考研初試數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.極限lim(x→0)(sinx/x)的值為多少？

A.0

B.1

C.∞

D.-1

2.函數(shù)f(x)=x^3-3x+2在區(qū)間[0,3]上的最大值是多少？

A.2

B.3

C.5

D.6

3.設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，且f'(x0)=2，則lim(h→0)[f(x0+h)-f(x0)]/h的值為多少？

A.1

B.2

C.3

D.4

4.曲線y=x^2-4x+3的拐點(diǎn)是？

A.(1,0)

B.(2,-1)

C.(3,0)

D.(4,1)

5.不定積分∫(x^2+1)dx的結(jié)果是？

A.x^3/3+x+C

B.x^2/2+x+C

C.x^3/3-x+C

D.x^2/2-x+C

6.級數(shù)∑(n=1to∞)(1/n^2)的斂散性是？

A.發(fā)散

B.條件收斂

C.絕對收斂

D.無法判斷

7.在三維空間中，向量(1,2,3)和(4,5,6)的點(diǎn)積是多少？

A.32

B.40

C.50

D.60

8.微分方程y''-4y=0的通解是？

A.y=C1e^2x+C2e^-2x

B.y=C1e^x+C2e^-x

C.y=C1cos(2x)+C2sin(2x)

D.y=C1sin(2x)+C2cos(2x)

9.設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得f(ξ)等于什么？

A.(f(b)-f(a))/(b-a)

B.(f(b)+f(a))/2

C.0

D.f(a)+f(b)

10.設(shè)A是一個2x2矩陣，且A的特征值為1和2，則det(A)的值是多少？

A.1

B.2

C.3

D.4

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，在區(qū)間(-∞,∞)上有界的是哪些？

A.e^x

B.sin(x)

C.cos(x)

D.x^2

2.下列說法中，正確的有哪幾項(xiàng)？

A.若函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，則f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)

B.若函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)，則f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)

C.若函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處取得極值，且f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，則f'(x0)=0

D.若函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，則f(x)在點(diǎn)x0處取得極值

3.下列級數(shù)中，收斂的有哪幾項(xiàng)？

A.∑(n=1to∞)(1/n)

B.∑(n=1to∞)(1/n^2)

C.∑(n=1to∞)(-1)^n/n

D.∑(n=1to∞)(1/n^3)

4.下列說法中，正確的有哪幾項(xiàng)？

A.向量(1,0,0)是單位向量

B.向量(1,1,1)和(2,2,2)是平行的

C.向量(1,2,3)和(4,5,6)是正交的

D.向量(1,2,3)的模長是√14

5.下列微分方程中，線性微分方程的有哪幾項(xiàng)？

A.y''+y'-2y=0

B.y''-y=x

C.y'+y=sin(x)

D.y''+y^2=0

三、填空題（每題4分，共20分）

1.設(shè)函數(shù)f(x)=|x|，則lim(x→0)f'(x)的值是______。

2.曲線y=x^3-3x^2+2的凹區(qū)間是______。

3.定積分∫(from0to1)x^2dx的值是______。

4.級數(shù)∑(n=1to∞)(1/(n+1)!)的和是______。

5.設(shè)矩陣A=|12|，|34|，則矩陣A的逆矩陣A^(-1)是______。

四、計(jì)算題（每題10分，共50分）

1.計(jì)算極限lim(x→∞)[(x^2+1)/(2x+3)]。

2.設(shè)函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2，求f(x)在區(qū)間[0,3]上的最大值和最小值。

3.計(jì)算不定積分∫(x^2-2x+1)dx。

4.求解微分方程y'-y=e^x。

5.計(jì)算定積分∫(from0toπ)sin(x)dx。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識點(diǎn)總結(jié)如下

一、選擇題答案

1.B

2.C

3.B

4.B

5.A

6.C

7.A

8.A

9.A

10.B

二、多項(xiàng)選擇題答案

1.B,C

2.A,C

3.B,C,D

4.B,C

5.A,B,C

三、填空題答案

1.不存在

2.(2,+∞)

3.1/3

4.e-1

5.|(-21)|,|(1/2-1/2)|

四、計(jì)算題答案

1.1/2

2.最大值f(0)=1，最小值f(3)=-2

3.x^3/3-x^2+x+C

4.y=Ce^x+xe^x

5.2

解題過程

一、選擇題解題過程

1.lim(x→0)(sinx/x)=1（基本極限公式）

2.f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0得x=±1，f(0)=2,f(1)=0,f(3)=0，比較得最大值為f(3)=5

3.根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義，lim(h→0)[f(x0+h)-f(x0)]/h=f'(x0)=2

4.y''=2x-4，令y''=0得x=2，y(2)=-1，拐點(diǎn)為(2,-1)

5.∫(x^2+1)dx=∫x^2dx+∫1dx=x^3/3+x+C

6.p-series級數(shù)，p=2>1，絕對收斂

7.(1,2,3)·(4,5,6)=1*4+2*5+3*6=32

8.特征方程r^2-4=0，r=±2，通解為y=C1e^2x+C2e^-2x

9.根據(jù)拉格朗日中值定理，存在ξ∈(a,b)使得f(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)

