2025年高考數(shù)學(xué)模擬試卷（立體幾何綜合應(yīng)用題突破）考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。）1.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(1,2,3)到平面π:x-2y+z+1=0的距離是（）A.2√3B.√3C.√2D.12.若直線l:x=1與平面α:ax+y+z=0所成角的余弦值為√3/2，則實(shí)數(shù)a的值為（）A.-1B.0C.1D.23.已知正方體的棱長為2，E、F分別是正方體的對角線AC和BD的中點(diǎn)，則直線EF與平面ABC所成角的正弦值是（）A.1/2B.√2/2C.√3/2D.√6/34.過點(diǎn)A(1,0,0)且與直線l:x=t,y=2t,z=t+1垂直的平面方程是（）A.x-2y+z=1B.x+2y-z=1C.x-2y+z=-1D.x+2y-z=-15.已知直線l1:x=1,l2:y=1，若直線l過點(diǎn)P(0,0)，且與l1、l2所成角的和為45°，則直線l的斜率可能是（）A.1B.-1C.1或-1D.0或16.在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，AB=1，則點(diǎn)A到平面PBC的距離是（）A.√5/2B.√3C.1D.√27.已知直線l1:x-y=0,l2:x+y=0，若直線l過點(diǎn)Q(1,1)，且與l1、l2所成角的和為90°，則直線l的方程是（）A.x-y=0B.x+y=0C.x=1D.y=18.在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA=2，△ABC是邊長為2的等邊三角形，則點(diǎn)P到平面ABC的距離是（）A.√3B.2√3C.1D.√29.已知正四面體的棱長為2，則其高是（）A.√2B.√3C.2√3D.3√210.過點(diǎn)A(1,0,0)且與直線l:x=t,y=t,z=t+1平行的平面方程是（）A.x-y+z=1B.x+y-z=1C.x-y+z=-1D.x+y-z=-111.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(1,2,3)到直線l:x=1,y=2t,z=t+1的距離是（）A.√2B.√3C.√5D.√612.已知直線l1:x=1,l2:y=1，若直線l過點(diǎn)P(0,0)，且與l1、l2所成角的正切值相等，則直線l的方程是（）A.y=xB.y=-xC.y=x或y=-xD.y=0二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分。把答案填在題中橫線上。）13.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(1,2,3)到平面π:2x-y+z-1=0的距離是______。14.若直線l:x=1與平面α:ax+y+z=0所成角的正弦值為1/2，則實(shí)數(shù)a的值為______。15.已知正方體的棱長為3，E、F分別是正方體的對角線AC和BD的中點(diǎn)，則直線EF與平面ABC所成角的余弦值是______。16.過點(diǎn)A(1,0,0)且與直線l:x=t,y=2t,z=t+1垂直的直線方程是______。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）17.（10分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，AB=1，E是PC的中點(diǎn)。求證：平面ABE⊥平面PBC。18.（12分）在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(1,2,3)，點(diǎn)B(3,0,2)，點(diǎn)C(0,1,1)。求（1）向量AB與向量AC的夾角余弦值；（2）過點(diǎn)A且與向量AB、向量AC都垂直的平面方程。19.（12分）已知正方體的棱長為2，E、F、G分別是正方體的棱AB、BC、CC'的中點(diǎn)，H是正方體外接球球心。求證：四邊形EFGH是矩形，并求其面積。20.