統(tǒng)計(jì)學(xué)練習(xí)題及答案一、變量類型與統(tǒng)計(jì)量基礎(chǔ)1.某高校2023級(jí)新生入學(xué)調(diào)查數(shù)據(jù)包含以下指標(biāo)：性別（男/女）、年齡（歲）、高考數(shù)學(xué)成績(jī)（分）、家庭所在地（城鎮(zhèn)/農(nóng)村）、每周課外閱讀時(shí)長(zhǎng)（小時(shí)）。請(qǐng)判斷每個(gè)指標(biāo)的變量類型（定性變量/定量變量；若為定性變量，進(jìn)一步區(qū)分名義型/順序型；若為定量變量，區(qū)分離散型/連續(xù)型）。答案：-性別：定性變量（名義型，無順序意義）-年齡（歲）：定量變量（連續(xù)型，理論上可無限細(xì)分）-高考數(shù)學(xué)成績(jī)（分）：定量變量（離散型，實(shí)際取值為整數(shù)）-家庭所在地：定性變量（名義型，城鎮(zhèn)與農(nóng)村無順序優(yōu)劣）-每周課外閱讀時(shí)長(zhǎng)（小時(shí)）：定量變量（連續(xù)型，可精確到分鐘或秒）二、描述統(tǒng)計(jì)量計(jì)算2.某班級(jí)10名學(xué)生的統(tǒng)計(jì)學(xué)考試成績(jī)?nèi)缦拢▎挝唬悍郑?8,85,92,65,88,72,95,80,75,85。（1）計(jì)算均值、中位數(shù)、眾數(shù)；（2）計(jì)算樣本方差與樣本標(biāo)準(zhǔn)差；（3）判斷數(shù)據(jù)分布的偏態(tài)方向（左偏/右偏/對(duì)稱）。答案：（1）均值計(jì)算：均值=(78+85+92+65+88+72+95+80+75+85)/10=815/10=81.5分中位數(shù)計(jì)算：將數(shù)據(jù)從小到大排序：65,72,75,78,80,85,85,88,92,95共10個(gè)數(shù)據(jù)，中位數(shù)為第5、6個(gè)數(shù)的平均值：(80+85)/2=82.5分眾數(shù)：85分（出現(xiàn)2次，其他數(shù)僅出現(xiàn)1次）（2）樣本方差計(jì)算：首先計(jì)算各數(shù)據(jù)與均值的離均差平方和：(78-81.5)2=12.25；(85-81.5)2=12.25；(92-81.5)2=110.25；(65-81.5)2=272.25；(88-81.5)2=42.25；(72-81.5)2=90.25；(95-81.5)2=182.25；(80-81.5)2=2.25；(75-81.5)2=42.25；(85-81.5)2=12.25離均差平方和=12.25×3+110.25+272.25+42.25×2+90.25+182.25+2.25=885.5樣本方差=離均差平方和/(n-1)=885.5/9≈98.39樣本標(biāo)準(zhǔn)差=√98.39≈9.92分（3）偏態(tài)判斷：均值（81.5）<中位數(shù)（82.5），說明數(shù)據(jù)左偏（負(fù)偏態(tài)），即左側(cè)（低分端）有較長(zhǎng)的尾巴。三、分組數(shù)據(jù)描述統(tǒng)計(jì)3.某城市50家超市2023年12月的銷售額（單位：萬(wàn)元）分組如下：|銷售額區(qū)間（萬(wàn)元）|頻數(shù)（家）||-------------------|------------||[50,70)|8||[70,90)|15||[90,110)|20||[110,130]|7|（1）計(jì)算銷售額的均值（用組中值近似）；（2）計(jì)算中位數(shù)所在組，并估計(jì)中位數(shù)；（3）計(jì)算眾數(shù)所在組，并估計(jì)眾數(shù)。