PAGE1第02講特殊的平行四邊形內(nèi)容導(dǎo)航串講知識：思維導(dǎo)圖串講知識點，有的放矢重點速記：知識點和關(guān)鍵點梳理，查漏補缺舉一反三：核心考點能舉一反三，能力提升復(fù)習(xí)提升：真題感知+提升專練，全面突破一、平行四邊形的性質(zhì)與判定1.平行四邊形的性質(zhì)：（1）平行四邊形的概念：有的四邊形叫做平行四邊形．

（2）平行四邊形的性質(zhì)：

①邊：平行四邊形的．②角：平行四邊形的．③對角線：平行四邊形的．

（3）平行線間的距離處處．

（4）平行四邊形的面積：①平行四邊形的面積等于它的底和這個底上的高的積．

②同底（等底）同高（等高）的平行四邊形面積．2.平行四邊形的判定：（1）兩組對邊的四邊形是平行四邊形．符號語言：∵∴四邊行ABCD是平行四邊形．

（2）兩組對邊的四邊形是平行四邊形．符號語言：∵∴四邊行ABCD是平行四邊形．

（3）一組對邊的四邊形是平行四邊形．

符號語言：∵∴四邊行ABCD是平行四邊形．

（4）兩組對角的四邊形是平行四邊形．

符號語言：∵∴四邊行ABCD是平行四邊形．

（5）對角線的四邊形是平行四邊形．符號語言：∵∴四邊行ABCD是平行四邊形．3.三角形的中位線：（1）三角形中位線定理：三角形的中位線，并且．

（2）幾何語言：

如圖，∵點D、E分別是AB、AC的中點

∴,二、矩形的性質(zhì)與判定1.矩形的性質(zhì)：（1）矩形的定義：的平行四邊形是矩形．

（2）矩形的性質(zhì)①平行四邊形的性質(zhì)矩形都具有；②角：矩形的四個角都是；③邊：鄰邊；

④對角線：矩形的對角線；⑤矩形是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形．它有2條對稱軸，分別是每組對邊中點連線所在的直線；對稱中心是兩條對角線的交點．

（3）由矩形的性質(zhì)，可以得到直角三角形的一個重要性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．2.矩形的判定：

①矩形的定義：的平行四邊形是矩形；

②有三個角是直角的四邊形是矩形；

③的平行四邊形是矩形（或“的四邊形是矩形”）1.矩形的性質(zhì)：（1）矩形的定義：的平行四邊形是矩形．

（2）矩形的性質(zhì)①平行四邊形的性質(zhì)矩形都具有；②角：矩形的四個角都是；③邊：鄰邊；

④對角線：矩形的對角線；⑤矩形是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形．它有2條對稱軸，分別是每組對邊中點連線所在的直線；對稱中心是兩條對角線的交點．

（3）由矩形的性質(zhì)，可以得到直角三角形的一個重要性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．2.矩形的判定：

①矩形的定義：的平行四邊形是矩形；

②有三個角是直角的四邊形是矩形；

③的平行四邊形是矩形（或“的四邊形是矩形”）三、菱形的性質(zhì)與判定1.菱形的性質(zhì)：（1）菱形的定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形．

（2）菱形的性質(zhì)：

①菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；

②菱形的都相等；③菱形的兩條對角線，并且每一條對角線；④菱形是圖形，它有2條對稱軸，分別是兩條對角線所在直線．

（3）菱形的面積計算

①利用平行四邊形的面積公式．②菱形面積=．（a、b是兩條對角線的長度）2.菱形的判定：①菱形定義：的平行四邊形是菱形（平行四邊形+一組鄰邊相等=菱形）；

②都相等的四邊形是菱形．③的平行四邊形是菱形（或“對角線互相垂直平分的四邊形是菱形”）．

四、正方形的性質(zhì)與判定1.正方形的性質(zhì)①正方形的四條邊都相等，四個角都是直角；

②正方形的兩條對角線，并且每條對角線平分一組對角；

③正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)．④兩條對角線將正方形分成四個全等的等腰直角三角形，同時，正方形又是軸對稱圖形，有四條對稱軸．2.正方形的判定：正方形的判定方法：

①先判定四邊形是矩形，再判定這個矩形有一組鄰邊相等；

②先判定四邊形是菱形，再判定這個菱形有一個角為直角．

③還可以先判定四邊形是平行四邊形，再用1或2進行判定．考點一：平行四邊形的性質(zhì)與判定例1．（24-25八年級下·陜西西安·階段練習(xí)）如圖，在平行四邊形中，，于點，為的中點，連接，．(1)求的值．(2)求證：．【變式訓(xùn)練1】1．（24-25八年級下·重慶·期中）如圖，在中，，，將繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得到．連接，與線段交于點F．若，則一定等于（

