1．對于導(dǎo)數(shù)的定義，必須明白定義中包含的基本內(nèi)容和Δx→0的方式，導(dǎo)數(shù)是函數(shù)的增量Δy與自變量的增量Δx的比eq\f(Δy,Δx)的極限，即eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f(x0＋Δx)－f(x0),Δx).函數(shù)y＝f(x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，就是曲線y＝f(x)在點P(x0，f(x0))處的切線的斜率．2．曲線的切線方程利用導(dǎo)數(shù)求曲線過點P的切線方程時應(yīng)注意：(1)判斷P點是否在曲線上；(2)如果曲線y＝f(x)在P(x0，f(x0))處的切線平行于y軸(此時導(dǎo)數(shù)不存在)，可得方程為x＝x0；P點坐標(biāo)適合切線方程，P點處的切線斜率為f′(x0)．3．利用基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式和四則運算法則求導(dǎo)數(shù)，熟記基本求導(dǎo)公式，熟練運用法則是關(guān)鍵，有時先化簡再求導(dǎo)，會給解題帶來方便．因此觀察式子的特點，對式子進行適當(dāng)?shù)淖冃问莾?yōu)化解題過程的關(guān)鍵．題型一函數(shù)與方程思想在利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解相關(guān)問題時，通常要設(shè)出坐標(biāo)(相關(guān)參數(shù))，然后列出方程(組)進行求解，這就是函數(shù)與方程思想在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用．例1已知曲線C：y＝f(x)＝x3－3x2＋2x，直線l：y＝kx，且l與C切于點(x0，y0)(x0≠0)，求直線l的方程及切點的坐標(biāo)．解由直線l過原點，可知k＝eq\f(y0,x0)(x0≠0)．∵點(x0，y0)在曲線C上，∴y0＝xeq\o\al(3,0)－3xeq\o\al(2,0)＋2x0，∴eq\f(y0,x0)＝xeq\o\al(2,0)－3x0＋2.又∵y′＝f′(x)＝3x2－6x＋2，∴f′(x0)＝3xeq\o\al(2,0)－6x0＋2＝k，即3xeq\o\al(2,0)－6x0＋2＝xeq\o\al(2,0)－3x0＋2.解得x0＝0或x0＝eq\f(3,2).∵x0≠0，∴x0＝eq\f(3,2)，y0＝(eq\f(3,2))3－3×(eq\f(3,2))2＋2×eq\f(3,2)＝－eq\f(3,8).∴k＝eq\f(y0,x0)＝－eq\f(1,4).∴直線l的方程為y＝－eq\f(1,4)x，切點坐標(biāo)為(eq\f(3,2)，－eq\f(3,8))．跟蹤訓(xùn)練1已知拋物線y＝f(x)＝x2＋bx＋c在點(1,2)處的切線與直線y＝x－2平行，求b，c的值．解∵點(1,2)在拋物線y＝x2＋bx＋c上，∴2＝1＋b＋c，即b＋c＝1.①∵y′＝f′(x)＝2x＋b，∴f′(1)＝2＋b.∵拋物線在點(1,2)處的切線與直線y＝x－2平行，∴2＋b＝1.②由①②可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝－1，,c＝2.))題型二轉(zhuǎn)化與化歸思想轉(zhuǎn)化與化歸思想是指在處理問題時，把待解決的問題或難解決的問題，通過某種轉(zhuǎn)化過程，歸結(jié)為一類已解決或易解決的問題，最終使問題得到解決．轉(zhuǎn)化與化歸思想的策略：①化難為易；②化生為熟；③化繁為簡．例2已知f(x)在x0處的導(dǎo)數(shù)值f′(x0)＝A，求下列極限值．(1)eq\o(lim,\s\do4(k→0))eq\f(f(x0－k)－f(x0),2k)；(2)eq\o(lim,\s\do4(k→0))eq\f(f(x0＋h)－f(x0－h(huán)),h).解(1)eq\o(lim,\s\do4(k→0))eq\f(f(x0－k)－f(x0),2k)＝－eq\f(1,2)eq\o(lim,\s\do4(k→0))eq\f(f(x0－k)－f(x0),－k)＝－eq\f(1,2)f′(x0)＝－eq\f(A,2).(2)eq\o(lim,\s\do4(k→0))eq\f(f(x0＋h)－f(x0－h(huán)),h)＝eq\o(lim,\s\do4(k→0))eq\f(f(x0＋h)－f(x0)＋f(x0)－f(x0＋h),h)＝eq\o(lim,\s\do4(k→0))eq\f(f(x0＋h)－f(x0),)＋eq\o(lim,\s\do4(k→0))eq\f(f(x0)－f(x0－h(huán)),h)＝eq\o(lim,\s\do4(k→0))eq\f(f(x0＋h)－f(x0),h)＋eq\o(lim,\s\do4(k→0))eq\f(f(x0－h(huán))－f(x),－h(huán))＝f′(x0)＋f′(x0)＝2f′(x0)＝2A.跟蹤訓(xùn)練2已知f(3)＝2，f′(3)＝－2，求eq\o(lim,\s\do4(x→3))eq\f(2x－3f(x),x－3)的值．