第07講等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)內(nèi)容導(dǎo)航——預(yù)習(xí)三步曲第一步：學(xué)析教材學(xué)知識：教材精講精析、全方位預(yù)習(xí)練習(xí)題講典例：教材習(xí)題學(xué)解題、快速掌握解題方法練考點強知識：3大核心考點精準練第二步：記串知識識框架：思維導(dǎo)圖助力掌握知識框架、學(xué)習(xí)目標復(fù)核內(nèi)容掌握第三步：測過關(guān)測穩(wěn)提升：小試牛刀檢測預(yù)習(xí)效果、查漏補缺快速提升知識點1實數(shù)的大小順序與運算性質(zhì)的關(guān)系(1)a>b?a－b>0；(2)a＝b?a－b＝0；(3)a<b?a－b<0.知識點2不等式的性質(zhì)(1)對稱性：a＞b?b＜a；(2)傳遞性：a＞b，b＞c?a＞c；(3)可加性：a＞b?a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d?a＋c＞b＋d；(4)可乘性：a＞b，c＞0?ac＞bc；a>b，c<0?ac<bc；a＞b＞0，c＞d＞0?ac＞bd；(5)可乘方：a＞b＞0?an＞bn(n∈N，n≥1)；(6)可開方：a＞b＞0?＞(n∈N，n≥2).知識點3比較大小1.作差：作差比較，根據(jù)a－b>0a>b，欲證a>b只需證a－b>0；2.作商：作商比較，當(dāng)b>0時，a>b>1。3.找中介“1”或“0”教材習(xí)題01甲、乙兩人同時從A地出發(fā)沿同一路線走到B地，所用時間分別為，．甲有一半的時間以mm/s的速度行走，另一半的時間以nm/s的速度行走；乙有一半的路程以mm/s的速度行走，另一半的路程以nm/s的速度行走，且．(1)請用含m，n的代數(shù)式表示甲、乙兩人所用的時間和；(2)比較與的大小，并判斷甲、乙兩人誰先到達B地．解題方法（1）設(shè)A地到B地的路程為，因為甲有一半的時間以mm/s的速度行走，另一半的時間以nm/s的速度行走，所以，所以，因為乙有一半的路程以mm/s的速度行走，另一半的路程以nm/s的速度行走，所以,（2）因為，所以，因為所以所以，所以甲先到達B地．【答案】(1)；.(2)，甲先到達B地．教材習(xí)題02判斷下列命題的真假，并說明理由：(1)若，則；(2)若，則；(3)若，，則；(4)若，則．解題方法（1）若，當(dāng)時，則；故為假命題，（2）由于，故，則，進而可得；故為真命題，（3）若，，則，此時滿足，，但是無法得到，故為假命題（4）若，不妨取，則無意義，故無法得到，故為假命題【答案】(1)假命題(2)真命題(3)假命題(4)假命題教材習(xí)題03試比較與的大小．解題方法,所以.【答案】考點一用不等式表示不等關(guān)系1．某公司準備對一項目進行投資，提出兩個投資方案：方案A為一次性投資300萬；方案B為第一年投資80萬，以后每年投資20萬．下列不等式表示“經(jīng)過年之后，方案B的投入不少于方案A的投入”的是（

）A． B．C． D．【答案】D方法總結(jié)

用不等式（組）表示不等關(guān)系的步驟1．審清題意，明確表示不等關(guān)系的關(guān)鍵詞語；2．適當(dāng)?shù)卦O(shè)未知數(shù)表示變量；3.用不等號表示關(guān)鍵詞語，并連接變量得不等式（組）．2．下列不等式中可以用來表示“的2倍比的平方的相反數(shù)小”的是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】因的2倍為的平方的相反數(shù)為，則不等式為：.故選：D.3．如圖，直角中，，，，在斜邊上，在（包括邊界）內(nèi)，在線段上，，在線段上.四邊形和四邊形是矩形，，.

