金東方招生數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.在集合論中，集合A包含于集合B，記作______。

A.A∪B

B.A∩B

C.A?B

D.A?B

2.函數(shù)f(x)=ax^2+bx+c的圖像是一條拋物線，當(dāng)______時(shí)，拋物線開(kāi)口向上。

A.a>0

B.a<0

C.b>0

D.b<0

3.若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得______。

A.f(ξ)=0

B.f(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)

C.f(ξ)=(f(b)+f(a))/2

D.f(ξ)=f(a)+f(b)

4.極限lim(x→∞)(3x^2+2x+1)/(5x^2-3x+2)的值為_(kāi)_____。

A.0

B.1/5

C.3/5

D.∞

5.在三角函數(shù)中，sin(π/2-α)等于______。

A.sinα

B.-sinα

C.cosα

D.-cosα

6.若向量a=(1,2)和向量b=(3,-1)，則向量a和向量b的夾角余弦值為_(kāi)_____。

A.1/√10

B.-1/√10

C.3/√10

D.-3/√10

7.在解析幾何中，圓x^2+y^2=r^2的圓心坐標(biāo)為_(kāi)_____。

A.(0,0)

B.(r,0)

C.(0,r)

D.(r,r)

8.在概率論中，事件A和事件B互斥，則P(A∪B)等于______。

A.P(A)+P(B)

B.P(A)-P(B)

C.P(A)*P(B)

D.1-P(A)-P(B)

9.在數(shù)列中，等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式為_(kāi)_____。

A.Sn=n(a1+an)/2

B.Sn=n^2(a1+an)/2

C.Sn=na1

D.Sn=n(an

10.在線性代數(shù)中，矩陣A的秩為r，則矩陣A的行向量組的秩也為_(kāi)_____。

A.1

B.r

C.r+1

D.2r

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，在區(qū)間(-∞,+∞)上連續(xù)的函數(shù)有______。

A.f(x)=x^2

B.f(x)=1/x

C.f(x)=|x|

D.f(x)=sinx

2.下列不等式成立的有______。

A.log2(3)>log2(4)

B.e^2>e^3

C.(1/2)^(-3)>(1/2)^(-2)

D.√(2)>√(3)

3.在空間解析幾何中，下列方程表示球面的有______。

A.x^2+y^2+z^2=1

B.x^2+y^2=z^2

C.(x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2=4

D.x^2+y^2-z^2=1

4.下列向量組中，線性無(wú)關(guān)的有______。

A.(1,0,0)

B.(0,1,0)

C.(0,0,1)

D.(1,1,1)

5.在概率論中，隨機(jī)變量X的分布函數(shù)F(x)具有如下性質(zhì)：______。

A.F(x)是單調(diào)不減的

B.F(x)是右連續(xù)的

C.lim(x→-∞)F(x)=0

D.lim(x→+∞)F(x)=1

三、填空題（每題4分，共20分）

1.若函數(shù)f(x)=ax^3-3x+2在x=1處取得極值，則a的值為_(kāi)_____。

2.函數(shù)f(x)=e^x在區(qū)間[0,1]上的平均變化率為_(kāi)_____。

3.已知向量a=(1,2,3)和向量b=(2,-1,1)，則向量a和向量b的向量積為_(kāi)_____。

4.圓x^2+y^2-4x+6y-3=0的圓心坐標(biāo)為_(kāi)_____，半徑為_(kāi)_____。

5.若事件A的概率為P(A)=0.6，事件B的概率為P(B)=0.7，且P(A∩B)=0.3，則事件A和事件B的并的概率P(A∪B)為_(kāi)_____。

四、計(jì)算題（每題10分，共50分）

1.計(jì)算極限lim(x→0)(sin3x)/(5x)。

2.求函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2在區(qū)間[-1,3]上的最大值和最小值。

3.計(jì)算不定積分∫(x^2+2x+1)/xdx。

4.解微分方程dy/dx=x^2-2x。

5.計(jì)算二重積分∫∫_D(x^2+y^2)dA，其中D是由直線y=x和拋物線y=x^2所圍成的區(qū)域。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下

一、選擇題答案及解析

1.C

解析：集合論中，A包含于B表示A是B的子集，記作A?B。

2.A

解析：二次函數(shù)f(x)=ax^2+bx+c的圖像是拋物線，當(dāng)a>0時(shí)，拋物線開(kāi)口向上。

3.B

解析：根據(jù)拉格朗日中值定理，若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，則存在ξ∈(a,b)，使得f'(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)。

4.B

解析：當(dāng)x→∞時(shí)，高次項(xiàng)系數(shù)決定極限值，因此lim(x→∞)(3x^2+2x+1)/(5x^2-3x+2)=3/5。

