第六節(jié)二項分布、超幾何分布與正態(tài)分布課標要求1.通過具體實例，了解伯努利試驗，掌握二項分布及其數(shù)字特征，并能解決簡單的實際問題.2.通過具體實例，了解超幾何分布及其均值，并能解決簡單的實際問題.3.通過誤差模型，了解服從正態(tài)分布的隨機變量；通過具體實例，借助頻率直方圖的幾何直觀，了解正態(tài)分布的特征；了解正態(tài)分布的均值、方差及其含義.1.伯努利試驗與二項分布（1）伯努利試驗：只包含兩個可能結(jié)果的試驗叫做伯努利試驗；將一個伯努利試驗獨立地重復(fù)進行n次所組成的隨機試驗稱為n重伯努利試驗；（2）二項分布：一般地，在n重伯努利試驗中，設(shè)每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p（0＜p＜1），用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，則X的分布列為P（X＝k）＝Cnkpk（1－p）n－k，k＝0，1，2，…，如果隨機變量X的分布列具有上式的形式，則稱隨機變量X服從二項分布，記作X～B（n，p）.2.超幾何分布一般地，假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件，其中有M件次品.從N件產(chǎn)品中隨機抽取n件（不放回），用X表示抽取的n件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X的分布列為P（X＝k）＝CMkCN－Mn－kCNn，k＝其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}.如果隨機變量X的分布列具有上式的形式，那么稱隨機變量X服從超幾何分布.提醒超幾何分布中的隨機變量為抽到的某類個體的個數(shù).主要特征為：①考察對象分兩類；②已知各類對象的個數(shù)；③從中抽取若干個個體，考查某類個體數(shù)X的概率分布.超幾何分布主要用于抽檢產(chǎn)品、摸不同類別的小球等概率模型，其實質(zhì)是古典概型.3.正態(tài)分布若隨機變量X服從正態(tài)分布，記為X～N（μ，σ2），其中E（X）＝μ，D（X）＝σ2，其正態(tài)密度函數(shù)為f（x）＝1σ2πe－（x－μ）22σ2.（1）正態(tài)曲線的特點①曲線位于x軸上方，與x軸不相交；②曲線是單峰的，它關(guān)于直線x＝μ對稱；③曲線在x＝μ處達到峰值1σ2④曲線與x軸之間的面積為1；⑤當σ一定時，曲線的位置由μ確定，曲線隨著μ的變化而沿x軸平移；⑥當μ一定時，曲線的形狀由σ確定，σ越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散.（2）正態(tài)分布的三個常用數(shù)據(jù)①P（μ－σ≤X≤μ＋σ）≈0.6827；②P（μ－2σ≤X≤μ＋2σ）≈0.9545；③P（μ－3σ≤X≤μ＋3σ）≈0.9973.1.對于二項分布X～B（n，p），E（X）＝np，D（X）＝np（1－p）.2.對于超幾何分布X～H（n，M，N），E（X）＝nMN，D（X）＝nMN·（1－MN3.對于正態(tài)分布X～N（μ，σ2），E（X）＝μ，D（X）＝σ2.1.判斷正誤.（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）（1）n重伯努利試驗中各次試驗的結(jié)果相互獨立.（√）（2）若X表示n次重復(fù)拋擲1枚骰子出現(xiàn)點數(shù)是3的倍數(shù)的次數(shù)，則X服從二項分布.（√）（3）超幾何分布的總體里只有兩類物品.（√）（4）正態(tài)曲線是單峰的，其與x軸圍成的面積是隨參數(shù)μ，σ的變化而變化的.（×）（5）正態(tài)分布是對連續(xù)型隨機變量而言的.