答案：（1）均值計(jì)算：組中值分別為60,80,100,120（萬(wàn)元）均值=(60×8+80×15+100×20+120×7)/50=(480+1200+2000+840)/50=4520/50=90.4萬(wàn)元（2）中位數(shù)所在組：累計(jì)頻數(shù)：第一組8，第二組8+15=23，第三組23+20=43，第四組43+7=50n=50，中位數(shù)位置為第25個(gè)數(shù)，落在第三組[90,110)（累計(jì)頻數(shù)23<25≤43）中位數(shù)估計(jì)公式：中位數(shù)=L+[(n/2-F)/f]×i其中L=90（中位數(shù)組下限），F(xiàn)=23（前一組累計(jì)頻數(shù)），f=20（中位數(shù)組頻數(shù)），i=20（組距）中位數(shù)=90+[(25-23)/20]×20=90+2=92萬(wàn)元（3）眾數(shù)所在組：頻數(shù)最大的組是第三組[90,110)（頻數(shù)20）眾數(shù)估計(jì)公式（皮爾遜經(jīng)驗(yàn)法或金氏公式，此處用金氏公式）：眾數(shù)=L+[Δ?/(Δ?+Δ?)]×iΔ?=20-15=5（眾數(shù)組頻數(shù)與前一組頻數(shù)之差），Δ?=20-7=13（眾數(shù)組頻數(shù)與后一組頻數(shù)之差）眾數(shù)=90+[5/(5+13)]×20≈90+5.56≈95.56萬(wàn)元四、概率與抽樣分布4.某批次電子元件的次品率為5%，從中隨機(jī)抽取20個(gè)元件進(jìn)行檢測(cè)。（1）求恰好有2個(gè)次品的概率；（2）求至少有1個(gè)次品的概率；（3）若用正態(tài)分布近似二項(xiàng)分布，計(jì)算抽取20個(gè)元件中次品數(shù)不超過3個(gè)的概率（需驗(yàn)證近似條件）。答案：設(shè)X為次品數(shù)，X~B(n=20,p=0.05)（1）恰好2個(gè)次品的概率：P(X=2)=C(20,2)×(0.05)2×(0.95)^18C(20,2)=190，(0.05)2=0.0025，(0.95)^18≈0.400P(X=2)=190×0.0025×0.400≈0.190（2）至少1個(gè)次品的概率：P(X≥1)=1-P(X=0)=1-C(20,0)×(0.05)^0×(0.95)^20≈1-1×1×0.358≈0.642（3）正態(tài)近似條件：np=20×0.05=1，n(1-p)=19，通常要求np≥5且n(1-p)≥5，此處np=1<5，嚴(yán)格來說不滿足近似條件，但假設(shè)仍使用近似：μ=np=1，σ=√[np(1-p)]=√(1×0.95)≈0.9747X~N(μ=1,σ2≈0.95)求P(X≤3)，需連續(xù)性修正，計(jì)算P(X≤3.5)Z=(3.5-1)/0.9747≈2.56查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，Z=2.56對(duì)應(yīng)概率≈0.9948因此P(X≤3)≈0.9948（注：因np<5，此近似誤差較大，實(shí)際精確值為P(X≤3)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)≈0.358+0.377+0.189+0.059≈0.983，近似值偏高）五、假設(shè)檢驗(yàn)（單樣本Z檢驗(yàn)）5.某品牌宣稱其生產(chǎn)的電池平均續(xù)航時(shí)間為200小時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)差為15小時(shí)（已知總體標(biāo)準(zhǔn)差）。質(zhì)檢部門隨機(jī)抽取36個(gè)電池測(cè)試，測(cè)得平均續(xù)航時(shí)間為195小時(shí)。在顯著性水平α=0.05下，檢驗(yàn)該品牌電池的平均續(xù)航時(shí)間是否低于宣稱值。答案：步驟1：設(shè)定假設(shè)H?:μ=200（平均續(xù)航時(shí)間等于宣稱值）H?:μ<200（平均續(xù)航時(shí)間低于宣稱值，單側(cè)檢驗(yàn)）步驟2：計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量Z=(x?-μ)/(σ/√n)=(195-200)/(15/√36)=(-5)/(15/6)=-5/2.5=-2步驟3：確定臨界值或p值α=0.05，單側(cè)檢驗(yàn)臨界值Zα=-1.645（左側(cè)檢驗(yàn)）計(jì)算得Z=-2<-1.645，落在拒絕域內(nèi)步驟4：結(jié)論拒絕原假設(shè)，在α=0.05水平下，認(rèn)為該品牌電池的平均續(xù)航時(shí)間顯著低于宣稱的200小時(shí)。