10.det(A)=λ1*λ2=1*2=2（特征值之積等于行列式）

二、多項(xiàng)選擇題解題過程

1.e^x→∞，x^2→∞，sin(x)和cos(x)在[-1,1]之間振蕩有界

2.可導(dǎo)必連續(xù)，取極值處導(dǎo)數(shù)為0，但連續(xù)不一定可導(dǎo)（如尖點(diǎn)），可導(dǎo)不一定取極值（如單調(diào)區(qū)間內(nèi)部點(diǎn)）

3.p-series級數(shù)p=1發(fā)散，p=2,3,4...收斂；交錯級數(shù)(-1)^n/n收斂

4.(1,0,0)模長1是單位向量；(2,2,2)=2(1,1,1)是平行向量；(1,2,3)·(4,5,6)=32≠0不正交；(1,2,3)模長√(1^2+2^2+3^2)=√14

5.y''+y'=0是線性的；y''-y=x是線性的；y'+y=sin(x)是線性的；y''+y^2=0是非線性的（含y的二次方）

三、填空題解題過程

1.f'(x)=sgn(x)={1,x>0;-1,x<0;不存在,x=0

2.y''=6x-6，令y''>0得x>1，凹區(qū)間為(1,+∞)

3.∫(from0to1)x^2dx=x^3/3(from0to1)=1/3-0=1/3

4.∑(n=1to∞)(1/(n+1)!)=∑(k=2to∞)(1/k!)=e-1-1=e-2（e^x=∑(k=0to∞)(x^k/k!)）

5.det(A)=1*4-2*3=-2≠0，A^(-1)=(-1/2)*|4-2|=|(-21)|,|(1/2-1/2)|

四、計(jì)算題解題過程

1.lim(x→∞)[(x^2+1)/(2x+3)]=lim(x→∞)[x^2(1+1/x^2)/x(2+3/x)]=lim(x→∞)[x(1+1/x^2)/(2+3/x)]=∞/2=1/2

2.f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)，令f'(x)=0得x=0,2，f(0)=1,f(2)=0,f(3)=5，最大值5，最小值0

3.∫(x^2-2x+1)dx=∫(x-1)^2dx=(x-1)^3/3+C

4.y'-y=e^x，y(0)=0，特征方程r-1=0,r=1，齊次解y_h=Ce^x，非齊次特解y_p=Ae^x代入得A=1，y=Ce^x+e^x=(C+1)e^x

5.∫(from0toπ)sin(x)dx=-cos(x)(from0toπ)=-cos(π)+cos(0)=1+1=2

知識點(diǎn)分類和總結(jié)

極限與連續(xù)：極限計(jì)算（基本公式、洛必達(dá)法則、夾逼定理等）、函數(shù)連續(xù)性、間斷點(diǎn)分類、閉區(qū)間上性質(zhì)（最值定理、介值定理、中值定理）

一元函數(shù)微分學(xué)：導(dǎo)數(shù)定義與計(jì)算（四則運(yùn)算法則、復(fù)合函數(shù)、隱函數(shù)、參數(shù)方程）、高階導(dǎo)數(shù)、微分、微分中值定理（拉格朗日、柯西、泰勒）、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用（單調(diào)性、極值、最值、凹凸性、拐點(diǎn)、漸近線）

一元函數(shù)積分學(xué)：不定積分計(jì)算（基本公式、換元法、分部積分法）、定積分計(jì)算（牛頓-萊布尼茨公式、換元法、分部積分法）、定積分應(yīng)用（面積、旋轉(zhuǎn)體體積、弧長、物理應(yīng)用）、反常積分

級數(shù)：數(shù)項(xiàng)級數(shù)收斂性判別（正項(xiàng)級數(shù)比較、比值、根值法；交錯級數(shù)萊布尼茨；一般級數(shù)絕對收斂）、函數(shù)項(xiàng)級數(shù)（冪級數(shù)收斂域、和函數(shù)、逐項(xiàng)求導(dǎo)積分）、泰勒級數(shù)與麥克勞林級數(shù)

向量代數(shù)與空間解析幾何：向量概念與運(yùn)算（線性運(yùn)算、數(shù)量積、向量積、混合積）、平面方程與直線方程、曲面方程與二次曲面、空間曲線

常微分方程：一階微分方程（可分離變量、齊次、一階線性）、可降階的高階方程、高階線性微分方程（解的結(jié)構(gòu)、特征方程、常系數(shù)齊次與非齊次）、微分方程應(yīng)用

線性代數(shù)：行列式計(jì)算與性質(zhì)、矩陣運(yùn)算、逆矩陣、向量組線性相關(guān)性與秩、線性方程組解的結(jié)構(gòu)、特征值與特征向量、二次型

各題型考察知識點(diǎn)詳解及示例

選擇題：考察基本概念理解與記憶，計(jì)算能力，邏輯推理能力。示例：判斷函數(shù)連續(xù)性需掌握定