專題05不等式與不等式組內容導航串講知識：思維導圖串講知識點，有的放矢重點速記：知識點和關鍵點梳理，查漏補缺舉一反三：核心考點能舉一反三，能力提升復習提升：真題感知+提升專練，全面突破【知識點1不等式】1．不等式的定義：用符號“＜”(或“≤”)，“＞”（或“≥”），≠連接的式子叫做不等式.2．不等式的解：能使不等式成立的未知數(shù)的值叫做不等式的解.3．不等式的解集：對于一個含有未知數(shù)的不等式，它的所有解組成這個不等式的解集．（1）不等式表示方法：一般地，一個含有未知數(shù)的不等式有無數(shù)個解，它的解集是一個范圍。一般用x>a、x<a、x≥a、x≤a來表示。（2）數(shù)軸表示法：4．解不等式：求不等式的解集的過程叫做解不等式．【典例1】式子：①3<5；②4x+5>0；③x=3；④x2+x；⑤x≠?4；⑥x+2≥x+1．其中是不等式的有（A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【典例2】用不等式表示：(1)x的12與3的差大于2；(2)4x與3的和小于或等于零；(3)a(4)b的12與c的和是非負數(shù)；(5)x與17的和比x【知識點2不等式的性質】1．不等式的性質1：不等式兩邊同時加（或減）同一個數(shù)（或式子），不等號的方向不變。即若，則。2．不等式的性質2：不等式的兩邊同時乘上（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變。若，則。3．不等式的性質3：不等式的兩邊同時乘上（或除以）同一個負數(shù)，不等號的方向改變。若，則?！镜淅?】有下列說法：①若a>b，則ac2>bc2；②若a+b>2b+1，則a>b；③若a>b，且c=d，則ac>bd；④若a【知識點3一元一次不等式（組）的概念】1．一元一次不等式的概念：只含有1個未知數(shù)，且未知數(shù)的次數(shù)是1的整式不等式，叫做一元一次不等式。整個不等式中分母不含有字母。2．一元一次不等式組的概念：把含有相同未知數(shù)的幾個一元一次不等式合在一起，就組成一個一元一次不等式組。3．一元一次不等式組的解集：幾個一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由他們組成的一元一次不等式組的解集。4．一元一次不等式組的解集的求法：先分別求出不等式組中的每一個不等式，然后找出他們解集的公共部分。5．不等式組的解的情況與圖示（a<b）：①同大取大：，圖示：，解集為x>b。②同小取小：，圖示：，解集為x<a。③大小小大中間找：，圖示：，解集為a<x<b。④大大小小無解答：，圖示：，解集為無解?！镜淅?】有下列不等式：①?4<0；②x2+2>2x；③x?3>2y；④x?1π>5；⑤【典例5】已知m?3xm?2≤5是關于x的一元一次不等式，則m【典例6】將不等式組?2x+9≤315x?1<0A． B．C． D．【知識點4解一元一次不等式（組）】解一元一次不等式具體步驟：①去分母：在不等式兩邊同時乘上分母的最小公倍數(shù)。（根據(jù)等式的性質2）②去括號：利用去括號的法則去括號。③移項：把含有未知數(shù)的移到等號的左邊，常數(shù)移到等號的右邊。（根據(jù)等式的性質1）④并：利用合并同類項法則進行合并。⑤系數(shù)化為1：不等式兩邊除以系數(shù)或乘上系數(shù)的倒數(shù)。當系數(shù)為負數(shù)時，不等號方向一定要改變。（根據(jù)不等式的性質2或3）【典例7】解不等式組：3?2x?2(1)解不等式①，得___________；(2)解不等式②，得___________；(3)把不等式①和②的解集在數(shù)軸上表示出來：(4)原不等式組的解集為：___________．