（√）2.將一枚質(zhì)地均勻的硬幣連續(xù)拋擲4次，X表示“正面朝上”出現(xiàn)的次數(shù)，則E（X）＝2，D（X）＝1.解析：一枚質(zhì)地均勻的硬幣拋擲一次正面朝上的概率為12，且每次是否正面朝上相互獨立，所以X～B（4，12），所以E（X）＝4×12＝2，D（X）＝4×12×3.（人A選三P78例5改編）在含有3件次品的10件產(chǎn)品中，任取4件，X表示取到的次品數(shù)，則P（X＝2）＝310解析：由題意，X服從超幾何分布，其中N＝10，M＝3，n＝4，故P（X＝2）＝C32C4.（人A選三P87練習2題改編）已知隨機變量X服從正態(tài)分布N（3，1），且P（X＞2c－1）＝P（X＜c＋3），則c＝43解析：隨機變量X服從正態(tài)分布N（3，1），∵P（X＞2c－1）＝P（X＜c＋3），∴2c－1+c+32＝5.（人A選三P80習題2題改編）若某射手每次射擊擊中目標的概率為0.9，每次射擊的結(jié)果相互獨立，則在他連續(xù)4次的射擊中，恰好有一次未擊中目標的概率是0.2916.解析：設(shè)事件A＝“恰好有一次未擊中目標”，則P（A）＝C41×0.93×（1－0.9）＝0.291n重伯努利試驗與二項分布（定向精析突破）考向1n重伯努利試驗（1）下列事件是n重伯努利試驗的是（D）A.運動員甲射擊一次，“射中9環(huán)”與“射中8環(huán)”B.甲、乙兩運動員各射擊一次，“甲射中10環(huán)”與“乙射中9環(huán)”C.甲、乙兩運動員各射擊一次，“甲、乙都射中目標”與“甲、乙都沒射中目標”D.在相同的條件下，甲射擊10次，5次擊中目標（2）在4重伯努利試驗中，若事件A至少發(fā)生1次的概率為6581，則事件A在1次試驗中發(fā)生的概率為13解析：（1）選項A、C為互斥事件，不符合n重伯努利試驗的定義，選項B雖然是相互獨立的兩個事件，但是“甲射中10環(huán)”與“乙射中9環(huán)”的概率不一定相同，因此不是n重伯努利試驗，選項D中，甲射擊10次，每次擊中與否是相互獨立的，且在相同條件下，符合n重伯努利試驗.（2）設(shè)事件A在一次試驗中發(fā)生的概率為p，由題意得1－C40p0（1－p）4＝6581，所以1－p＝23，解題技法n重伯努利試驗的判斷及相應(yīng)概率的求解策略（1）符合n重伯努利試驗必須滿足的兩個特征：①每次試驗的條件完全相同，有關(guān)事件的概率保持不變；②各次試驗的結(jié)果互不影響，即各次試驗相互獨立；（2）在求n重伯努利試驗中事件恰好發(fā)生k次的概率時，首先要確定好n，p和k的值，再準確利用公式P（X＝k）＝Cnkpk（1－p）n－k，k＝0，1，2，…，n考向2二項分布某中學準備發(fā)布健康飲食的倡議，提前收集了學生的體重和飲食習慣等信息，其中學生飲用含糖飲料的統(tǒng)計結(jié)果如下：學校有14的學生每天飲用含糖飲料不低于500毫升，這些學生的肥胖率為13；而每天飲用含糖飲料低于500毫升的學生的肥胖率為2（1）若從該中學的學生中任意抽取一名學生，求該生肥胖的概率；（2）現(xiàn)從該中學的學生中任意抽取三名學生，記X表示這三名學生中肥胖的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學期望.解：（1）設(shè)“學生每天飲用含糖飲料不低于500毫升”為事件A，則P（A）＝14，P（A）＝3設(shè)“學生肥胖”為事件B，則P（B｜A）＝13，P（B｜A）＝2由全概率公式可得P（B）＝P（B｜A）P（A）＋P（B｜A）P（A）＝13×14＋29×3所以從該中學的學生中任意抽取一名學生，該生肥胖的概率為14（2）由題意可知：X～B（3，14），且X的可能取值為0，1，2，3，則有：P（X＝0）＝（1－14）3＝P（X＝1）＝C31×14×（1－14）P（X＝2）＝C32×（14）2×（1－14P（X＝3）＝（14）3＝1所以X的分布列為X0123P272791X的期望E（X）＝3×14＝3解題技法二項分布的期望與方差的求解策略（1）如果ξ～B（n，p），則用公式E（ξ）＝np，D（ξ）＝np（1－p）求解，可大大減少計算量；（2）有些隨機變量雖不服從二項分布，但與之具有線性關(guān)系的另一隨機變量服從二項分布，這時，可以綜合應(yīng)用E（aξ＋b）＝aE（ξ）＋b以及E（ξ）＝np求出E（aξ＋b），同樣還可求出D（aξ＋b）.