山東名?？荚嚶?lián)盟2024-2025學(xué)年高二年級(jí)下學(xué)期期中檢測(cè)數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.2.回答第Ⅰ卷時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3.回答第Ⅱ卷時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.第Ⅰ卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知函數(shù)，則（）A.1 B.2 C.4 D.8【答案】B【解析】由，則.故選：B.2.已知的展開(kāi)式中，第2項(xiàng)和第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則n的值為（）A.6 B.7 C.8 D.9【答案】A【解析】因?yàn)榈?項(xiàng)和第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則，所以.故選：A.3.已知隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，且.設(shè)，則（）A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.6【答案】D【解析】由題意可知：，因?yàn)?，所?故選：D.4.已知函數(shù)，則在上的增區(qū)間為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由函數(shù)，可得，令，可得或，令，即，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.故選：B.5.下列k的值能使等式（）成立的是（）A.25 B.50 C.75 D.100【答案】C【解析】由，則，則，則或.故選：C.6.將標(biāo)有序號(hào)1，2，3的三個(gè)小球放入標(biāo)有序號(hào)1，2，3，4的四個(gè)盒子里，每個(gè)盒子最多一個(gè)小球，且要求小球和盒子的序號(hào)均不對(duì)應(yīng)相同，則所有放法的種數(shù)為（）A.7 B.9 C.11 D.13【答案】C【解析】若盒子序號(hào)為1，2，3，則球的序號(hào)依次為2，3，1或3，1，2，共有2種放法；若盒子序號(hào)為1，2，4或1，3，4，或2，3，4，根據(jù)對(duì)稱性可知不同的方法種數(shù)相同，例如盒子序號(hào)為1，2，4，則球的序號(hào)依次為2，3，1或2，1，3或3，1，2，共有3種放法；所以所有放法的種數(shù)為.故選：C.7.已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則a的最小值為（）A. B. C. D.1【答案】C【解析】因?yàn)?，由題意可知在區(qū)間上恒成立，可得在區(qū)間上恒成立，構(gòu)建，，則，令，解得；令，解得；可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，可得，所以a的最小值為.故選：C.8.已知定義在上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，滿足，，當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】令，則，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，又，則，，由，得，即，則，即是奇函數(shù)，所以是偶函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以，，又，所以即，則，所以不等式的解集為.故選：B．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.隨機(jī)交量X的分布列為X123Pa則下列說(shuō)法正確的是（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】由題意可知：，解得，可得隨機(jī)交量X的分布列為X123P對(duì)于選項(xiàng)A：，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：因，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)椋矗獾?，故D正確；故選：ABD.10.已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.，B.的對(duì)稱中心為C.過(guò)原點(diǎn)有兩條直線與的圖象相切D.若有兩個(gè)極值點(diǎn)，，則【答案】BCD【解析】因?yàn)?，則，對(duì)于選項(xiàng)A：例如，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)?