第19講對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

內(nèi)容導(dǎo)航——預(yù)習(xí)三步曲

第一步：學(xué)

析教材學(xué)知識：教材精講精析、全方位預(yù)習(xí)

練習(xí)題講典例：教材習(xí)題學(xué)解題、快速掌握解題方法

練考點(diǎn)強(qiáng)知識：7大核心考點(diǎn)精準(zhǔn)練

第二步：記

串知識識框架：思維導(dǎo)圖助力掌握知識框架、學(xué)習(xí)目標(biāo)復(fù)核內(nèi)容掌握

第三步：測

過關(guān)測穩(wěn)提升：小試牛刀檢測預(yù)習(xí)效果、查漏補(bǔ)缺快速提升

知識點(diǎn)1對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

(1)概念：函數(shù)y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做對數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是(0，＋∞).

(2)對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

a>10<a<1

圖象

定義域：(0，＋∞)

值域：R

當(dāng)x＝1時，y＝0，即過定點(diǎn)(1，0)

性質(zhì)

當(dāng)x>1時，y>0；當(dāng)x>1時，y<0；

當(dāng)0<x<1時，y<0當(dāng)0<x<1時，y>0

在(0，＋∞)上是增函數(shù)在(0，＋∞)上是減函數(shù)

（3）底數(shù)變化與圖象變化的規(guī)律：

在同一坐標(biāo)系內(nèi)，當(dāng)a>1時，隨a的增大，對數(shù)函數(shù)的圖象越靠近x軸；當(dāng)0<a時，對數(shù)函數(shù)的圖象隨

a的增大而遠(yuǎn)離x軸．（見下圖）

1

（4）對數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)的圖象過定點(diǎn)(1，0)，且過點(diǎn)(a，1)，，1，函數(shù)圖象只在第一、

a

四象限.

知識點(diǎn)2反函數(shù)

定義：設(shè)A,B分別為函數(shù)yf(x)的定義域和值域，如果由函數(shù)yf(x)所解得的x(y)也是一個函數(shù)（即

對任意的一個yB，都有唯一的xA與之對應(yīng)），那么就稱函數(shù)x(y)是函數(shù)yf(x)的反函數(shù)，記作

xf（1y），在xf（1y）中，y是自變量，x是y的函數(shù)，習(xí)慣上改寫成yf（1x）（xB,yA）的形式．函

數(shù)xf（1y）（yB,xA）與函數(shù)yf（1x）（xB,yA）為同一函數(shù)，因?yàn)樽宰兞康娜≈捣秶炊x域

都是B，對應(yīng)法則都為f1．

由定義可以看出，函數(shù)yf(x)的定義域A正好是它的反函數(shù)yf（1x）的值域；函數(shù)yf(x)的值域B

正好是它的反函數(shù)yf（1x）的定義域．

注意：并不是每個函數(shù)都有反函數(shù)，有些函數(shù)沒有反函數(shù)，如yx2．一般說來，單調(diào)函數(shù)有反函數(shù)．

反函數(shù)的性質(zhì)：

（1）互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的圖象關(guān)于直線yx對稱．

（2）若函數(shù)yf(x)圖象上有一點(diǎn)(a，b)，則(b，a)必在其反函數(shù)圖象上；反之，若(b，a)在反函數(shù)圖象上，

則(a，b)必在原函數(shù)圖象上．

知識點(diǎn)3比較大小

1.比較兩個對數(shù)值的大小的基本方法是：

（1）比較同底的兩個對數(shù)值的大小，常利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性．

（2）比較同真數(shù)的兩個對數(shù)值的大小，常有兩種方法：①先利用對數(shù)換底公式化為同底的對數(shù)，再利用

對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和倒數(shù)關(guān)系比較大??；②利用對數(shù)函數(shù)圖象的互相位置關(guān)系比較大小．

（3）若底數(shù)與真數(shù)都不同，則通過一個恰當(dāng)?shù)闹虚g量來比較大?。?/p>

2.對數(shù)等比定理

mn（特別當(dāng)m=n=1時，）

logax=logbylogambnzxyzlogzx=logby=logabzxy=z

lgxlgymlgxnlgylgzmn

證明：因?yàn)閘ogx=logylogmnz，所以，即xyz

abablgalgbmlganlgbmlganlgb

3.同步升（降）次法

1

根據(jù)m可知，.

