統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)習(xí)題含答案一、描述統(tǒng)計(jì)習(xí)題1.某班級(jí)50名學(xué)生數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)成績(jī)?nèi)缦拢▎挝唬悍郑?2,75,81,58,93,72,68,85,79,64,88,77,91,69,73,80,70,55,84,76,67,82,74,90,61,78,86,65,83,71,59,87,63,75,89,66,72,92,57,81,60,77,85,68,79,94,74,80,62,76（1）將數(shù)據(jù)按組距10分進(jìn)行分組，編制頻數(shù)分布表（包含頻數(shù)、頻率、累積頻數(shù)、累積頻率）；（2）計(jì)算均值、中位數(shù)、眾數(shù)；（3）計(jì)算方差、標(biāo)準(zhǔn)差、四分位差；（4）繪制直方圖，并描述數(shù)據(jù)分布特征。解答：（1）頻數(shù)分布表編制步驟：-確定最小值55，最大值94，全距=94-55=39，組距10分，分組為[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]。-統(tǒng)計(jì)各組頻數(shù)：[50,60)：55,57,58,59→4個(gè)；[60,70)：60,61,62,62,63,64,65,66,67,68,68,69→12個(gè)；[70,80)：70,71,72,72,73,74,74,75,75,76,76,77,77,78,79,79→16個(gè)；[80,90)：80,80,81,81,82,83,84,85,85,86,87,88,89→13個(gè)；[90,100]：90,91,92,93,94→5個(gè)。頻數(shù)分布表如下：|成績(jī)區(qū)間|頻數(shù)|頻率（%）|累積頻數(shù)|累積頻率（%）||----------|------|-----------|----------|---------------||[50,60)|4|8.0|4|8.0||[60,70)|12|24.0|16|32.0||[70,80)|16|32.0|32|64.0||[80,90)|13|26.0|45|90.0||[90,100]|5|10.0|50|100.0|（2）集中趨勢(shì)計(jì)算：-均值（$\bar{x}$）：$\bar{x}=\frac{1}{50}\times(62+75+81+\dots+76)=\frac{3860}{50}=77.2$分。-中位數(shù)（$M_e$）：數(shù)據(jù)排序后第25、26個(gè)數(shù)的平均值。排序后第25個(gè)數(shù)為76，第26個(gè)數(shù)為77，故$M_e=\frac{76+77}{2}=76.5$分。-眾數(shù)（$M_0$）：出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)。觀察原始數(shù)據(jù)，72、75、76、77、79、80、81、85均出現(xiàn)2次，但[70,80)組頻數(shù)最高（16次），用公式近似：$M_0=L+\frac{\Delta_1}{\Delta_1+\Delta_2}\timesi=70+\frac{16-12}{(16-12)+(16-13)}\times10=70+\frac{4}{7}\times10\approx75.71$分。（3）離散程度計(jì)算：-方差（$s^2$）：先計(jì)算各數(shù)據(jù)與均值的離差平方和：$s^2=\frac{1}{n-1}\sum(x_i-\bar{x})^2=\frac{1}{49}\times[(62-77.2)^2+(75-77.2)^2+\dots+(76-77.2)^2]\approx\frac{1}{49}\times3888.8=79.36$。-標(biāo)準(zhǔn)差（$s$）：$s=\sqrt{79.36}\approx8.91$分。-四分位差（$Q$）：先求第一四分位數(shù)（$Q_1$）和第三四分位數(shù)（$Q_3$）。$Q_1$位置：$\frac{n+1}{4}=12.75$，第12個(gè)數(shù)為72，第13個(gè)數(shù)為73，故$Q_1=72+0.75\times(73-72)=72.75$；$Q_3$位置：$\frac{3(n+1)}{4}=38.25$，第38個(gè)數(shù)為82，第39個(gè)數(shù)為83，故$Q_3=82+0.25\times(83-82)=82.25$；四分位差$Q=Q_3-Q_1=82.25-72.75=9.5$分。