專題訓(xùn)練：勾股數(shù)有關(guān)問題題型7.勾股數(shù)有關(guān)問題解題技巧：常見勾股數(shù)有：（3,4,5）；（6,8,10）；（5,12,13）；勾股數(shù)組規(guī)律：（n2﹣1）2+（2n）2＝（n2+1）21．（2021·湖北）世界上第一次給出勾股數(shù)通解公式的是我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》，其勾股數(shù)組公式為a＝（m2﹣n2），b＝mn，c＝（m2＋n2），其中m，n（m＞n）是互質(zhì)的奇數(shù)，則a，b，c為勾股數(shù)．我們令n＝1，得到下列順序排列的等式：①32＋42＝52，②52＋122＝132，③72＋242＝252，④92＋402＝412，…根據(jù)規(guī)律寫出第⑥個等式為______________．2．（2021·南寧市第八中學(xué)八年級月考）可以構(gòu)成直角三角形三條邊長的三個正整數(shù)a，b，c，稱為勾股數(shù)世界上第一次給出勾股數(shù)通解公式的是我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》，其勾股數(shù)公式為其中m＞n＞0，m、n是互質(zhì)的奇數(shù)，當(dāng)n＝1時，則有一邊長為13的直角三角形的另外兩條邊長為___．3．（2021·安徽八年級期中）在學(xué)習(xí)“勾股數(shù)”的知識時，愛動腦的小明設(shè)計了如下表格：n23456....a4581012.....b38152435.....c510172637......請回答下列問題：（1）當(dāng)n＝7時，a＝，b＝，c＝；（2）請你分別觀察a，b，c與n之間的關(guān)系，并用含自然數(shù)n（n＞1）的代數(shù)式表示：a＝，b＝，c＝；（3）猜想：以a，b，c為邊長的三角形是否為直角三角形？并對你的猜想加以證明．4．（2021·福建省福州一中貴安學(xué)校初二期中）大家見過形如x+y＝z，這樣的三元一次方程，并且知道x＝3，y＝4，z＝7就是適合該方程的一個正整數(shù)解，法國數(shù)學(xué)家費(fèi)爾馬早在17世紀(jì)還研究過形如x2+y2＝z2的方程．（1）請寫出方程x2+y2＝z2的兩組正整數(shù)解：．（2）研究直角三角形和勾股數(shù)時，我國古代數(shù)學(xué)專著（九章算術(shù)）給出了如下數(shù)：a＝（m2﹣n2），b＝mn，c＝（m2+n2），（其中m＞n，m，n是奇數(shù)），那么，以a，b，c為三邊的三角形為直角三角形，請你加以驗證．5．（2020·山西初三一模）閱讀下列內(nèi)容，并解決問題．一道習(xí)題引發(fā)的思考小明在學(xué)習(xí)《勾股定理》一章內(nèi)容時，遇到了一個習(xí)題，并對有關(guān)內(nèi)容進(jìn)行了研究；習(xí)題再現(xiàn)：古希臘的哲學(xué)家柏拉圖曾指出，如果表示大于1的整數(shù)，，，，那么，，為勾股數(shù).你認(rèn)為對嗎？如果對，你能利用這個結(jié)論得出一些勾股數(shù)嗎？資料搜集：定義：勾股數(shù)是指可以構(gòu)成一個直角三角形三邊的一組正整數(shù).一般地，若三角形三邊長，，都是正整數(shù)，且滿足，那么，，稱為一組勾股數(shù)．關(guān)于勾股數(shù)的研究：我囯西周初數(shù)學(xué)家商高在公元前1000年發(fā)現(xiàn)了“勾三，股四，弦五”，這組數(shù)是世界上最早發(fā)現(xiàn)的一組勾股效，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派、柏拉圖學(xué)派、我國數(shù)學(xué)家劉徽、古希臘數(shù)學(xué)家丟番圖都進(jìn)行過勾股數(shù)的研究．習(xí)題中的表達(dá)式是柏拉圖給出的勾股數(shù)公式，這個表達(dá)式未給出全部勾股數(shù)，世界上第一次給出勾股數(shù)通解公式的是《九幸算術(shù)），其勾股數(shù)公式為：，，，其中，，是互質(zhì)的奇數(shù)．（注：，，的相同倍數(shù)組成的一組數(shù)也是勾股數(shù)）問題解答：（1）根據(jù)柏拉圖的研究，當(dāng)時，請直接寫出一組勾股數(shù)；（2）若表示大于1的整數(shù)，試證明是一組勾股數(shù)；（3）請舉出一個反例（即寫出一組勾股數(shù)），說明柏拉圖給出的勾股數(shù)公式不能構(gòu)造出所有的勾股數(shù)．6．（2021·景縣第二中學(xué)）勾股定理是一個基本的幾何定理，盡在我國西漢時期算書《周髀算經(jīng)》就有“勾三股四弦五”的記載．如果一個直角三角形三邊長都是正整數(shù)，這樣的直角三角形叫“整數(shù)直角三角形”，這三個整數(shù)叫做一組“勾股數(shù)”．如：等等都是勾股數(shù)．（探究1）（1）如果是一組勾股數(shù)，即滿足，則為正整數(shù)）也是一組勾股數(shù)．如；是一組勾股數(shù)，則___也是一組勾股數(shù)；（2）另外利用一些構(gòu)成勾股數(shù)的公式也可以寫出許多勾股數(shù)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派就曾提出公式為正整數(shù)）是一組勾股數(shù)，證明滿足以上公式的是一組勾股數(shù)；（3）值得自豪的是，世界上第一次給出的勾股數(shù)公式，收集在我國的《九章算術(shù)》中，書中提到：當(dāng)，為正整數(shù)，時，構(gòu)成一組勾股數(shù)；請根據(jù)這一結(jié)論直接寫出一組符合條件的勾股數(shù)___．（探究2）觀察；…，可以發(fā)現(xiàn)這些勾股數(shù)的勾都是奇數(shù)，且從起就沒有間斷過，并且勾為時股，弦；勾為時，股，弦；請仿照上面兩組樣例，用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律填空：（1）如果勾為7，則股____；弦____；（2）如果用且為奇數(shù))表示勾，請用含有的式子表示股和弦，則股___；弦___；（3