高中數(shù)學(xué)之直線與圓的方程

一、概念理解：

1.傾斜角：①找a：直線向上方向、x軸正方向；

②平行：a=i）°；

③范圍：0°Wa＜180°。

2.斜率：①找k:k=tana（aW900）；

3、②垂直：斜率k不存在；

4、③范圍：斜率kwR。

斜率與坐標(biāo)：

①構(gòu)造直角三角形（數(shù)形結(jié)合）；

②斜率k值于兩點(diǎn)先后次序無(wú)關(guān)；

③注意下標(biāo)日勺位置對(duì)應(yīng)。

直線與直線的位置關(guān)系：

①相交：斜率（前提是斜率都存在）

特例一一垂直時(shí)：＜1＞；

＜2＞斜率都存在時(shí)：

②平行：＜1＞斜率都存在時(shí)：：

＜2＞斜率都不存在時(shí)：兩直線都與x地垂直。

③重疊：斜率番存在時(shí)：；

二、方程與公式：

1.直線的五個(gè)方程：

①點(diǎn)斜式：將已知點(diǎn)直接帶入即可；

②斜截式：將己知截距直接帶入即可；

③兩點(diǎn)式：將已知兩點(diǎn)直接帶入即可；

④截距式：將已知截距坐標(biāo)直接帶入即可；

⑤一般式：，其中A、B不一樣步為0

用得比較多的是點(diǎn)斜式、斜截式與一般式。

2.求兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)：直接將兩直線方程聯(lián)立，解方程組即可

3.距離公式：

①兩點(diǎn)間距離：

②點(diǎn)到直線距離：

③平行直線間距離：

4.中點(diǎn)、三分點(diǎn)坐標(biāo)公式：已知兩點(diǎn)

①AB中點(diǎn)：

②AB三分點(diǎn)：靠近A的三分點(diǎn)坐標(biāo)

盧+2“”2%靠近B的三分點(diǎn)坐標(biāo)

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中點(diǎn)坐標(biāo)公式，在求對(duì)稱點(diǎn)、第四章圓與方程中，常常用到。

三分點(diǎn)坐標(biāo)公式，用得較少，多見(jiàn)于大題難題。

5.直線的對(duì)稱性問(wèn)題

三、已知點(diǎn)有關(guān)已知直線R勺對(duì)稱：設(shè)這個(gè)點(diǎn)為P(xO,yO),對(duì)稱后的點(diǎn)坐標(biāo)為P'(x,y),

則pp'口勺斜率與已知直線日勺斜率垂直，且PP'的中點(diǎn)坐標(biāo)在已知直線上。

解題指導(dǎo)與易錯(cuò)辨析：

1.解析法(坐標(biāo)法)：

①建立合適直角坐標(biāo)系，根據(jù)幾何性質(zhì)關(guān)系，設(shè)出點(diǎn)H勺坐標(biāo)；

2、②根據(jù)代數(shù)關(guān)系(點(diǎn)在直線或曲線上)，進(jìn)吁有關(guān)代數(shù)運(yùn)算，并得出有關(guān)成果；

3、③將代數(shù)運(yùn)算成果，翻譯成幾何中“所求或所要證明”。

動(dòng)點(diǎn)P到兩個(gè)定點(diǎn)A.B的狗離“最值問(wèn)題”：

①的最小值：找對(duì)稱點(diǎn)再連直線，如右圖所示：

4、②的最大值：三角形思想“兩邊之差不大于第三邊”；

5、③的最值：函數(shù)思想“轉(zhuǎn)換成一元二次函數(shù)，找對(duì)稱軸”。

直線必過(guò)點(diǎn)：①具有一種參數(shù)----y=(a-l)x+2a+l=>

y=(a-l)(x+2)+3

令：x+2=0=>必過(guò)點(diǎn)(-2,3)

②具有兩個(gè)參數(shù)----(3m-n)x+(rn+2n)y-n=()=>m(3x+y)+n(2y-x-1)=0

6、令：3x+y=0、2y-x-l=0聯(lián)立方程組求解=>必過(guò)點(diǎn)(-1/7,3/7)

易錯(cuò)辨析：

①討論斜率的存在性：

解題過(guò)程中用到斜率，一定要分類討論：<1)斜率不存在時(shí)，與否滿足題意：

<2)斜率存在時(shí)，斜率會(huì)有怎樣關(guān)系。

②注意“截距”可正可負(fù)，不能“錯(cuò)認(rèn)為”截距就是距離，會(huì)丟解;