，所以的?duì)稱中心為，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則切線斜率，可得切線方程為，代入可得，整理可得，解得或，所以過(guò)原點(diǎn)有兩條直線與的圖象相切，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：若有兩個(gè)極值點(diǎn)，，即有2個(gè)不同的實(shí)根，則，解得，且，由選項(xiàng)B可得：，故D正確；故選：BCD.11.若a和b是兩個(gè)用n位二進(jìn)制表達(dá)的碼，設(shè)，，其中，，，2，…，n.若的數(shù)目為l，則稱l為a，b的漢明（Hamming）距離，記為.則（）A.若a，b均為由3個(gè)0和2個(gè)1組成的5位二進(jìn)制表達(dá)的碼，則最大為4B.若a，b均為6位二進(jìn)制表達(dá)的碼，其中，若，則b碼有42種可能C.若a，b，c，d均為5位二進(jìn)制表達(dá)的碼，，則a和d不可能相同D.若c也是用n位二進(jìn)制表達(dá)的碼，若，，當(dāng)時(shí)稱c為a的“近似碼”，同樣，當(dāng)時(shí)稱c為b的“近似碼”，若，則c不可能同時(shí)為a，b的“近似碼”【答案】ABD【解析】選項(xiàng)A，因?yàn)?，各含?個(gè)0，則必有一個(gè)0是在相同位置的，則最大為4，A正確；選項(xiàng)B，分四種可能，即漢明距離為0，1，2，3，共有種可能，B正確：選項(xiàng)C，5位二進(jìn)制表達(dá)的碼的五個(gè)位置中，若是1，2位置不同，是1，3位置不同，則和可能相同，例如：，故C錯(cuò)誤：選項(xiàng)D，根據(jù)定義，漢明距離滿足，故若，則和不可能同時(shí)成立，D正確.故選：ABD第Ⅱ卷三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.由1，2，3，4，5組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字且1和3不相鄰的五位數(shù)的個(gè)數(shù)為_(kāi)_________.（用數(shù)字作答）【答案】72【解析】組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)的個(gè)數(shù)為；組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字且1和3相鄰的五位數(shù)的個(gè)數(shù)為；所以符合題意的五位數(shù)的個(gè)數(shù)為.故答案為：72.13.在實(shí)際生活中，進(jìn)行一些“敏感性問(wèn)題”的調(diào)查時(shí)，受訪者往往不愿當(dāng)面回答真實(shí)的觀點(diǎn)，于是可以采取一些措施避免受訪者直接回答所調(diào)查的問(wèn)題.例如，某校想調(diào)查某項(xiàng)新規(guī)在學(xué)生群體中的反響，可設(shè)置如下調(diào)查方式：受訪者在一個(gè)只含有黑、白兩個(gè)小球的箱子里隨機(jī)抽取一個(gè)（僅受訪者知道小球的顏色），若受訪者抽到的是黑球，則回答一個(gè)與調(diào)查無(wú)關(guān)的問(wèn)題：“你出生的月份是否為3的倍數(shù)（假設(shè)每個(gè)人出生在1-12月份的概率相同）”；若受訪者抽到的是白球，則回答調(diào)查的問(wèn)題：“你是否支持本條新校規(guī)？”.若最終調(diào)查結(jié)果是本校的學(xué)生支持學(xué)校新規(guī)，則在調(diào)查過(guò)程中，隨機(jī)抽一位受訪者，其回答“是”的概率是__________.【答案】【解析】設(shè)受訪者抽到白球和黑球分別為事件，受訪者回答“是”為事件，因?yàn)橄渥永镏缓泻凇變蓚€(gè)小球，所以，因?yàn)槊總€(gè)人出生在1-12月份的概率相同，1-12月是3的倍數(shù)的月份有共4個(gè)，所以出生的月份是3的倍數(shù)的概率為，即受訪者抽到黑球回答“是”的概率是，已知本校的學(xué)生支持學(xué)校新規(guī)，即受訪者抽到白球回答“是”的概率是，則隨機(jī)抽一位受訪者，其回答“是”的概率是.故答案為：.14.函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則m的取值范圍是__________.【答案】【解析】由題意可知：的定義域?yàn)?，且，令，可知在?nèi)單調(diào)遞增，原題意等價(jià)于在定義域?yàn)橛?個(gè)零點(diǎn)，令，可得，可知與（過(guò)原點(diǎn)的直線）有2個(gè)交點(diǎn)，對(duì)于，則，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則切線斜率，可得切線方程為，代入點(diǎn)，得，解得，即切線斜率，結(jié)合圖象可知：若與有2個(gè)交點(diǎn)，則，即，所以m的取值范圍是.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求在處的切線方程；（2）若在處取得極值，求的單調(diào)區(qū)間.解：（1）當(dāng)時(shí)，，則，則，又，所以在處的切線方程為，即.