3.3支路電流法3.5節(jié)點(diǎn)電壓法3.6含理想運(yùn)算放大器電路的分析3.4回路電流法3.1電路的圖3.2KCL和KVL的獨(dú)立方程數(shù)第3章電阻電路的分析方法

熟練掌握電路方程的列寫(xiě)方法：

支路電流法網(wǎng)孔電流法

回路電流法

節(jié)點(diǎn)電壓法本章重點(diǎn)目的：找出一般(對(duì)任何線性電路均適用)的求解線性網(wǎng)絡(luò)的系統(tǒng)方法(易于計(jì)算機(jī)編程序求解)。對(duì)象：含獨(dú)立源、受控源的電阻網(wǎng)絡(luò)的直流穩(wěn)態(tài)解。應(yīng)用：主要用于復(fù)雜的線性電路的求解。復(fù)雜電路的分析法就是根據(jù)KCL、KVL及元件電壓和電流關(guān)系列方程、解方程。根據(jù)列方程時(shí)所選變量的不同可分為支路電流法、回路電流法和節(jié)點(diǎn)電壓法等。電路性質(zhì)1.元件的電壓電流的約束(VCR)2.電路結(jié)構(gòu)的約束(KCL、KVL)相互獨(dú)立基礎(chǔ)：3.1電路的圖圖論是數(shù)學(xué)領(lǐng)域中一個(gè)十分重要的分支，這里所涉及的只是圖論在網(wǎng)絡(luò)中的應(yīng)用，稱網(wǎng)絡(luò)圖論。網(wǎng)絡(luò)圖論也稱網(wǎng)絡(luò)拓?fù)洹樵谟?jì)算機(jī)上系統(tǒng)地列出一個(gè)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的方程以便分析，就要用到網(wǎng)絡(luò)圖論和線性代數(shù)的一些概念。隨著計(jì)算機(jī)的發(fā)展，網(wǎng)絡(luò)圖論已成為計(jì)算機(jī)輔助分析中很重要的基礎(chǔ)知識(shí)，也是網(wǎng)絡(luò)分析、綜合等方面不可缺少的工具。圖論是數(shù)學(xué)家歐拉創(chuàng)始的。1736年歐拉解決了有名的難題：肯尼希堡城七橋問(wèn)題。該鎮(zhèn)的普雷格爾河中有兩個(gè)小島，共有七座橋與兩岸彼此連通，問(wèn)題：從陸地或島上任一地方開(kāi)始，能否通過(guò)每座橋一次且僅僅一次就能回到原地。歐拉用頂點(diǎn)表示陸地區(qū)域，用連接相應(yīng)頂點(diǎn)的線段表示各座橋(如左圖)，于是七橋問(wèn)題就變?yōu)橐坏罃?shù)學(xué)問(wèn)題：在左圖中是否可能連續(xù)沿各線段，從某一始點(diǎn)出發(fā)只經(jīng)過(guò)各線段一次且僅僅一次又回到出發(fā)點(diǎn)，即是否存在一條“單行曲線”。ABCD在七橋問(wèn)題中，歐拉用點(diǎn)表示陸地，用線段表示橋。圖論中，把一些事物及其之間的聯(lián)系用點(diǎn)和連接于點(diǎn)與點(diǎn)之間的線段來(lái)表示，因此，圖就是一些點(diǎn)與線段的集合。歐拉得出了一般結(jié)論，即存在單行曲線的必要、充分條件是奇次頂點(diǎn)(連接于頂點(diǎn)的線段數(shù)為奇數(shù))的數(shù)目為0或2。顯然上圖不滿足此條件，因此七橋問(wèn)題的答案是否定的。一、電路的圖(Graph)：

拓?fù)鋱D(topological

graph)表征了電路的連接性質(zhì)。抽象抽象電路圖(Circuit)電路的圖(Graph)(或稱網(wǎng)絡(luò)拓?fù)鋱D)支路+-一個(gè)圖G是節(jié)點(diǎn)和支路的一個(gè)集合，每條支路的兩端都連到相應(yīng)的節(jié)點(diǎn)上。