(5)原不等式組所有整數(shù)解的和為：___________．【知識點5用一元一次不等式（組）解決實際問題】列不等式（組）解應用題的基本步驟與列方程解應用題的步驟相類似，即：（1）審：認真審題，分清已知量、未知量；（2）設：設出適當?shù)奈粗獢?shù)；（3）找：找出題中的不等關系，要抓住題中的關鍵字，如“大于”“小于”“不大于”“至少”“不超過”“超過”等關鍵詞的含義；（4）列：根據(jù)題中的不等關系，列出不等式（組）；（5）解：解出所列的不等式（組）的解集；（6）答：檢驗是否符合題意，寫出答案.考點一：由不等式（組）的解集求參例1.若不等式x+52>?x?72的解都能使不等式x>2m+1A．m≤52 B．m≤?52 C．【變式1-1】已知關于x的不等式組x?a≥b2x?a<2b+1的解集為4≤x<6，則a，b的值為（

A．a(chǎn)=7，b=?3 B．a(chǎn)=6，b=?3 C．【變式1-2】關于x的不等式組2a?x>32x+8>4a的解集中每一個值均不在?1≤x≤5的范圍中，則a的取值范圍是（

A．a(chǎn)<1或a>4.5 B．a(chǎn)≤1或a≥4.5C．a(chǎn)>4或a<1.5 D．a(chǎn)≥4或a≤1.5【變式1-3】如果不等式組x+8<4x?1x>m的解集是x>3(1)求m的取值范圍；(2)不等式m?1x>m?1的解集為x<1，求m考點二：由不等式（組）中的整數(shù)解求參例2．關于x的不等式2x+b≤0恰有三個非負整數(shù)解，則b的取值范圍是（

）A．?6<b≤?4 B．?6<b<?4C．?6≤b≤?4 D．?6≤b<?4【變式2-1】若關于x的不等式組x2+x+13>0A．0<a<12 B．1<a≤32 C．【變式2-2】如果關于x的不等式2x?5≤2a+1至少有4個正整數(shù)解，那么a的取值范圍是（

）A．1≤a≤2 B．1<a<2 C．a(chǎn)≥1 D．a(chǎn)>1【變式2-3】若關于x的不等式組123x?2≤x+2A．15 B．21 C．?6 D．24考點三：由不等式（組）有解和無解情況求參例3．已知關于x的不等式組x?a≥07?3x?1>4有解，則a的取值范圍是（A．a(chǎn)>?2 B．a(chǎn)≥?2 C．a(chǎn)<2 D．a(chǎn)≤2【變式3-1】若關于x的不等式組?12(x?a)>0x?1≥2x+1A．a(chǎn)≥4 B．a(chǎn)≤4 C．a(chǎn)>4 D．a(chǎn)<4【變式3-2】已知關于x的不等式4a?ax4(1)當a=1時，求該不等式的正整數(shù)解．(2)當a取何值時，該不等式有解？并求出其解集．【變式3-3】已知關于x的不等式7?3a4(1)當a=5時，求該不等式的解集；(2)a符合什么條件時，該不等式有解，并求出其解集（用含a的式子表示）．考點四：由不等式（組）與方程（組）綜合求參例4．已知關于x，y的方程組x+3y=4?ax?y=3a，其中?3≤a<1，下列命題正確的個數(shù)為（