六、兩樣本t檢驗(yàn)（獨(dú)立樣本）6.為比較兩種教學(xué)方法的效果，隨機(jī)將40名學(xué)生分為兩組，每組20人。甲組采用傳統(tǒng)教學(xué)，乙組采用互動(dòng)式教學(xué)，期末統(tǒng)計(jì)學(xué)成績(jī)?nèi)缦拢▎挝唬悍郑杭捉M：72,75,80,68,78,82,70,76,85,79,65,81,73,77,83,69,74,84,71,86乙組：85,88,92,79,90,87,83,95,81,89,78,91,84,86,93,80,82,94,77,85假設(shè)兩總體方差未知但相等，在α=0.05下檢驗(yàn)兩種教學(xué)方法的平均成績(jī)是否有顯著差異。答案：步驟1：計(jì)算兩組均值與樣本方差甲組數(shù)據(jù)求和：72+75+…+86=1560，均值x??=1560/20=78分甲組離均差平方和：計(jì)算得Σ(x?i-x??)2=(72-78)2+…+(86-78)2=36+9+…+64=672，樣本方差s?2=672/19≈35.37乙組數(shù)據(jù)求和：85+88+…+85=1740，均值x??=1740/20=87分乙組離均差平方和：Σ(x?i-x??)2=(85-87)2+…+(85-87)2=4+1+…+4=440，樣本方差s?2=440/19≈23.16步驟2：計(jì)算合并方差s_p2=[(n?-1)s?2+(n?-1)s?2]/(n?+n?-2)=(19×35.37+19×23.16)/38=(672+440)/38=1112/38≈29.26步驟3：計(jì)算t統(tǒng)計(jì)量t=(x??-x??)/[s_p×√(1/n?+1/n?)]=(78-87)/[√29.26×√(1/20+1/20)]=(-9)/[5.41×√0.1]=(-9)/(5.41×0.316)≈-9/1.71≈-5.26步驟4：確定臨界值與結(jié)論自由度df=n?+n?-2=38，α=0.05雙側(cè)檢驗(yàn)，臨界值t?.025(38)≈2.024（近似用t?.025(40)=2.021）計(jì)算得|t|=5.26>2.024，拒絕原假設(shè)，認(rèn)為兩種教學(xué)方法的平均成績(jī)有顯著差異（乙組更高）。七、卡方獨(dú)立性檢驗(yàn)7.某醫(yī)院調(diào)查1000名患者的吸煙習(xí)慣與肺癌患病情況，數(shù)據(jù)如下：||患肺癌|未患肺癌|合計(jì)||------------|--------|----------|------||吸煙|120|380|500||不吸煙|30|470|500||合計(jì)|150|850|1000|在α=0.05下檢驗(yàn)吸煙與肺癌是否獨(dú)立。答案：步驟1：設(shè)定假設(shè)H?:吸煙與肺癌獨(dú)立（無關(guān)聯(lián)）H?:吸煙與肺癌不獨(dú)立（有關(guān)聯(lián)）步驟2：計(jì)算期望頻數(shù)E_ijE_吸煙患肺癌=(500×150)/1000=75E_吸煙未患肺癌=(500×850)/1000=425E_不吸煙患肺癌=(500×150)/1000=75E_不吸煙未患肺癌=(500×850)/1000=425步驟3：計(jì)算卡方統(tǒng)計(jì)量χ2=Σ[(O_ij-E_ij)2/E_ij]=(120-75)2/75+(380-425)2/425+(30-75)2/75+(470-425)2/425=(2025/75)+(2025/425)+(2025/75)+(2025/425)=27+4.76+27+4.76≈63.52步驟4：確定臨界值與結(jié)論自由度df=(r-1)(c-1)=(2-1)(2-1)=1，α=0.05時(shí)臨界值χ2?.05(1)=3.841計(jì)算得χ2=63.52>3.841，拒絕原假設(shè)，認(rèn)為吸煙與肺癌患病情況不獨(dú)立（存在關(guān)聯(lián)）。八、相關(guān)與回歸分析8.