圖G中的支路是一抽象的線段，把它畫(huà)成直(曲)線都無(wú)關(guān)緊要?；虺橄骾1i2i3i1i2i3i1i2i3

i=0注意：在圖的定義中，節(jié)點(diǎn)和支路各自是一個(gè)整體，但任意一條支路必須終止在節(jié)點(diǎn)上。移去一條支路并不意味著同時(shí)把它連接到的節(jié)點(diǎn)也移去，所以允許有孤立節(jié)點(diǎn)的存在。若移去一個(gè)節(jié)點(diǎn)，則應(yīng)當(dāng)把與該節(jié)點(diǎn)相連的全部支路都同時(shí)移去。電路的“圖”是指把電路中每一條支路畫(huà)成抽象的線段而形成的一個(gè)節(jié)點(diǎn)和支路的集合。顯然，此線段也是圖的支路。結(jié)論：電路是由具體元件構(gòu)成的支路及節(jié)點(diǎn)的集合；電路的“圖”

是由線段和點(diǎn)構(gòu)成的，它反映了電路結(jié)構(gòu)的拓?fù)湫再|(zhì)。二、圖的基本概念圖(a)畫(huà)出了一個(gè)具有6個(gè)電阻和2個(gè)獨(dú)立電源的電路。假設(shè)每一個(gè)二端元件構(gòu)成電路的一條支路，則圖(b)就是該電路的“圖”，它共有5個(gè)節(jié)點(diǎn)和8條支路。

圖(b)R1R6R2R3R4R5+-uS1iS5圖(a)如果假設(shè)把元件的串聯(lián)組合作為一條支路處理，即把圖(a)中電壓源uS1和電阻R1的串聯(lián)組合作為一條支路。圖(a)所示的電路對(duì)應(yīng)的圖如圖(c)所示。它共有4個(gè)節(jié)點(diǎn)和7條支路。

圖(c)

圖(d)

還可以假設(shè)把元件的并聯(lián)組合作為一條支路，例圖(a)中電流源iS5和R5的并聯(lián)組合作為一條支路，這樣圖(a)所示的電路對(duì)應(yīng)的圖如圖(d)所示。它共有4個(gè)節(jié)點(diǎn)和6條支路。R1R6R2R3R4R5+-uS1iS5圖(a)在電路分析中常取支路的電壓、電流參考方向?yàn)殛P(guān)聯(lián)參考方向。電路的圖的每條支路也可以指定一個(gè)方向(稱為支路的方向)，此方向即該支路電流(或電壓)的參考方向。

標(biāo)有支路方向的圖稱為有向圖(oriented

graph)。未賦予支路方向的圖稱為無(wú)向圖。無(wú)向圖有向圖結(jié)論：當(dāng)采用不同的元件結(jié)構(gòu)定義電路的一條支路時(shí)，該電路以及它的圖的節(jié)點(diǎn)數(shù)和支路數(shù)將隨之而不同。

1.路徑：從圖G的一個(gè)節(jié)點(diǎn)出發(fā)，沿著一些支路連續(xù)移動(dòng)，到達(dá)另一節(jié)點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的支路就構(gòu)成了路徑。三、圖的幾個(gè)名詞2.連通圖(connected

graph)：圖G中任意兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間至少有一條路徑的圖，叫做連通圖。G1是一個(gè)連通圖。若圖G具有互不相連的部分，則稱之為非連通圖，如G2。G1：2134312456G2：2134123454.自環(huán)：在圖論中，一條支路不一定連接在兩個(gè)節(jié)點(diǎn)上而可能連接于一個(gè)節(jié)點(diǎn)，此時(shí)就形成一個(gè)自環(huán)。3.孤立節(jié)點(diǎn)：節(jié)點(diǎn)上沒(méi)有任何支路與之相連。孤立節(jié)點(diǎn)自環(huán)5.相關(guān)：圖G中任意一條支路恰好連接在兩個(gè)節(jié)點(diǎn)上，則稱此支路與這兩個(gè)節(jié)點(diǎn)彼此相關(guān)(或關(guān)聯(lián))。G1：21343124566.子圖(subgraph)：若圖G1的所有節(jié)點(diǎn)和支路都是圖G的節(jié)點(diǎn)和支路，則稱圖G1

