2023年高中數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平知識(shí)點(diǎn)總結(jié)模板

2023年高中數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平知識(shí)點(diǎn)總結(jié)模板篇1

1、求函數(shù)的單調(diào)性：

利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性的基本方法：設(shè)函數(shù)yf(x)在區(qū)

間(a,b)內(nèi)可導(dǎo),

(1)如果恒f(x)0,則函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a,b)上為增函

數(shù)；

(2)如果恒果x)0,則函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a,b)上為減函

數(shù)；

(3)如果恒果x)0,則函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a,b)上為常數(shù)

函數(shù)。

利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性的基本步驟：

①求函數(shù)yf(x)的定義域；

②求導(dǎo)數(shù)f(x);

③解不等式f(x)0,解集在定義域內(nèi)的不間斷區(qū)間為增

區(qū)間；

④解不等式f(x)0,解集在定義域內(nèi)的不間斷區(qū)間為減

區(qū)間。

反過來，也可以利用導(dǎo)數(shù)由函數(shù)的單調(diào)性解決相關(guān)問題

(如確定參數(shù)的取值范圍)：設(shè)函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可

導(dǎo)，

(1)如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a,b)上為增函數(shù)，則

f(x)0(其中使f(x)0的x值不構(gòu)成區(qū)間)；

(2)如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a,b)上為減函數(shù)，則

f(x)0(其中使f(x)0的x值不構(gòu)成區(qū)間)；

(3)如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a,b)上為常數(shù)函數(shù)，則f(x)0

恒成立。

2、求函數(shù)的極值：

設(shè)函數(shù)yf(X)在xO及其附近有定義，如果對(duì)xO附近的

所有的點(diǎn)都有f(x)f(xO)(或f(x)f(xO)),則稱f(xO)是函數(shù)

f(x)的極小值(或極大值)。

可導(dǎo)函數(shù)的極值，可通過研究函數(shù)的單調(diào)性求得，基本

步驟是：

(1)確定函數(shù)f(x)的定義域；

⑵求導(dǎo)數(shù)f(x);

(3)求方程f(x)O的全部實(shí)根，xlx2xn,順次將定義域

分成若干個(gè)小區(qū)間，并列表：x變化時(shí)，￡&)和￡々)值的變

化情況：

(4)檢查f(x)的符號(hào)并由表格判斷極值。

3、求函數(shù)的值與最小值：

如果函數(shù)f(x)在定義域I內(nèi)存在xO,使得對(duì)任意的xl,

總有f(x)f(xO),則稱f(xO)為函數(shù)在定義域上的'值。函

數(shù)在定義域內(nèi)的極值不一定，但在定義域內(nèi)的最值是的。

求函數(shù)f(x)在區(qū)間［a,b］上的值和最小值的步驟：

(1)求f(x)在區(qū)間(a,b)上的極值;

(2)將第一步中求得的極值與f(a),f(b)比較，得到f(x)

在區(qū)間［a,b］上的值與最小值。

4、解決不等式的有關(guān)問題：

(1)不等式恒成立問題(絕對(duì)不等式問題)可考慮值域。

f(x)(xA)的值域是域,b］時(shí)，

不等式f(x)0恒成立的充要條件是f(x)maxO,即bO;

不等式f(x)0恒成立的充要條件是f(x)mir)0,即aOo

f(x)(xA)的值域是(a,b)時(shí),

不等式f(x)0恒成立的充要條件是bO;不等式f(x)0恒

成立的充要條件是aO。

(2)證明不等式f(x)0可轉(zhuǎn)化為證明f(x)maxO,或利用

函數(shù)f(x)的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為證明f(x)f(x0)0。

5、導(dǎo)數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用：

實(shí)際生活求解(小)值問題，通常都可轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最

值。在利用導(dǎo)數(shù)來求函數(shù)最值時(shí)，一定要注意，極值點(diǎn)的單

峰函數(shù)，極值點(diǎn)就是最值點(diǎn),在解題時(shí)要加以說明。

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考點(diǎn)一、映射的概念

1、了解對(duì)應(yīng)大千世界的對(duì)應(yīng)共分四類，分別是：一對(duì)

一多對(duì)——對(duì)多多對(duì)多。

2、映射：設(shè)A和B是兩個(gè)非空集合，如果按照某種對(duì)

應(yīng)關(guān)系f,對(duì)于集合A中的任意一個(gè)元素x,在集合B中都

存在的一個(gè)元素y與之對(duì)應(yīng)，那么，就稱對(duì)應(yīng)f：A-B為集

合A到集合B的一個(gè)映射(mapping)。映射是特殊的對(duì)應(yīng),

簡(jiǎn)稱“對(duì)一”的對(duì)應(yīng)。包括：一對(duì)一多對(duì)一。

考點(diǎn)二、函數(shù)的概念

1、函數(shù)：設(shè)A和B是兩個(gè)非空的數(shù)集，如果按照某種

確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f,對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x,在集合B

