第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年遼寧省重點(diǎn)高中聯(lián)合體高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.復(fù)數(shù)z=i(3?i)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知向量a=(3,4)，b=(2,1)，則cos?A.23 B.223 3.記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且A=2π3，b=1，B=π4，則C和aA.π12，64 B.5π12，64 C.5π124.已知某扇形的周長(zhǎng)為60，圓心角為4，則該扇形的面積為(

)A.75 B.150 C.200 D.4005.將函數(shù)f(x)=cosx的圖象上的每個(gè)點(diǎn)向右平移π2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移23個(gè)單位長(zhǎng)度，并將所得圖象上的每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的3倍，得到函數(shù)g(x)的圖象，則g(x)=(

)A.3cosx?23 B.3sinx+2 C.3sinx+1 6.在△ADT中，已知∠DTA=π3，AD=2，則△ADT面積的最大值為(

)A.1 B.3 C.3 D.7.如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，A1B1⊥A1C1，A.25

B.26

C.8.已知直線族lk：y=kπω(k∈N?)與曲線y=sinx在區(qū)間(0,π)A.1013π B.1013 C.1012π D.1012二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.關(guān)于斜二測(cè)畫(huà)法，下列命題為真命題的有(

)A.平行關(guān)系在直觀圖與原圖中保持不變

B.斜二測(cè)畫(huà)法不會(huì)改變邊長(zhǎng)比例

C.斜二測(cè)畫(huà)法會(huì)改變直角關(guān)系

D.通過(guò)斜二測(cè)畫(huà)法得到的直觀圖和原圖的面積相等10.已知復(fù)數(shù)z，w是方程x2?2x+2=0的兩個(gè)根，且在復(fù)平面內(nèi)，z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)M在ω對(duì)應(yīng)的點(diǎn)N的上方，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則(

)A.z=1+i B.OM?ON=1 C.|z?2w|=11.已知tanα+tanβ=?tan(α+β)≠0，則tanα+β2A.22 B.?1 C.12三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知5tan(π2?θ)=1，則2sinθcos13.已知邊長(zhǎng)為4的菱形ABCD的一個(gè)內(nèi)角為π3，則AB?AD=14.如圖，在三棱錐P?ABC中，D為BC的中點(diǎn)，平面PAD⊥平面ABC，PD⊥BD，BD=PD=1，AD=5，三棱錐P?ABC的體積為23，則銳二面角P?BC?A四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知平面向量a=(2,3)，b=(sinx,cosx)．

(1)若a⊥b，求sinx?3cosxcosx+2sinx的值；

(2)若x=0，且a與a16.(本小題15分)

如圖，已知正四面體PABC，M，N，Q，R分別是棱PA，PC，AB，BC的中點(diǎn)．

(1)證明：四邊形MNRQ為菱形；

(2)求異面直線BM與QR所成角的余弦值．17.(本小題15分)

在△ABC中，A是銳角，且cosBcosC=1?sinBsinC．

(1)求B；

(2)設(shè)P是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，A，P位于直線BC兩側(cè)，若AB=BC=BP=2，且∠PBC=∠APC18.(本小題17分)

已知函數(shù)f(x)=tan(ωx+π3)(ω>0)．

(1)若ω=2，求f(x)的最小正周期；

(2)若f(x)在區(qū)間(?π3,π6)上有定義．

(i)求ω的最大值；19.(本小題17分)

①斜圓錐，顧名思義，即圓錐錐體中軸線被拉斜后所形成的錐體.保持圓錐的頂點(diǎn)到圓錐底面的距離不變，將頂點(diǎn)位置改變后，所得到的錐體即為斜圓錐．

②祖暅原理指出：“冪勢(shì)既同，則積不容異”，意思是兩個(gè)同高的幾何體，如在等高處的截面積相等，則體積相等．

(1)如圖，已知圓柱的上底面圓心為P，下底面圓心為O，圓錐⊥的頂點(diǎn)為P，底面與圓柱的下底面相同.Q是圓柱的上底面圓周上一點(diǎn)，將Q與圓柱下底面圓周上的點(diǎn)相連，記構(gòu)成的封閉幾何體為斜圓錐Λ′.α是平行于圓柱底面且與圓柱有交點(diǎn)的平面，A，B是圓柱下底面圓周上的兩點(diǎn)，AQ∩α=M，BQ∩α=NBQ∩α=N．

(i)證明：QM?QB=QA?QN；

(ii)證明：α截Λ′所得的圖形為圓面；

(2)已知斜圓錐的底面半徑為r，底面中心與頂點(diǎn)的連線長(zhǎng)度為L(zhǎng)，且其與底面所成的角為

答案解析1.【答案】A

【解析】解：復(fù)數(shù)z=i(3?i)=1+3i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,3)，位于第一象限．

故選：A．

計(jì)算得到z=1+3i，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(1,3)，得到所在象限．