某地區(qū)10個(gè)城鎮(zhèn)的人均教育支出（x，萬(wàn)元）與人均GDP（y，萬(wàn)元）數(shù)據(jù)如下：x:0.8,1.2,1.5,2.0,2.5,3.0,3.5,4.0,4.5,5.0y:5.2,6.8,7.5,9.0,10.5,12.0,13.5,15.0,16.5,18.0（1）計(jì)算Pearson相關(guān)系數(shù)；（2）建立y關(guān)于x的簡(jiǎn)單線性回歸方程；（3）解釋回歸系數(shù)的實(shí)際意義；（4）預(yù)測(cè)當(dāng)人均教育支出為6.0萬(wàn)元時(shí)，人均GDP的估計(jì)值。答案：（1）Pearson相關(guān)系數(shù)r計(jì)算：首先計(jì)算均值：x?=(0.8+…+5.0)/10=27/10=2.7萬(wàn)元；?=(5.2+…+18.0)/10=103/10=10.3萬(wàn)元計(jì)算離均差乘積和：Σ(xi-x?)(yi-?)=(0.8-2.7)(5.2-10.3)+(1.2-2.7)(6.8-10.3)+…+(5.0-2.7)(18.0-10.3)=(-1.9)(-5.1)+(-1.5)(-3.5)+(-1.2)(-2.8)+(-0.7)(-1.3)+(-0.2)(0.2)+(0.3)(1.7)+(0.8)(3.2)+(1.3)(4.7)+(1.8)(6.2)+(2.3)(7.7)=9.69+5.25+3.36+0.91-0.04+0.51+2.56+6.11+11.16+17.71=57.21計(jì)算x的離均差平方和：Σ(xi-x?)2=(-1.9)2+(-1.5)2+…+(2.3)2=3.61+2.25+1.44+0.49+0.04+0.09+0.64+1.69+3.24+5.29=18.78計(jì)算y的離均差平方和：Σ(yi-?)2=(-5.1)2+(-3.5)2+…+(7.7)2=26.01+12.25+7.84+1.69+0.04+2.89+10.24+22.09+38.44+59.29=180.78r=57.21/√(18.78×180.78)=57.21/√(3395.5)=57.21/58.27≈0.982（高度正相關(guān)）（2）回歸方程y=α+βxβ=Σ(xi-x?)(yi-?)/Σ(xi-x?)2=57.21/18.78≈3.05α=?-βx?=10.3-3.05×2.7≈10.3-8.235≈2.065回歸方程：y=2.065+3.05x（3）回歸系數(shù)β=3.05表示：人均教育支出每增加1萬(wàn)元，人均GDP平均增加約3.05萬(wàn)元。（4）當(dāng)x=6.0萬(wàn)元時(shí)，y=2.065+3.05×6=2.065+18.3=20.365萬(wàn)元，即人均GDP估計(jì)值約為20.37萬(wàn)元。九、置信區(qū)間估計(jì)9.某網(wǎng)站隨機(jī)抽取500名用戶，調(diào)查其日均使用時(shí)長(zhǎng)（單位：分鐘），樣本均值為120分鐘，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為30分鐘。（1）計(jì)算總體均值的95%置信區(qū)間；（2）若要求置信區(qū)間寬度不超過10分鐘，至少需要調(diào)查多少用戶（置信水平95%）？答案：（1）總體均值的95%置信區(qū)間（大樣本，用Z分布）：置信區(qū)間=x?±Zα/2×(s/√n)Z?.025=1.96，s=30，n=500邊際誤差E=1.96×(30/√500)=1.96×(30/22.36)≈1.96×1.34≈2.63置信區(qū)間=120±2.63，即(117.37,122.63)分鐘（2）要求置信區(qū)間寬度≤10分鐘，即2E≤10，E≤5E=Zα/2×(s/√n)≤5→√n≥Zα/2×s/E→n≥(Zα/2×s/E)2代入Z=1.96，s=30，E=5：n≥(1.96×30/5)2=(11.76)2≈138.29，故至少需要調(diào)查139名用戶。十、方差分析（單因素）10.某企業(yè)研發(fā)三種新型涂料，測(cè)試其干燥時(shí)間（單位：分鐘），數(shù)據(jù)如下：涂料A：45,48,50,52,47涂料B：55,58,60,56,59涂料C：65,68,70,66,67在α=0.05下檢驗(yàn)三種涂料的平均干燥時(shí)間是否有顯著差異。答案：步驟1：計(jì)算各組均值與總均值涂料A均值x??=(45+48+50+52+47)/5=242/5=48.4涂料B均值x??=(55+58+60+56+59)/