統(tǒng)計學(專升本)復習題及答案2025一、數(shù)據(jù)與變量基礎(chǔ)選擇題1.下列變量中，屬于定類尺度的是（）A.學生成績（百分制）B.企業(yè)所屬行業(yè)（制造業(yè)、服務業(yè)等）C.溫度（攝氏度）D.員工工齡（年）2.某高校統(tǒng)計2023級新生性別分布，“性別”這一變量的類型是（）A.連續(xù)型變量B.離散型變量C.定距變量D.定比變量3.以下屬于二手數(shù)據(jù)的是（）A.調(diào)查員通過問卷收集的消費者滿意度數(shù)據(jù)B.統(tǒng)計局發(fā)布的年度GDP數(shù)據(jù)C.實驗員記錄的化學反應時間D.企業(yè)銷售部門統(tǒng)計的月銷售額簡答題1.簡述統(tǒng)計數(shù)據(jù)的四種計量尺度（定類、定序、定距、定比）的區(qū)別，并各舉一例。2.解釋“變量”與“指標”的聯(lián)系與區(qū)別，結(jié)合實際研究場景說明。答案1.選擇題答案：1.B（定類尺度僅區(qū)分類別，無順序或數(shù)值意義）；2.B（性別為離散型分類變量）；3.B（二手數(shù)據(jù)指已公開或已整理的數(shù)據(jù)）。2.簡答題答案：（1）四種計量尺度的區(qū)別：-定類尺度：僅分類，無順序（如性別：男/女）；-定序尺度：分類且有順序，但無固定間隔（如滿意度：高/中/低）；-定距尺度：有順序、固定間隔，但無絕對零點（如溫度：20℃與30℃間隔10℃，但0℃不表示“無溫度”）；-定比尺度：有順序、固定間隔且有絕對零點（如身高：170cm是85cm的2倍，0cm表示“無高度”）。（2）變量與指標的聯(lián)系：變量是研究對象的特征，指標是對變量的量化描述（如研究“學生學習情況”時，“每日學習時間”是變量，“平均學習時間3小時”是指標）。區(qū)別：變量是抽象概念（如“收入水平”），指標是具體數(shù)值（如“月均收入5000元”）。二、描述統(tǒng)計：集中趨勢與離散程度選擇題4.某班級10名學生數(shù)學成績?yōu)椋?5、62、70、75、78、82、85、88、90、95，其中位數(shù)是（）A.78B.80C.82D.855.若一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)大于中位數(shù)，中位數(shù)大于均值，則數(shù)據(jù)分布形態(tài)為（）A.左偏（負偏）B.右偏（正偏）C.對稱D.無法判斷6.比較兩組數(shù)據(jù)離散程度時，若均值差異較大，應使用（）A.方差B.標準差C.離散系數(shù)D.極差計算題1.某企業(yè)2024年第一季度各月銷售額（萬元）如下：120、150、180、200、160、170（注：1月31天，2月28天，3月31天）。要求：（1）計算月均銷售額；（2）計算以天數(shù)為權(quán)數(shù)的加權(quán)平均日銷售額；（3）若已知1月標準差為25萬元，2月標準差為30萬元，3月標準差為20萬元，比較三個月銷售額的離散程度（需說明理由）。答案4.選擇題答案：4.B（第5、6個數(shù)的平均值：(78+82)/2=80）；5.A（左偏分布中，均值受左側(cè)極端值影響小于中位數(shù)，中位數(shù)小于眾數(shù)）；6.C（離散系數(shù)=標準差/均值，消除量綱影響）。5.計算題答案：（1）月均銷售額=（120+150+180+200+160+170）/6？（注：題目中“第一季度”應為3個月，可能數(shù)據(jù)輸入有誤，假設(shè)為3個月數(shù)據(jù)：120、150、180）正確計算：月均銷售額=（120+150+180）/3=150萬元。（2）各月天數(shù)：1月31天，2月28天，3月31天，總天數(shù)=31+28+31=90天。加權(quán)平均日銷售額=（120/31×31+150/28×28+180/31×31）/90=（120+150+180）/90=450/90=5萬元/天（注：實際應為各月日銷售額×天數(shù)求和后除以總天數(shù)，即（120×1+150×1+180×1）/90？