為圖G的一個(gè)子圖。

G：G1：G2：7.回路：回路L是連通圖G的一個(gè)子圖，它具有下述性質(zhì)：

(1)連通；(2)每個(gè)節(jié)點(diǎn)所關(guān)聯(lián)支路數(shù)恰好為2。12345678253回路不是回路

1275848.樹(shù)(tree)：樹(shù)T是連通圖G的一個(gè)連通子圖，它的性質(zhì)有：

(1)連通；

(2)包含圖G的所有節(jié)點(diǎn)；

(3)不包含回路。

樹(shù)不唯一樹(shù)支(tree

branch)：屬于樹(shù)T的支路。16個(gè)樹(shù)是連接全部節(jié)點(diǎn)所需要的最少支路的集合。

連支(link)：屬于圖G而不屬于樹(shù)T的支路。

對(duì)于同一個(gè)圖G的各個(gè)不同的樹(shù)T，其樹(shù)支的數(shù)目都是相同的。這是因?yàn)椋杭僭O(shè)把圖G的全部支路移去，只剩下它的n個(gè)節(jié)點(diǎn)，為了構(gòu)成樹(shù)，先用一條支路把任意兩個(gè)節(jié)點(diǎn)連起來(lái)。之后，每連接一個(gè)新節(jié)點(diǎn)，只需要一條支路，這樣把n個(gè)節(jié)點(diǎn)全部連起來(lái)所需要支路數(shù)恰好為(n-1)條。結(jié)論：對(duì)于一個(gè)具有n個(gè)節(jié)點(diǎn)b條支路的圖G來(lái)說(shuō)：

樹(shù)支數(shù)=

n-1

連支數(shù)=

b-(n-1)例右圖

n

=5樹(shù)支數(shù)

=5

-1=43.2KCL和KVL的獨(dú)立方程數(shù)一、KCL獨(dú)立方程數(shù)下圖所示的是一個(gè)電路的圖，它的節(jié)點(diǎn)和支路都已分別加以編號(hào)，并給出了支路的方向，該方向即支路電流和與之關(guān)聯(lián)的支路電壓的參考方向。分別對(duì)4個(gè)節(jié)點(diǎn)列寫(xiě)KCL方程：節(jié)點(diǎn)①節(jié)點(diǎn)③節(jié)點(diǎn)②

節(jié)點(diǎn)④

從這4個(gè)KCL方程可以看到，每條支路電流均作為一項(xiàng)出現(xiàn)兩次，一次為正，一次為負(fù)。這是因?yàn)槊織l支路都是聯(lián)結(jié)在兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間，從其中一個(gè)節(jié)點(diǎn)流出，必然流入另一個(gè)節(jié)點(diǎn)。因此這4個(gè)方程相加，必將得到0=0

的結(jié)果，即4個(gè)方程是不獨(dú)立的。而任意取其中3個(gè)方程相加，必將得出另一個(gè)方程(相差一個(gè)符號(hào))。節(jié)點(diǎn)①節(jié)點(diǎn)③節(jié)點(diǎn)②

節(jié)點(diǎn)④

因此，對(duì)于具有4個(gè)節(jié)點(diǎn)的電路，只能列寫(xiě)3個(gè)獨(dú)立的KCL方程。這個(gè)結(jié)論對(duì)于n個(gè)節(jié)點(diǎn)的電路同樣適用的?？勺C明，對(duì)于具有n個(gè)節(jié)點(diǎn)的電路，獨(dú)立的KCL方程數(shù)是(n-1)個(gè)。與這些獨(dú)立方程對(duì)應(yīng)的節(jié)點(diǎn)叫做獨(dú)立節(jié)點(diǎn)，而剩下的那一個(gè)節(jié)點(diǎn)稱為參考節(jié)點(diǎn)或非獨(dú)立節(jié)點(diǎn)。節(jié)點(diǎn)①節(jié)點(diǎn)③節(jié)點(diǎn)②

節(jié)點(diǎn)④

二、KVL獨(dú)立方程數(shù)一個(gè)電路的回路往往有很多，如何確定它的一組獨(dú)立回路有時(shí)不太容易。利用“樹(shù)”的觀念可有助于尋找一個(gè)電路的獨(dú)立回路組，從而得到獨(dú)立的KVL方程組。因?yàn)檫B通圖G的一個(gè)樹(shù)中不包含任何回路，而所有節(jié)點(diǎn)又全部被樹(shù)支連接，可見(jiàn)對(duì)任意一個(gè)樹(shù)，每加進(jìn)一條連支便形成一個(gè)回路，并且此回路除所加一條連支外均由樹(shù)支組成，這種回路稱為單連支回路或基本回路。