）A． B． C． D．2．（2025八年級下·全國·專題練習(xí)）已知如圖，在中，，為銳角，將沿對角線邊平移，得到，連接和，若使四邊形是菱形，需添加一個條件，現(xiàn)有三種添加方案，甲方案：；乙方案：；丙方案：；其中正確的方案是（）A．甲、乙、丙 B．只有乙、丙 C．只有甲、乙 D．只有甲3．（24-25八年級下·安徽黃山·期中）如圖，在中，，M，N分別是的中點，延長至點D，使，連接，若，，則．考點二：矩形的性質(zhì)與判定例2．（24-25八年級下·北京·期中）如圖，矩形的對角線交于點為邊上一動點（不與重合），在射線上，且，連接．(1)如圖1，若為的中點，，則___________；(2)如圖2，為上一動點，①根據(jù)題意，補全圖形；②寫出的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【變式訓(xùn)練2】1．（23-24八年級下·河北張家口·期中）如圖，在中，，，，為邊上一動點，于，于，為的中點，則的最小值為（

）A． B．2 C． D．2．（2024·重慶銅梁·一模）如圖，在正方形中，點P是對角線上一點，，垂足分別為E，F(xiàn)，連接．若，則一定等于（

）A． B． C． D．3（24-25八年級下·陜西延安·期中）如圖，在四邊形中，，，，，點，分別是，的中點，連接，．(1)求證：四邊形是矩形；(2)求的度數(shù)．考點三：菱形的性質(zhì)與判定例3．（24-25八年級下·全國·階段練習(xí)）如圖，在中，，點D是的中點，連接，過點C作，過點A作，交于點E，連接交于點O．(1)求證：四邊形是菱形；(2)連接交于點F，交于點G，若，求的長．【變式訓(xùn)練3】1．（24-25八年級下·天津·期中）如圖，在中，以點為圓心，的長為半徑作弧交于點，分別以點，為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點，作射線交于點，交于點，若，，則的長為（

）A．10 B．9 C．12 D．6.52．（24-25八年級下·安徽黃山·期中）如圖，在菱形中，，與交于點，為延長線上的一點，且，連接分別交，于點，，連接，則下列結(jié)論：；；；四邊形是菱形．其中正確的有（

）A． B． C． D．3．（24-25八年級下·全國·期末）如圖，矩形的對角線相交于點．(1)求證：四邊形為菱形；(2)求證：；(3)若，則菱形的面積為_________．考點四：正方形的性質(zhì)與判定例4．（24-25八年級下·江蘇無錫·期中）如圖，在矩形中，，，菱形的三個頂點、、分別在矩形的邊、、上，，連接．(1)若，求證：四邊形為正方形；(2)若，求的面積．【變式訓(xùn)練4】1．（24-25九年級上·遼寧沈陽·期末）如圖，中，為邊上一點，平分，過點作，與交于點，作，與交于點，連接．則以下結(jié)論中錯誤的是（

）

A．四邊形是菱形B．與互相垂直且平分C．當(dāng)時，四邊形是菱形D．若時，則四邊形是正方形2．（2025·貴州·模擬預(yù)測）如圖，是等腰直角三角形，，是的中點，連接并延長至，使得，連接和．以點為圓心，的長為半徑畫弧交于點；分別以點、為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點；作射線交于點，連接若，．3．（24-25八年級下·江蘇徐州·期中）如圖，在正方形中，分別是上兩點，交于點，且．(1)判斷與之間的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，并說明理由：(2)當(dāng)點是的中點時，連接，求的度數(shù)．考點五：中點四邊形例5．（24-25八年級下·全國·課后作業(yè)）如圖，在四邊形中，，，，順次連接四邊形各邊中點，得到四邊形，再順次連接四邊形各邊中點，得到四邊形……如此進行下去，得到四邊形．給出下列結(jié)論：①四邊形是矩形；②四邊形是菱形；③四邊形的周長是；④四邊形的面積是．其中，正確的結(jié)論有（

）．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式訓(xùn)練5】1．（24-25八年級下·黑龍江綏化·期中）順次連接矩形四邊中點所得的四邊形一定是（