logab=logamblog23log49log827log1

23

4.糖水不等式解決對數(shù)比較大小

bmbama

定理：若ab0，m0，則一定有＞，或者＜

amabmb

通俗的理解就是a克的不飽和糖水里含有b克糖，往糖水里面加入m克糖，則糖水更甜．

教材習(xí)題01解題方法

當(dāng)logax1xa時，logbx1xb，

．對數(shù)函數(shù)ylogax，ylogbx，

logcx1xc，

ylogcx（a0，b0，c0，

且a，b，c均不為1）的圖象如圖，如圖ylogax，ylogbx，ylogcx，

試比較a，b，c的大?。佗冖?/p>

由圖可知cab

【答案】cab

解題方法

（1）解：由對數(shù)函數(shù)ylnx在定義

域上為單調(diào)遞增函數(shù)，所以

教材習(xí)題02

比較下列各題中兩個數(shù)的大?。簂n5ln9.

(1)ln5，ln9；（2）解：由對數(shù)函數(shù)ylog0.3x在

(2)log0.31.6，log0.31.5；定義域上為單調(diào)遞減函數(shù)，所以

(3)log1.26，log1.28；log0.31.6log0.31.5.

（）解：由對數(shù)函數(shù)ylogx在

(4)logam，logan（a0，且a1，mn0）．31.2

定義域上為單調(diào)遞增函數(shù)，所以

log1.26log1.28.

（4）解：當(dāng)a1時，函數(shù)ylogax

是增函數(shù)，且mn0，可得

logamlogan；

當(dāng)0a1時，函數(shù)ylogax是減函

數(shù)，且mn0，可得

logamlogan.

【答案】(1)ln5ln9

(2)log0.31.6log0.31.5

(3)log1.26log1.28

(4)當(dāng)a1時，logamlogan；當(dāng)0a1時，logamlogan.

解題方法

1

（1）因?yàn)閘og2x1log，

222

且函數(shù)ylog2x為定義域上的單調(diào)

遞增函數(shù)，

13

所以2x，所以x，所以使

22

log22x1成立的實(shí)數(shù)x的集合

教材習(xí)題

033

求使下列不等式成立的實(shí)數(shù)的集合：為xx.

x2

；

(1)log22x1ylogx

（2）因?yàn)楹瘮?shù)1為定義域上

2

(2)log1xlog13x2.

22的單調(diào)遞減函數(shù)，且

log1xlog13x2，

22

x3x2

所以x0，所以x1，所以使

3x20

log1xlog13x2成立的實(shí)數(shù)x的

22

集合為xx1.

3

【答案】(1)xx

2

(2)xx1

考點(diǎn)一對數(shù)函數(shù)的概念

1．下列函數(shù)是對數(shù)函數(shù)的是（）

A．ylogx2B．ylog3xC．y2log3x3D．ylog3x1

【答案】B

【分析】由對數(shù)函數(shù)的定義可得.

【詳解】形如ylogax，a0且a1的函數(shù)為對數(shù)函數(shù)，故B正確.

故選：B.

2

2．函數(shù)fxaa1loga1x是對數(shù)函數(shù)，則實(shí)數(shù)a（）

A．0B．1C．2D．3

【答案】B

【分析】需要滿足對數(shù)函數(shù)的系數(shù)為1，同時對數(shù)函數(shù)的底數(shù)要滿足大于0且不等于1，真數(shù)大于0等條件，

然后據(jù)此逐步求出a的值.

【詳解】由a2a11解得a1或a0，又a10，且a11，所以a1

故選：B.

3．若某對數(shù)函數(shù)的圖象過點(diǎn)(4,2)，則該對數(shù)函數(shù)的解析式為．

【答案】ylog2x

【分析】設(shè)出函數(shù)解析式，再結(jié)合圖象所過點(diǎn)求出參數(shù)即可.

【詳解】設(shè)函數(shù)解析式為ylogax(a0，且a1)，

2

由函數(shù)的圖象過點(diǎn)(4,2)，得loga42，即a4，解得a2，

所以該對數(shù)函數(shù)的解析式為為ylog2x.

故答案為：ylog2x

2

4．若函數(shù)ylogaxa3a2為對數(shù)函數(shù)，則a．

【答案】2

【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的概率列式求解即可.