每一個(gè)單連支回路僅含有一條連支，而且這一連支并不出現(xiàn)在其他單連支回路中，所以一個(gè)圖G中有多少條連支，就有多少個(gè)單連支回路，它們構(gòu)成了單連支回路組或基本回路組。顯然，這組回路是獨(dú)立的。獨(dú)立的回路數(shù)恰好等于連支數(shù)。結(jié)論：對(duì)于一個(gè)有n個(gè)節(jié)點(diǎn)、b條支路的連通圖G來(lái)說(shuō)，它的獨(dú)立回路數(shù)：l=

b-(n-1)=

b-n+1。例1123456

選支路1，2，3為樹(shù)支組成一個(gè)樹(shù)：

T(1，2，3)，連支(4，5，6)

與此樹(shù)相對(duì)應(yīng)的基本回路有3個(gè)

(連支數(shù)

=獨(dú)立回路數(shù)

)，如下圖所示：1234L1：(1，2，4)1235L2：(1，2，3，5)1236L3：(2，3，6)例2123456

選樹(shù)T(1，2，3)，則三個(gè)基本回路示于下圖。按圖中支路的參考方向及回路繞行方向，獨(dú)立KVL方程為：

1234L1：(1，2，4)1235L2：(1，2，3，5)1236

L3：(2，3，6)

平面電路(planar

circuit)：可以畫(huà)在平面上，不出現(xiàn)支路交叉的電路。非平面電路：在平面上無(wú)論將電路怎樣畫(huà)，總有支路出現(xiàn)相互交叉的情形?！嗍瞧矫骐娐房傆兄废嗷ソ徊妗嗍欠瞧矫骐娐穼?duì)于一個(gè)平面圖可以引入網(wǎng)孔的概念。平面圖的一個(gè)網(wǎng)孔是它的一個(gè)自然的“孔”，它限定的區(qū)域內(nèi)不再有支路。例1的圖是平面圖，它共有三個(gè)網(wǎng)孔(1，2，4)；(3，4，5)；(2，3，6)。這三個(gè)網(wǎng)孔也是一組獨(dú)立回路，其數(shù)目也恰好是該圖的獨(dú)立回路數(shù)(l=

b-

n+1)。123456結(jié)論：平面圖的網(wǎng)孔數(shù)也就是獨(dú)立回路數(shù)。獨(dú)立回路數(shù)：l=6-4+1=3左圖中b=6；n=4；網(wǎng)孔數(shù)=3如按網(wǎng)孔選獨(dú)立回路，則此時(shí)的KVL方程為：123456123結(jié)論：從此例中可看到：網(wǎng)孔數(shù)=獨(dú)立回路數(shù)一個(gè)電路的KVL獨(dú)立方程數(shù)等于它的獨(dú)立回路數(shù)。對(duì)平面圖來(lái)說(shuō)，還等于該平面圖的網(wǎng)孔數(shù)。3.3支路電流法

支路電流法(methodofbranchcurrent)：以各支路電流為未知量列寫(xiě)電路方程并進(jìn)行電路分析的方法。對(duì)于有n個(gè)節(jié)點(diǎn)、b條支路的電路，要求解支路電流和支路電壓，未知量共有2b個(gè)。則要列出2b個(gè)獨(dú)立的電路方程，便可求解這2b個(gè)變量。

從前面所講內(nèi)容可知，根據(jù)KCL，可列出(n-1)個(gè)獨(dú)立方程；根據(jù)KVL，可列出(b-

n+1)個(gè)獨(dú)立方程；根據(jù)元件的VCR，又可列出b個(gè)方程。總計(jì)方程數(shù)為2b，與未知數(shù)相等。因此，可由2b個(gè)方程解出2b個(gè)支路電壓和支路電流。這種方法稱為2b法。為減少求解的方程數(shù)，可利用元件的VCR將各支路電壓以支路電流表示，然后代入KVL方程，得到以b個(gè)支路電流為未知量的b個(gè)KCL和KVL方程，方程從2b減少至b，這種方法稱為支路電流法。獨(dú)立的KCL方程為(4-1)=3；獨(dú)立的KVL方程為(6-4+1)