在一個抽獎游戲中，主持人從編號為1，2，3的三個外觀相同的空箱子中隨機選擇一個，放入一個金蛋，再將三個箱子關(guān)閉.主持人知道金蛋在哪個箱子里.游戲規(guī)則是主持人請抽獎人在三個箱子中選擇一個，若金蛋在此箱子里，抽獎人得到200元獎金；若金蛋不在此箱子里，抽獎人得到50元參與獎.無論抽獎人是否抽中金蛋，主持人都重新隨機放置金蛋，關(guān)閉三個箱子，等待下一個抽獎人.（1）求前3位抽獎人抽中金蛋人數(shù)X的分布列和方差；（2）為了增加節(jié)目效果，改變游戲規(guī)則.當一抽獎人選定編號后，主持人在剩下的兩個箱子中打開一個空箱子.與此同時，主持人也給抽獎人一個改變選擇的機會.如果抽獎人改變選擇后，抽到金蛋，獎金翻倍；否則，取消參與獎.若僅從最終所獲得的獎金考慮，抽獎人該如何抉擇呢？解：（1）由題意知抽中金蛋人數(shù)X服從二項分布，即X～B（3，13），即X所有可能的取值為0，1，2，3P（X＝0）＝（23）3＝8P（X＝1）＝C31×13×（23）2＝P（X＝2）＝C32×23×（13）2＝P（X＝3）＝（13）3＝1所以X的分布列為X0123P8421中獎人數(shù)的方差D（X）＝3×13×23＝（2）若改變選擇，記獲得獎金數(shù)為Y，則Y所有可能的取值為0，400，則P（Y＝400）＝23×1＝2P（Y＝0）＝1－P（Y＝400）＝13所以改變選擇時，獲得獎金數(shù)的數(shù)學期望E（Y）＝0×13＋400×23＝若不改變選擇，記獲得獎金數(shù)為Z，則Z可能的取值為50，200，則P（Z＝50）＝23，P（Z＝200）＝1所以不改變選擇時，獲得獎金數(shù)的數(shù)學期望E（Z）＝50×23＋200×13＝因為E（Y）＞E（Z），所以抽獎人應(yīng)改變選擇.超幾何分布（師生共研過關(guān)）宿州號稱“中國云都”，擁有華東最大的云計算數(shù)據(jù)中心、CG動畫集群渲染基地，是繼北京、上海、合肥、濟南之后的全國第5家量子通信節(jié)點城市.為了統(tǒng)計計算中心的算力，現(xiàn)從全市n個大型機房和6個小型機房中隨機抽取若干機房進行算力分析，若一次抽取2個機房，全是小型機房的概率為13.（1）求n的值；（2）若一次抽取3個機房，假設(shè)抽取的小型機房的個數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學期望.解：（1）由題知，共有n＋6個機房，抽取2個機房有Cn＋62種方法，其中全是小機房有C62種方法，因此全是小機房的概率為解得n＝4.即n的值為4.（2）X的可能取值為0，1，2，3.P（X＝0）＝C60C43P（X＝1）＝C61C42P（X＝2）＝C62C41P（X＝3）＝C63C40則隨機變量X的分布列為X0123P1311則X的數(shù)學期望E（X）＝0×130＋1×310＋2×12＋3×1解題技法求超幾何分布的分布列的3個步驟（1）驗證隨機變量服從超幾何分布，并確定參數(shù)N，M，n的值；（2）根據(jù)超幾何分布的概率計算公式計算出隨機變量取每一個值時的概率；（3）用表格的形式列出分布列.某校為了提高教師身心健康，號召教師利用空余時間參加陽光體育活動.現(xiàn)有4名男教師，2名女教師報名，本周隨機選取2人參加.