懷仁云東高考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.函數(shù)f(x)=log?(x+1)的定義域是（）

A.(-1,+∞)

B.(-∞,-1)

C.(-1,-∞)∪(-∞,+∞)

D.R

2.若復(fù)數(shù)z=1+i，則|z|的值為（）

A.1

B.√2

C.2

D.√3

3.已知集合A={x|x2-3x+2=0}，B={x|ax=1}，若B?A，則a的值為（）

A.1

B.1或2

C.0或1

D.0或1或2

4.函數(shù)f(x)=sin(2x+π/3)的最小正周期是（）

A.π

B.2π

C.π/2

D.3π/2

5.已知點(diǎn)P(x,y)在直線x+y=1上，則z=x2+y2的最小值為（）

A.0

B.1/2

C.1

D.2

6.若向量a=(1,2)，b=(3,k)，且a⊥b，則k的值為（）

A.3/2

B.2/3

C.-3/2

D.-2/3

7.已知等差數(shù)列{a?}中，a?=1，a?=3，則a?的值為（）

A.7

B.9

C.11

D.13

8.已知圓O的方程為x2+y2=4，則直線3x+4y-1=0與圓O的位置關(guān)系是（）

A.相交

B.相切

C.相離

D.無法確定

9.函數(shù)f(x)=x3-3x在區(qū)間[-2,2]上的最大值是（）

A.2

B.0

C.-2

D.4

10.已知三角形ABC中，∠A=60°，∠B=45°，c=√2，則a的值為（）

A.1

B.√2

C.2

D.2√2

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)是奇函數(shù)的有（）

A.f(x)=x3

B.f(x)=sin(x)

C.f(x)=x2

D.f(x)=tan(x)

2.若函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的圖像開口向上，且頂點(diǎn)在x軸上，則下列說法正確的有（）

A.a>0

B.Δ=b2-4ac=0

C.c>0

D.f(x)在頂點(diǎn)處取得最小值

3.已知向量a=(1,k)，b=(k,1)，若向量a與向量b的夾角為銳角，則k的取值范圍有（）

A.k=0

B.k>0且k≠1

C.k<0

D.k≠0且k≠1

4.在等比數(shù)列{a?}中，若a?=6，a?=54，則下列說法正確的有（）

A.公比q=3

B.首項(xiàng)a?=2

C.a?=432

D.數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn=2(3?-1)

5.已知圓C?的方程為(x-1)2+y2=4，圓C?的方程為(x+1)2+y2=1，則下列說法正確的有（）

A.圓C?的圓心坐標(biāo)為(1,0)

B.圓C?的半徑為1

C.兩圓相切

D.兩圓的公共弦所在直線的方程為x=0

三、填空題（每題4分，共20分）

1.已知函數(shù)f(x)=2^x，則f(log?3)的值為_______。

2.在△ABC中，若角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，且a=3，b=4，c=5，則cosA的值為_______。

3.已知直線l的傾斜角為60°，則直線l的斜率k等于_______。

4.在等差數(shù)列{a?}中，若a?=5，d=-2，則該數(shù)列的前10項(xiàng)和S??等于_______。

5.若復(fù)數(shù)z=1-i，則z2的值為_______。

四、計(jì)算題（每題10分，共50分）

1.計(jì)算極限：lim(x→2)(x3-8)/(x-2)。

2.解方程：2cos2θ+3sinθ-1=0(0≤θ<2π)。

3.計(jì)算不定積分：∫(x2+2x+3)/(x+1)dx。

4.在△ABC中，已知a=5，b=7，C=60°，求c的長度及△ABC的面積。

5.已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+2，求函數(shù)的極值。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下

一、選擇題答案及解析

1.A

解析：函數(shù)f(x)=log?(x+1)中，真數(shù)x+1必須大于0，即x>-1，故定義域?yàn)?-1,+∞)。

2.B

解析：復(fù)數(shù)z=1+i的模|z|=√(12+12)=√2。

3.D

解析：集合A={1,2}，若B?A，則B可能為空集?，此時(shí)a可以為任意實(shí)數(shù)；若B非空，則B={1}或B={2}，分別對(duì)應(yīng)a=1或a=1/2，但a=1/2時(shí)B={1,2}也滿足B?A，故a=1也包含在內(nèi)，綜上a可取0,1,2。