=3；

6條支路的VCR方程為6個(gè)；總計(jì)獨(dú)立方程個(gè)數(shù)為12，等于此電路變量個(gè)數(shù)2×6=12。③R1R2R3R4R5R6+-i2i3i4i1i5i6uS②①④(a)支路的VCR方程為：(b=6，6個(gè)方程，取關(guān)聯(lián)參考方向)(b)選節(jié)點(diǎn)④為參考節(jié)點(diǎn)。根據(jù)KCL可列出4-1=3個(gè)獨(dú)立的電流方程(設(shè)流出為正，流入為負(fù))

：(c)選定圖示的3個(gè)回路，回路的方向?yàn)轫槙r(shí)針?lè)较?，根?jù)KVL可列寫(xiě)l

=

6

-4

+

1

=

3個(gè)獨(dú)立的電壓的方程：

綜合式(1)、(2)和(3)，便得到所需的6+3+3=12=2b個(gè)獨(dú)立方程。312③R1R2R3R4R5R6+-i2i3i4i1i5i6uS②①④

將式(1)的6個(gè)支路的VCR方程代入式(3)，消去6個(gè)支路電壓方程，得到關(guān)于支路電流為變量的回路電壓方程：即：

Rkik

=

uSk在

Rkik

=

uSk式中：Rkik為回路中第k個(gè)支路的電阻上的電壓，和式遍及回路中的所有支路，且當(dāng)ik參考方向與回路方向一致時(shí)，前面取“+”號(hào)；不一致時(shí)，取“-”號(hào)。此式實(shí)際上是KVL的另一種表達(dá)式，即任一回路中，電阻電壓的代數(shù)和等于電壓源電壓的代數(shù)和。

右邊uSk為回路中第k條支路的電源電壓，電源電壓既包括電壓源自身的電壓，也包括電流源所引起的電壓。當(dāng)存在電流源和電阻的并列組合時(shí)，可將其等效變換為電壓源與電阻的串聯(lián)組合，其等效電壓源電壓為RkiSk，串聯(lián)電阻為Rk。在上式右邊取代數(shù)和時(shí)，當(dāng)uSk的電壓方向與回路方向一致時(shí)前面取“-”號(hào)，當(dāng)uSk的電壓方向與回路方向不一致時(shí)，前面取“+”號(hào)。

將上例中的式(2)和式(4)聯(lián)立起來(lái)，就組成以支路電流為未知量的支路電流法方程，即b條支路有b個(gè)方程312③R1R2R3R4R5R6+-i2i3i4i1i5i6uS②①④支路電流法要求b個(gè)支路電壓均能以支路電流表示，即存在上例式(1)的關(guān)系。當(dāng)一條支路僅含有電流源而不存在與之并聯(lián)的電阻時(shí)，就無(wú)法將支路電壓以支路電流表示。這種無(wú)并聯(lián)電阻的電流源稱為無(wú)伴電流源。當(dāng)電路中存在這類支路時(shí)，必須加以處理后才能應(yīng)用支路電流法(處理方法見(jiàn)3.5節(jié)內(nèi)容)。如果將支路電流用支路電壓表示，然后代入KCL方程，連同支路電壓的KVL方程，可得到以支路電壓為變量的b個(gè)方程，這就是支路電壓法。列出2個(gè)KCL方程代入以下三個(gè)電阻的VCR方程例3以圖示電路說(shuō)明支路電壓法方程的建立過(guò)程。

u3+-選講這兩個(gè)方程表示：流出某個(gè)節(jié)點(diǎn)的各電阻支路電流(Gkuk)之和等于流入該節(jié)點(diǎn)電流源電流(iSk)之和，根據(jù)這種理解，可以用觀察電路的方法直接寫(xiě)這些方程。再加上一個(gè)KVL方程就構(gòu)成以3個(gè)支路電壓作為變量的支路電壓法的電路方程。得到以u(píng)1、u2、u3為變量的KCL方程選講支路電流法的一般步驟：標(biāo)定各支路電流、電壓的參考方向；選定(n-1)個(gè)獨(dú)立節(jié)點(diǎn)，列寫(xiě)其KCL方程；