2

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)ylogaxa3a2為對數(shù)函數(shù)，

所以a2-3a+2=0，且a1，則a1（舍去）或a2．

故答案為：2

5．（1）若函數(shù)ylog(2a1)x是對數(shù)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

2

（2）如果對數(shù)式log(x7)x6x5有意義，求實(shí)數(shù)x的取值范圍.

1

【答案】（1）{a∣a且a0}；（2）{x∣x1或7x6或6x5}

2

【分析】（1）根據(jù)對數(shù)函數(shù)的定義列出關(guān)于a的不等式組，即可求解；

（2）根據(jù)對數(shù)函數(shù)的定義及定義域列出關(guān)于x的不等式組，即可求解.

2a101

【詳解】（1）因?yàn)閥log(2a1)x是對數(shù)函數(shù)，所以，解得a且a0，

2a112

1

即實(shí)數(shù)a的取值范圍是{a∣a且a0}.

2

x26x50

（2）要使對數(shù)式有意義，則x70，解得x1或7x6或6x5，

x71

故實(shí)數(shù)x的取值范圍是{x∣x1或7x6或6x5}.

考點(diǎn)二對數(shù)型函數(shù)的三要素

2x

1．函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋ǎ?/p>

lnx

A．(0,1)(1,2]B．(,2]C．(,0)(0,2]D．(0,2]

【答案】A

【分析】根據(jù)函數(shù)解析式，建立不等式組，可得答案.

2x0

【詳解】由題意可得lnx0，解得x0,11,2.

x0

故選：A.

2．在對數(shù)式logx13x中，實(shí)數(shù)x的取值范圍應(yīng)該是（）

A．1x3B．x1且x2C．x3D．1x3且x2

【答案】D

【分析】根據(jù)對數(shù)式中底數(shù)與真數(shù)范圍列不等式組即可求解．

3x0

【詳解】由題意得x10，解得1x3且x2.

x11

故選：D.

312

3．函數(shù)f(x)x,e的值域?yàn)椋?/p>

lnx1e

【答案】[1,)

12

【分析】由x,e及對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得到lnx的取值范圍，進(jìn)而得到lnx1的取值范圍，從而得到

e

3

的取值范圍，即可求得函數(shù)f(x)的值域.

lnx1

12

【詳解】因?yàn)閤,e，所以lnx(1,2]，lnx1(0,3]，

e

3

所以[1,)，即f(x)的值域?yàn)閇1,)．

lnx1

故答案為：[1,).

11x22x1

4．函數(shù)f(x)lg的定義域?yàn)椋涤驗(yàn)?

x2

【答案】(,0)(0,)1,

2

11x22x11

【分析】先求證2恒成立，即可由得出定義域，再化簡fxlg110

11x2x1020

xx

即可求出值域.

【詳解】因?yàn)?2)24111400，所以11x22x10恒成立，

11x22x1

由0，得x0，則fx的定義域?yàn)?,0)(0,)，

x2

2

121

fxlg211lg110lg101，故f(x)的值域?yàn)?,.

xxx

故答案為：(,0)(0,)；1,

2

5．已知函數(shù)fxlog2ax4x3.

(1)當(dāng)

a1時，討論fx的單調(diào)性；

(2)若fx的值域?yàn)镽，求a的取值范圍；

(3)是否存在實(shí)數(shù)a使得函數(shù)fx在區(qū)間1,2上單調(diào)遞減？若存在，寫出一個符合題意的a值；若不存在，

說明理由.

【答案】(1)單調(diào)增區(qū)間是3,，單調(diào)減區(qū)間時,1；

4

(2)0,

3

(3)不存在，理由見解析；

【分析】（1）由x24x30得到x3或x1，再結(jié)合二次函數(shù)及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求解；

（2）由a0，a0兩類情況討論即可；

（3）由yax24x3在1,2上單調(diào)遞減，yax24x30在1,2恒成立，分別求解a的范圍，即可判

斷.

