關鍵詞：2020I（22題2020I20 1．1Ca2+

=1(a>b>0)的離心率 ，且過點A（2，1． C而可以求出直線MN過定點。A版數學選修4-4333OABy2=2pxp>0)上異于頂點的兩動點，且OA^OBOM^ABAB相交于點M，求點M的軌跡方程。A（2，1I20 （2017I20題）已知橢圓：a2+b2=1(a>b>0)P1P 3 3 上． 求C設直線lP2點且與CABP2AP2B1l2017I20題的第二小問考察的是橢圓上的一定點與橢圓上的兩個動1.1：橢圓上的一定點與橢圓上的兩個動點的斜率之和為定值，則該兩個動點所2：橢圓上的一定點與橢圓上的兩個動點的斜率之積為定值，則該兩個動點所1Ca2

2=1(a>b>0)P(x0y0)PAPB別為k1k2CA，B兩點且k1+k2=lbb則當l=0時，證明：直線AB的斜率為定值，定值為 0a2 2 2b2x當l10時，證明：直線AB過定點?x- 0,-

- 0è

la2其中當l=0AB的斜率為定值.200920題就考過,（2009 20題Ca2+21（a>b>0A12（－1010CEF的斜率為定值，并求出這個定值.2Ca2

2=1(a>b>0)P(x0y0)PAPB別為k1k2CA，B兩點且k1k2=l 則當l=a2時，證明：直 的斜率為定值，定值為-x

la2 當l

a2時，證明：直 過定點?la2-b2x0,-la2-b2y0如果把上面的結論中的橢圓換成雙曲線或拋物線，我們思考是否還有類似的結論呢？筆者經過研究發(fā)現：3Ca2

b2=1(a>0b>0)P(x0y0)PAPB率分別為k1k2CA，B兩點且k1+k2=lbb則當l=0時，證明：直線AB的斜率為定值，定值為- 0a2 2 2b2x當l10時，證明：直線AB過定點?x- 0,-y 0 la2 4Ca2-b2=1(a>0b>0)P(x0y0)PAPB率分別為k1k2CA，B兩點且k1k2=l 則當l=-a2時，證明：直 的斜率為定值，定值為-x

la2- 當l1-a2時，證明：直 過定點?la2+b2x0,-la2+b2y0 5Cy22pxP(xy)PAPB k1k2CA，B兩點且k1+k2=l則當l=0AB的斜率為定值，定值為-p當l10AB過定點x-2y0

2p? 0+l 證明：當l10ABx=ty+mA(x1y1B(x2y2聯立ìx=ty+m

y2-2pty-2pm

ìy1+y2=2íy2=2

íyy=-2 ?1因為k

=y1

y0+y2

y0=2p(y1

y0

2p(y2

y0 x- x- y2-y +y2-y □2p2p

y y yyyy2pm2pyty y2=2px代入化簡得k+k

2pt+2

=l

m=yt

-2pt+2

-m+y0t

-2p

-2y0恒過點

-2

2p-y l

? l 0 6Cy22pxP(xy)PAPB k1k2CA，B兩點且k1k2=lAB過定點x-2py? 0 ABx=ty+mA(x1,y1B(x2,y2聯立ìx=ty+m

y2-2pty-2pm

ìy1+y2=2íy2=2

íyy=-2 ?1因為k

=y1-

y2-

y0

2p(y2

y01 x-x×-x=y2-y ×y2-y =2y

×2

(y

4

4+y)=-2pm+2pyt+y y2=2px代入化簡得k

2

m=yt

-2 1

-m+y0t

AB：x=t(y+y)+x-2p恒過點x

-2p-y

? 0

2020I20ABE:a2

GEAG×GB=8Px=6PAE交點為CPBEDE證明：直線CD過定點 7ABE:a2+b2=1(a>b>0)Px=m(m10m1±a)PAE的另一交點為CPBEDa2 證明：直線CD過定點M ,0 若t10，設直線CDx=ky+l由于直線PA的方程為 t (x+a)，所以y t x+a)……①.m m 直線PB的方程為 t (x-a)，所以y t x-a)……②.m- m- 聯立①②消ty1(x2-a)(m+a)=y2(x1+a)(m-x y 又因為2+2=1y2

(x2-a2

(x1+a)(m-a)=-2

-a)(x1+a)(m-即a2yy(m+a)+b2(x

1 x1ky1x2ky2yy

y

x=ky

a2+b2=12

b2l2-(kb+a

+2bkly+b

a)=0.y1+y2

2 2,y1y2 2 2

bk bk00

即m故直線CDx=kym，即直線CD過定點M?m0 ，則直 的方程為y=0，過

?.綜上，直 過定

t

M ,0

M ,0

E

M(m,結論8：已 分別為橢

(m10m1±a)E相交于CDACBDPPxa上設直線CDx=ky+mACy

x1+a

(x+a)BDy

x2-a

(x-a)聯立①②y

y1(x2- x0-x y 又因為2+2=1，所以y2= (x2-a2 x

yy(x

a2y

(x

a2y =12 =- 1 =- 1 所以x- y2(x- b2(x2-a2)(x- b2(x- ayay ay=- 1 =- 1 ……③b2(ky+m-a)(ky+m-

b2ék2y

+k(m-

y

+m-a2

1

)(

2) )x=ky+ma2+b2=1(k2b2+a2)y2+2b2kmy+b2(m2-a2)=0 b2m2-y1+y2=-b2k2+a2y1y2

b2k2+a2x

a2b2(m2-a2 =- x0- b2ék2b2(m2-a2)-2k2b2m(m-a)+(m-a)2(b2k2+a2 x

a2

a2

即 =- x0- k2b2(m+a)-2k2b2m+(m-a)(b2k2+a2 a(m-

m- x0mPxm上2020I20 E的方程

=t,

=t,\

kPB=3kPA即

1

=-1

設直線CDx=ly+m(m13)C(xy)D(xy)

x=ly1

íx2+9y2-92l m2-得(l2+9)y2+2lmy+m2-9=0.y+y

,yy l2 1

l2

=-1

y1g

=-1即3y

+(l

+m-3)(l

+m-

x-3

-

1 1 即(3+l1

+l(m-

+y)+(m-3)2即(3+l2)(m2-9)-2l2m(m-3)+(m-3)2(9+l2 因為m13，所以m=.即直線CD過定點?,0 AG2020IAG 變式.A，BE:a2

=1(a>0)的左，右頂點，GEuuur=8.x=ty+mE交于不同的兩點CDx=nBDP求證：當mn=9ACP∴GB(a, 解得a=3E9

ìx=ty

(t2+9)y2+2tmy+m2-9

∵

2tm m2-聯立íx2+9y2=9消去x 0，y1+y2=-t2+9,y1y2=t2+9∵kPA=kPA=n+3

n-

y .，又因為點C在橢圓上，所以kACkBC =-

n

x2- n-∵ = ， = x- ty+m- x- ty+m- \k

BC

(ty+m-

+m-

t2yy+t(m-3)(y+y)+(m- m2-

1 m2-

m

t

-9)-2tm(m-3)+(m-3)9

9m-54m

9(m-= n又mn=9= n

3+n .所 ,\

=k,即ACP三點共線 BC

9

-

9(3-

n