4.A

解析：函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期T=2π/|ω|，此處ω=2，故T=2π/2=π。

5.B

解析：將z=x2+y2視為動(dòng)點(diǎn)P(x,y)到原點(diǎn)O的距離的平方。直線x+y=1上離原點(diǎn)最近的點(diǎn)P滿足OP⊥直線x+y=1。設(shè)P(a,b)，則a+b=1，且OP2=a2+b2。由點(diǎn)到直線距離公式，原點(diǎn)到直線x+y=1的距離d=|0+0-1|/√(12+12)=1/√2。故z的最小值=d2=(1/√2)2=1/2。

6.D

解析：向量a=(1,2)，b=(3,k)垂直，則a·b=1×3+2×k=0，解得3+2k=0，k=-3/2。

7.C

解析：等差數(shù)列{a?}中，a?=1，a?=3。公差d=a?-a?=3-1=2。a?=a?+4d=1+4×2=1+8=9。此處原參考答案為11有誤，正確答案應(yīng)為9。

8.A

解析：圓O方程x2+y2=4，圓心(0,0)，半徑r=2。直線3x+4y-1=0到圓心(0,0)的距離d=|3×0+4×0-1|/√(32+42)=|-1|/√(9+16)=1/√25=1/5。因?yàn)閐=1/5<r=2，所以直線與圓相交。

9.D

解析：f(x)=x3-3x。求導(dǎo)f'(x)=3x2-3=3(x2-1)=3(x-1)(x+1)。令f'(x)=0，得x=1,x=-1。計(jì)算函數(shù)在端點(diǎn)和駐點(diǎn)的值：f(-2)=(-2)3-3(-2)=-8+6=-2；f(-1)=(-1)3-3(-1)=-1+3=2；f(1)=13-3(1)=1-3=-2；f(2)=23-3(2)=8-6=2。比較可知，最大值為2。

10.B

解析：在△ABC中，∠A=60°，∠B=45°，則∠C=180°-60°-45°=75°。已知邊c=√2。利用正弦定理：a/sinA=c/sinC。所以a=c*(sinA/sinC)=√2*(sin60°/sin75°)=√2*(√3/2/(√6+√2)/4)=√2*(2√3/(√6+√2))=2√6/(√6+√2)。分母有理化：=2√6*(√6-√2)/((√6+√2)(√6-√2))=2√6*(√6-√2)/(6-2)=√6*(√6-√2)=6-√12=6-2√3。原參考答案√2有誤，正確答案應(yīng)為6-2√3。

二、多項(xiàng)選擇題答案及解析

1.A,B,D

解析：奇函數(shù)滿足f(-x)=-f(x)。

A.f(x)=x3，f(-x)=(-x)3=-x3=-f(x)，是奇函數(shù)。

B.f(x)=sin(x)，f(-x)=sin(-x)=-sin(x)=-f(x)，是奇函數(shù)。

C.f(x)=x2，f(-x)=(-x)2=x2≠-x2=-f(x)，不是奇函數(shù)。

D.f(x)=tan(x)，f(-x)=tan(-x)=-tan(x)=-f(x)，是奇函數(shù)。

故正確選項(xiàng)為A、B、D。

2.A,B,D

解析：函數(shù)f(x)=ax2+bx+c圖像開口向上，則a>0。頂點(diǎn)在x軸上，則頂點(diǎn)的y坐標(biāo)為0，即f(x)的最小值為0，這等價(jià)于判別式Δ=b2-4ac=0。a>0和Δ=0是頂點(diǎn)在x軸上且開口向上的充分必要條件。f(x)在頂點(diǎn)處取得最小值，這是開口向上拋物線的性質(zhì)。選項(xiàng)C中，c的符號(hào)無法由題目條件確定，例如f(x)=x2-4x+3=(x-2)2-1，此時(shí)a=1>0,Δ=(-4)2-4*1*3=16-12=4≠0，頂點(diǎn)不在x軸上；而f(x)=x2+4x+4=(x+2)2，此時(shí)a=1>0,Δ=42-4*1*4=16-16=0，頂點(diǎn)在x軸上。故c不一定大于0。因此正確選項(xiàng)為A、B、D。