（1）求在有女教師參加活動的條件下，恰有一名女教師參加活動的概率；（2）記參加活動的女教師人數(shù)為X，求X的分布列及期望E（X）；（3）若本次活動有慢跑、游泳、瑜伽三個可選項目，每名女教師至多從中選擇參加2項活動，且選擇參加1項或2項的可能性均為12，每名男教師至少從中選擇參加2項活動，且選擇參加2項或3項的可能性也均為12，每人每參加1項活動可獲得“體育明星”積分3分，選擇參加幾項活動彼此互不影響，記隨機選取的兩人得分之和為Y，求Y的期望E（解：（1）設(shè)“有女教師參加活動”為事件A，“恰有一名女教師參加活動”為事件B，則P（AB）＝C41C21C62＝815，所以P（B｜A）＝P（AB）P（即在有女教師參加活動的條件下，恰有一名女教師參加活動的概率為89（2）依題意知X服從超幾何分布，且P（X＝k）＝C2kC42－kC62（k＝0，1，2），P（X＝0）＝C42C62＝25，P（X＝所以X的分布列為：X012P281E（X）＝0×25＋1×815＋2×115（3）設(shè)一名女教師參加活動可獲得分數(shù)為X1，一名男教師參加活動可獲得分數(shù)為X2，則X1的所有可能取值為3，6，X2的所有可能取值為6，9，P（X1＝3）＝P（X1＝6）＝12，E（X1）＝3×12＋6×12P（X2＝6）＝P（X2＝9）＝12，E（X2）＝6×12＋9×12有X名女教師參加活動，則男教師有2－X名參加活動，Y＝92X＋152（2－X）＝15－3X，所以E（Y）＝E（15－3X）＝15－3E（X）＝15－3×23即兩名教師得分之和的期望為13分.正態(tài)分布（師生共研過關(guān)）某市為了增強市民的安全意識，由市安監(jiān)局組織舉辦了一次安全知識網(wǎng)絡(luò)競賽，滿分為100分，得分不低于85分的為優(yōu)秀.競賽結(jié)束后，從參與者中隨機抽取100個樣本，統(tǒng)計得樣本平均數(shù)為76，標準差為9.假設(shè)該市共有10萬人參加了此次網(wǎng)絡(luò)競賽，且得分X服從正態(tài)分布N（μ，σ2）.若以所得樣本的平均數(shù)和標準差分別作為μ，σ的近似值，試估計該市參加此次網(wǎng)絡(luò)競賽得分優(yōu)秀者的人數(shù).參考數(shù)據(jù)：若X～N（μ，σ2），則P（μ－σ＜X＜μ＋σ）≈0.68.解：記“一名市民參加競賽活動得分為優(yōu)秀”為事件A，則P（A）＝P（X＞85）＝P（X＞76＋9）＝P（X＞μ＋σ），所以P（A）＝1－P（μ－故該市參加這次競賽活動得分優(yōu)秀者約有10×0.16＝1.6萬人.解題技法解決正態(tài)分布問題有三個關(guān)鍵點：（1）對稱軸x＝μ；（2）標準差σ；（3）分布區(qū)間.利用對稱性可求指定范圍內(nèi)的概率值；由μ，σ，分布區(qū)間的特征進行轉(zhuǎn)化，使分布區(qū)間轉(zhuǎn)化為3σ特殊區(qū)間，從而求出所求概率.注意只有在標準正態(tài)分布下對稱軸才為x＝0.1.某物理量的測量結(jié)果服從正態(tài)分布N（10，σ2），下列結(jié)論中不正確的是（）A.σ越小，該物理量在一次測量中在（9.9，10.1）的概率越大B.該物理量在一次測量中大于10的概率為0.5C.該物理量在一次測量中小于9.99與大于10.01的概率相等D.該物理量在一次測量中落在（9.9，10.2）與落在（10，10.3）的概率相等解析：D對于A，σ越小，正態(tài)分布的圖象越瘦高，總體分布越集中在對稱軸附近，故A正確；對于B、C，由于正態(tài)分布圖象的對稱軸為μ＝10，顯然B、C正確.D顯然錯誤.故選D.2.若隨機變量X～B（3，p），Y～N（2，σ2），若P（X≥1）＝0.657，P（0＜Y＜2）＝p，則P（Y＞4）＝0.2.解析：由題意，P（X≥1）＝1－P（X＝0）＝1－（1－p）3＝0.657，解得p＝0.3，則P（0＜Y＜2）＝0.3，所以P（Y＞4）＝P（Y＜0）＝0.5－P（0＜Y＜2）＝0.2.1.