（12分）在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，PA⊥平面ABCD，PA=2，E是PD的中點(diǎn)，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)。求（1）異面直線AE與PF所成角的余弦值；（2）三棱錐P-AEF的體積。21.（12分）如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA=2，△ABC是邊長為2的等邊三角形，M是BC的中點(diǎn)。求（1）點(diǎn)P到直線BC的距離；（2）二面角P-BC-A的余弦值。22.（10分）在空間直角坐標(biāo)系中，直線l:x=1,y=t,z=t+1，點(diǎn)A(1,0,0)。求（1）點(diǎn)A到直線l的距離；（2）過點(diǎn)A且與直線l垂直的平面方程。四、選做題（本大題共1小題，共10分。請根據(jù)自己學(xué)習(xí)情況選擇做或不做。）23.在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA=2，△ABC是邊長為2的等邊三角形，M是BC的中點(diǎn)，N是PC的中點(diǎn)。求異面直線AM與MN所成角的正弦值。本次試卷答案如下一、選擇題1.B解析：點(diǎn)A(1,2,3)到平面π:x-2y+z+1=0的距離d=|1*1-2*2+3*1+1|/√(1^2+(-2)^2+1^2)=|1-4+3+1|/√6=√3。2.C解析：直線l:x=1與平面α:ax+y+z=0所成角的余弦值為√3/2，說明直線l的方向向量(0,1,0)與平面法向量(a,1,1)所成角的余弦值為√3/2。根據(jù)向量夾角余弦公式，cosθ=0*a+1*1+0*1/√(0^2+1^2+0^2)√(a^2+1^2+1^2)=√3/2，解得a=1。3.A解析：正方體的棱長為2，E、F分別是正方體的對角線AC和BD的中點(diǎn)，則EF的中點(diǎn)O是正方體外接球的球心，且OA=√3。連接OE，OE⊥平面ABC，∠OEF是直線EF與平面ABC所成角。在直角三角形OEF中，OE=√2，EF=√2，∠OEF=30°，sin∠OEF=1/2。4.A解析：直線l:x=t,y=2t,z=t+1的方向向量為(1,2,1)，過點(diǎn)A(1,0,0)且與直線l垂直的平面法向量可取(1,2,1)，平面方程為1(x-1)+2(y-0)+1(z-0)=0，即x-2y+z=1。5.C解析：直線l與l1、l2所成角的和為45°，設(shè)直線l的斜率為k。若l與l1所成角為α，l與l2所成角為β，則α+β=45°。根據(jù)兩直線夾角公式，tanα=|k|，tanβ=|1/k|，tan(α+β)=(|k|+|1/k|)/(1-|k|*|1/k|)=1，解得k=±1。6.A解析：底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，AB=1，點(diǎn)A到平面PBC的距離即為點(diǎn)A到直線BC的距離。連接AC，AC=√(AD^2+AB^2)=√5。連接PC，PC=√(PA^2+AC^2)=√(4+5)=3。在△PAC中，PC^2=PA^2+AC^2，∠PAC=90°。作AH⊥PC于H，AH即為所求距離。由面積法，S△PAC=1/2*PA*AC=1/2*PC*AH，AH=PA*AC/PC=2√5/3。由于A在平面PBC內(nèi)，AH=√5/2。7.A解析：直線l與l1、l2所成角的和為90°，設(shè)直線l的斜率為k。若l與l1所成角為α，l與l2所成角為β，則α+β=90°。根據(jù)兩直線夾角公式，tanα=|k|，tanβ=|1/k|，tan(α+β)=|k*1/k|/(1-|k|*|1/k|)=1，解得k=1。直線l過點(diǎn)Q(1,1)，方程為y-1=x-1，即x-y=0。8.A解析：PA⊥平面ABC，PA=2，△ABC是邊長為2的等邊三角形，點(diǎn)P到平面ABC的距離即為PA在平面ABC上的投影，即點(diǎn)A到平面PBC的距離。連接AB，AB=2，連接AC，AC=2，連接BC，BC=2。△ABC是等邊三角形，高AH=√3。連接PC，PC=√(PA^2+AC^2)=√(4+4)=2√2。在△PAC中，PC^2=PA^2+AC^2，∠PAC=90°。作AH⊥PC于H，AH即為所求距離。由面積法，S△PAC=1/2*PA*AC=1/2*PC*AH，AH=PA*AC/PC=2√3/2√2=√3/2。由于A在平面PBC內(nèi)，AH=√3。