選定b-(n-1)個(gè)獨(dú)立回路，指定回路的繞行方向，列寫(xiě)其KVL方程(形如

Rkik

=

uSk，元件特性直接代入)；求解上述方程，得到b個(gè)支路電流；其它分析。支路法的特點(diǎn)：支路電流法是最基本的方法，在方程數(shù)目不多的情況下可以使用。由于支路法要同時(shí)列寫(xiě)KCL和KVL方程，所以方程數(shù)往往較多，且規(guī)律性不強(qiáng)(相對(duì)于后面的方法)，手工求解比較繁瑣，也不便于計(jì)算機(jī)編程求解。例4(1)n-1=1個(gè)KCL方程：

求各支路電流以及各電壓源發(fā)出的功率。解：(2)b-(n-1)=2個(gè)KVL方程：

(3)代入?yún)?shù)，聯(lián)立求解

I3I1US1US2R1R2R3ba+-+-I212(4)功率分析驗(yàn)證功率守恒：P發(fā)=715WP吸=715WP發(fā)=

P吸

I3I1US1US2R1R2R3ba+-+-I212解之得PUS1發(fā)=

US1I1=130×10W=1300WPUS2發(fā)=

US2I2=117×(-5)W=

-585W例5列寫(xiě)如圖電路的支路電流方程(含理想電流源支路)。KCL方程：

KVL方程：

iS的處理：因i5

=

iS，在選擇獨(dú)立回路時(shí)，可不選含此支路的回路。故可去掉方程(5)。

解：iS

i3R3i5123i1uSR1R2ba+-+-i2i4ucR4解：列寫(xiě)下圖所示電路的支路電流方程。方程列寫(xiě)分兩步：(1)先將受控源看作獨(dú)立源列方程；(2)將控制量用未知量表示，并代入(1)中所列的方程，消去中間變量。KCL方程：例6ui4u2

i1R4

u21i1i3uSR1R2R3ba+-+-i2i6i5c24+-R5+-3KVL方程：

補(bǔ)充方程：另一方法：去掉方程(6)。ui4u2

i1R4

u21i1i3uSR1R2R3ba+-+-i2i6i5c24+-R5+-33.4回路電流法對(duì)于一個(gè)具有n個(gè)節(jié)點(diǎn)、b條支路的電路來(lái)說(shuō)：支路法：

KCL方程：n-1KVL方程：b-(n-1)VCR方程：b2b個(gè)方程b個(gè)方程支路電流法基本思想：在平面電路中為減少未知量(方程)的個(gè)數(shù)，可以假想每個(gè)網(wǎng)孔中有一個(gè)網(wǎng)孔電流。若網(wǎng)孔電流已求得，則各支路電流可用網(wǎng)孔電流的線性組合表示。這樣即可求得電路的解。支路法與支路電流法的規(guī)律性不強(qiáng)，當(dāng)電路的結(jié)構(gòu)相對(duì)復(fù)雜且支路數(shù)較多時(shí)，手工求解會(huì)很困難?，F(xiàn)在要尋找一組相互獨(dú)立的電路變量，它們具有較少的數(shù)目，且能夠用它們表征電路中任意的物理量，從而有效減少電路方程數(shù)量，有助于求解電路。一、網(wǎng)孔電流法網(wǎng)孔電流是在獨(dú)立回路中閉合的，對(duì)每個(gè)相關(guān)聯(lián)的節(jié)點(diǎn)均流進(jìn)一次，流出一次，所以KCL自動(dòng)滿足。若以網(wǎng)孔電流為未知量列方程來(lái)求解電路，只需對(duì)平面電路中的幾個(gè)網(wǎng)孔列寫(xiě)KVL方程。獨(dú)立回路數(shù)為l

=

b

-

(n

-

1)

=

2。選圖示的兩個(gè)網(wǎng)孔為獨(dú)立回路，網(wǎng)孔電流分別為im1、im2。支路電流i1

=

im1，i2

=

im2-

im1，i3

=

im2。

R3ai3i2i1uS1uS2R1R2b+-+-im1im2

網(wǎng)孔電流法(mesh

current

method)：以網(wǎng)孔電流為未知量列寫(xiě)電路方程進(jìn)行電路分析的方法。網(wǎng)孔電流法的獨(dú)立方程數(shù)為b-(n-1)。與支路電流法相比，方程數(shù)減少(n-1)個(gè)。電壓與回路繞行方向一致時(shí)取“+”；否則取“-”。

