(dāng)，即時(shí)，原不等式有解；

1

4??2≠0?≠2

當(dāng)，即時(shí)，原不等式的解集是；

13??7

4??2>0?>2?>4??2

當(dāng)，即時(shí)，原不等式的解集是．

13??7

考點(diǎn)4?四?：2由<不0等式?（<組2）與方程（組）綜合求參?<4??2

例4．已知關(guān)于，的方程組，其中，下列命題正確的個(gè)數(shù)為（）

?+3?=4??

???3≤?<1

①當(dāng)時(shí)，、的值互為相反數(shù)；②???=3?是方程組的解；③當(dāng)時(shí)，方程組的解也是方程

?=?5

?=?2???=?1?+

的解；④若，則．?=4

3

?=?+2?<02<?≤4

A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)

【答案】D

【分析】本題考查了解二元一次方程組，二元一次方程組的解，一元一次方程的解，解不等式組等知識(shí)點(diǎn)，

能求出方程組的解是解此題的關(guān)鍵．

?=1+2?

①先求出方程組的解?=1??，把代入求出、即可；②把代入，求出的

?=1+2??=?5?=1+2?

?=?2???

值，再根據(jù)?判=斷1即??可；③求出方程組的解，再代入方程，看看?方=程4左右兩?邊=是1否?相?等即可；④

根據(jù)和?3≤?<1求出，再求出的范圍即可．

1

?<0?=1+2??3≤?<?21??

【詳解】解：解方程組得：，

?+3?=4???=1+2?

①當(dāng)時(shí)，???=3?，?=1??，

所以?、=?互2為相反?數(shù)=，1+故2①×正(確?；2)=?3?=1?(?2)=3

②把??代入得：，

?=?5?=1+2?1+2?=?5

解得：?=4，?=1??1??=4

?=?3，

∵?此3時(shí)≤?<1符合，故②正確；

∴③當(dāng)?=?3時(shí)，

?=?1，，

∵方?程=組1+的2解?是=?1?=，1??=2

?=?1

∴

把，?=代2入方程得：左邊右邊，

?=?1

?=?1?+?=?+2=

?=2

即當(dāng)時(shí)，方程組的解也是方程的解，故③正確；

④∵?=?，1?+?=?+2

?<0，

即∴?=1+，2?<0

1

∵?<?2，

∴?3≤?<1，

1

?3≤?<?2

，

3

∴2<1??，≤4

∵?=1??，故④正確；

3

∴2<?≤4

故選：D．

【變式4-1】若關(guān)于的方程有非負(fù)整數(shù)解，且關(guān)于的不等式組1??8+2?至多有三個(gè)

2????2≤3?1

???4=2+2??+?

整數(shù)解，則符合條件的所有整數(shù)的和為．2+1>?+?

【答案】11?

【分析】本題考查了一元一次方程的解，一元一次不等式組的整數(shù)解，先解一元一次不等式組，根據(jù)不等式

組至多有3個(gè)整數(shù)解，求出a的范圍，再解分式方程，根據(jù)分式方程有非負(fù)整數(shù)解，確定a的值即可解答．

【詳解】解：1??8+2?，

2≤3?1①

?+?

解不等式①得：2+1>，?+?②

解不等式②得：?≥?1，

∵不等式組至多有?<32個(gè)?整?數(shù)解，

∴，

∴2??，≤2

?≥0，

2????

??4=2+2，

解4?得?2+??，=2?+8

10

∵方程?=有?非+2負(fù)整數(shù)解，

∴（x為非負(fù)整數(shù)），

∴?≥0，且為整數(shù)，

10

∴?+2≥0，

∴?+2=1,2,5，,10

∵?=?，1,0,3,8

∴?符≥合0條件的所有整數(shù)a的值為：0，3，8，

∴符合條件的所有整數(shù)a的和是：．

故答案為：11．0+3+8=11

【變式4-2】關(guān)于x的不等式組，至少有4個(gè)整數(shù)解，且關(guān)于x，y的方程組

3?+3≥2?+5???2?=0

的解中，x的解為整數(shù)，那么滿足條??件2的<整?數(shù)a的值為．?+?=4

【答案】

【分析】本6題主要考查了解一元一次不等式組、解二元一次方程組，根據(jù)不等式組求出的范圍，然后根據(jù)

關(guān)于，的方程組的解為整數(shù)得到即可解答．?

???2?=0

???+2=8

【詳解】解：?+?=4，

3?+3≥2?+5①

解不等式①得，??2<?②

解不等式②得，?≥2，

?<?+2

不等式組至少有4個(gè)整數(shù)解，

3?+3≥2?+5

∵

∴，??2<?

∴?+2，>5

解方?>程3組，

???2?=0③

?得+：?=4④，解得，

8

③+④×2?+2?=8?=?+2

將代入④得：，解得

884?

?=?+2?+2+?=4?=?+2

方程組的解為：8，

?=?+2

∴4?

?=?+2

關(guān)于，的方程組的解為整數(shù)，

???2?=0

∵???+2>5

，解得：?+?，=4

∴?+2=8?=6

當(dāng)時(shí)，，符合題意；

84?

所?有=滿6足條件?=的?整+2數(shù)=1的值?為=?．+2=3

∴故答案為：．?6

6

【變式4-3】已知關(guān)于x，y的方程組（m是常數(shù)）．

???=?5

(1)若此方程組的解也是方程2?+的?解=，6?求+常1數(shù)3m的值；

(2)若x，y滿足，試化?簡(jiǎn)?：2?=?7；

(3)若x，y滿足?>2?，．求1???的取?值+范2圍．

?<?1?>12???