已知隨機變量ξ～B（12，p），且E（2ξ－3）＝5，則D（3ξ）＝（）A.83 B.C.12 D.24解析：D因為E（2ξ－3）＝2E（ξ）－3＝2×12p－3＝5，所以p＝13，故D（3ξ）＝32D（ξ）＝9×12×13×（1－13）2.某電視節(jié)目采用組團比賽的方式進行，參賽選手需要全部參加完五場公開比賽，其中五場中有四場獲勝，就能取得參加決賽的資格.若某參賽選手每場比賽獲勝的概率均是23，則這名選手能參加決賽的概率是（A.80243 B.C.76243 D.解析：D由題意可知五場中獲勝的場次X～B（5，23），選手能參加決賽的概率P＝C54×（23）4×（1－23）＋C55×（23）5×（3.某黨支部有10名黨員，7男3女，從中選取2人做匯報演出，若X表示選中的女黨員人數(shù)，則P（X＜2）＝（）A.715 B.C.1415 D.解析：C由題意知X服從超幾何分布，X的可能取值為0，1，2，故P（X＝0）＝C72C102＝715，P（X＝1）＝C71·C31C102＝715，于是P（X＜2）＝P4.已知隨機變量X服從二項分布B（4，p），其期望E（X）＝3，隨機變量Y服從正態(tài)分布N（1，2），若P（Y＞0）＝p，則P（0＜Y＜2）＝（）A.23 B.C.14 D.解析：D由E（X）＝4p＝3，得p＝34，則P（Y＞0）＝34，則P（0＜Y＜1）＝34－12＝14，則P（0＜Y＜2）＝2P（0＜Y5.〔多選〕（2024·泰安一模）隨機變量X～N（μ，σ2）且P（X≤2）＝0.5，隨機變量Y～B（3，p），若E（Y）＝E（X），則（）A.μ＝2 B.D（X）＝2σ2C.p＝23 D.D（3Y）＝解析：AC因為X～N（μ，σ2）且P（X≤2）＝0.5，所以μ＝2，故E（X）＝μ＝2，D（X）＝σ2，A正確，B錯誤.因為Y～B（3，p），所以E（Y）＝3p，因為E（Y）＝E（X），所以3p＝2，解得p＝23，C正確.D（3Y）＝9D（Y）＝9×3×23×（1－23）＝6，D錯誤.故選A6.數(shù)學教師從6道習題中隨機抽3道讓學生自我檢測，規(guī)定至少要解答正確2道題才能及格.某同學只能求解其中的4道題，則他能及格的概率是45解析：設(shè)X表示解答正確的習題的個數(shù)，由題意知X服從超幾何分布，由超幾何分布的概率公式可得，他能及格的概率是P（X≥2）＝P（X＝2）＋P（X＝3）＝C42C217.位于坐標原點的一個質(zhì)點P按下述規(guī)則移動：質(zhì)點每次移動一個單位，移動的方向為向上或向右，并且向上、向右移動的概率都是12.則質(zhì)點P移動五次后位于點（2，3）的概率是516解析：由于質(zhì)點每次移動一個單位，移動的方向為向上或向右，移動五次后位于點（2，3），所以質(zhì)點P必須向右移動兩次，向上移動三次，故其概率為C53（12）3（12）2＝C53（8.（2024·贛州模擬）某人準備應(yīng)聘甲、乙兩家公司的高級工程師，兩家公司應(yīng)聘程序都是：應(yīng)聘者先進行三項專業(yè)技能測試，專業(yè)技能測試通過后進入面試.已知該應(yīng)聘者應(yīng)聘甲公司，每項專業(yè)技能測試通過的概率均為23，該應(yīng)聘者應(yīng)聘乙公司，三項專業(yè)技能測試通過的概率依次為56，23，m，其中0＜m＜1（1）若m＝23.求該應(yīng)聘者應(yīng)聘乙公司三項專業(yè)技能測試恰好通過兩項的概率（2）已知甲、乙兩家公司的招聘在同一時間進行，該應(yīng)聘者只能應(yīng)聘其中一家，應(yīng)聘者以專業(yè)技能測試通過項目數(shù)的數(shù)學期望為決策依據(jù)，若該應(yīng)聘者更有可能通過乙公司的技能測試，求m的取值范圍.