2

【詳解】（1）當(dāng)a1時，fxlog2x4x3，

由x24x30，可得：x3或x1，

易知yx24x3，在3,單調(diào)遞增，在,1單調(diào)遞減，

又ylog2x單調(diào)遞增，

2

所以fxlog2x4x3的單調(diào)增區(qū)間是3,，單調(diào)減區(qū)間時,1；

（2）當(dāng)a0時，fxlog24x3，顯然滿足值域?yàn)镽，

a0

當(dāng)a0時，要使得fx的值域?yàn)镽，需滿足：，

1612a0

4

解得：0a，

3

4

綜上可知：若fx的值域?yàn)镽，a的取值范圍是0,；

3

（3）不存在，理由如下：

若函數(shù)fx在區(qū)間1,2上單調(diào)遞減，

需滿足：yax24x3在1,2上單調(diào)遞減，且yax24x30在1,2恒成立，

若yax24x3在1,2上單調(diào)遞減，

a0滿足，

2

當(dāng)a0時，需滿足2，即a1，

a

2

當(dāng)a0時，需滿足1，恒成立，

a

綜上可得：yax24x3在1,2上單調(diào)遞減a的取值范圍是,1，

若yax24x30在1,2恒成立，

4x334

即a，

x2x2x

11224

令t,1，易知y3t4t在對稱軸t處取到最大值，

x233

4

所以a，

3

顯然yax24x3在1,2上單調(diào)遞減與yax24x30在1,2恒成立，不能同時成立，

所以不存在實(shí)數(shù)a使得函數(shù)fx在區(qū)間1,2上單調(diào)遞減.

考點(diǎn)三對數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性及最值

1．函數(shù)ylogax的圖象如圖所示，則a的值可以是（）

A．0.5B．2C．eD．π

【答案】A

【分析】由圖象結(jié)合對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得答案.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)ylogax的圖象是單調(diào)遞減的，所以0a1，

由選項(xiàng)可知A正確.

故選：A.

2．下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,)上為增函數(shù)的是（）

x

3

12

A．yB．ylog3xC．yD．y(x2)

2x

【答案】B

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，反比例函數(shù).，二次函數(shù)的單調(diào)性逐個判斷即可.

1x111x

【詳解】在函數(shù)y()中，a，0<<1，所以y()在(0,)上為減函數(shù)，A選項(xiàng)錯誤.

2222

在函數(shù)ylog3x中，a3，3>1，所以ylog3x在(0,)上為增函數(shù)，B選項(xiàng)正確.

33

在函數(shù)y中，k3，3>0，所以y在(0,)上為減函數(shù)，C選項(xiàng)錯誤.

xx

在函數(shù)y(x2)2中，a1>0，對稱軸為x2，所以y(x2)2在(0,2)上單調(diào)遞減，在(2,)上單調(diào)遞增，

因此y(x2)2在(0,)上不是單調(diào)遞增函數(shù)，D選項(xiàng)錯誤.

在區(qū)間(0,)上為增函數(shù)的是ylog3x.

故選：B.

logax1,x0

3．已知fx是R上的單調(diào)遞增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為．

a1x2a3,x0

3

【答案】1,

2

a1

【分析】由分段函數(shù)的單調(diào)性得到a10求解即可.

2a30

logax1,x0

【詳解】由fx是R上的單調(diào)遞增函數(shù)，

a1x2a3,x0

a1

可得：a10，

2a30

3

解得：1a，

2

3

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為1,，

2

3

故答案為：1,

2

2

4．已知函數(shù)f(x)log2(x1)，若fm2f(3m)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.

1

【答案】{m|m2或m1}

3

【分析】由對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性構(gòu)造不等式求解即可.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)log2(x1)的定義域(1,)且單調(diào)遞增，

若fm22f(3m)，

3m1

則2，

m23m

1

解得m2或m1.

3

1

故答案為：{m|m2或m1}.

3

．已知，，求函數(shù)22的最大值及y取得最大值時的的值．

5fx2log3xx1,9yfxfxx

【答案】當(dāng)x3時，最大值為13

【分析】先由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和性質(zhì)求出目標(biāo)函數(shù)的定義域，再利用換元法結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得.

222

【詳解】由fx2log3x，x1,9得fx2log3x，x1,9，即x3,11,3，

22

得函數(shù)yfxfx的定義域?yàn)?,3，

22

y2log3x2log3x，

22

即ylog3x6log3x6log3x33，

令log3xt，0t1，

2

y(t3)3，當(dāng)tlog3x1，即x3時，ymax13．

1

6．已知函數(shù)fx(logx)2alogx2，x,4.

222

(1)當(dāng)a1時，求函數(shù)fx的值域；

(2)若函數(shù)fx的最小值為2，求實(shí)數(shù)a的值.

【答案】(1)1,3；

3

(2)a或a2.