5.C

解析：根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，sin(π/2-α)=cosα。

6.C

解析：向量a和向量b的夾角余弦值為(a·b)/(|a||b|)=(1*3+2*(-1))/(√(1^2+2^2)√(3^2+(-1)^2))=3/√10。

7.A

解析：圓x^2+y^2=r^2的圓心坐標(biāo)為原點(diǎn)(0,0)。

8.A

解析：事件A和事件B互斥，表示A和B不能同時(shí)發(fā)生，因此P(A∪B)=P(A)+P(B)。

9.A

解析：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式為Sn=n(a1+an)/2。

10.B

解析：矩陣A的秩為r，表示A中存在r個(gè)線性無(wú)關(guān)的行向量，因此行向量組的秩也為r。

二、多項(xiàng)選擇題答案及解析

1.A,C,D

解析：函數(shù)f(x)=x^2在區(qū)間(-∞,+∞)上連續(xù)，f(x)=|x|在區(qū)間(-∞,+∞)上連續(xù)，f(x)=sinx在區(qū)間(-∞,+∞)上連續(xù)，f(x)=1/x在x=0處不連續(xù)。

2.C

解析：(1/2)^(-3)=2^3=8，(1/2)^(-2)=2^2=4，因此(1/2)^(-3)>(1/2)^(-2)成立。

3.A,C

解析：x^2+y^2+z^2=1表示以原點(diǎn)為圓心，半徑為1的球面，(x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2=4表示以(1,2,3)為圓心，半徑為2的球面。

4.A,B,C,D

解析：任意單個(gè)非零向量都是線性無(wú)關(guān)的。

5.A,B,C,D

解析：隨機(jī)變量X的分布函數(shù)F(x)具有單調(diào)不減、右連續(xù)、lim(x→-∞)F(x)=0、lim(x→+∞)F(x)=1等性質(zhì)。

三、填空題答案及解析

1.3

解析：f'(x)=3ax^2-3，令x=1，得3a-3=0，解得a=1。

2.e-1

解析：平均變化率=(f(1)-f(0))/(1-0)=(e^1-e^0)/(1-0)=e-1。

3.(-5,7,-3)

解析：向量積a×b=(1*1-2*(-1),2*1-3*2,1*(-1)-2*2)=(-5,7,-3)。

4.(2,-3)；5

解析：將方程配方得(x-2)^2+(y+3)^2=4^2+3^2=25，圓心為(2,-3)，半徑為5。

5.0.9

解析：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=0.6+0.7-0.3=0.9。

四、計(jì)算題答案及解析

1.3/5

解析：利用等價(jià)無(wú)窮小sinx≈x，當(dāng)x→0時(shí)，lim(x→0)(sin3x)/(5x)=lim(x→0)(3x)/(5x)=3/5。

2.最大值為2，最小值為-1

解析：f'(x)=3x^2-6x，令f'(x)=0得x=0或x=2，f(-1)=-1，f(0)=2，f(2)=-2，f(3)=2，因此最大值為2，最小值為-2。

3.x^2/2+2x+C

解析：∫(x^2+2x+1)/xdx=∫(x+2+1/x)dx=∫xdx+∫2dx+∫1/xdx=x^2/2+2x+ln|x|+C。

4.y=x^3/3-x^2+C

解析：dy/dx=x^2-2x，兩邊積分得y=∫(x^2-2x)dx=x^3/3-x^2+C。

5.1/12

解析：D為由y=x和y=x^2所圍成的區(qū)域，∫∫_D(x^2+y^2)dA=∫_0^1∫_{x^2}^x(x^2+y^2)dydx=∫_0^1(x^3+x^3/3-x^5/3)dx=1/12。

知識(shí)點(diǎn)分類和總結(jié)

1.函數(shù)與極限

包括函數(shù)的概念、性質(zhì)、極限的計(jì)算、連續(xù)性等。

2.導(dǎo)數(shù)與微分

包括導(dǎo)數(shù)的概念、計(jì)算、應(yīng)用，微分的概念、計(jì)算、應(yīng)用等。

3.不定積分與定積分

包括不定積分的概念、計(jì)算方法，定積分的概念、計(jì)算方法、應(yīng)用等。

4.多元函數(shù)微積分

包括偏導(dǎo)數(shù)、全微分、極值、重積分等。

5.線性代數(shù)

包括行列式、矩陣、向量、線性方程組等。

6.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)

包括隨機(jī)事件、概率、隨機(jī)變量、分布函數(shù)、期望、方差等。

各題型所考察學(xué)生的知識(shí)點(diǎn)詳解及示例

1.選擇題

考察學(xué)生對(duì)基本概念、性質(zhì)、定理的理解和記憶，例如函數(shù)的連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)的計(jì)算、積分的性質(zhì)等。

示例：判斷函數(shù)的連續(xù)性，考察學(xué)生對(duì)連續(xù)性定義的理解。

2.多項(xiàng)選擇題

考察學(xué)生對(duì)多個(gè)知識(shí)點(diǎn)