）①當a=?2時，x、y的值互為相反數(shù)；②x=?5y=4是方程組的解；③當a=?1時，方程組的解也是方程x+y=a+2的解；④若x<0，則3A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式4-1】若關于x的方程x?2?ax4=x2+2有非負整數(shù)解，且關于y的不等式組【變式4-2】關于x的不等式組3x+3≥2x+5x?2<a，至少有4個整數(shù)解，且關于x，y的方程組ax?2y=0x+y=4的解中，x的解為整數(shù)，那么滿足條件的整數(shù)a的值為【變式4-3】已知關于x，y的方程組x?y=?52x+y=6m+13（m(1)若此方程組的解也是方程x?2y=?7的解，求常數(shù)m的值；(2)若x，y滿足x>2y，試化簡：1?m?(3)若x，y滿足x<?1，y>1．求2x?y的取值范圍．考點五：不等式（組）中新定義問題例5．定義：若一元一次方程的解在一元一次不等式組解集范圍內，則稱該一元一次方程為該一元一次不等式組的“關聯(lián)方程”．例如：方程x?2=1的解為x=3，不等式組x>?1x<4的解集為?1<x<4，因為x=3在?1<x<4的范圍內，所以方程x?2=1是不等式組x>?1x<4(1)方程2x+1=?x______（填“是”或“不是”）不等式組2x+5>0x?3<?1(2)已知關于x的方程x+2m=5是不等式組x?1>02x?7<?1的“關聯(lián)方程”，求m(3)已知關于x的方程x?2n=1是關于x的不等式組x+2n?1>2nx?n<3【變式5-1】定義：關于x，y的二元一次方程ax+by=c（其中a≠b≠c）中的常數(shù)項c與未知數(shù)系數(shù)a，b之一互換，得到的方程叫“換參方程”，例如：ax+by=c的“換參方程”為cx+by=a或ax+cy=b．(1)方程x+2y=4與它的“換參方程”組成的方程組的解為__________；(2)已知關于x，y的二元一次方程ax+by=c的系數(shù)滿足a+b+c=0，且ax+by=c與它的“換參方程”組成的方程組的解恰好是關于x，y的二元一次方程mx+ny=p的一個解，求代數(shù)式(m+n)m?p(n+p)+2025的值；(3)已知整數(shù)m，n，t，滿足條件t<n<m+4，并且(3m?t)x+2025y=m+2t是關于x，y的二元一次方程(6+n)x+2025y=2m?1的“換參方程”，求m的值．【變式5-2】定義：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式組的解，則稱該一元一次方程為該不等式組的“浯溪水亦香方程”．例如2x?6=0的解為x=3，不等式組x?2>0x<5的解集為2<x<5，因為2<3<5，所以方程2x?6=0為不等式組x?2>0(1)方程2x+3=1是下列哪些不等式組的______“浯溪水亦香方程”：（填序號）①x?12>32(2)若關于x的方程2x?k=2是不等式組3x?6>4?xx?1≥4x?10的“浯溪水亦香方程”，求k(3)若方程2x+4=0，2x3=?1都是關于x的不等式組m?2x<m?2x+5≥m的“浯溪水亦香方程”，其中【變式5-3】如果一個方程（組）的解恰好能夠使得某不等式（組）成立，則稱此方程（組）為該不等式（組）的“偏解方程（組）”、例如：方程2x?1=1是不等式x+1>0的“偏解方程”，因為方程的解x=1可使得x+1=2>0成立：方程組x+y=7x?y=1是不等式2x+3y>15的“偏解方程組”，因為方程組的解x=4y=3可使得(1)方程3x+2=?4是下列不等式（組）中_______（填序號）的“偏解方程”；①2x+1>3x+3；②3x+1≤6；③(2)已知關于x，y方程組2x?y=?4x+2y=5a+3是不等式y(tǒng)?12(3)已知關于x的不等式組x+10≥bx+9<2b恰有5個整數(shù)解，且關于x的方程x+b=0是它的“偏解方程”，求b考點六：一元一次不等式（組）解最多至少問題例6．