第六節(jié)二項(xiàng)分布、超幾何分布與正態(tài)分布課標(biāo)要求1.通過(guò)具體實(shí)例，了解伯努利試驗(yàn)，掌握二項(xiàng)分布及其數(shù)字特征，并能解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.2.通過(guò)具體實(shí)例，了解超幾何分布及其均值，并能解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.3.通過(guò)誤差模型，了解服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量；通過(guò)具體實(shí)例，借助頻率直方圖的幾何直觀，了解正態(tài)分布的特征；了解正態(tài)分布的均值、方差及其含義.1.伯努利試驗(yàn)與二項(xiàng)分布（1）伯努利試驗(yàn)：只包含可能結(jié)果的試驗(yàn)叫做伯努利試驗(yàn)；將一個(gè)伯努利試驗(yàn)獨(dú)立地重復(fù)進(jìn)行n次所組成的隨機(jī)試驗(yàn)稱為；（2）二項(xiàng)分布：一般地，在n重伯努利試驗(yàn)中，設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p（0＜p＜1），用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，則X的分布列為P（X＝k）＝，k＝0，1，2，…，n.如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式，則稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，記作.2.超幾何分布一般地，假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件，其中有M件次品.從N件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取n件（不放回），用X表示抽取的n件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X的分布列為P（X＝k）＝CMkCN－Mn－kCNn，k＝其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}.如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式，那么稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布.提醒超幾何分布中的隨機(jī)變量為抽到的某類個(gè)體的個(gè)數(shù).主要特征為：①考察對(duì)象分兩類；②已知各類對(duì)象的個(gè)數(shù)；③從中抽取若干個(gè)個(gè)體，考查某類個(gè)體數(shù)X的概率分布.超幾何分布主要用于抽檢產(chǎn)品、摸不同類別的小球等概率模型，其實(shí)質(zhì)是古典概型.3.正態(tài)分布若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，記為X～N（μ，σ2），其中E（X）＝μ，D（X）＝σ2，其正態(tài)密度函數(shù)為f（x）＝1σ2πe－（x－μ）22σ2.（1）正態(tài)曲線的特點(diǎn)①曲線位于x軸，與x軸不相交；②曲線是單峰的，它關(guān)于直線對(duì)稱；③曲線在x＝μ處達(dá)到峰值；④曲線與x軸之間的面積為；⑤當(dāng)σ一定時(shí)，曲線的位置由μ確定，曲線隨著μ的變化而沿x軸平移；⑥當(dāng)μ一定時(shí)，曲線的形狀由σ確定，σ越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散.

（2）正態(tài)分布的三個(gè)常用數(shù)據(jù)①P（μ－σ≤X≤μ＋σ）≈0.6827；②P（μ－2σ≤X≤μ＋2σ）≈0.9545；③P（μ－3σ≤X≤μ＋3σ）≈0.9973.1.對(duì)于二項(xiàng)分布X～B（n，p），E（X）＝np，D（X）＝np（1－p）.2.對(duì)于超幾何分布X～H（n，M，N），E（X）＝nMN，D（X）＝nMN·（1－MN3.對(duì)于正態(tài)分布X～N（μ，σ2），E（X）＝μ，D（X）＝σ2.1.判斷正誤.（正確的畫(huà)“√”，錯(cuò)誤的畫(huà)“×”）（1）n重伯努利試驗(yàn)中各次試驗(yàn)的結(jié)果相互獨(dú)立.