2025年高考數(shù)學(xué)立體幾何解題突破模擬試-實(shí)戰(zhàn)訓(xùn)練考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。）1.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（1，2，3）到平面α：x+2y+z+1=0的距離是（）A.2√3B.√3C.√2D.12.若直線l：x=2與平面α：x+y+z=1相交，則直線l在平面α上的投影是（）A.直線x=2B.直線y+z=1C.直線x+y+z=3D.直線x=2且y+z=13.已知三棱錐D-ABC的頂點(diǎn)D在底面ABC上的射影為△ABC的重心，若△ABC的面積為6，則三棱錐D-ABC的體積為（）A.2√3B.3√3C.4√3D.6√34.過點(diǎn)P（1，0，1）且與平面α：x+y+z=0垂直的直線方程是（）A.x=1，y+z=0B.x-1=y=z-1C.x-1=y=z+1D.x+1=y+z5.已知點(diǎn)A（1，2，3）和點(diǎn)B（3，2，1），則向量AB的模長(zhǎng)是（）A.2√2B.2√3C.4D.√146.平面α與平面β相交于直線l，若平面α的法向量為（1，0，1），平面β的法向量為（0，1，1），則直線l的方向向量是（）A.（1，1，1）B.（1，-1，0）C.（-1，1，0）D.（0，1，-1）7.在三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，且△ABC的面積為4，PA=3，則點(diǎn)P到平面ABC的距離是（）A.1B.2C.3D.48.已知直線l：x+y=1與平面α：x-y+z=2相交，則直線l在平面α上的投影是（）A.直線x+y=1B.直線x-y+z=2C.直線x+y=2D.直線x-y=19.若直線l：x=1與平面α：2x+y+z=3相交，則直線l在平面α上的投影是（）A.直線x=1B.直線y+z=2C.直線x+y+z=4D.直線x=1且y+z=210.已知三棱錐D-ABC的頂點(diǎn)D在底面ABC上的射影為△ABC的垂心，若△ABC的面積為8，則三棱錐D-ABC的體積為（）A.4√2B.8√2C.16√2D.32√211.過點(diǎn)P（0，1，2）且與平面α：x-y+z=0平行的直線方程是（）A.x=y-1，z=2B.x=y+1，z=2C.x=-y+1，z=2D.x=-y-1，z=212.已知點(diǎn)A（1，2，3）和點(diǎn)B（3，2，1），則向量BA的模長(zhǎng)是（）A.2√2B.2√3C.4D.√14二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分。）13.平面α與平面β相交于直線l，若平面α的法向量為（1，1，1），平面β的法向量為（1，-1，0），則直線l的方向向量是________。14.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（1，2，3）到平面α：2x+y-z=1的距離是________。15.已知三棱錐D-ABC的頂點(diǎn)D在底面ABC上的射影為△ABC的垂心，若△ABC的面積為5，則三棱錐D-ABC的體積為________。16.過點(diǎn)P（1，0，1）且與直線l：x=y=z平行的直線方程是________。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）17.(10分)已知點(diǎn)A（1，2，3），點(diǎn)B（3，2，1），點(diǎn)C（2，1，2），求向量AB與向量AC的夾角余弦值。18.(12分)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AD=2，AB=1，求四棱錐P-ABCD的體積。19.(12分)已知平面α：x+y+z=1和平面β：2x-y+z=0，求平面α與平面β所成銳二面角的余弦值。20.(12分)在三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，PA=3，△ABC的面積為6，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線AD的距離。21.(12分)已知直線l：x=2與平面α：x+y+z=1相交，求直線l在平面α上的投影方程。22.(10分)在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（1，2，3）到平面α：2x-y+z=1的距離是________。請(qǐng)先求出距離，再說明你的解題思路和步驟。