解：（1）記“該應(yīng)聘者應(yīng)聘乙公司三項專業(yè)技能測試恰好通過兩項”為事件A，由題設(shè)P（A）＝56×C21×23×13＋16×C22故該應(yīng)聘者應(yīng)聘乙公司三項專業(yè)技能測試恰好通過兩項的概率為49（2）分別記“該應(yīng)聘者應(yīng)聘甲、乙公司三項專業(yè)技能測試中通過的項目數(shù)為ξ，η”，由題設(shè)知：ξ～B（3，23），所以E（ξ）＝3×23＝η的所有可能取值為0，1，2，3，P（η＝0）＝16×13×（1－m）＝P（η＝1）＝56×13×（1－m）＋16×23×（1－m）＋16×1P（η＝2）＝56×23×（1－m）＋56×13×m＋16×2P（η＝3）＝56×23×m＝10m故η的分布列為η0123P17105從而E（η）＝0×1－m18＋1×7－6m18＋2×10由E（η）＞E（ξ),0<m<1，得2m+32>29.〔多選〕袋子中有2個黑球，1個白球，現(xiàn)從袋子中有放回地隨機取球4次，取到白球記0分，黑球記1分，記4次取球的總分數(shù)為X，則（）A.X～B（4，23） B.P（X＝2）＝C.E（X）＝83 D.D（X）＝解析：ACD從袋子中有放回地隨機取球4次，則每次取球互不影響，并且每次取到黑球的概率相等，又取到黑球記1分，取到白球記0分，4次取球的總分數(shù)，即為取到黑球的個數(shù)，所以隨機變量X服從二項分布，即X～B（4，23），故A正確；P（X＝2）＝C42（23）2（13）2＝827，故B錯誤；因為X～B（4，23），所以E（X）＝4×23＝83，故C正確；D（X）＝4×210.（新定義）柯西分布是一個數(shù)學期望不存在的連續(xù)型概率分布.記隨機變量X服從柯西分布為X～C（γ，x0），其中當γ＝1，x0＝0時的特例稱為標準柯西分布，其概率密度函數(shù)為f（x）＝1π（1+x2）.已知X～C（1，0），P（｜X｜≤3）＝23，P（1＜X≤3）＝112，則P（解析：因為f（－x）＝1π（1+x2）＝f（x），所以該函數(shù)是偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對稱，由P（｜X｜≤3）＝23，可得P（0＜X≤3）＝13，因為P（1＜X≤3）＝112，所以P（0＜X＜1）＝13－112＝14，因此P（－1＜X＜0）＝14，11.（2025·江西名校聯(lián)盟）已知某客運輪渡最大載客質(zhì)量為4000kg，且乘客的體重（單位：kg）服從正態(tài)分布N（60，100）.（1）記X為任意兩名乘客中體重超過70kg的人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學期望（所有結(jié)果均精確到0.001）；（2）設(shè)隨機變量Xi（i＝1，2，…，n）相互獨立，且服從正態(tài)分布N（μ，σ2），記ξ＝∑i=1nXi－nμnσ，則當n≥20時，可認為ξ服從標準正態(tài)分布N（0，附：若隨機變量η服從正態(tài)分布N（μ，σ2），則P（μ－σ＜η＜μ＋σ）＝0.6826；若ξ服從標準正態(tài)分布N（0，1），則P（ξ＜2）＝0.977；0.15872≈0.0252，0.84132≈0.7078，0.1587×0.8413≈0.1335.解：（1）由乘客的體重（單位：kg）服從正態(tài)分布N（60，100）可得μ＝60，σ＝10，則可得P（X＞70）＝P（X＞μ＋σ）＝1－P（μ－σ＜X＜即任意一名乘客體重大于70kg的概率為0.1587，則X的所有可能取值為0，1，2，P（X＝0）＝（1－0.1587）2≈0.708，P（X＝1）＝C21（1－0.1587）×0.1587≈0.P（X＝2）＝0.15872≈0.025，所以X的分布列為X012P0.7080.2670.025期望值為E（X）≈0×0.708＋1×0.267＋2×0.025＝0.317.（2）設(shè)Xi為第i（