（）（2）若X表示n次重復(fù)拋擲1枚骰子出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)是3的倍數(shù)的次數(shù)，則X服從二項(xiàng)分布.（）（3）超幾何分布的總體里只有兩類物品.（）（4）正態(tài)曲線是單峰的，其與x軸圍成的面積是隨參數(shù)μ，σ的變化而變化的.（）（5）正態(tài)分布是對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量而言的.（）2.將一枚質(zhì)地均勻的硬幣連續(xù)拋擲4次，X表示“正面朝上”出現(xiàn)的次數(shù)，則E（X）＝，D（X）＝.3.（人A選三P78例5改編）在含有3件次品的10件產(chǎn)品中，任取4件，X表示取到的次品數(shù)，則P（X＝2）＝.4.（人A選三P87練習(xí)2題改編）已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N（3，1），且P（X＞2c－1）＝P（X＜c＋3），則c＝.5.（人A選三P80習(xí)題2題改編）若某射手每次射擊擊中目標(biāo)的概率為0.9，每次射擊的結(jié)果相互獨(dú)立，則在他連續(xù)4次的射擊中，恰好有一次未擊中目標(biāo)的概率是.n重伯努利試驗(yàn)與二項(xiàng)分布（定向精析突破）考向1n重伯努利試驗(yàn)（1）下列事件是n重伯努利試驗(yàn)的是（）A.運(yùn)動(dòng)員甲射擊一次，“射中9環(huán)”與“射中8環(huán)”B.甲、乙兩運(yùn)動(dòng)員各射擊一次，“甲射中10環(huán)”與“乙射中9環(huán)”C.甲、乙兩運(yùn)動(dòng)員各射擊一次，“甲、乙都射中目標(biāo)”與“甲、乙都沒(méi)射中目標(biāo)”D.在相同的條件下，甲射擊10次，5次擊中目標(biāo)（2）在4重伯努利試驗(yàn)中，若事件A至少發(fā)生1次的概率為6581，則事件A在1次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為聽(tīng)課記錄

解題技法n重伯努利試驗(yàn)的判斷及相應(yīng)概率的求解策略（1）符合n重伯努利試驗(yàn)必須滿足的兩個(gè)特征：①每次試驗(yàn)的條件完全相同，有關(guān)事件的概率保持不變；②各次試驗(yàn)的結(jié)果互不影響，即各次試驗(yàn)相互獨(dú)立；（2）在求n重伯努利試驗(yàn)中事件恰好發(fā)生k次的概率時(shí)，首先要確定好n，p和k的值，再準(zhǔn)確利用公式P（X＝k）＝Cnkpk（1－p）n－k，k＝0，1，2，…，n考向2二項(xiàng)分布某中學(xué)準(zhǔn)備發(fā)布健康飲食的倡議，提前收集了學(xué)生的體重和飲食習(xí)慣等信息，其中學(xué)生飲用含糖飲料的統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：學(xué)校有14的學(xué)生每天飲用含糖飲料不低于500毫升，這些學(xué)生的肥胖率為13；而每天飲用含糖飲料低于500毫升的學(xué)生的肥胖率為2（1）若從該中學(xué)的學(xué)生中任意抽取一名學(xué)生，求該生肥胖的概率；（2）現(xiàn)從該中學(xué)的學(xué)生中任意抽取三名學(xué)生，記X表示這三名學(xué)生中肥胖的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.解題技法二項(xiàng)分布的期望與方差的求解策略（1）如果ξ～B（n，p），則用公式E（ξ）＝np，D（ξ）＝np（1－p）求解，可大大減少計(jì)算量；（2）有些隨機(jī)變量雖不服從二項(xiàng)分布，但與之具有線性關(guān)系的另一隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，這時(shí)，可以綜合應(yīng)用E（aξ＋b）＝aE（ξ）＋b以及E（ξ）＝np求出E（aξ＋b），同樣還可求出D（aξ＋b）.在一個(gè)抽獎(jiǎng)游戲中，主持人從編號(hào)為1，2，3的三個(gè)外觀相同的空箱子中隨機(jī)選擇一個(gè)，放入一個(gè)金蛋，再將三個(gè)箱子關(guān)閉.主持人知道金蛋在哪個(gè)箱子里.游戲規(guī)則是主持人請(qǐng)抽獎(jiǎng)人在三個(gè)箱子中選擇一個(gè)，若金蛋在此箱子里，抽獎(jiǎng)人得到200元獎(jiǎng)金；若金蛋不在此箱子里，抽獎(jiǎng)人得到50元參與獎(jiǎng).無(wú)論抽獎(jiǎng)人是否抽中金蛋，主持人都重新隨機(jī)放置金蛋，關(guān)閉三個(gè)箱子，等待下一個(gè)抽獎(jiǎng)人.