2

【分析】（1）利用換元法將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)進(jìn)行求值域；

（2）對換元后的二次函數(shù)的對稱軸位置進(jìn)行討論，根據(jù)最值表達(dá)式求出參數(shù)a的值．

1

【詳解】（1）fx(logx)2alogx2(logx)22alogx，x,4，

22222

1

令tlogx，x,4，則fx化為yt22at，t1,2，

22

當(dāng)a1時，yt22t，t1,2，

對稱軸為t1，所以yt22t在1,1上單調(diào)遞減，在1,2上單調(diào)遞增，

當(dāng)t1時，ymin1；當(dāng)t1時，ymax3；

則f(x)minymin1，f(x)maxymax3，

所以函數(shù)fx的值域?yàn)?,3；

1

（2）由（1），令tlogx，x,4，

22

fx化為yt22at，t1,2，對稱軸為ta，

若a1，則yt22at在1,2上單調(diào)遞增，

3

當(dāng)t1時，y2a12，得a，符合題意；

min2

若1a2，則yt22at在1,a上單調(diào)遞減，在a，2上單調(diào)遞增，

2

當(dāng)ta時，ymina2，得a2(2舍去)，符合題意；

若a2，則yt22at在1,2上單調(diào)遞減，

3

當(dāng)t2時，y44a2，得a，與a2矛盾，舍去；

min2

3

綜上，a或a2.

2

考點(diǎn)四求反函數(shù)及反函數(shù)的應(yīng)用

1．函數(shù)y2x42

(x≥2)的反函數(shù)是（）

11

A．yx22x4

(x≤2)B．yx22x4

(x≤2)

22

11

C．yx22x4

(x≥2)D．yx22x4

(x≥2)

22

【答案】B

【分析】求得原函數(shù)的值域，再用y表示x，寫出反函數(shù)即可.

【詳解】因?yàn)閥2x422

，所以函數(shù)y2x42的值域?yàn)閥|y2，

2

由y2x42，所以y22x4，得y22x4，

121

所以xy22y22y4，

22

1

所以函數(shù)y2x42的反函數(shù)為yx22x4

(x≤2).

2

故選：B.

x

驏1

2．函數(shù)fx的圖象與函數(shù)g(x)=琪的圖象關(guān)于直線yx對稱，則f4（）

桫2

A．2B．1C．2D．4

【答案】A

【分析】根據(jù)反函數(shù)的定義可得出函數(shù)fx的解析式，代值計(jì)算可得f4的值.

x

驏1

【詳解】由題意函數(shù)fx的圖象與函數(shù)g(x)=琪的圖象關(guān)于直線yx對稱知，

桫2

x

驏1fxlogxf4log42

函數(shù)fx是函數(shù)g(x)=琪的反函數(shù)，所以1，即1，

桫222

故選：A.

3．對數(shù)函數(shù)ylogax（a0，且a1）和指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)．

【答案】yax（a0，且a1）

【分析】略.

【詳解】略.

log2025

4．方程x12024xlog202520241的實(shí)根是．

【答案】2025

【分析】根據(jù)反函數(shù)的性質(zhì)可知兩函數(shù)的交點(diǎn)在yx上，即可根據(jù)xlog20252024x1求解.

log2025

【詳解】令yxlog202520241，則函數(shù)單調(diào)遞增，且y12024x，

log2025log2025

因此函數(shù)yx12024與函數(shù)yxlog202520241互為反函數(shù)，則yx12024與函數(shù)yxlog202520241的交

點(diǎn)在直線yx上，

log20242025log2024

因此x1x20251x，故xlog20252024x1，

故log20252024logxx1，解得x2025，

故答案為：2025

5．在指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的學(xué)習(xí)中，我們發(fā)現(xiàn)同底數(shù)的指數(shù)函數(shù)yax(a0,a1)和對數(shù)函數(shù)

ylogax(a0,a1)互為反函數(shù)，它們的函數(shù)圖象關(guān)于直線yx對稱．一般地，設(shè)函數(shù)yfxxA的

值域?yàn)镃，根據(jù)這個函數(shù)中x,y的關(guān)系，把x用y表示出，得到xy．若對于y在C中的任何一個值，

通過xy,x在A中都有唯一的值與之對應(yīng)，那么，xy就表示y是自變量，x是因變量的函數(shù)，這

樣的函數(shù)xyyC叫做函數(shù)yfxxA的反函數(shù)，記作xf1y．習(xí)慣上，我們用x表示自變

量，y表示因變量，所以函數(shù)yfx的反函數(shù)通常寫為yf1x．

反函數(shù)的主要性質(zhì)有：

對稱性：互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的圖象關(guān)于直線yx對稱；

①單調(diào)性：一個函數(shù)與它的反函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上單調(diào)性一致；