（4）直方圖：以成績(jī)區(qū)間為橫軸，頻數(shù)為縱軸，繪制矩形圖，其中[70,80)組矩形最高，數(shù)據(jù)分布略呈左偏（左側(cè)有少量低分?jǐn)?shù)據(jù)），集中趨勢(shì)在75分左右。二、概率基礎(chǔ)習(xí)題2.某超市開展抽獎(jiǎng)活動(dòng)，獎(jiǎng)箱中有100張獎(jiǎng)券，其中一等獎(jiǎng)2張（獎(jiǎng)金500元），二等獎(jiǎng)5張（獎(jiǎng)金100元），三等獎(jiǎng)10張（獎(jiǎng)金20元），其余為謝謝參與。（1）隨機(jī)抽取1張獎(jiǎng)券，求中獎(jiǎng)（至少中三等獎(jiǎng)）的概率；（2）連續(xù)抽取2張獎(jiǎng)券（不放回），求恰好中1張一等獎(jiǎng)的概率；（3）若抽取1張獎(jiǎng)券后放回，重復(fù)抽取3次，求至少中1次獎(jiǎng)的概率。解答：（1）中獎(jiǎng)的獎(jiǎng)券數(shù)=2+5+10=17張，總獎(jiǎng)券100張，故中獎(jiǎng)概率$P=\frac{17}{100}=0.17$。（2）不放回抽取2張，恰好1張一等獎(jiǎng)的情況有兩種：第一次中一等獎(jiǎng)、第二次不中；或第一次不中、第二次中一等獎(jiǎng)。計(jì)算概率：$P=\frac{2}{100}\times\frac{98}{99}+\frac{98}{100}\times\frac{2}{99}=\frac{2\times98\times2}{100\times99}=\frac{392}{9900}\approx0.0396$（或用組合數(shù)計(jì)算：$\frac{C(2,1)C(98,1)}{C(100,2)}=\frac{2\times98}{4950}\approx0.0396$）。（3）每次抽取不中獎(jiǎng)的概率為$1-0.17=0.83$，3次都不中獎(jiǎng)的概率為$0.83^3\approx0.5718$，故至少中1次獎(jiǎng)的概率為$1-0.5718=0.4282$。3.某疾病在人群中的患病率為0.5%，現(xiàn)有一種檢測(cè)方法，患病者檢測(cè)陽性的概率為95%（靈敏度），未患病者檢測(cè)陰性的概率為99%（特異度）。若某人檢測(cè)結(jié)果為陽性，求其實(shí)際患病的概率。解答：設(shè)事件$A$為“患病”，事件$B$為“檢測(cè)陽性”，則已知：$P(A)=0.005$，$P(\bar{A})=0.995$，$P(B|A)=0.95$，$P(\bar{B}|\bar{A})=0.99$，故$P(B|\bar{A})=1-0.99=0.01$。根據(jù)貝葉斯定理：$P(A|B)=\frac{P(B|A)P(A)}{P(B|A)P(A)+P(B|\bar{A})P(\bar{A})}=\frac{0.95\times0.005}{0.95\times0.005+0.01\times0.995}=\frac{0.00475}{0.00475+0.00995}=\frac{0.00475}{0.0147}\approx0.323$（即約32.3%）。三、概率分布習(xí)題4.某射手射擊命中率為0.8，獨(dú)立射擊5次。（1）求恰好命中3次的概率；（2）求命中次數(shù)的均值和方差；（3）若規(guī)定命中次數(shù)≥4次可獲獎(jiǎng)，求獲獎(jiǎng)概率。解答：設(shè)命中次數(shù)為$X$，則$X\simB(n=5,p=0.8)$。（1）恰好命中3次的概率：$P(X=3)=C(5,3)\times0.8^3\times0.2^2=10\times0.512\times0.04=0.2048$。（2）均值$E(X)=np=5\times0.8=4$；方差$Var(X)=np(1-p)=5\times0.8\times0.2=0.8$。（3）獲獎(jiǎng)概率$P(X\geq4)=P(X=4)+P(X=5)$：$P(X=4)=C(5,4)\times0.8^4\times0.2^1=5\times0.4096\times0.2=0.4096$；$P(X=5)=C(5,5)\times0.8^5=1\times0.32768=0.32768$；故獲獎(jiǎng)概率$=0.4096+0.32768=0.73728$。5.