3.B,C,D

解析：向量a=(1,k)，b=(k,1)的夾角為銳角，則a·b>0且a,b不同向。

a·b=1×k+k×1=2k。要使a·b>0，則2k>0，即k>0。

同時(shí)，a與b不同向，即a≠λb(λ為正數(shù))。若k=0，則a=(1,0)，b=(0,1)，此時(shí)a=b（考慮方向），不滿足不同向的條件。故k≠0。

綜上，k必須大于0且不等于1。即k∈(0,1)∪(1,+∞)。選項(xiàng)B、C、D符合。

4.A,B,C,D

解析：等比數(shù)列{a?}中，a?=a?q=6，a?=a?q3=54。

將a?/a?=(a?q3)/(a?q)=q2，得q2=54/6=9，故q=3(由于a?>a?，q>0)。

將q=3代入a?=a?q，得a?=6/3=2。

驗(yàn)證a?=a?q3=2×33=2×27=54，正確。

計(jì)算a?=a?q?=2×3?=2×729=1458。原參考答案432有誤，正確答案應(yīng)為1458。

計(jì)算前n項(xiàng)和Sn。當(dāng)q=1時(shí)，Sn=na?=2n。當(dāng)q≠1時(shí)，Sn=a?(1-q?)/(1-q)=2(1-3?)/(1-3)=2(1-3?)/(-2)=-(1-3?)=3?-1。

綜上，Sn=2n(n=1時(shí)也符合，即S?=2=31-1)。Sn=2(3?-1)=2×3?-2。原參考答案2(3?-1)是正確的形式，但系數(shù)應(yīng)為2。若按Sn=a?(1-q?)/(1-q)計(jì)算，應(yīng)為2(1-3?)/(-2)=3?-1。這里Sn=2(3?-1)是正確的?？赡茴}目意在考察這個(gè)形式。故A、B、D正確。C選項(xiàng)a?=432錯(cuò)誤，但Sn=2(3?-1)正確。

5.A,B,D

解析：圓C?：(x-1)2+y2=4。圓心C?(1,0)，半徑r?=√4=2。

圓C?：(x+1)2+y2=1。圓心C?(-1,0)，半徑r?=√1=1。

計(jì)算兩圓心間距離|C?C?|=√[(1-(-1))2+(0-0)2]=√(22)=2。

比較圓心距與半徑和差：r?+r?=2+1=3；|r?-r?|=|2-1|=1。

因?yàn)閨r?-r?|<|C?C?|<r?+r?(即1<2<3)，所以兩圓相交。

交點(diǎn)連線（公共弦）所在直線垂直于圓心連線C?C?。圓心連線C?C?的斜率k_line=(0-0)/(1-(-1))=0/2=0，所以公共弦所在直線斜率為±∞，即垂直于x軸，方程為x=1。直線x=1與圓C?：(x-1)2+y2=4相交于(1,±√3)，與圓C?：(x+1)2+y2=1相交于(1,±√(-1-1)2+12)=(1,±√(4-1))=(1,±√3)。公共弦為(1,√3)和(1,-√3)。

驗(yàn)證直線方程x=0是否為公共弦所在直線：直線x=0過圓心C?(-1,0)，不可能是兩圓的公共弦所在直線。

故正確選項(xiàng)為A、B、D。

三、填空題答案及解析

1.3

解析：f(log?3)=2^(log?3)=3。根據(jù)對(duì)數(shù)換底公式a^log?b=b。

2.3/5

解析：△ABC中，a=3,b=4,c=5。因?yàn)?2+42=9+16=25=52，所以△ABC是直角三角形，∠C=90°。利用余弦定理cosA=(b2+c2-a2)/(2bc)=(42+52-32)/(2×4×5)=(16+25-9)/(40)=32/40=4/5。此處原參考答案√3/2有誤，應(yīng)為4/5。

3.√3

解析：直線l的傾斜角θ=60°，斜率k=tanθ=tan60°=√3。

4.-50

解析：等差數(shù)列{a?}中，a?=5,d=-2。前10項(xiàng)和S??=n/2*(2a?+(n-1)d)=10/2*(2×5+(10-1)×(-2))=5*(10+9×(-2))=5*(10-18)=5*(-8)=-40。此處原參考答案-50有誤，正確答案應(yīng)為-40。

5.-2

解析：z2=(1-i)2=12-2×1×i+i2=1-2i+(-1)=0-2i=-2i。此處原參考答案-1有誤，正確答案應(yīng)為-2i。如果題目要求z2的實(shí)部，則為-2。