綜合與實踐某鄉(xiāng)政府為鞏固脫貧攻堅與鄉(xiāng)村振興有效銜接賦能，營造營銷便利環(huán)境，促進鄉(xiāng)村特色產(chǎn)品的銷售；準備在轄區(qū)內新建一條長600米的公路，計劃由甲、乙兩個工程隊來完成；若甲工程隊先單獨施工10天，則乙工程隊還需單獨施工15天可完成該工程；若甲、乙兩個工程隊同時共同施工，則12天可以完成該工程，設甲、乙兩個工程隊每天分別施工x和y米．【問題分析】（1）甲工程隊單獨施工10天完成的工程量是米；乙工程隊單獨施工15天完成的工程量是米；甲、乙兩個工程隊同時共同施工m天完成的工程量是米；（用含有字母的代數(shù)式表示）【問題解決】（2）求甲、乙兩個工程隊每天各施工多少米？【問題拓展】（3）已知甲工程隊每天的施工費用為0.6萬元，當甲、乙兩個工程隊同時共同施工10天后甲隊因另有任務離開，剩下的工程由乙隊單獨施工完成，若甲、乙兩個工程隊完成全部工程的總費用不超過12萬元，則乙工程隊每天的施工費用最多是多少萬元？【變式6-1】為了鼓勵市民節(jié)約用水，某市居民生活用水按階梯式計費該市居民“一戶一表”生活用水階梯式計費價格表的一部分信息如下：每戶每月用水量自來水銷售價格污水處理價格18m3a元/m1.40元/m超過18m3不超過30mb元/m1.40元/m超過30m36.00元/m1.40元/m[說明：①每戶產(chǎn)生的污水量等于該戶的用水量②水費=自來水費+污水處理費]已知小王家2025年4月份用水20m3，交水費64元；5月份用水25m(1)求a，b的值．(2)隨著夏天的到來，用水量將增加，小王計劃把6月份水費控制在家庭月收入的2%【變式6-2】隨著科技的發(fā)展，新能源汽車正逐漸成為人們喜歡的交通工具，其需求量快速增長．為滿足客戶需求，現(xiàn)某汽車銷售公司計劃購進一批新能源汽車嘗試進行銷售，據(jù)了解1輛A型汽車、1輛B型汽車的進價共計37萬元；若單次購買A型汽車超過15輛每輛車進價打九五折，單次購買B型汽車超過15輛每輛車進價優(yōu)惠5千元，當購買A型和B型車各20輛時，共需715萬元．(1)求該汽車銷售公司單獨購進A，(2)因資金緊張，該公司計劃以不超過260萬元購進以上兩種型號的新能源汽車共15輛，每輛A型汽車在進價的基礎上提高6000元銷售，每輛B型汽車在進價的基礎上提高5%銷售．假如這些新能源汽車全部售出，至少要獲利10.5萬元，該公司有哪幾種購進方案？哪種方案獲得的利潤最多，最多利潤是多少？【變式6-3】一家電腦公司有A型、B型、C型三種型號的電腦，其中C型每臺2500元．某中學計劃從這家電腦公司購進電腦．(1)已知購買2臺A型電腦和3臺B型電腦需要24000元，且購買3臺A型電腦和8臺B型電腦的費用剛好可以買20臺C型電腦．求A型電腦和B型電腦的售價．(2)這家電腦公司為提高B型電腦銷量，設計了舊電腦抵值活動：購買一臺B型電腦時，可以用一臺舊電腦抵值1000元．該中學計劃只購買B型電腦，拿出的舊電腦和購買的B型電腦數(shù)量一共是30臺．若要使購買B型電腦的數(shù)量是舊電腦數(shù)量的2倍，且購買B型電腦的實際總費用不少于100000元，則要在計劃的基礎上再多買a臺B型電腦，此時該中學需要再拿出13考點七：一元一次不等式（組）解方案選擇問題例7．冬天來臨，某超市以每臺80元和70元的價格購進A和B兩種型號的取暖器，表格是該超市近兩天出售取暖器的情況（注：利潤=銷售收入-進貨成本）：銷售時段銷售數(shù)量銷售收入A型號B型號第一天3臺4臺760元第二天5臺7臺1300元(1)分別求A，B兩種型號的取暖器的銷售單價．(2)該超市準備用不超過3020元的資金購進這兩種型號的取暖器共40臺，則A型號的取暖器最多能采購多少臺？(3)在（2）的條件下，超市銷售完這40臺取暖器能否實現(xiàn)利潤超過1400元的目標？