四、證明題（本大題共2小題，共30分。證明題應(yīng)寫出詳細(xì)的證明過程。）23.(15分)已知三棱錐D-ABC的頂點(diǎn)D在底面ABC上的射影為△ABC的重心，證明：三棱錐D-ABC的體積是底面△ABC面積的三分之二倍。24.(15分)在空間直角坐標(biāo)系中，給定三個(gè)點(diǎn)A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1），證明：平面ABC與平面ABC的垂線所成的角是90度。本次試卷答案如下一、選擇題答案及解析1.答案：B解析：根據(jù)點(diǎn)到平面的距離公式，點(diǎn)A（1，2，3）到平面α：x+2y+z+1=0的距離d=|1*1+2*2+3*1+1|/√(1^2+2^2+1^2)=|10|/√6=√6/√6*√10=√10/√6=√(10/6)=√(5/3)=√3。故選B。2.答案：D解析：直線l：x=2與平面α：x+y+z=1相交，說明直線l在平面α上，且直線l的方向向量為（0，1，1），投影就是直線l本身與平面α的交點(diǎn)，即x=2且y+z=1。故選D。3.答案：A解析：三棱錐D-ABC的頂點(diǎn)D在底面ABC上的射影為△ABC的重心，設(shè)重心為G，則DG⊥平面ABC，且DG=2/3*高。設(shè)△ABC的高為h，則三棱錐D-ABC的體積V=(1/3)*△ABC的面積*DG=(1/3)*6*(2/3*h)=(4/9)*6h=8h/3。又因?yàn)椤鰽BC的面積為6，所以h=√(6/(1/2*底邊長(zhǎng)))。由于重心將中線分為2:1，所以底邊長(zhǎng)為3h，代入得h=√(6/(1/2*3h))=√(4/h)=2，故V=8*2/3=16/3。但選項(xiàng)中沒有，重新算一遍，發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤，正確計(jì)算如下：V=(1/3)*6*(2/3*3)=4√3。故選A。4.答案：B解析：過點(diǎn)P（1，0，1）且與平面α：x+y+z=0垂直的直線，其方向向量與平面α的法向量（1，1，1）相同，所以直線方程為x-1=y=z-1。故選B。5.答案：B解析：向量AB的坐標(biāo)為（3-1，2-2，1-3）=（2，0，-2），其模長(zhǎng)為√(2^2+0^2+(-2)^2)=√8=2√2。故選B。6.答案：C解析：平面α的法向量為（1，0，1），平面β的法向量為（0，1，1），兩平面的交線l的方向向量為兩法向量的叉積（1，0，1）×（0，1，1）=(-1，-1，1)。故選C。7.答案：C解析：點(diǎn)P到平面ABC的距離即為PA的高，由于PA⊥底面ABC，所以高為PA=3。故選C。8.答案：D解析：直線l：x+y=1與平面α：x-y+z=2相交，投影就是直線l在平面α上的垂線，即x-y=1。故選D。9.答案：D解析：直線l：x=1與平面α：2x+y+z=3相交，投影就是直線l在平面α上的垂線，即x=1且y+z=2。故選D。10.答案：B解析：三棱錐D-ABC的頂點(diǎn)D在底面ABC上的射影為△ABC的垂心，設(shè)垂心為H，則DH⊥平面ABC，且DH=2/3*高。設(shè)△ABC的高為h，則三棱錐D-ABC的體積V=(1/3)*△ABC的面積*DH=(1/3)*8*(2/3*h)=(16/9)*h。又因?yàn)椤鰽BC的面積為8，所以h=√(8/(1/2*底邊長(zhǎng)))。由于垂心將中線分為2:1，所以底邊長(zhǎng)為3h，代入得h=√(8/(1/2*3h))=√(16/h)=4，故V=(16/9)*4=64/9。但選項(xiàng)中沒有，重新算一遍，發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤，正確計(jì)算如下：V=(1/3)*8*(2/3*3)=16/3。故選B。11.答案：B解析：過點(diǎn)P（0，1，2）且與平面α：x-y+z=0平行的直線，其方向向量與平面α的法向量（1，-1，1）相反，所以直線方程為x=y+1，z=2。故選B。12.答案：B解析：向量BA的坐標(biāo)為（1-3，2-2，3-1）=（-2，0，2），其模長(zhǎng)為√((-2)^2+0^2+2^2)=√8=2√2。故選B。二、填空題答案及解析13.答案：（1，-1，-1）解析：平面α的法向量為（1，1，1），平面β的法向量為（1，-1，0），兩平面的交線l的方向向量為兩法向量的叉積（1，1，1）×（1，-1，0）=(1*(-1)-1*0，1*1-1*1，1*1-1*(-1))=(-1，0，2)。但題目要求的是方向向量，所以取相反數(shù)（1，0，-2）。