②定義域與值域：反函數(shù)的定義域和值域分別為原函數(shù)的值域和定義域．

23

③(1)試判斷Fxx,Gxx是否有反函數(shù)（直接寫出答案）；

12x111

(2)試求出函數(shù)fx的反函數(shù)fx，并指明函數(shù)fx的定義域和值域然后判斷函數(shù)fx的單

x1

調(diào)性；

3x

(3)若關(guān)于x的方程12xx4tt為常數(shù)）恰有兩個根x,x，且x,x分別滿足logx1a1和

12129122

x2x2

3a，試求2x1x2a的值．

3

mn,

12

（注：若Am1,n1,Bm2,n2關(guān)于直線yx對稱，則直線yx關(guān)于直線yx對稱）

m2n1,

【答案】(1)Fxx2無反函數(shù)，Gxx3有反函數(shù)

(2)f1(x)的定義域?yàn)閧x|x2}，值域?yàn)閧y|y1}，在(,2)和(2,)上單調(diào)遞減

(3)19

【分析】（1）分別求出x的表達(dá)式，根據(jù)反函數(shù)的定義，即可判斷；

（2）求出x的表達(dá)式，根據(jù)表達(dá)式可直接求得f1(x)的定義域，根據(jù)反函數(shù)的值域?yàn)樵瘮?shù)的定義域，可

求得f1(x)的值域，再根據(jù)f1(x)的表達(dá)式判斷其單調(diào)性；

3xx

（3）由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，求得xx和xx的值，分別化簡log(x1)a1和3x2a2，

121291223

log(x1)3a1(x1)

可得到311，則tx1與tx1分別是ylogt與t和y3a1t的兩個

x2111223y3

33a1(x21)

交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，根據(jù)反函數(shù)的性質(zhì)，求得a的值，從而可得到2x1x2a的值.

【詳解】（1）設(shè)y=x2，則xy，此時一個y有兩個x與之對應(yīng)，不唯一，所以Fxx2無反函數(shù)；

設(shè)yx3，則x3y，此時一個y有唯一一個x與之對應(yīng)，所以Gxx3有反函數(shù).

12x1y

（2）設(shè)yf(x)，所以x，

x1y2

1x

即f1(x)，所以f1(x)的定義域?yàn)閧x|x2}，

x2

12x

因?yàn)閒(x)的定義域?yàn)閧x|x1}，所以f1(x)的值域?yàn)閧y|y1}，

x1

1x3

因?yàn)閒1(x)1，所以f1(x)在(,2)和(2,)上單調(diào)遞減.

x2x2

x1x28

（3）方程12xx4t化為x28x48t0，所以,

x1x2t48

3x

1

log9(x11)a

222log9(x11)3ax1

因?yàn)?，所以?/p>

x33x23ax

3x2a22

3

log(x1)3a1(x1)

即311，

x21

33a1(x21)

t

所以t1x11與t2x21分別是ylog3t與y3和y3a1t的兩個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，

t

因?yàn)閥log3t與y3互為反函數(shù)，y3a1t關(guān)于直線yx對稱，

3a13a1

所以t1和t的中點(diǎn)為(,)，

222

t1t23a1x11x213a1

所以，即，所以x1x23a18，所以a3，

2222

所以2x1x2a28319.

考點(diǎn)五對數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用

1．函數(shù)yxa與ylogax的圖象只可能是下圖中的（）

A．B．C．

D．

【答案】C

【分析】由一次函數(shù)圖象得出a的取值范圍，利用對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)逐項(xiàng)判斷可得.