某醫(yī)院急診室每小時(shí)平均接診3名患者，假設(shè)患者到達(dá)服從泊松分布。（1）求1小時(shí)內(nèi)接診2名患者的概率；（2）求1小時(shí)內(nèi)接診至少1名患者的概率；（3）求2小時(shí)內(nèi)接診5名患者的概率。解答：設(shè)每小時(shí)接診患者數(shù)為$X$，則$X\simP(\lambda=3)$；2小時(shí)內(nèi)接診患者數(shù)$Y\simP(\lambda=6)$（因泊松分布的可加性）。（1）$P(X=2)=\frac{e^{-3}\times3^2}{2!}=\frac{9\timese^{-3}}{2}\approx\frac{9\times0.0498}{2}\approx0.224$。（2）$P(X\geq1)=1-P(X=0)=1-\frac{e^{-3}\times3^0}{0!}=1-e^{-3}\approx1-0.0498=0.9502$。（3）$P(Y=5)=\frac{e^{-6}\times6^5}{5!}=\frac{7776\timese^{-6}}{120}\approx\frac{7776\times0.00248}{120}\approx0.1606$。6.某品牌手機(jī)電池續(xù)航時(shí)間服從正態(tài)分布$N(\mu=12,\sigma^2=4)$（單位：小時(shí)）。（1）求續(xù)航時(shí)間在10~14小時(shí)的概率；（2）求續(xù)航時(shí)間超過15小時(shí)的概率；（3）若要求95%的電池續(xù)航時(shí)間不低于$t$小時(shí)，求$t$值。解答：設(shè)續(xù)航時(shí)間為$X$，則$X\simN(12,4)$，標(biāo)準(zhǔn)化后$Z=\frac{X-12}{2}\simN(0,1)$。（1）$P(10<X<14)=P\left(\frac{10-12}{2}<Z<\frac{14-12}{2}\right)=P(-1<Z<1)=\Phi(1)-\Phi(-1)=0.8413-0.1587=0.6826$（約68.26%）。（2）$P(X>15)=P\left(Z>\frac{15-12}{2}\right)=P(Z>1.5)=1-\Phi(1.5)=1-0.9332=0.0668$（約6.68%）。（3）要求$P(X\geqt)=0.95$，即$P(X<t)=0.05$。查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，$\Phi(z)=0.05$對(duì)應(yīng)$z\approx-1.645$，故：$t=\mu+z\sigma=12+(-1.645)\times2=12-3.29=8.71$小時(shí)。四、抽樣分布與參數(shù)估計(jì)習(xí)題7.某城市家庭月收入服從正態(tài)分布，均值$\mu=8000$元，標(biāo)準(zhǔn)差$\sigma=2000$元。隨機(jī)抽取25戶家庭，求樣本均值$\bar{X}$的分布，并計(jì)算$\bar{X}$在7500~8500元的概率。解答：根據(jù)中心極限定理，若總體為正態(tài)分布$N(\mu,\sigma^2)$，則樣本均值$\bar{X}\simN\left(\mu,\frac{\sigma^2}{n}\right)$。本題中$n=25$，故$\bar{X}\simN\left(8000,\frac{2000^2}{25}\right)=N(8000,160000)$（即均值8000，標(biāo)準(zhǔn)差400元）。計(jì)算$\bar{X}$在7500~8500元的概率：$P(7500<\bar{X}<8500)=P\left(\frac{7500-8000}{400}<Z<\frac{8500-8000}{400}\right)=P(-1.25<Z<1.25)=\Phi(1.25)-\Phi(-1.25)=0.8944-0.1056=0.7888$（約78.88%）。8.某工廠生產(chǎn)零件，隨機(jī)抽取36個(gè)，測(cè)得平均長(zhǎng)度為20.5mm，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為0.6mm。求總體均值的95%置信區(qū)間。解答：總體方差未知，樣本量$n=36$（大樣本），可用$t$分布或$Z$分布近似。此處用$Z$分布（$n\geq30$），置信水平95%對(duì)應(yīng)$Z_{\alpha/2}=1.96$。置信區(qū)間公式：$\bar{x}\pmZ_{\alpha/2}\times\frac{s}{\sqrt{n}}$。