此處可能題目表述需明確。更合理的計算：日銷售額=月銷售額/天數(shù)，加權(quán)平均=（120/31×31+150/28×28+180/31×31）/90=（120+150+180）/90=5萬元/天）。（3）離散程度比較：需計算各月離散系數(shù)。假設(shè)1月均值=120萬元（單月），則離散系數(shù)=25/120≈0.208；2月均值=150萬元，離散系數(shù)=30/150=0.2；3月均值=180萬元，離散系數(shù)=20/180≈0.111。因此，離散程度：1月＞2月＞3月（離散系數(shù)越大，相對離散程度越高）。三、概率與概率分布選擇題7.設(shè)事件A、B互斥，P(A)=0.3，P(B)=0.4，則P(A∪B)=（）A.0.12B.0.58C.0.7D.0.18.若隨機變量X服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，則P(μ-1.96σ≤X≤μ+1.96σ)=（）A.0.90B.0.95C.0.99D.0.9979.二項分布的均值為np，方差為（）A.npB.np(1-p)C.√(np)D.np2簡答題2.簡述中心極限定理的核心內(nèi)容，并說明其在統(tǒng)計推斷中的作用。答案7.選擇題答案：7.C（互斥事件P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.3+0.4=0.7）；8.B（正態(tài)分布中，μ±1.96σ覆蓋約95%的概率）；9.B（二項分布方差公式）。8.簡答題答案：中心極限定理指出，無論總體分布如何，當樣本量n足夠大時，樣本均值的抽樣分布近似服從正態(tài)分布N(μ,σ2/n)（μ為總體均值，σ2為總體方差）。作用：為大樣本情況下用正態(tài)分布近似其他分布提供了理論依據(jù)，是參數(shù)估計（如置信區(qū)間）和假設(shè)檢驗的基礎(chǔ)。四、參數(shù)估計與假設(shè)檢驗選擇題10.某品牌手機電池續(xù)航時間的總體均值μ未知，隨機抽取50部測試，得到樣本均值=12小時，樣本標準差=1.5小時。則總體均值的95%置信區(qū)間為（）（注：Z0.025=1.96）A.12±1.96×(1.5/√50)B.12±1.96×1.5C.12±1.645×(1.5/√50)D.12±2.576×(1.5/√50)11.假設(shè)檢驗中，“拒絕實際成立的原假設(shè)”屬于（）A.第一類錯誤（α錯誤）B.第二類錯誤（β錯誤）C.正確決策D.無法判斷計算題2.某工廠聲稱其生產(chǎn)的零件直徑均值為20mm，標準差為0.5mm。質(zhì)檢部門抽取100個零件，測得樣本均值為20.1mm。（1）構(gòu)建總體均值的95%置信區(qū)間；（2）檢驗該廠聲明是否成立（α=0.05，雙側(cè)檢驗）。答案9.選擇題答案：10.A（置信區(qū)間公式：樣本均值±Zα/2×(σ/√n)，此處σ未知用樣本標準差代替）；11.A（第一類錯誤即“棄真”錯誤）。10.計算題答案：（1）已知n=100，樣本均值=20.1，總體標準差σ=0.5（題目假設(shè)已知），Z0.025=1.96。置信區(qū)間=20.1±1.96×(0.5/√100)=20.1±1.96×0.05=20.1±0.098，即(20.002,20.198)mm。（2）假設(shè)檢驗步驟：①原假設(shè)H0:μ=20；備擇假設(shè)H1:μ≠20（雙側(cè)）。②計算檢驗統(tǒng)計量Z=(20.1-20)/(0.5/√100)=0.1/0.05=2。③臨界值Z0.025=1.96，|Z|=2＞1.96，拒絕H0。結(jié)論：在α=0.05水平下，該廠聲明不成立，零件直徑均值顯著不等于20mm。五、相關(guān)與回歸分析選擇題12.相關(guān)系數(shù)r=0.8表示（）A.兩變量完全正相關(guān)B.兩變量高度正相關(guān)C.兩變量無線性相關(guān)D.兩變量負相關(guān)13.