）A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．不能確定2．（24-25八年級下·安徽淮北·階段練習(xí)）如圖，點E，F(xiàn)，G，H分別是四邊形各邊的中點，下列結(jié)論正確的是（

）A．若四邊形是平行四邊形，則四邊形是矩形B．若四邊形是菱形，則四邊形是矩形C．若四邊形是矩形，則四邊形是矩形D．若四邊形是正方形，則四邊形是正方形3．（24-25八年級下·江蘇南京·期中）如圖，在四邊形中，對角線，且，E、F、G、H分別是、、、的中點．若的最小值是，則的長度為（

）A．1 B． C．3 D．4考點六：四邊形與翻折問題例6．（24-25八年級下·江蘇無錫·期中）實踐操作：第一步：如圖1，將矩形紙片沿過D的直線折疊，使點C落在上的點處，得到折痕，然后再把紙片展平；第二步：如圖2，將圖1的矩形紙片沿過點E的直線折疊，點A恰好落在上的點處，得到折痕交于點M，再把紙片展平．問題解決：(1)如圖1，求證：四邊形是正方形．(2)如圖2，若，求的面積．【變式訓(xùn)練6】1．（24-25八年級下·黑龍江哈爾濱·期中）如圖，在矩形中，，，將矩形沿折疊，點D落在點E處，且交于點F，則的長為（

）A．13 B．10 C．8 D．62．（24-25八年級下·內(nèi)蒙古呼和浩特·期中）如圖，在矩形中，，點是對角線的中點，將沿AC翻折，得到，其中，與相交于點，連接，則為（

）A． B．1 C． D．3．（23-24八年級上·遼寧沈陽·階段練習(xí)）如圖，已知在正方形中，，．將正方形折疊，使點B落在邊的中點Q處，點A落在P處，折痕為．已知長為．

(1)求線段和線段的長；(2)連接，．考點七：四邊形與動點問題例7．（24-25八年級下·河北唐山·期中）在四邊形中，，，，，，點從點以的速度向點運動，點從點以的速度同時向點運動．規(guī)定其中一個動點到達端點時，另一個動點也隨之停止運動．設(shè)運動時間為秒．(1)求為何值時，四邊形是平行四邊形？(2)求為何值時，四邊形是矩形？(3)在整個運動過程中，_________（答“存在”或“不存在”）t值，使得四邊形是菱形；(4)若只改變線段的長度，其余條件都不變，在整個運動過程中，當(dāng)四邊形是正方形時，請你求出的值和線段的長度．【變式訓(xùn)練7】1．（22-23八年級下·江蘇常州·期中）如圖，點為矩形()的對稱中心，點從點出發(fā)沿向點B運動，移動到點B停止，延長交于點，則四邊形AECF形狀是下列圖形中的哪些：①平行四邊形，②菱形，③矩形，④正方形．（

）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④2．（2023·河北·二模）如圖，在四邊形中，，，，點從點出發(fā)，以的速度向點運動，點從點同時出發(fā)，以相同的速度向點運動，當(dāng)其中一個動點到達端點時，兩個動點同時停止運動.設(shè)點的運動時間為（單位：），下列結(jié)論正確的是（

）

A．當(dāng)時，四邊形為矩形 B．當(dāng)時，四邊形為平行四邊形C．當(dāng)時， D．當(dāng)時，或3．（24-25八年級下·浙江金華·期中）如圖，在平行四邊形中，，，，點為中點，動點從點出發(fā)，沿折線以每秒個單位長度的速度運動．作，交邊或邊于點，連接．當(dāng)點與點重合時，點停止運動．設(shè)點的運動時間為秒．(1)當(dāng)在上運動時，用含的式子表示出線段的長；(2)當(dāng)點落在平行四邊形的某邊中點上時，求的值（用含t的代數(shù)式表示）；(3)作點關(guān)于直線的對稱點，連接、，當(dāng)四邊形和平行四邊形重疊部分圖形為軸對稱四邊形時，直接寫出的取值范圍．考點八：四邊形與最值問題例8．如圖，在平行四邊形ABCD中，BC＝AC，E、F分別是AB、CD的中點，連接CE、AF．（1）求證：四邊形AECF是矩形；（2）當(dāng)平行四邊形ABCD的邊或角滿足什么關(guān)系時，四邊形AECF是正方形？請說明理由．（3）在（2）的條件下，若AE＝4，點M為EC中點，當(dāng)點P在線段AC上運動時，求PE+PM的最小值．