代入數(shù)據(jù)：$20.5\pm1.96\times\frac{0.6}{\sqrt{36}}=20.5\pm1.96\times0.1=20.5\pm0.196$，即$(20.304,20.696)$mm。五、假設(shè)檢驗(yàn)習(xí)題9.某品牌奶粉宣稱每100g蛋白質(zhì)含量不低于25g。質(zhì)檢部門隨機(jī)抽取25袋奶粉，測(cè)得平均蛋白質(zhì)含量為24.5g，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為1.2g。假設(shè)蛋白質(zhì)含量服從正態(tài)分布，檢驗(yàn)該品牌奶粉的宣稱是否成立（$\alpha=0.05$）。解答：（1）建立假設(shè)：$H_0:\mu\geq25$（宣稱成立）；$H_1:\mu<25$（單側(cè)檢驗(yàn)）。（2）檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：總體方差未知，用$t$統(tǒng)計(jì)量，$t=\frac{\bar{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}}=\frac{24.5-25}{1.2/\sqrt{25}}=\frac{-0.5}{0.24}\approx-2.083$。（3）自由度$df=n-1=24$，$\alpha=0.05$，單側(cè)檢驗(yàn)臨界值$t_{0.05}(24)=-1.711$（左尾）。（4）計(jì)算得$t=-2.083<-1.711$，落在拒絕域，故拒絕原假設(shè)，認(rèn)為該品牌奶粉蛋白質(zhì)含量低于宣稱值。10.為比較兩種教學(xué)方法的效果，隨機(jī)將學(xué)生分為兩組，甲組30人采用方法A，乙組25人采用方法B，期末數(shù)學(xué)成績(jī)?nèi)缦拢杭捉M平均82分，標(biāo)準(zhǔn)差5分；乙組平均78分，標(biāo)準(zhǔn)差6分。檢驗(yàn)兩種方法效果是否有顯著差異（$\alpha=0.05$）。解答：（1）假設(shè)：$H_0:\mu_1=\mu_2$；$H_1:\mu_1\neq\mu_2$（雙側(cè)檢驗(yàn)）。（2）兩樣本獨(dú)立，總體方差未知且不等（$s_1^2=25,s_2^2=36$），用近似$t$檢驗(yàn)（Welch-Satterthwaite公式）。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：$t=\frac{\bar{x}_1-\bar{x}_2}{\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}}}=\frac{82-78}{\sqrt{\frac{25}{30}+\frac{36}{25}}}=\frac{4}{\sqrt{0.833+1.44}}=\frac{4}{\sqrt{2.273}}\approx\frac{4}{1.508}\approx2.65$。（3）自由度近似：$df=\frac{\left(\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}\right)^2}{\frac{(s_1^2/n_1)^2}{n_1-1}+\frac{(s_2^2/n_2)^2}{n_2-1}}=\frac{(0.833+1.44)^2}{\frac{0.833^2}{29}+\frac{1.44^2}{24}}\approx\frac{5.167}{0.024+0.086}\approx51.67$，取$df=50$。（4）$\alpha=0.05$，雙側(cè)檢驗(yàn)臨界值$t_{0.025}(50)\approx2.009$。計(jì)算得$t=2.65>2.009$，拒絕原假設(shè)，認(rèn)為兩種教學(xué)方法效果有顯著差異。六、相關(guān)與回歸分析習(xí)題11.某公司記錄了10個(gè)月的廣告投入（$x$，萬元）與銷售額（$y$，萬元）數(shù)據(jù)如下：(2,30),(3,40),(4,45),(5,50),(6,55),(7,60),(8,65),(9,70),(10,75),(11,80)（1）計(jì)算廣告投入與銷售額的皮爾遜相關(guān)系數(shù)；（2）建立銷售額對(duì)廣告投入的一元線性回歸方程；（3）解釋回歸系數(shù)的意義，并預(yù)測(cè)廣告投入為12萬元時(shí)的銷售額。解答：（1）相關(guān)系數(shù)