(1)試找出與之間的不等量關(guān)系式；(2)求矩形和矩形面積之和的最大值.【答案】(1)(2)【詳解】（1）的延長線交于，交于，如圖，

此時，所以，因為，，所以，而由題意，所以，可得，因為，所以，解得，即，所以與之間的不等量關(guān)系式為，其中.（2）矩形和矩形面積之和，因為，故，故，故，故，而，故，故，而，故當(dāng)時，4．用一段長為30m的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園，墻長18m，要求菜園的面積不小于，設(shè)靠墻的一邊長為．試用不等式表示其中的不等關(guān)系．【答案】【詳解】由于矩形菜園靠墻的一邊長為，而墻長為18m，則，菜園的另一條邊長為．可得菜園面積，依題意有，即，故該題中的不等關(guān)系可用不等式組表示為.考點二作商法、作差法比較大?。ǘ噙x題）1．已知，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】BC【詳解】因為，則，A錯誤；選項B：因為，所以，，則，所以，故B正確.因為，所以，故C正確.因為，所以冪函數(shù)在單調(diào)遞減，所以，D錯誤，故選：BC（多選題）2．設(shè)，則P，Q，R的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】AB【詳解】因為，所以．因為，又，所以，所以．（多選題）3．若，那么下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】ACD【詳解】對于A，因為，所以，故A正確；對于B，，故B錯誤；對于C，，，所以，因為，所以，所以，故C正確；對于D，，故D正確.故選：ACD.4．已知a>b>0，則aabb與abba的大小關(guān)系為.【答案】aabb>abba【詳解】∵＝＝（）a－b，又a>b>0，∴>1，a－b>0，∴（）a－b>1，即>1.又abba>0，∴aabb>abba.5．設(shè)，，則（填入“＞”或“＜”）．【答案】【詳解】∵，即.又，.故答案為：>.考點三利用不等式性質(zhì)比較大小1．若，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因為，，所以，，所以，，故A正確，B錯誤；當(dāng)時，，，故C錯誤，D錯誤．2．已知x，y是實數(shù)，則“”是“”是的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】D【詳解】若，滿足，此時，所以不是的充分條件，反過來，若，滿足，此時，所以也不是的必要條件，所以”是“”的既不充分也不必要條件.故選：D（多選題）3．下列說法正確的是（

）A．若，，且，則 B．若，，則C．若，，且，則 D．若，，且，則【答案】AD【詳解】對于選項A，因為，所以，即，故A正確；對于選項B，取，，，，滿足，，但，故B錯誤；對于選項C，取，，滿足，，且，但，故C錯誤；對于選項D，因為，所以，，則，故D正確．4．設(shè)，則M與N的大小關(guān)系是．【答案】【詳解】因為，所以．5．已知，且．(1)求證：；(2)求證：．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【詳解】（1）解法1

因為且，所以，且，兩邊取倒數(shù)得，又，則，從而得證．解法2

因為且，所以，且，所以，即．（2）因為且，所以，，則，，由，可得，即，所以，即．綜上，．考點四由等式性質(zhì)證明不等式1．已知：，；：，，則是的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．就不充分又不必要條件【答案】A【詳解】當(dāng)時，，，但，則由不能得到；當(dāng)，時，，，則由可得到,故是的充分不必要條件.故選：A（多選題）2．若，，則（

）A． B． C． D．【答案】AB【詳解】根據(jù)，則，A正確；由，又，則，B正確；當(dāng)時，，C錯誤；當(dāng)時，，D錯誤.故選：AB3．已知實數(shù)，滿足，．(1)求和的取值范圍；(2)證明：．【答案】(1)，(2)證明見解析【詳解】（1）因為，，所以，當(dāng)，時，則，，此時，當(dāng)，時，則，此時，得到，當(dāng)，時，則，此時，得到，當(dāng)，時，，又當(dāng)或時，，綜上，.（2）因為，又，，則，，所以，得到.4．（1）已知，求的取值范圍；（2）若，求證：.【答案】（1）；（2）證明見解析【詳解】（1）設(shè)，所以，解得，，即的取值范圍是.（2）證明：，，.5．已知，．(1)求證：；(2)求證：．【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.【詳解】（1）由，則，故，由，則，故，所以，得證.（2）由，而，所以，即，得證.知識導(dǎo)圖記憶知識目標復(fù)核1．實數(shù)的大小順序與運算性質(zhì)的關(guān)系2．不等式的性質(zhì)3．比較大小1．設(shè)a，b為實數(shù)，則“”的一個充分不必要條件是（

）A． B． C． D．【答案】A【難度】0.65【知識點】判斷命題的充分不必要條件、由不等式的性質(zhì)比較數(shù)（式）大小【詳解】由，知可得，可推出，反向推不出，故A滿足題意；由，得，推不出，反向可推出，故B不滿足題意；由，得或或，推不出，反向可推出，故C不滿足題意；由，得，推不出，反向可推出，故D不滿足題意.2．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】C【難度】0.85【知識點】由不等式的性質(zhì)比較數(shù)（式）大小【詳解】因為，所以．由于，故在不等式上同時乘以a得，即，因此，．3．已知，，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【難度】0.85【知識點】判斷命題的充分不必要條件、作差法比較代數(shù)式的大小、由已知條件判斷所給不等式是否正確【詳解】．當(dāng)時，結(jié)合，可得．反之，如，亦成立，卻推不出．故“”是“”的充分不必要條件．4．有下列四個命題：①若，則；②若，則；③若，則；④若，則．其中正確命題的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【難度】0.85【知識點】由不等式的性質(zhì)比較數(shù)（式）大小【詳解】對于①，由，得，，要證，則需證，即，這顯然成立，故①正確；對于②，由，得，由①知，②正確；對于③，當(dāng)，時，顯然不成立，所以③錯誤；對于④，當(dāng)，時，有，④錯誤．5．給出下列命題，其中正確的命題是（