（1）求前3位抽獎(jiǎng)人抽中金蛋人數(shù)X的分布列和方差；（2）為了增加節(jié)目效果，改變游戲規(guī)則.當(dāng)一抽獎(jiǎng)人選定編號(hào)后，主持人在剩下的兩個(gè)箱子中打開(kāi)一個(gè)空箱子.與此同時(shí)，主持人也給抽獎(jiǎng)人一個(gè)改變選擇的機(jī)會(huì).如果抽獎(jiǎng)人改變選擇后，抽到金蛋，獎(jiǎng)金翻倍；否則，取消參與獎(jiǎng).若僅從最終所獲得的獎(jiǎng)金考慮，抽獎(jiǎng)人該如何抉擇呢？超幾何分布（師生共研過(guò)關(guān)）宿州號(hào)稱“中國(guó)云都”，擁有華東最大的云計(jì)算數(shù)據(jù)中心、CG動(dòng)畫(huà)集群渲染基地，是繼北京、上海、合肥、濟(jì)南之后的全國(guó)第5家量子通信節(jié)點(diǎn)城市.為了統(tǒng)計(jì)計(jì)算中心的算力，現(xiàn)從全市n個(gè)大型機(jī)房和6個(gè)小型機(jī)房中隨機(jī)抽取若干機(jī)房進(jìn)行算力分析，若一次抽取2個(gè)機(jī)房，全是小型機(jī)房的概率為13.（1）求n的值；（2）若一次抽取3個(gè)機(jī)房，假設(shè)抽取的小型機(jī)房的個(gè)數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

解題技法求超幾何分布的分布列的3個(gè)步驟（1）驗(yàn)證隨機(jī)變量服從超幾何分布，并確定參數(shù)N，M，n的值；（2）根據(jù)超幾何分布的概率計(jì)算公式計(jì)算出隨機(jī)變量取每一個(gè)值時(shí)的概率；（3）用表格的形式列出分布列.某校為了提高教師身心健康，號(hào)召教師利用空余時(shí)間參加陽(yáng)光體育活動(dòng).現(xiàn)有4名男教師，2名女教師報(bào)名，本周隨機(jī)選取2人參加.（1）求在有女教師參加活動(dòng)的條件下，恰有一名女教師參加活動(dòng)的概率；（2）記參加活動(dòng)的女教師人數(shù)為X，求X的分布列及期望E（X）；（3）若本次活動(dòng)有慢跑、游泳、瑜伽三個(gè)可選項(xiàng)目，每名女教師至多從中選擇參加2項(xiàng)活動(dòng)，且選擇參加1項(xiàng)或2項(xiàng)的可能性均為12，每名男教師至少?gòu)闹羞x擇參加2項(xiàng)活動(dòng)，且選擇參加2項(xiàng)或3項(xiàng)的可能性也均為12，每人每參加1項(xiàng)活動(dòng)可獲得“體育明星”積分3分，選擇參加幾項(xiàng)活動(dòng)彼此互不影響，記隨機(jī)選取的兩人得分之和為Y，求Y的期望E（正態(tài)分布（師生共研過(guò)關(guān)）某市為了增強(qiáng)市民的安全意識(shí)，由市安監(jiān)局組織舉辦了一次安全知識(shí)網(wǎng)絡(luò)競(jìng)賽，滿分為100分，得分不低于85分的為優(yōu)秀.競(jìng)賽結(jié)束后，從參與者中隨機(jī)抽取100個(gè)樣本，統(tǒng)計(jì)得樣本平均數(shù)為76，標(biāo)準(zhǔn)差為9.假設(shè)該市共有10萬(wàn)人參加了此次網(wǎng)絡(luò)競(jìng)賽，且得分X服從正態(tài)分布N（μ，σ2）.若以所得樣本的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差分別作為μ，σ的近似值，試估計(jì)該市參加此次網(wǎng)絡(luò)競(jìng)賽得分優(yōu)秀者的人數(shù).參考數(shù)據(jù)：若X～N（μ，σ2），則P（μ－σ＜X＜μ＋σ）≈0.68.解題技法解決正態(tài)分布問(wèn)題有三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：（1）對(duì)稱軸x＝μ；（2）標(biāo)準(zhǔn)差σ；（3）分布區(qū)間.利用對(duì)稱性可求指定范圍內(nèi)的概率值；由μ，σ，分布區(qū)間的特征進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使分布區(qū)間轉(zhuǎn)化為3σ特殊區(qū)間，從而求出所求概率.注意只有在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布下對(duì)稱軸才為x＝0.1.某物理量的測(cè)量結(jié)果服從正態(tài)分布N（10，σ2），下列結(jié)論中不正確的是（）A.σ越小，該物理量在一次測(cè)