（求解直線與坐標(biāo)軸圍成面積時(shí)，較為常見(jiàn)。）

③直線到兩定點(diǎn)苑離相等，有兩種狀況：

<1>直線與兩定點(diǎn)所在直線平行；

<2>直線過(guò)兩定點(diǎn)口勺中點(diǎn)。

圓的方程

1.定義：一種動(dòng)點(diǎn)到一種定點(diǎn)以定長(zhǎng)繞一周所形成的圖形叫做圓，其中定點(diǎn)稱

為圓門(mén)勺圓心，定長(zhǎng)為圓的半徑.

圓口勺方程表達(dá)措施：

第一種：圓的一般方程一一其中圓心，半徑.

當(dāng)時(shí)，方程表達(dá)一種圓，

當(dāng)時(shí)，方程表達(dá)一種點(diǎn).

當(dāng)時(shí)，方程無(wú)圖形.

第二種：圓日勺原則方程——.其中點(diǎn)為圓心，為半徑日勺圓

第三種：圓H勺參數(shù)方程一一圓的參數(shù)方程：（為參數(shù)）

注：圓的I直徑方程：已知

3.點(diǎn)和圓的位置關(guān)系：給定點(diǎn)及圓.

①M(fèi)在圓C內(nèi)。（q-產(chǎn)

②M在圓。上Q（Xo-a）2+G，o-〃）2丁2

③M在圓。外0（%-爐+（），0-））2A/

4.直線和圓H勺位置關(guān)系:

設(shè)圓圓直線：

圓心。(幾份到直線/的距離d=叫+劭+。

①時(shí)，與相切；

②時(shí)，與相交：，

7、③時(shí)，與相離.

圓的切線方程：

①一般方程若點(diǎn)(x.,yO)在圓上，則.a)(x..a)+(..b)(y..b)二R2.尤其地，過(guò)圓上一點(diǎn)

的切線方程為.(注:該點(diǎn)在圓上，則切線方程只有一條)

②若點(diǎn)(xO,yO)不在圓上，圓心為(a,b)則，聯(lián)立求出切線方程.(注：過(guò)圓外的點(diǎn)引切

線必然有兩條,若聯(lián)立口勺方程只有一種解，那么此外一條切線必然是垂直于X軸口勺直線。)

6.圓系方程：

過(guò)兩圓的交點(diǎn)的圓方程：假設(shè)兩圓方程為：Cl:x2+y2+I)lx+Ely+Fl=0

C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0則過(guò)兩圓H勺交點(diǎn)圓方程可設(shè)為：

x2+y2+Dlx+Ely+Fl+X(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0

過(guò)兩圓的交點(diǎn)H勺直線方程：x2+y2+l)1x+E1y+F1-x2+y2+D2x+E2y+F2=0(兩圓的方程相減得到

的方程就是直線方程)

7.與圓有關(guān)的計(jì)算：

弦長(zhǎng)的計(jì)算：AB=2*JR2T2其中R是圓日勺半徑，d等于圓心到直線R勺距離

AB=(Jl+k2)*IXI-X2|其中k是直線口勺斜率，XI與X2是直線與圓口勺方程聯(lián)

立之后得到日勺兩個(gè)根

過(guò)圓內(nèi)日勺一點(diǎn)口勺最短弦長(zhǎng)是垂直于過(guò)圓心的直線

圓內(nèi)『'J最長(zhǎng)弦是直徑

8.圓叢J某些最值問(wèn)題

①圓上的點(diǎn)到直線的最短更離二圓心到直線的距離減去半徑

②圓上H勺點(diǎn)到直線的最長(zhǎng)至離=圓心到直線H勺距離加上半徑

③假設(shè)P(x,y)是在某個(gè)圓上的動(dòng)點(diǎn)，則(x-a)/(y-b)時(shí)最值可以轉(zhuǎn)化為圓上的點(diǎn)與

該點(diǎn)(a,b)H勺斜率問(wèn)題，即先求過(guò)該定點(diǎn)的切線，得到的斜率便是該分式口勺

最值。

④假設(shè)P(x,y)是在某個(gè)恨I上口勺動(dòng)點(diǎn)，則求x+y或x-y口勺最值可以轉(zhuǎn)化為:設(shè)T=*+丫或丁=*-丫,

在圓上找到點(diǎn)(X,Y)使