（2）由，，則，因?yàn)楹瘮?shù)在處取得極值，所以，即，此時(shí)，令，得；令，得，所以函數(shù)上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則在處取得極值，滿足題意，故，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.16.已知（）.（1）求二項(xiàng)展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；（2）求的值；（3）求的值.解：（1）∵，∴第五項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，

所以展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為；（2）由，令，則，展開(kāi)式的通項(xiàng)為：，所以，∴等于展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的和，在展開(kāi)式中，令，得各項(xiàng)系數(shù)之和為，即，則．（3）設(shè)，∴，

令，可得.17.已知.（1）若，求在區(qū)間上的最值；（2）求的極值；（3）當(dāng)時(shí)，對(duì)恒成立，求的取值范圍.解：（1）當(dāng)時(shí)，，則，令令所以函數(shù)在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增.且，所以在區(qū)間上的最大值為，最小值為（2）由，得，當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞增，此時(shí)無(wú)極值，當(dāng)時(shí)，令，令，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；所以在取得極小值，無(wú)極大值.（3）已知對(duì)恒成立，其中，將代入不等式可得，整理得，即對(duì)恒成立，令，則，因?yàn)椋?，令，即，解得，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；單調(diào)遞減；在單調(diào)遞增；所以在取得最小值，所以，令，設(shè)，因?yàn)?，所以，即，所以，因?yàn)椋?，所以，即，故的取值范圍?8.2025年春節(jié)期間，國(guó)產(chǎn)大模型DeepSeek成為全球AI領(lǐng)域的一顆新星，“人工智能”的概念更加深入人心.某校舉行“人工智能”知識(shí)競(jìng)賽，此次比賽共分三個(gè)環(huán)節(jié)，每一位選手必須前兩個(gè)環(huán)節(jié)都通過(guò)才能進(jìn)入最后的決賽環(huán)節(jié).前兩個(gè)環(huán)節(jié)是否通過(guò)是相互獨(dú)立的，任何一個(gè)環(huán)節(jié)失敗則立即停止比賽.現(xiàn)有甲、乙、丙三人參加比賽.甲通過(guò)前兩個(gè)環(huán)節(jié)的概率分別為和p.當(dāng)時(shí)，甲通過(guò)前兩個(gè)環(huán)節(jié)的概率最大.（1）求的值；（2）取，且前兩個(gè)環(huán)節(jié)中，乙和丙通過(guò)每一個(gè)環(huán)節(jié)的概率均為.（?。┣笄∮袃扇藘H通過(guò)第一個(gè)環(huán)節(jié)的概率；（ⅱ）設(shè)進(jìn)入決賽的人數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.解：（1）由題意可知：，解得，甲通過(guò)前兩個(gè)環(huán)節(jié)的概率為，構(gòu)建，則，令，解得；令，解得；可知在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，可知當(dāng)時(shí)，取到最大值，即當(dāng)時(shí)，取到最大值，所以.（2）（?。┯桑?）可知：甲通過(guò)前兩個(gè)環(huán)節(jié)的概率分別為和，甲、乙、丙僅通過(guò)第一個(gè)環(huán)節(jié)的概率分別為，恰有兩人僅通過(guò)第一個(gè)環(huán)節(jié)的概率為；（ⅱ）設(shè)甲、乙、丙進(jìn)入決賽分別為事件，則，可得，由題意可知：X的可能取值為0，1，2，3，則；；；；所以X的分布列為X0123PX的期望為.19.已知函數(shù)有兩個(gè)不同零點(diǎn)，（）.（1）求a的取值范圍；（2）證明：；（3）證明：.解：（1）由題意可知：的定義域?yàn)椋?，令，解得；令，解得；可知在?nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，可知，且當(dāng)x趨近于或時(shí)，趨近于，若函數(shù)有兩個(gè)不同零點(diǎn)，則，即，所以a的取值范圍為.（2）構(gòu)建，則，可知在內(nèi)單調(diào)遞增，可得，即，可得，由題意可知：，則，又因?yàn)?，且在?nèi)單調(diào)遞增，則，所以.（3）由（2）可得，即，