第五節(jié)直線、平面垂直的判定與性質(zhì)課標(biāo)要求1.了解空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面垂直的關(guān)系，歸納出有關(guān)垂直的性質(zhì)定理和判定定理，并加以證明.2.能用基本事實(shí)、定理和已獲得的結(jié)論證明有關(guān)空間基本圖形垂直關(guān)系的簡(jiǎn)單命題.1.直線與平面垂直（1）定義：如果直線l與平面α內(nèi)的直線都垂直，我們就說直線l與平面α互相垂直，記作l⊥α.直線l叫做平面α的垂線，平面α叫做直線l的垂面.（2）直線與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號(hào)語言判定定理如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線垂直，那么該直線與此平面垂直?性質(zhì)定理垂直于同一個(gè)平面的兩條直線?a∥（3）直線和平面所成的角①定義：平面的一條斜線和它在平面上的所成的角，叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角.一條直線垂直于平面，它們所成的角是，一條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，它們所成的角是；②范圍：[0°，90°].2.平面與平面垂直（1）二面角的有關(guān)概念①二面角：從一條直線出發(fā)的所組成的圖形叫做二面角；②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一點(diǎn)，以該點(diǎn)為垂足，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作的兩條射線，這兩條射線所構(gòu)成的角叫做二面角的平面角；③范圍：[0°，180°].（2）平面和平面垂直的定義：兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是，就說這兩個(gè)平面互相垂直.（3）平面與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號(hào)語言判定定理如果一個(gè)平面過另一個(gè)平面的，那么這兩個(gè)平面垂直a?αa⊥性質(zhì)定理兩個(gè)平面垂直，如果一個(gè)平面內(nèi)有一直線垂直于這兩個(gè)平面的，那么這條直線與另一個(gè)平面垂直α⊥βl?β3.空間距離（1）點(diǎn)到平面的距離：過一點(diǎn)作垂直于已知平面的直線，則該點(diǎn)與垂足間的線段，叫做這個(gè)點(diǎn)到該平面的垂線段，垂線段的長(zhǎng)度叫做這個(gè)點(diǎn)到該平面的距離；（2）直線到平面的距離：一條直線與一個(gè)平面平行時(shí)，這條直線上任意一點(diǎn)到這個(gè)平面的距離，叫做這條直線到這個(gè)平面的距離；（3）兩個(gè)平面間的距離：如果兩個(gè)平面平行，那么其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離都相等，我們把它叫做這兩個(gè)平行平面間的距離.1.若兩條平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，則另一條也垂直于這個(gè)平面.2.垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行.3.一條直線垂直于兩平行平面中的一個(gè)，則這條直線與另一個(gè)平面也垂直.4.兩個(gè)相交平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面，它們的交線也垂直于第三個(gè)平面.5.三垂線定理：若PO⊥α，PC在平面α內(nèi)的射影為CO，l?α，l⊥CO，則l⊥PC.6.三垂線定理的逆定理：若PO⊥α，PC在平面α內(nèi)的射影為CO，l?α，l⊥PC，則l⊥CO.1.判斷正誤.（正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”）（1）直線l與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線都垂直，則l⊥α.（）（2）垂直于同一個(gè)平面的兩平面平行.（）（3）若兩平面垂直，則其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線垂直于另一個(gè)平面.（）（4）若平面α內(nèi)的一條直線垂直于平面β內(nèi)的無數(shù)條直線，則α⊥β.（）2.（人A必修二P162習(xí)題1（2）題改編）已知直線m，n和平面α，如果n?α，那么“m⊥n”是“m⊥α”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分又不必要條件3.（人A必修二P158例8改編）如圖，AB是圓柱上底面的一條直徑，C是上底面圓周上異于A，B的一點(diǎn)，D為下底面圓周上一點(diǎn)，且AD⊥圓柱的底面，則必有（）A.平面ABC⊥平面BCD B.平面BCD⊥平面ACDC.平面ABD⊥平面ACD D.平面BCD⊥平面ABD4.〔多選〕下列說法正確的是（）A.垂直于同一條直線的兩條直線平行B.如果平面α⊥平面β，那么平面α內(nèi)所有直線都垂直于平面βC.如果平面α⊥平面β，那么平面α內(nèi)一定存在直線平行于平面βD.如果平面α不垂直于平面β，那么平面α內(nèi)一定不存在直線垂直于平面β5.（人A必修二P152例4改編）在三棱柱ABC-A1B1C1中，各棱長(zhǎng)相等，側(cè)棱垂直于底面，點(diǎn)D是側(cè)面BB1C1C的中心，則AD與平面BB1C1C所成角的大小是.線面垂直的判定與性質(zhì)（師生共研過關(guān)）如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中點(diǎn).證明：（1）CD⊥AE；（2）PD⊥平面ABE.解題技法1.證明直線和平面垂直的常用方法（1）判定定理；（2）直線垂直于平面的傳遞性（a∥b，a⊥α?b⊥α）；（3）面面平行的性質(zhì)（a⊥α，α∥β?a⊥β）；（4）面面垂直的性質(zhì)（α⊥β，α∩β＝a，l⊥a，l?β?l⊥α）.2.判定定理證明線面垂直的步驟如圖，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中點(diǎn)，M，N分別在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.證明：AE∥MN.平面與平面垂直的判定與性質(zhì)（師生共研過關(guān)）在如圖所示的多面體中，四邊形ABEF為正方形，平面ABEF⊥平面CDFE，CD∥EF，∠CDF＝∠DFE＝90°，EF＝2CD＝2，DF＝1.證明：平面ACF⊥平面BCE.解題技法證明面面垂直的2種方法（1）定義法：利用面面垂直的定義，即判定兩平面所成的二面角為直二面角，將證明面面垂直問題轉(zhuǎn)化為證明平面角為直角的問題；（2）定理法：利用面面垂直的判定定理，即證明其中一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，把證明面面垂直問題轉(zhuǎn)化成證明線面垂直問題.如圖，四面體ABCD中，AD⊥CD，AD＝CD，∠ADB＝∠BDC，E為AC的中點(diǎn).（1）證明：平面BED⊥平面ACD；（2）設(shè)AB＝BD＝2，∠ACB＝60°，點(diǎn)F在BD上，當(dāng)△AFC的面積最小時(shí)，求三棱錐F-ABC的體積.平行與垂直的綜合問題（師生共研過關(guān)）如圖，在四棱錐S-ABCD中，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，∠ABC＝60°，△SAD為正三角形，E，F(xiàn)分別為AD，SB的中點(diǎn).（1）求證：AF∥平面SEC；（2）求證：平面ASB⊥平面SBC.解題技法立體幾何中平行、垂直關(guān)系的兩種轉(zhuǎn)