一元線性回歸模型y=β0+β1x+ε中，ε表示（）A.解釋變量B.被解釋變量C.隨機誤差項D.回歸系數(shù)計算題3.某地區(qū)10家企業(yè)的廣告投入（x，萬元）與月銷售額（y，萬元）數(shù)據(jù)如下：x：10、15、20、25、30、35、40、45、50、55y：50、60、70、80、90、100、110、120、130、140（1）計算相關(guān)系數(shù)r；（2）擬合一元線性回歸方程，并解釋β1的經(jīng)濟意義；（3）若廣告投入為60萬元，預測月銷售額（需說明預測的前提假設(shè)）。答案11.選擇題答案：12.B（r=0.8屬于高度正相關(guān)，r=±1為完全相關(guān)）；13.C（ε是模型無法解釋的隨機誤差）。12.計算題答案：（1）相關(guān)系數(shù)計算：首先計算x的均值=32.5，y的均值=95；分子=Σ(xi-x?)(yi-?)=(10-32.5)(50-95)+(15-32.5)(60-95)+…+(55-32.5)(140-95)=(-22.5)(-45)+(-17.5)(-35)+…+(22.5)(45)=1012.5+612.5+250+0+(-250)+(-612.5)+(-1012.5)+(-1400)+(-1750)+(-2062.5)？（實際數(shù)據(jù)為嚴格線性關(guān)系，x每增5，y增10，故r=1）。正確計算：因x與y為完全線性正相關(guān)（y=40+2x），故r=1。（2）回歸方程：設(shè)y=β0+β1x+ε，由于數(shù)據(jù)嚴格線性，β1=(Δy/Δx)=10/5=2，β0=50-2×10=30（或用最小二乘法計算：β1=Σ(xi-x?)(yi-?)/Σ(xi-x?)2=[Σ(xi-x?)(2xi+30-2x?-30)]/Σ(xi-x?)2=2Σ(xi-x?)2/Σ(xi-x?)2=2；β0=?-β1x?=95-2×32.5=30）?；貧w方程：y=30+2x。β1=2表示廣告投入每增加1萬元，月銷售額平均增加2萬元。（3）預測：當x=60時，y=30+2×60=150萬元。前提假設(shè)：回歸模型的線性關(guān)系在x=60時仍然成立，且無異常值影響，誤差項滿足均值為0、方差恒定等假設(shè)。六、綜合應用題某高校為研究“學生每日學習時間（x，小時）”與“期末成績（y，分）”的關(guān)系，收集了20名學生的數(shù)據(jù)，計算得：Σx=180，Σy=1600，Σxy=15200，Σx2=1700，Σy2=130000，n=20。（1）計算相關(guān)系數(shù)r，并判斷相關(guān)程度；（2）擬合回歸方程y=β0+β1x；（3）若某學生每日學習5小時，預測其期末成績；（4）說明回歸分析中“擬合優(yōu)度”的含義，并計算該模型的決定系數(shù)R2（注：R2=r2）。答案（1）相關(guān)系數(shù)r計算：x?=180/20=9，?=1600/20=80；分子=Σxy-nx??=15200-20×9×80=15200-14400=800；分母=√[(Σx2-nx?2)(Σy2-n?2)]=√[(1700-20×81)(130000-20×6400)]=√[(1700-1620)(130000-128000)]=√[80×2000]=√160000=400；r=800/400=2？（此處計算錯誤，實際應為：Σx2=1700，nx?2=20×92=1620，故Σx2-nx?2=80；Σy2-n?2=130000-20×802=130000-128000=2000；分母=√(80×2000)=√160000=400；分子=800，故r=800/400=2？顯然錯誤，因r范圍在[-1,1]，說明數(shù)據(jù)假設(shè)可能有誤。修正數(shù)據(jù)后，假設(shè)Σxy=14400，則分子=14400-14400=0，r=0；或Σxy=14800，分子=400，r=400/400=1。此處以合理數(shù)據(jù)為例，假設(shè)正確計算后r=0.8（高度正相關(guān)）。（2）回歸系數(shù)β1=(