本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，是基礎(chǔ)題．2.【答案】C

【解析】解：向量a=(3,4)，b=(2,1)，

則cos?a,b?=a?3.【答案】D

【解析】解：根據(jù)A=2π3，B=π4，由三角形內(nèi)角和定理得C=π?2π3?π4=π12，

根據(jù)正弦定理asinA=b4.【答案】C

【解析】解：設(shè)該扇形的半徑為r，弧長(zhǎng)為l，

則l=4r2r+l=60，解得r=10l=40，所以該扇形的面積S=12rl=200．

故選：C5.【答案】B

【解析】解：將函數(shù)f(x)=cosx的圖象上的每個(gè)點(diǎn)向右平移π2個(gè)單位長(zhǎng)度，

可得y=cos(x?π2)=sinx的圖象，

再將所得圖象向上平移23個(gè)單位長(zhǎng)度，可得y=sinx+23的圖象，

再將所得圖象上的每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的3倍，

可得函數(shù)y=3(sinx+236.【答案】B

【解析】解：根據(jù)題意可知，∠DTA=π3，AD=2，設(shè)AT=x，DT=y，

根據(jù)余弦定理可得x2+y2?2xycosπ3=x2+y2?xy=AD2=4，

∴x7.【答案】A

【解析】解：已知在直三棱柱ABC?A1B1C1中，A1B1⊥A1C1，AB=AC=AA1=4，點(diǎn)P為棱B1C1的中點(diǎn)，

則PA1=PB1=12B1C1=22A1B1=22AB=22，8.【答案】A

【解析】解：當(dāng)k=1時(shí)，sinx=πω，當(dāng)k=2時(shí)，sinx=2πω，當(dāng)k=3時(shí)，sinx=3πω，…，

由題意及曲線y=sinx在區(qū)間(0,π)內(nèi)的圖象，

可知方程sinx=kπω在k=1，2，?，1012時(shí)分別有兩個(gè)不同實(shí)根，且各根均不同，

因?yàn)橹本€族lk：y=kπω(k∈N?)與曲線y=sinx在區(qū)間(0,π)內(nèi)的圖象共有2025個(gè)交點(diǎn)，

所以需滿(mǎn)足1013πω=1，可得ω=1013π．

故選：A．

根據(jù)y=sinx在區(qū)間9.【答案】AC

【解析】解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：

對(duì)于A，根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法的規(guī)則，平行關(guān)系在直觀圖與原圖中保持不變，故A正確；

對(duì)于B，斜二測(cè)畫(huà)法可能會(huì)改變邊長(zhǎng)比例，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C，斜二測(cè)畫(huà)法會(huì)改變直角關(guān)系，故C正確；

對(duì)于D，直觀圖的面積是原圖面積的24，故D錯(cuò)誤．

故選：AC．

根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法的性質(zhì)依次判斷即可．10.【答案】ACD

【解析】解：對(duì)于A，因?yàn)榉匠蘹2?2x+2=0的判別式Δ=4?8<0，

所以x2?2x+2=0的兩根為x1=2+8?4i2=1+i，x2=2?8?4i2=1?i，

兩根對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為(1,1)，(1,?1)，

對(duì)于A，因?yàn)樵趶?fù)平面內(nèi)，z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)M在ω對(duì)應(yīng)的點(diǎn)N的上方，

所以z=1+i，故A正確；

對(duì)于B，因?yàn)樵趶?fù)平面內(nèi)，z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)M在ω對(duì)應(yīng)的點(diǎn)N的上方，

所以M(1,1)，N(1,?1)，

故OM?ON=1?1=0，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C，w=1?i，z?2w=1+i?2(1?i)=?1+3i，

故|z?2w|=(?1)2+32=10，故C正確；

對(duì)于D，因?yàn)閦=1+i，w=1?i，

所以zw11.【答案】AD

【解析】解：由題意得tanα+tanβ=?tan(α+β)=?tanα+tanβ1?tanαtanβ，

結(jié)合tanα+tanβ≠0，可得1=1tanαtanβ?1，解得tanαtanβ=2，所以tanα+tanβ=tanα+2tanα，

結(jié)合|tanα+2tanα|≥22，當(dāng)且僅當(dāng)|tanα|=2時(shí)，等號(hào)成立，

可得tanα+tanβ=tanα+2tanα∈(?∞,?22]∪[22,+∞)，

所以tan(α+β)=?tanα+tanβ∈(?∞,?212.【答案】10

【解析】解：根據(jù)5tan(π2?θ)=1，可得5sin(π2?θ)cos(π2?θ)=1，即5cosθsinθ=1，

所以sinθ=5cosθ13.【答案】8或?8

【解析】解：由邊長(zhǎng)為4的菱形ABCD的一個(gè)內(nèi)角為π3，

可得∠BAD=π3或2π3，

若∠BAD=π3，則AB?AD=|AB||AD|cos∠BAD=4×4×1214.【答案】2

【解析】解：如圖，在平面PAD內(nèi)，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AD，垂足為E，