【變式訓(xùn)練8】1．（23-24八年級下·重慶·期中）如圖，已知正方形的邊長為3，點M在上，，點N是上的一個動點，那么的最小值是（

）A．3 B．4 C． D．2．（22-23八年級下·湖北荊門·期中）如圖，在矩形中，，，，分別是和上的兩個動點，為的中點，則的最小值是．3．（2021·山東濟寧·一模）如圖，菱形的邊長為，，點是邊上任意一點(端點除外)，線段的垂直平分線交，分別于點，，，的中點分別為，．(1)求證：；(2)求的最小值．考點九：四邊形與垂直十字架模型例9．如圖，將一邊長為12的正方形紙片的頂點A折疊至邊上的點E，使，若折痕為，則的長為（

）A．13 B．14 C．15 D．16例9．1.如圖，正方形ABCD的邊長為3，E為BC邊上一點，BE＝1.將正方形沿GF折疊，使點A恰好與點E重合，連接AF，EF，GE，則四邊形AGEF的面積為（

）A．2 B．2 C．6 D．52.如圖1，在正方形中，E為上一點，連接，過點B作于點H，交于點G．(1)求證：；(2)如圖2，連接，點M、N、P、Q分別是的中點，試判斷四邊形的形狀，并說明理由；(3)如圖3，點F、R分別在正方形的邊上，把正方形沿直線翻折，使得的對應(yīng)邊恰好經(jīng)過點A，過點A作于點O，若，正方形的邊長為3，求線段的長．考點十：四邊形與對角互補模型例10．如圖，在四邊形中，于，則的長為

【變式訓(xùn)練10】1.（2021八年級·全國·專題練習(xí)）已知：，求證：．2.問題背景如圖（1），在四邊形ABCD中，∠B+∠D＝180°，AB＝AD，∠BAD＝α，以點A為頂點作一個角，角的兩邊分別交BC，CD于點E，F(xiàn)，且∠EAFα，連接EF，試探究：線段BE，DF，EF之間的數(shù)量關(guān)系．（1）特殊情景在上述條件下，小明增加條件“當(dāng)∠BAD＝∠B＝∠D＝90°時”如圖（2），小明很快寫出了：BE，DF，EF之間的數(shù)量關(guān)系為______．（2）類比猜想類比特殊情景，小明猜想：在如圖（1）的條件下線段BE，DF，EF之間的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？若成立，請你幫助小明完成證明；若不成立，請說明理由．（3）解決問題如圖（3），在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，點D，E均在邊BC上，且∠DAE＝45°，若BD，請直接寫出DE的長．考點十一：四邊形與半角模型例11．如圖，在正方形ABCD中，點O是對角線BD的中點，點P在線段OD上，連接AP并延長交CD于點E，過點P作PF⊥AP交BC于點F，連接AF、EF，AF交BD于G，現(xiàn)有以下結(jié)論：①；②；③；④為定值；⑤．以上結(jié)論正確的有（

）A．①②③ B．①②③⑤ C．①②④⑤ D．①②③④⑤【變式訓(xùn)練11】1.如圖，在正方形中，的頂點，分別在，邊上，高與正方形的邊長相等，連接分別交，于點，，下列說法：①；②連接，，則為直角三角形；③；④若，，則的長為．其中正確結(jié)論的個數(shù)是(

)A．4 B．3 C．2 D．12.在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，且∠EAF=45°．EA交BD于M，AF交BD于N．(1)作△APB≌△AND（如圖①），求證：△APM≌△ANM；(2)求證：；(3)矩形ABCD中，M、N分別在BC、CD上，∠MAN=∠CMN=45°，（如圖②），請你直接寫出線段MN，BM，DN之間的數(shù)量關(guān)系．考點十二：四邊形與新定義模型例12．（23-24八年級下·江蘇淮安·期末）定義：有一組鄰邊相等且對角互補的四邊形稱為“等補四邊形”．(1)下列選項中一定是“等補四邊形”的是______．A．平行四邊形B．矩形C．菱形D．正方形(2)如圖1，在邊長為4的正方形中，為邊上一動點（不與重合），交于點，過作交于點．①試判斷四邊形是否為“等補四邊形”，并說明理由；②如圖2，連接，求的周長；③若四邊形是“等補四邊形”，求的長．【變式訓(xùn)練12】1.（23-24八年級下·江蘇鹽城·期末）定義圖形如圖1，在四邊形中，M、N分別是邊、的中點，連接．若兩側(cè)的圖形面積相等，則稱為四邊形的“對中平分線”