網(wǎng)孔1：網(wǎng)孔2：

整理得：上式即是以網(wǎng)孔電流為求解對(duì)象的網(wǎng)孔電流方程。R3ai3i2i1uS1uS2R1R2b+-+-im1im2R11=R1+R2—網(wǎng)孔1的自(電)阻，等于網(wǎng)孔1中所有電阻之和。R22=R2+R3—網(wǎng)孔2的自(電)阻。等于網(wǎng)孔2中所有電阻之和。R12=R21=－R2—網(wǎng)孔1、2之間的互(電)阻。其大小為兩個(gè)網(wǎng)孔公共支路上的電阻之和；其前面的正負(fù)號(hào)按下述判斷：

互電阻Rjk

—若兩個(gè)網(wǎng)孔電流流過(guò)公共支路時(shí)方向相同，則互電阻前取正號(hào)；否則取負(fù)號(hào)。當(dāng)平面電路中各網(wǎng)孔的繞向都為順時(shí)針(或都為逆時(shí)針)時(shí)，互電阻Rjk均為負(fù)值。

自電阻總為正。

uS11=uS1-uS2——網(wǎng)孔1中所有電壓源電壓的代數(shù)和。

uS22=uS2——

網(wǎng)孔2中所有電壓源電壓的代數(shù)和。

uSkk

——在求所有電壓源電壓的代數(shù)和時(shí)，當(dāng)網(wǎng)孔中各個(gè)電壓源電動(dòng)勢(shì)的方向與該回路方向一致時(shí)，取正號(hào)；反之取負(fù)號(hào)。

R3ai3i2i1uS1uS2R1R2b+-+-im1im2由此得標(biāo)準(zhǔn)形式的網(wǎng)孔電流方程：對(duì)于具有m個(gè)網(wǎng)孔的平面電路，網(wǎng)孔電流方程的一般形式為：其中Rkk

：自電阻(總為正)，k=1，…，m(任選繞行方向)。Rjk：互電阻流過(guò)互阻的兩網(wǎng)孔電流方向相同，則Rjk前面取正號(hào)流過(guò)互阻的兩網(wǎng)孔電流方向相反，則Rjk前面取負(fù)號(hào)兩個(gè)網(wǎng)孔之間沒(méi)有公共支路或雖有公共支路但其電阻為零時(shí)，Rjk

=0特例：不含受控源的線性網(wǎng)絡(luò)Rjk

=

Rkj，系數(shù)矩陣為對(duì)稱陣。

(1)選定電路中各個(gè)網(wǎng)孔的繞行方向；(2)對(duì)m個(gè)網(wǎng)孔，以網(wǎng)孔電流為未知量，列寫(xiě)其KVL方程；

(3)求解上述方程，得到m個(gè)網(wǎng)孔電流；(4)求各支路電流(用網(wǎng)孔電流表示)；(5)其它分析。網(wǎng)孔電流法的一般步驟：例7用網(wǎng)孔電流法求各支路電流。解：

(1)設(shè)各網(wǎng)孔電流方向?yàn)轫槙r(shí)針?lè)较虿⒃趫D中標(biāo)出。

(2)對(duì)每個(gè)網(wǎng)孔列

KVL方程：Im1Im3Im2I1+_US2+_US1I2I3

R1R2R3+_US4R4I4對(duì)稱陣，且互電阻為負(fù)(3)求解回路電流方程，得Im1，Im2，Im3(4)求各支路電流：例7Im1Im3Im2I1+_US2+_US1I2I3