四、計(jì)算題答案及解析

1.12

解析：lim(x→2)(x3-8)/(x-2)=lim(x→2)[(x-2)(x2+2x+4)]/(x-2)=lim(x→2)(x2+2x+4)=22+2×2+4=4+4+4=12。

2.π/4,5π/4

解析：方程2cos2θ+3sinθ-1=0。利用cos2θ=1-sin2θ，得2(1-sin2θ)+3sinθ-1=0，即-2sin2θ+3sinθ+1=0，2sin2θ-3sinθ-1=0。令t=sinθ，得2t2-3t-1=0。解一元二次方程：(2t+1)(t-1)=0，得t=-1/2或t=1。

若sinθ=1，則θ=π/2+2kπ,k∈Z。

若sinθ=-1/2，則θ=-π/6+2kπ或θ=7π/6+2kπ,k∈Z。

在區(qū)間0≤θ<2π內(nèi)，解為θ=π/2,θ=7π/6,θ=11π/6。

原參考答案π/4,5π/4不正確。π/4時(shí)sin(π/4)=√2/2≠1或-1/2；5π/4時(shí)sin(5π/4)=-√2/2≠1或-1/2。

正確解應(yīng)為：θ=π/2,7π/6,11π/6。

3.x2/2+x3/3+3x+C

解析：∫(x2+2x+3)/(x+1)dx

使用多項(xiàng)式除法或拆分分子：(x2+2x+3)/(x+1)=(x2+x+x+2x+3)/(x+1)=(x(x+1)+x+2(x+1)+1)/(x+1)=x+1+2+1/(x+1)=x+3+1/(x+1)。

∫(x+3+1/(x+1))dx=∫xdx+∫3dx+∫1/(x+1)dx

=x2/2+3x+ln|x+1|+C

原參考答案x2/2+x3/3+3x+C中的x3/3是錯(cuò)誤的，積分x得到x2/2，積分1/(x+1)得到ln|x+1|。

4.c=√7,面積=7√3/4

解析：利用余弦定理求c：c2=a2+b2-2abcosC=52+72-2×5×7×cos60°=25+49-70×(1/2)=74-35=39，故c=√39。此處原參考答案√7有誤。

利用正弦定理求面積：面積S=1/2*ab*sinC=1/2*5*7*sin60°=35/2*(√3/2)=35√3/4。原參考答案7√3/4正確。

5.極小值f(1)=-2，無極大值

解析：f(x)=x3-3x2+2。求導(dǎo)f'(x)=3x2-6x=3x(x-2)。

令f'(x)=0，得x=0或x=2。

計(jì)算二階導(dǎo)數(shù)f''(x)=6x-6。

f''(1)=6×1-6=0。f''(2)=6×2-6=6>0。

因?yàn)閒''(2)>0，所以x=2是極小值點(diǎn)，極小值為f(2)=23-3×22+2=8-12+2=-2。

f''(1)=0，不能直接判斷。計(jì)算f'(x)在x=1附近的符號(hào)變化：

當(dāng)x<1時(shí)，例如x=0，f'(0)=3×0×(0-2)=0。當(dāng)x>1時(shí)，例如x=1.5，f'(1.5)=3×1.5×(1.5-2)=3×1.5×(-0.5)=-2.25<0。

由于f'(x)在x=1附近從正變負(fù)，且f'(1)=0，所以x=1是極大值點(diǎn)。極大值為f(1)=13-3×12+2=1-3+2=0。

因此，函數(shù)有一個(gè)極大值點(diǎn)x=1，極大值為0；有一個(gè)極小值點(diǎn)x=2，極小值為-2。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷涵蓋的理論基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)分類和總結(jié)：

該試卷主要考察了高中階段代數(shù)、幾何、三角函數(shù)、數(shù)列、解析幾何等核心數(shù)學(xué)知識(shí)，適合高中畢業(yè)班或大學(xué)基礎(chǔ)階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)者的檢測(cè)。知識(shí)點(diǎn)分類如下：

一、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)：

-函數(shù)概念：定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性、周期性。

-指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)：性質(zhì)、運(yùn)算、圖像。

-冪函數(shù)：性質(zhì)、圖像。

-三角函數(shù)：定義、性質(zhì)、