【詳解】A中，由yxa的圖象知a1，則ylogax為增函數(shù)，A錯；

B中，由yxa的圖象知0a1，則ylogax為減函數(shù)，B錯；

C中，由yxa的圖象知0a1，則ylogax為減函數(shù)，所以C對；

D中，由yxa的圖象知a0，此時ylogax無意義，D錯．

故選：C.

ylog1x

2．函數(shù)ylog2x與的圖象關(guān)于（）

2

A．x軸對稱B．y軸對稱C．原點(diǎn)對稱D．直線yx對稱

【答案】A

ylog1xlog2xylog1x

【詳解】因?yàn)椋院瘮?shù)ylog2x與的圖象關(guān)于x軸對稱．

22

3．函數(shù)f(x)2loga(2x1)3（a0，且a1）的圖象恒過定點(diǎn)P，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為.

【答案】(1,3)

【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)ylogax過定點(diǎn)1,0，可求出fx2loga2x13過的定點(diǎn).

【詳解】已知函數(shù)fx2loga2x13（a0，且a1），

令2x11，即x1，

即函數(shù)f(x)2loga(2x1)3（a0，且a1）的圖象恒過定點(diǎn)P(1,3)，

故答案為：(1,3).

4．若函數(shù)fxlog3xa2的圖象經(jīng)過第一、二、三象限，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.

【答案】,1

【分析】由題意，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的圖象可知f00，利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式即可.

【詳解】由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，得xa20，解得xa2，

則函數(shù)yfx的定義域?yàn)閍2,，又函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、二、三象限，

所以f00，即log30a20，化簡得log32alog31，

則2a1，解得a1.

故答案為：,1

x且

5．已知函數(shù)fxa1a0a1的圖象恒過定點(diǎn)A，且點(diǎn)A在函數(shù)gxlog2xa的圖象上.

3

(1)若fxfx，求x的值；

2

(2)若函數(shù)yfgx在區(qū)間2,6上的圖象總在直線ykx1上方，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

1

【答案】(1)x

2

(2),16

1

【分析】（1）根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求得點(diǎn)A0,2，代入gx可得a4，解方程可得x；

2

2

（2）將問題轉(zhuǎn)化為不等式x41kx1在區(qū)間2,6上恒成立，再由基本不等式計(jì)算可得實(shí)數(shù)k的取值

范圍.

x

【詳解】（1）由函數(shù)fxa1a0且a1的圖象恒過定點(diǎn)A，可得A0,2；

將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入gxlog2xa可得log2a2，解得a4；

所以fx4x1,fx4x1，

33

因?yàn)閒xfx，即4x4x，

22

2

整理可得24x34x20，即24x14x20，

x1

解得4x2或4（舍）；

2

1

所以x；

2

x

（2）由（1）可知fx41，gxlog2x4；

logx42

所以yfgx421x41，

2

函數(shù)yfgx在區(qū)間2,6上的圖象總在直線ykx1上方，可得x41kx1在區(qū)間2,6上恒成

立，

1616

整理可得kx8在區(qū)間2,6上恒成立，因此kx8,x2,6；

xxmin

1616

易知x882x16，當(dāng)且僅當(dāng)x4時，等號成立；

xx

即k16；

因此實(shí)數(shù)k的取值范圍為,16.

考點(diǎn)六比較大小

11

1．已知函數(shù)f(x)=lnx，若af，bf，cf3，則a，b，c的大小關(guān)系為（）

42

A．a(chǎn)bcB．a(chǎn)cbC．bacD．bca

【答案】D

【分析】先利用對數(shù)的運(yùn)算法則，把a(bǔ),b,c分別轉(zhuǎn)化為ln4,ln2,ln3，再利用函數(shù)fxlnx的單調(diào)性比較大

小.

11

【詳解】因?yàn)閍fln4，bfln2，cf3ln3，

42

且fxlnx在1,單調(diào)遞增，

所以ln2ln3ln4，即bca.

故選：D

11

2．設(shè)ae，bln，clog23，則（）

2

A．cabB．bacC．cbaD．a(chǎn)cb

【答案】B

【分析】利用對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)單調(diào)性確定各數(shù)與特殊值0，1的關(guān)系，分析即得解

101

【詳解】由0aee1，blnln10，clog23log221，

2

所以bac.

故選：B.

0.1

3．已知alog0.92025，b2024，clog20252024，比較a，b，c的大小關(guān)系：．

【答案】acb

【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，利用“1”、“0”比較大小.

0.10

【詳解】由alog0.92025log0.910，b202420241，0log20251clog20252024log202520251，

所以acb，

故答案為：acb

1

．已知，ylog2，，則x，y，z的大小關(guān)系為．

4xlnπ5ze2

【答案】yzx