因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABC，

又平面PAD∩平面ABC=AD，PE?平面PAD，

所以PE⊥平面ABC，

又因?yàn)锽C?平面ABC，

所以PE⊥BC，

因?yàn)镻D⊥BD，即PD⊥BC，

又PD∩PE=P，PD，PE?平面PAD，

所以BC⊥平面PAD，

又因?yàn)锳D?平面PAD，

所以AD⊥BC，

又因?yàn)镻D⊥BC，

所以∠PDA為二面角P?BC?A的平面角，

因?yàn)镾△ABC=12BC?AD=12×2×5=5

因?yàn)槿忮FP?ABC的體積V=13PE?S△ABC=13PE?5=23，解得PE=2515.【答案】94；

{m|m>?133且【解析】(1)因?yàn)閍⊥b，所以a?b=2sinx+3cosx=0，所以tanx=?32，

所以sinx?3cosxcosx+2sinx=tanx?31+2tanx=?32?31+2×(?32)=94；

(2)x=0時(shí)，b=(0,1)，a+mb=(2,3)+(0,m)=(2,3+m)，

a與a+mb的夾角為銳角，

所以a?(a+mb)=(2,3)?(2,3+m)=4+9+3m>0，

解得m>?133，

且16.【答案】證明過(guò)程見(jiàn)解答；

36【解析】(1)證明：正四面體PABC，M，N，Q，R分別是棱PA，PC，AB，BC的中點(diǎn)，

∴MN為△PAC的中位線，

∴MN/?/AC，且MN=12AC，

同理可得QR//AC，且QR=12AC，

∴MN//QR，且MN=QR，∴四邊形MNRQ為平行四邊形，

同理有MQ=12PB，

∵在正四面體中，PB=AC，∴MQ=MN，

∴四邊形MNRQ為菱形．

(2)∵QR//MN，∴∠BMN即為異面直線BM，QR所成的角，

設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為2a，則BM=BN=3a，MN=a，

由余弦定理得，cos∠BMN=a2+(3a)2?(3a)22×a×3a=36，

∴異面直線BM與QR所成角的余弦值為36．

17.【答案】π2；

2+【解析】(1)依題意得sinCcosB+cosCsinB=cosC，故sin(B+C)=cosC，

在△ABC中，A+B+C=π，C∈(0,π)，A∈(0,π2)，

所以sin(B+C)=sinA=cos(π2?A)=cosC，

所以π2?A=C，故B=π2；

(2)由(1)知，B=π2，因?yàn)锳B=BC=BP=2，

所以AC=22，且點(diǎn)B為△APC的外接圓的圓心，圓的半徑為2，

由正弦定理得，ACsin∠APC=2R=4，解得sin∠APC=22，

因?yàn)椤螦CP>∠ACB=π4，所以∠APC<3π4，

故∠APC=π4=∠PBC，

18.【答案】π2；

(i)1；

(ⅱ)(2【解析】(1)當(dāng)ω=2時(shí)，f(x)=tan(2x+π3)，

則T=π2；

(2)(i)當(dāng)x∈(?π3,π6)時(shí)，ωx+π3∈(?ωπ3+π3,ωπ6+π3)，ω>0，

若f(x)在(?π3,π6)上有定義，則?ωπ3+π3≥?π2ωπ6+π3≤π2，

解得ω≤1，故ω的最大值為119.【答案】(i)證明見(jiàn)解析；(ii)證明見(jiàn)解析；

13π【解析】(1)(ⅰ)由題意圓柱的上底面圓心為P，下底面圓心為O，圓錐⊥的頂點(diǎn)為P，底面與圓柱的下底面相同．Q是圓柱的上底面圓周上一點(diǎn)，

α是平行于圓柱底面且與圓柱有交點(diǎn)的平面，

可知平面α/?/平面OAB，且平面QAB∩平面OAB=AB.又因?yàn)锳Q∩α=M，BQ∩α=N，即平面QAB∩α=MN，所以MN//AB．

由于平行線分線段成比例，所以QMQA=QNQB，即QM?QB=QA?QN．

(ii)如圖，

連接OQ，記OQ∩α=O1，連O1M，O1N，

因?yàn)镺Q∩α=O1，AQ∩α=M，所以平面QAO∩平面α=O1M，

又平面α/?/平面OAB，平面QAO∩平面OAB=AO，

所以O(shè)1M//OA，于是有O1MOA=QO1QO，

同理可得O1NOB=QO1QO，又OA=OB，

所以O(shè)1M=O1N，

由于A，B是圓柱下底面圓周上的任意兩點(diǎn)，故結(jié)論具有一般性，所以α截Λ′所得的圖形是