故答案為（1，-1，-1）。14.答案：√6/3解析：根據(jù)點(diǎn)到平面的距離公式，點(diǎn)A（1，2，3）到平面α：2x+y-z=1的距離d=|2*1+1*2-3*1-1|/√(2^2+1^2+(-1)^2)=|0|/√6=0/√6=0。故答案為0。15.答案：10√2/3解析：三棱錐D-ABC的頂點(diǎn)D在底面ABC上的射影為△ABC的垂心，設(shè)垂心為H，則DH⊥平面ABC，且DH=2/3*高。設(shè)△ABC的高為h，則三棱錐D-ABC的體積V=(1/3)*△ABC的面積*DH=(1/3)*5*(2/3*h)=(10/9)*h。又因?yàn)椤鰽BC的面積為5，所以h=√(5/(1/2*底邊長(zhǎng)))。由于垂心將中線分為2:1，所以底邊長(zhǎng)為3h，代入得h=√(5/(1/2*3h))=√(10/h)=√10，故V=(10/9)*√10=10√2/3。故答案為10√2/3。16.答案：x=y=z+1解析：過點(diǎn)P（1，0，1）且與直線l：x=y=z平行的直線，其方向向量為（1，1，1），所以直線方程為x-1=y=z-1。故答案為x=y=z+1。三、解答題答案及解析17.解析：向量AB的坐標(biāo)為（3-1，2-2，1-3）=（2，0，-2），向量AC的坐標(biāo)為（2-1，1-2，2-3）=（1，-1，-1）。向量AB與向量AC的夾角余弦值為（向量AB·向量AC）/（|向量AB|*|向量AC|）=（2*1+0*(-1)+(-2)*(-1)）/（√(2^2+0^2+(-2)^2)*√(1^2+(-1)^2+(-1)^2)）=（2+0+2）/（√8*√3）=4/（2√6）=2/√6=√6/3。故答案為√6/3。18.解析：四棱錐P-ABCD的體積V=(1/3)*底面積*高=(1/3)*矩形ABCD的面積*PA=(1/3)*2*1*2=4/3。故答案為4/3。19.解析：平面α的法向量為（1，1，1），平面β的法向量為（2，-1，1），兩平面的夾角余弦值為（向量n1·向量n2）/（|向量n1|*|向量n2|）=（1*2+1*(-1)+1*1）/（√(1^2+1^2+1^2)*√(2^2+(-1)^2+1^2)）=（2-1+1）/（√3*√6）=2/（√18）=2/（3√2）=√2/3。故答案為√2/3。20.解析：點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，設(shè)B（x1，y1，z1），C（x2，y2，z2），則D（（x1+x2）/2，（y1+y2）/2，（z1+z2）/2）。由于PA⊥底面ABC，所以AD在平面ABC內(nèi)，且AD⊥BC。向量AD的坐標(biāo)為（（x1+x2）/2-1，（y1+y2）/2-2，（z1+z2）/2-3）。點(diǎn)P到直線AD的距離即為向量PA在向量AD上的投影的長(zhǎng)度，即|向量PA*向量AD|/|向量AD|。向量PA的坐標(biāo)為（0-1，0-2，0-3）=（-1，-2，-3）。向量AD的模長(zhǎng)為√（（x1+x2）/2-1）^2+（（y1+y2）/2-2）^2+（（z1+z2）/2-3）^2。向量PA·向量AD=-1*（（x1+x2）/2-1）-2*（（y1+y2）/2-2）-3*（（z1+z2）/2-3）。故答案為√6。21.解析：直線l：x=2與平面α：x+y+z=1相交，投影就是直線l在平面α上的垂線，即x=2且y+z=-1。故答案為x=2且y+z=-1。22.解析：根據(jù)點(diǎn)到平面的距離公式，點(diǎn)A（1，2，3）到平面α：2x-y+z=1的距離d=|2*1-1*2+3*1-1|/√(2^2+(-1)^2+1^2)=|2-2+3-1|/√6=|2|/√6=√6/3。解題思路是先求出向量n1和向量n2的叉積，再求出向量n3，最后用向量n1和向量n2的模長(zhǎng)除以向量n3的模長(zhǎng)，得到夾角余弦值。步驟是：求出向量n1和向量n2的叉積，求出向量n3，求出向量n1和向量n2的模長(zhǎng)，求出向量n3的模長(zhǎng)，求出夾角余弦值。故答案為√6/3。四、證明題答案及解析23.證明：設(shè)△ABC的重心為G，則DG⊥平面ABC，且DG=2/3*高。設(shè)△ABC的高為h，則三棱錐D-ABC的體積V=(1/3)*△ABC的面積*DG=(1/3)*6*(2/3*h)=(4/9)*6h=8h/3。又因?yàn)椤鰽BC的面積為6，所以h=√(6/(1/2*底邊長(zhǎng)))。由于重心將中線分為2:1，所以底邊長(zhǎng)為3h，代入得h=√(6/(1/2*3h))=√(4/h)=2，故V=(16/9)*