9.B解析：正四面體的棱長為2，高PO垂直于底面ABC。連接AO，AO=√3。在直角三角形PAO中，PO^2+AO^2=PA^2，PO^2+3=4，PO=√3。10.B解析：過點(diǎn)A(1,0,0)且與直線l:x=t,y=t,z=t+1平行的平面法向量與l的方向向量(1,1,1)垂直，設(shè)法向量為(n,m,l)，n+m+l=0。平面方程為n(x-1)+m(y-0)+l(z-0)=0，即nx+my+lz-n=0。代入點(diǎn)(1,0,0)，n+l=0，即n=-l。平面方程為-l(x-1)+my+lz+l=0，即-x+y+z=1。11.C解析：點(diǎn)A(1,2,3)到直線l:x=1,y=2t,z=t+1的距離d=√[(2-2t)^2+(3-(t+1))^2]=√[4t^2+4(t^2+2t+1)]=√(8t^2+8t+4)=√(4(2t^2+2t+1))=2√(2t^2+2t+1)。令t=0，d=2√2。令t=1，d=2√5。令t=-1，d=2√3。最小值為2√2。12.C解析：直線l與l1、l2所成角的正切值相等，設(shè)l的斜率為k。若l與l1所成角為α，l與l2所成角為β，則tanα=tanβ。根據(jù)兩直線夾角公式，tanα=|k|，tanβ=|1/k|，|k|=|1/k|，解得k=±1。直線l過點(diǎn)P(0,0)，方程為y=x或y=-x。二、填空題13.√15/5解析：點(diǎn)A(1,2,3)到平面π:2x-y+z-1=0的距離d=|2*1-1*2+1*3-1|/√(2^2+(-1)^2+1^2)=|2-2+3-1|/√6=√15/5。14.-√2解析：直線l:x=1與平面α:ax+y+z=0所成角的正弦值為1/2，說明直線l的方向向量(0,0,1)與平面法向量(a,1,1)所成角的正弦值為1/2。根據(jù)向量夾角正弦公式，sinθ=|(0*a+0*1+1*1)/(√(0^2+0^2+1^2)√(a^2+1^2+1^2)|=1/√(a^2+2)=1/2，解得a=-√2。15.√2/2解析：正方體的棱長為3，E、F分別是正方體的對角線AC和BD的中點(diǎn)，EF=√2*3/2=3√2/2。連接AO，AO=√(3^2+3^2)=3√2。連接BO，BO=√(3^2+3^2)=3√2?！鰽OB是等腰直角三角形，∠AOB=90°。連接EF，EF⊥平面ABC，∠EFB是直線EF與平面ABC所成角。在直角三角形EFO中，EF=3√2/2，EO=3√2/2，sin∠EFO=EF/EO=√2/2。16.x-1=0解析：過點(diǎn)A(1,0,0)且與直線l:x=t,y=2t,z=t+1垂直的直線與l的方向向量(1,2,1)平行，方向向量可取(1,2,1)。直線方程為x=1。三、解答題17.證明：在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD。連接AE，BE。由于ABCD是矩形，AD⊥AB。又PA⊥平面ABCD，PA⊥AB。AB是公共邊，AD⊥PA，AB⊥PA。∠DAB=90°，∠PAB=90°?！螾AB+∠DAB=180°，AB⊥平面PAD。連接PE，PC。由于PC=AC，E是PC中點(diǎn)，PE=EC。在△PAC中，PA⊥AC，PE=EC，∠APE=∠ACP。連接BE，BC。由于BC⊥AB，AB⊥平面PAD，BC⊥平面PAD。∠PBC=90°?！螦PE+∠PBC=90°+90°=180°，∠APE=∠PBC。AB⊥平面PEB。平面ABE⊥平面PBC。18.解：（1）向量AB=(3-1,0-2,2-3)=(2,-2,-1)，向量AC=(0-1,1-2,1-3)=(-1,-1,-2)。向量AB與向量AC的夾角余弦值為cosθ=(2*(-1)+(-2)*(-1)+(-1)*(-2))/(√(2^2+(-2)^2+(-1)^2)√((-1)^2+(-1)^2+(-2)^2))=1/√30。（2）過點(diǎn)A(1,2,3)且與向量AB、向量AC都垂直的平面法向量為(2,-2,-1)×(-1,-1,-2)=(-3,-3,0)。平面方程為-3(x-1)-3(y-2)+0(z-3)=0，即x+y=3。19.證明：正方體的棱長為2，E、F、G分別是正方體的棱AB、BC、CC'的中點(diǎn)，H是正方體外接球球心。連接OE，OF，OG，OH。OE=OF=OG=√2/2。OH=√(2^2+2^2+2^2)/2=√6/2。四邊形EFGH是矩形，面積S=OE*OH=√2/2*√6/2=√3。20.解：（1）連接AE，PF。E是PD中點(diǎn)