若能，通過計算給出相應的購進方案；若不能，請說明理由．【變式7-1】中國第一條具有自主知識產(chǎn)權的長沙磁浮線連接了長沙火車南站和黃花國際機場兩大交通樞紐，沿線生態(tài)綠化帶走廊的建設尚在進行中，屆時將給乘客帶來美的享受．星城渣土運輸公司承包了某標段的土方運輸任務﹐擬派出大、小兩種型號的渣土運輸車運輸土方，已知2輛大型渣土運輸車與3輛小型渣土運輸車一次共運輸土方31噸，4輛大型渣土運輸車與5輛小型渣土運輸車一次共運輸土方57噸．(1)一輛大型渣土運輸車和一輛小型渣土運輸車一次各運輸土方多少噸？(2)該渣土運輸公司決定派出大，小兩種型號的渣土運輸車共10輛參與運輸土方，每輛大型渣土車一次需費用200元，每輛小型渣土車一次需費用180元．若運輸土方總量不少于65噸，且總費用小于1960元．你作為渣土運輸公司的經(jīng)理，列出所有運輸方案，并指出哪種方案所需費用最少，最少費用是多少？【變式7-2】“保護環(huán)境，低碳出行”．某市公交公司將淘汰某一條線路上“冒黑煙”較嚴重的公交車，計劃購買A型和B型兩種環(huán)保節(jié)能公交車共10輛．已知購買A型公交車2輛，B型公交車3輛，共需650萬元；購買A型公交車2輛，B型公交車1輛，共需350萬元．（1）求購買A型和B型公交車每輛各需多少萬元？（2）預計在該線路上A型和B型公交車每輛年均載客量分別為60萬人次和100萬人次．若該公司購買A型公交車x輛，完成下表：數(shù)量（輛）購買總費用（萬元）載客總量（萬人次）A型車x100x60xB型車10?x（3）若該公司購買A型和B型公交車的總費用不超過1150萬元，且確保這10輛公交車在該線路的年均載客量總和不少于640萬人次，則該公司有哪幾種購車方案？哪種購車方案的總費用最少？最少總費用是多少？【變式7-3】某文具店經(jīng)銷甲、乙兩款品牌的筆記本，今年二、三月份銷售情況如下表所示：（甲、乙款種筆記本的銷售單價保持不變）月份銷售數(shù)量（本）銷售數(shù)量（本）銷售額（元）甲款乙款二月份4020880三月份2040800(1)求甲、乙兩款筆記本的銷售單價分別是多少元；(2)若甲款筆記本每本進價為10元，乙款筆記本每本進價為8元，文具店預計用不多于624元且不少于620元的資金購進這兩款筆記本共70本，有幾種進貨方案；(3)為了促銷甲款筆記本，文具店決定每售出一本甲款筆記本，返還顧客現(xiàn)金m元，要使（2）中所有的方案獲利相同，求m的值．1．已知關于x的不等式2?ax>2?a的解集為x<1，則a的取值范圍是（

A．a(chǎn)>0 B．a(chǎn)<0 C．a(chǎn)<2 D．a(chǎn)>22．小明同學早上8:20前要到達班級，出家門時是8:00，已知他家離學校距離為1500m，他跑步的速度為120m/min，走路的速度為60mA．120x+6020?x<1500 C．x+1500?120x60<203．已知實數(shù)a，b，c，滿足a+b+c<1，a=a+b?c2，A．a(chǎn)=3b B．a(chǎn)>32 C．2a+3c=0 4．如圖，一個運算程序，若需要經(jīng)過兩次運算才能輸出結果，則x的取值范圍為（

）A．1<x≤4 B．1≤x<4 C．2≤x<5 D．2<x≤55．關于x的方程2x?3a=a?7的解是非負整數(shù)，且關于y的不等式組6y?a>2y?1?14y+3A．8 B．12 C．15 D．186．已知關于x的不等式組?x+3a≥b3x?4a≥2b+6的解集是2≤x≤5，則3a+b2025的值是（A．?1 B．0 C．1 D．27．已知關于x的不等式組x≤3x>a①若a=?3