）A． B． C． D．【答案】B【難度】0.85【知識點】由不等式的性質(zhì)比較數(shù)（式）大小、作差法比較代數(shù)式的大小【分析】通過舉反例可判斷A、C、D是假命題；利用作差法比較大小可判斷B正確.【詳解】對于A，當(dāng)時，，故A是假命題；對于B，若，則，由于不同時為0，所以，故B是真命題；對于C，當(dāng)時，，故C是假命題；對于D，當(dāng)時，不成立，故D是假命題；故選：B6．設(shè)，若，則下列不等式中不正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【難度】0.85【知識點】由已知條件判斷所給不等式是否正確、由不等式的性質(zhì)比較數(shù)（式）大小、作差法比較代數(shù)式的大小【分析】應(yīng)用不等式的性質(zhì)及作差法判斷A，B，C，再應(yīng)用特殊值法判斷D.【詳解】因為，則，則，A選項正確；因為，則，則，B選項正確；因為，則，則，C選項正確；取，所以，D選項錯誤；故選：D.（多選題）7．十六世紀中葉，英國數(shù)學(xué)家雷科德在《礪智石》一書中首先把“=”作為等號使用，后來英國數(shù)學(xué)家哈利奧特首次使用“<”和“>”符號，并逐漸被數(shù)學(xué)界接受，不等號的引入對不等式的發(fā)展影響深遠．若，則下列命題正確的是（

）A．若且，則 B．若，則C．若，則 D．若且，則【答案】BC【難度】0.85【知識點】由不等式的性質(zhì)比較數(shù)（式）大小、作差法比較代數(shù)式的大小【詳解】對于A，取，則不成立，故A錯誤；對于B，若，則，所以，故B正確；對于C，若，則，所以，所以，故C正確；對于D，若且，則，而b可能為0，故D錯誤．（多選題）8．已知，，則下列說法正確的是（

）A． B． C． D．【答案】CD【難度】0.85【知識點】由不等式的性質(zhì)比較數(shù)（式）大小、作差法比較代數(shù)式的大小【分析】應(yīng)用作差法計算比較判斷A，應(yīng)用不等式性質(zhì)計算判斷C，D，應(yīng)用特殊值法計算判斷B.【詳解】因為，，對于A，因為，而，，故無法確定與的大小，A錯；對于B，因為，所以，B錯；對于C，由不等式的性質(zhì)可得，從而，C對；對于D，由不等式的性質(zhì)可得，D對.故選：CD.（多選題）9．下列不等式，其中恒成立的有（

）A． B．C． D．【答案】AD【難度】0.85【知識點】作差法比較代數(shù)式的大小【詳解】由，知A正確；由，知B錯誤；由，知C錯誤；由，知D正確．10．若實數(shù)x，y滿足，則的取值范圍是；若實數(shù)x，y滿足，則的取值范圍是．【答案】【難度】0.85【知識點】利用不等式求值或取值范圍【詳解】若x，y滿足，則，從而．若，設(shè)，所以解得，則有，所以．11．已知，若，則的取值范圍是；若，且，則的取值范圍是．【答案】【難度】0.85【知識點】利用不等式求值或取值范圍【詳解】若，則，而，所以有．設(shè)，則解得若，，則有，所以，即．易錯警示題中的第二空易錯誤的利用如下解法：先由條件得出a，b的范圍，再由此得出的范圍，即得出的錯誤結(jié)果（其取值范圍擴大了）.12．已知實數(shù)a，b滿足，則的取值范圍為.【答案】【難度】0.85【知識點】利用不等式求值或取值范圍【分析】根據(jù)不等式性質(zhì)直接求解即可.【詳解】，.故答案為：.13．如果，，則的取值范圍是.【答案】【難度】0.94【知識點】利用不等式求值或取值范圍【分析】根據(jù)同向不等式的運算規(guī)則，計算不等式的范圍.【詳解】,,又,,兩式相加得,故答案為:.14．比較大?。海ㄌ睢?lt;”或“>”）