【答案】(1)

17

?=?6

(2)3

(3)

【分?析9】<本2?題?考?查<了?同6解方程組，解二元一次方程組，解一元一次不等式組，化簡(jiǎn)絕對(duì)值，掌握解二元一次

方程組與不等式組是解題的關(guān)鍵．

（1）聯(lián)立得出，代入原方程組的第二個(gè)方程，得到關(guān)于m的一元一次方程，即可求解；

???=?5?=?3

??2?=?7?=2，

（2）根據(jù)加減消元法求得8，根據(jù)題意列出不等式，得到，進(jìn)而化簡(jiǎn)絕對(duì)值，即可求

?=2m+3．19

23?<?3

解；?=2m+3

（3）根據(jù)（2）的結(jié)論，計(jì)算，同時(shí)得出不等式，解不等式，即可求解．

72011

2???=2??3，?3<2?<?3

【詳解】（1）解：∵關(guān)于x，y的方程組（m是常數(shù)）的解也是方程的解，

???=?5

??2?=?7

∴x，y滿足方程組2?+?=6m+13

???=?5

解得??2?=?7

?=?3

，

把?=2代入，得

?=?3

2?+?=6?+13

?=2，

解?6得+2=6?．+13

17

?=?6

，，

（2）關(guān)于x，y的方程組的解為8

?=2m+3．

???=?523

∵，2?+?=6m+13?=2m+3

?>2?

∴，

846

2?+3>4?+3

解得．

19

∴?<?3

1????+2

=1．??+?+2

=3

，，

（3）由于關(guān)于x，y的方程組的解為8

?=2m+3．

???=?523

2?+?=6m+13?=2m+3

∴．

16237

又∵2???=，4?+3，?2??3=2??3

∴?<?1?，>1

823

2?+3<?12?+3>1

解得

1011

?3<?<?6

∴-，

2011

?3<2?<?3

∴，

2077117

?3?3<2??3<?3?3

即，

7

∴?9<2??3<?6．

考?點(diǎn)9五<：2不??等?式<（?組6）中新定義問題

例5．定義：若一元一次方程的解在一元一次不等式組解集范圍內(nèi)，則稱該一元一次方程為該一元

一次不等式組的“關(guān)聯(lián)方程”．例如：方程的解為，不等式組的解集為，

?>?1

??2=1?=3?1<?<4

因?yàn)樵诘姆秶鷥?nèi)，所以方程是不等式組的?“<關(guān)4聯(lián)方程”．

?>?1

?=3?1<?<4??2=1

(1)方程______（填“是”或“不是”）不等式組的?<“關(guān)4聯(lián)方程”．

2?+5>0

2?+1=??

(2)已知關(guān)于的方程是不等式組的??“關(guān)3聯(lián)<?方1程”，求的取值范圍．

??1>0

??+2?=5?

(3)已知關(guān)于的方程是關(guān)于的不等2?式?組7<?1的“關(guān)聯(lián)方程”，直接寫出的取值范

?+2??1>2?

???2?=1??

圍為______．???<3

【答案】(1)是；

(2)；

1<?<2

(3)．

1

【分2析<】?本<題2考查了解不等式組，一元一次方程，熟練掌握解法是解題的關(guān)鍵．

（）根據(jù)題意分別解出和，再根據(jù)“關(guān)聯(lián)方程”定義即可求解；

2?+5>0

12?+1=??

（）根據(jù)題意分別解出??3<?1和，再根據(jù)“關(guān)聯(lián)方程”定義得出，然后求

??1>0

2?+2?=51<5?2?<3

解集即可；2??7<?1

（）由解不等式得，解不等式得，由得，

?+2??1>2?①

3①?>2②?<3+???2?=1?=2?+1

???<3②

根據(jù)“關(guān)聯(lián)方程”定義得出，然后解不等式組即可．

3+?>2

2?+1>2

【詳解】（1）解：2?+1<，3+?

2?+5>0①

解不等式得：??，3<?1②

5

解不等式①得：?>?，2

∴不等式組②的解集?為<2，

5

由，?2<?<2

2?+1=??

2?+?=?1

3?=?，1

1

?=?3

∴在范圍內(nèi)，

15

?=?3?2<?<2

∴方程是不等式組的“關(guān)聯(lián)方程”，

2?+5>0

2?+1=??

故答案為：是；??3<?1

（2）解：，

??1>0①

解不等式2?得?：7<?1，②

解不等式①得：?>1，

∴不等式組②的解集?為<3，

由得1<?<，3

?+2?=5?=5?2?

∵關(guān)于的方程是不等式組的“關(guān)聯(lián)方程”，

??1>0

??+2?=5

∴，2??7<?1

解得1<：5?2?<3；

1<?<2

（3）解：

?+2??1>2?①

解不等式得：???<，3②

解不等式①得：?>2，

由②得?<3+?，

??2?=1?=2?+1

∵關(guān)于的方程是關(guān)于的不等式組的“關(guān)聯(lián)方程”，

?+2??1>2?

???2?=1?

???<3

∴，

3+?>2

2?+1>2

解得2?：+1<3+，?

1

2<?<2

故答案為：．

1

2<?<2

【變式5-1】定義：關(guān)于，的二元一次方程（其中）中的常數(shù)項(xiàng)與未知數(shù)系數(shù)，

之一互換，得到的方程叫?“換?參方程”，例如：??+??=?的“換?參≠方?程≠”為?或?．??

(1)方程與它的“換參方程”組成的方?程?組+的??解=為?__________；??+??=???+??=?

(2)已知關(guān)?+于2?，=的4二元一次方程的系數(shù)滿足，且與它的“換參方程”組

成的方程組的?解?恰好是關(guān)于，的??二+元?一?=次?方程?+?的+一?=個(gè)0解，求?代?+數(shù)?式?=?

的值；????+??=?(?+?)???(?+?)+