提出問題有對中平分線的四邊形具有怎樣的性質(zhì)呢?分析問題（1）如圖2，為四邊形的“對中平分線”，連接，，由M為的中點，知與的面積相等，則，有怎樣的位置關(guān)系呢?請說明理由．（2）在（1）的基礎(chǔ)上，小明提出了下列三個命題，其中假命題的是_____（請把你認為假命題的序號都填上）①若，則四邊形是平行四邊形；②若，則四邊形是菱形；③若，則四邊形是矩形．深入探究如圖3，四邊形有兩條對中平分線，分別是，，且相交于點O，若．請?zhí)剿魉倪呅蔚男螤畈⒄f明理由．2.（20-21八年級上·江蘇淮安·期末）問題背景定義：若兩個等腰三角形有公共底邊，且兩個頂角的和是，則稱這兩個三角形是關(guān)于這條底邊的互補三角形．如圖1，四邊形中，是一條對角線，，且，則與是關(guān)于的互補三角形．(1)初步思考：如圖2，在中，，D、E為外兩點，，為等邊三角形．則關(guān)于的互補三角形是______，并說明理由．(2)實踐應(yīng)用：如圖3，在長方形中，．點E在邊上，點F在邊上，若與是關(guān)于互補三角形，試求的長．(3)思維探究：如圖4，在長方形中，．點E是線段上的動點，點P是平面內(nèi)一點，與是關(guān)于的互補三角形，直線與直線交于點F．在點E運動過程中，線段與線段的長度是否會相等？若相等，請直接寫出的長；若不相等，請說明理由．一、單選題1．（24-25八年級下·重慶·期中）下列說法不正確的是（）A．正方形的對角線相等且互相垂直平分B．菱形的四條邊都相等C．矩形的對角線相等且互相平分D．平行四邊形、矩形、菱形都是軸對稱圖形2．（24-25八年級下·福建廈門·期中）四邊形中，對角線與交于點，下列條件中不一定能判定這個四邊形是平行四邊形的是（

）A．， B．，C．， D．，3．（24-25八年級下·江蘇無錫·期中）如圖，在菱形中，若，則菱形的面積是（

）A．12 B．24 C．30 D．484．（24-25八年級下·內(nèi)蒙古通遼·期中）如圖，矩形中，，將矩形沿折疊，使頂點落在上的點處，其中在上連接，則（

）．A． B． C． D．15．（2025八年級下·內(nèi)蒙古·專題練習(xí)）如圖，矩形的對角線交于點O，，過點O作，交于點E，過點E作，垂足為F，則的值為（

） B． C． D．6．（24-25八年級下·湖北荊州·期中）如圖，分別為的邊的中點，為與的交點，在此基礎(chǔ)上，下面兩位同學(xué)進行了補充作圖．聰聰：以點為圓心，的長為半徑作弧，交于點．明明：分別過點作于點，于點．下列關(guān)于以為頂點的四邊形的說法正確的是（

）A．聰聰作的四邊形是菱形 B．明明作的四邊形是菱形C．聰聰作的四邊形是矩形 D．明明作的四邊形是矩形7．（2025·河北邯鄲·一模）如圖，點分別是四邊形邊的中點，則下列說法正確的是（

）A．若，則四邊形為矩形B．若，則四邊形為菱形C．若四邊形是平行四邊形，則與互相平分D．若四邊形是正方形，則與互相垂直且相等8．（2025·四川綿陽·三模）如圖，在菱形中，，點E，F(xiàn)分別在邊，上，且，連接，交于點G，連接．現(xiàn)有下列結(jié)論：①；②平分；③；④．其中正確的結(jié)論有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個二、填空題9．（24-25八年級下·重慶·期中）在矩形中，對角線交于點．若，則的長為．10．（24-25八年級下·山東濟寧·期中）在平面直角坐標系中，已知，，，若以A、B、C、D為頂點的四邊形是平行四邊形，那么點D的坐標為．11．（24-25八年級下·黑龍江綏化·期中）如圖，在四邊形中，，、、分別是、、的中點，，，則的度數(shù)為．12．（2025·陜西咸陽·模擬預(yù)測）如圖，已知四邊形是邊長為6的正方形，為延長線上一點，以為邊，在直線上方作正方形，連接，取的中點，連接．若，則．13．（2025·江蘇常州·一模）如圖1，中，點D是邊的中點，點P從的頂點A出發(fā)，沿的路線以每秒1個單位長度的速度勻速運動到點D，在運動過程中，線段的長度y隨時