解由f′(3)＝－2，得f′(3)＝eq\o(lim,\s\do4(x→0))eq\f(f(3＋Δx)－f(3),Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(x→3))＝eq\f(f(x)－f(3),x－3)＝－2.所以eq\o(lim,\s\do4(x→3))eq\f(2x－3f(x),x－3)＝eq\o(lim,\s\do4(x→3))eq\f(2x－6＋6－3f(x),x－3)＝eq\o(lim,\s\do4(x→3))[2＋eq\f(6－3f(x),x－3)]＝2＋3eq\o(lim,\s\do4(x→3))eq\f(2－f(x),x－3)＝2－3eq\o(lim,\s\do4(x→3))eq\f(f(x)－f(3),x－3)＝2－3f′(3)＝8.題型三數(shù)形結(jié)合思想數(shù)形結(jié)合思想在解決關(guān)于導(dǎo)數(shù)的問題時，也是很重要的思想方法，它把問題通過圖像很形象地表達出來，使問題形象化、直觀化、進而使問題得到解決．例3如圖所示，已知直線x＋2y－4＝0與拋物線y2＝4x相交于A，B兩點，O是坐標(biāo)原點，在拋物線的弧AOB上是否存在一點P，使△PAB的面積最大？若存在，求出點P坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．解由題意知|AB|為定值，∴要使△PAB的面積最大，則需點P到AB的距離最大，∴點P是拋物線上平行于直線AB的切線的切點．設(shè)點P的坐標(biāo)為(x0，y0)，結(jié)合圖像知點P所在的曲線方程為f(x)＝y(tǒng)＝－2eq\r(x)，∵直線方程為x＋2y－4＝0，f′(x0)＝－eq\f(1,\r(x0))，∴－eq\f(1,\r(x0))＝－eq\f(1,2)，解得x0＝4，∴點P的坐標(biāo)為(4，－4)，故存在點P(4，－4)，使△PAB的面積最大．跟蹤訓(xùn)練3已知直線y＝kx與曲線y＝2lnx有公共點，則k的最大值為________．答案eq\f(2,e)解析如圖，直線l與曲線y＝2lnx交于兩個不同的點，l繞原點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)l與曲線y＝2lnx相切時，k取到最大值．設(shè)切點P(x0，2lnx0)(x0>0)，則k＝eq\f(2,x0)，又k＝eq\f(2lnx0,x0)，∴eq\f(2,x0)＝eq\f(2lnx0,x0)，∴l(xiāng)nx0＝1，解得x0＝e，此時k＝eq\f(2,e)，∴k的最大值為eq\f(2,e).1.函數(shù)f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)即為函數(shù)f(x)在x＝x0這點處的瞬時變化率．函數(shù)f(x)在x＝x0處可導(dǎo)意味著(1)函數(shù)f(x)在x＝x0處有定義．(2)eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δf,Δx)存在，則稱f(x)在x＝x0處可導(dǎo)并且其導(dǎo)數(shù)即為極限值．顯然eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δf,Δx)不存在，則稱f(x)在x＝x0處不可導(dǎo)．2．利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線上某點的切線方程的步驟第一步：求出函數(shù)y＝f(x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)；第二步：根據(jù)直線的點斜式方程，得切線方程為y－y0＝f′(x0)(x－x0)．3．求一個函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)的步驟(1)求函數(shù)的變化量：Δy＝f(x＋Δx)－f(x)；(2)求平均變化率：eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f(x＋Δx)－f(x),Δx)；(3)取極限得導(dǎo)數(shù)：f′(x)＝lieq\o(m,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx).4．運用導(dǎo)數(shù)運算法則的注意事項(1)對于教材中給出的導(dǎo)數(shù)的運算法則，不要求根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義進行推導(dǎo)，只要能熟練運用運算法則求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)即可．(2)①對于和差的導(dǎo)數(shù)運算法則，可推廣到任意有限可導(dǎo)函數(shù)的和或差，即[f1(x)±f2(x)±…±fn(x)]′＝f1′(x)±f′2(x)±…±fn′(x)．②[af(x)±bg(x)]′＝af′(x)±bg′(x)；③當(dāng)f(x)＝1時，有eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,g(x))))′＝－eq\f(g′(x),g2(x)).(3)對