中都存在確定的數(shù)y與之對(duì)應(yīng)，那么，就稱對(duì)應(yīng)f：A-B為

集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)。記作y=f(x),xAo其中x叫自

變量，x的取值范圍A叫函數(shù)的定義域;與x的值相對(duì)應(yīng)的.y

的信函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的俏域。函數(shù)是特殊的

映射，是非空數(shù)集A到非空數(shù)集B的映射。

2、函數(shù)的三要素：定義域、值域、對(duì)應(yīng)關(guān)系。這是判

斷兩個(gè)函數(shù)是否為同一函數(shù)的依據(jù)。

3、區(qū)間的概念：設(shè)a,bR,且a

①(a,b)={xa

⑤(a,+°°)={>a}(6)[a,+°°)={^a}(7)(一00,b)={

考點(diǎn)三、函數(shù)的表示方法

1、函數(shù)的三種表示方法列表法圖象法解析法

2、分段函數(shù)：定義域的不同部分，有不同的對(duì)應(yīng)法則

的函數(shù)。注意兩點(diǎn)：①分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)，不要誤認(rèn)為是

幾個(gè)函數(shù)。②分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集，值域

是各段值域的并集。

考點(diǎn)四、求定義域的幾種情況

①若f(x)是整式，則函數(shù)的定義域是實(shí)數(shù)集R;

②若f(x)是分式，則函數(shù)的定義域是使分母不等于0的

實(shí)數(shù)集；

③若f(x)是二次根式，則函數(shù)的定義域是使根號(hào)內(nèi)的式

子大于或等于0的實(shí)數(shù)集合；

④若f(x)是對(duì)數(shù)函數(shù)，真數(shù)應(yīng)大于零。

⑤。因?yàn)榱愕牧愦问聸]有意義，所以底數(shù)和指數(shù)不能同

時(shí)為零。

⑥若f(一cos(a一

b)]/2sina+sinb=2sin[(a+b)/2]cos[(a—b)/2]sina一

sinb=2sin[(a-

b)/2]cos[(a+b)/2]cosa+cosb=2cos[(a+b)/2]cos[(a-

b)/2]cosa一cosb=一2sin[(a+b)/2]sin[(a一b)/2]

向量公式：

1、單位向量：?jiǎn)挝幌蛄縜O二向量a/|向量a|

2、P(x,丫)那么向量€^內(nèi)向量1+丫向量)|向量(^|二根

號(hào)(x平方+y平方)

3、Pl(xl,yl)P2(x2,y2)那么向量PlP2={x2—xl,y2

—yl}I向量P1P2|二根號(hào)[(x2—xl)平方+(y2—yl)平方]

4、向量a={xl,x2)向量b={x2,y2}向量a_向量b=|

向量a|_|向量b|_Cosa=xlx2+yly2Cosa二向量a_向量□/|

向量a|_|向量b|(xlx2+yly2)根號(hào)(xl平方+yl平方)_根號(hào)

(x2平方+y2平方)

5、空間向量：同上推論(提示：向量好{x,y,z))

6、充要條件：如果向量a向量b那么向量a_向量

如果向量a〃向量b那么向量a_向量b=|向量a|_J向量b|

或者xl/x2=yl/y2

7、|向量a向量b|平方二|向量a|平方+|向量b|平方2

向量a_向量b=(向量a向量b)平方

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1、向量的加法

向量的加法滿足平行四邊形法則和三角形法則。

AB+BC=ACo

a+b=(x+x,y+y)。

a+0=0+a=a。

向量加法的運(yùn)算律：

交換律：a+b=b+a;

結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b+c)。

2、向量的減法

如果a、b是互為相反的向量，那么a二一b,b二一a,a+b=O。

0的反向量為0

AB—AC=CBo即“共同起點(diǎn)，指向被減”

a=(x,y)b=(x,y)貝lja—b二(x—x,y—y)。

3、數(shù)乘向量

實(shí)數(shù)人和向量a的乘積是一個(gè)向量，記作入a,且I入a

I=II?Ia|o

當(dāng)人〉0時(shí),入a與a同方向;

當(dāng)人1時(shí)，表示向量a的有向線段在原方向(人＞0)或反

方向(入〈0)上伸長(zhǎng)為原來的I入I倍；

當(dāng)I入I0)或反方向(入0,對(duì)于一切屬于區(qū)間X上的x,

恒有|f(x)|WM,則稱f(x)在區(qū)間X上有界,否則稱f(x)在

區(qū)間上無界。

單調(diào)性

設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈,區(qū)間I包含于D。如果對(duì)于

區(qū)間上任意兩點(diǎn)X1及x2,當(dāng)xlf(x2),則稱函數(shù)f(x)在區(qū)

間I上是單調(diào)遞減的。單調(diào)遞增和單調(diào)遞減的函數(shù)統(tǒng)稱為單

調(diào)函數(shù)。

奇偶性

設(shè)為一個(gè)實(shí)變量實(shí)值函數(shù)，若有f(一x)=一f(x),則f(x)

為奇函數(shù)。

幾何上，一個(gè)奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，亦即其圖像在繞原

點(diǎn)做180度旋轉(zhuǎn)后不會(huì)改變。

奇函數(shù)的例子有x、sin(x)>sinh(x)和erf(x)。

設(shè)f(X)為一實(shí)變量實(shí)值函數(shù),若有f(x)=f(-X)，則f(x)

為偶函數(shù)。

幾何上，一個(gè)偶函數(shù)關(guān)于y