R1R2R3+_US4R4I4①將VCVS看作獨(dú)立源建立方程；②找出控制量和回路電流關(guān)系。

(2)例8

用網(wǎng)孔電流法求下圖所示電路的各支路電流。2V1

2

2

+_

3

U2++3U2-1

I1I2I3I4I5Im1Im2Im3解：整理得(1)補(bǔ)充方程：校核：(UR

降

=

U升

)各支路電流為：*由于含受控源，方程的系數(shù)矩陣一般不對(duì)稱。

2V1

2

2

+_

3

U2++3U2-1

I1I2I3I4I5Im1Im2Im3解得

二、回路電流法(loopcurrentmethod)網(wǎng)孔法僅適用于平面電路，而回路電流法適用于(非)平面電路。故回路電流法是一種適用性較強(qiáng)并獲得廣泛應(yīng)用的分析方法。6il312345①il2il1②③④以左圖所示電路的圖為例，如果選支路(4，5，6)為樹(shù)(用紅線表示)，可以得到以支路(1，2，3)為單連支的3個(gè)基本回路，它們是獨(dú)立回路。每個(gè)連支的電流是各自單連支回路中流動(dòng)的假想回路電流。如同網(wǎng)孔電流是在網(wǎng)孔中連續(xù)流動(dòng)的假想電流，回路電流是在一個(gè)回路中連續(xù)流動(dòng)的假想電流?；芈冯娏鞣ㄊ且砸唤M獨(dú)立回路電流為電路變量列寫(xiě)電路方程，進(jìn)行電路分析的方法。常選基本回路(單連支回路)作為獨(dú)立回路，則回路電流就將是相應(yīng)的連支電流。各支路電流與回路電流之間的關(guān)系：由上式可知，對(duì)單連支回路來(lái)說(shuō)，連支電流就是回路電流，樹(shù)支電流可通過(guò)連支電流或回路電流表示，即全部支路電流可以通過(guò)回路電流表示。對(duì)于具有b條支路、n個(gè)節(jié)點(diǎn)的電路，回路電流方程的一般形式為(獨(dú)立回路數(shù)l=

b-

n+1)：

1.怎樣列寫(xiě)回路方程6il312345①il2il1②③④其中Rkk：自電阻(總為正)，k=1，…，l(任選繞行方向)。Rjk：互電阻流過(guò)互阻的兩回路電流方向相同，則Rjk前面取正號(hào)流過(guò)互阻的兩回路電流方向相反，則Rjk前面取負(fù)號(hào)兩個(gè)回路之間沒(méi)有公共支路或雖有公共支路但其電阻為零時(shí)，Rjk

=0

uSkk

—回路k中所有電壓源電壓的代數(shù)和。

uSkk－在求所有電壓源電壓的代數(shù)和時(shí)，當(dāng)回路中各個(gè)電壓源電壓的方向與該回路方向一致時(shí)，取負(fù)號(hào)；反之取正號(hào)?；芈冯娏鞣匠痰腒VL形式表示在一回路中各回路電流在各電阻上所產(chǎn)生的電壓降等于此回路中所有電壓源的電壓代數(shù)和(電勢(shì)升)。例9電路如圖所示，試選擇一組獨(dú)立回路，列出回路電流方程。解：電路的圖如圖(b)所示，選擇合適的支路組成樹(shù)，3個(gè)獨(dú)立回路(基本回路)繪于圖中。Il2Il3

圖(b)Il14V1

+圖(a)+2V--1

1

2

2

2

回路電流方程為：2.電路中具有電流源情況的分析

若電路中有電流源和電阻的并聯(lián)組合，可先等效變換成為電壓源和電阻的串聯(lián)組合然后再列回路電流方程。但當(dāng)電路中存在無(wú)伴電流源(沒(méi)有電阻與該電流源并聯(lián))時(shí)，就無(wú)法進(jìn)行等效變換，直接列寫(xiě)回路方程就發(fā)生了困難。此時(shí)可采用下述兩種方法來(lái)處理。(約束方程)解一：對(duì)電流源IS1，設(shè)其電壓為U(如圖所示)，則回路電流方程為：例10列寫(xiě)圖示電路的回路電流方程。R3IS1US2-R6R5R4+R2Il2Il3Il1+-U例10列寫(xiě)圖示電路的回路電流方程。R3IS1US2-R6R5R4+R2Il3Il2Il1+-U四個(gè)方程式正好解出四個(gè)未知的待求量Il1、Il2、Il3和U。

IS1US2+-R2R6R5R4R3解二：在選取回路時(shí)，僅讓一個(gè)回路電流通過(guò)電流源(方向一致)，則該回路電流等于這個(gè)電流源電流。故未知的回路電流減少一個(gè)，可刪去該回路的回路電流方程。其余回路的回路電流方程仍按常規(guī)的方法列寫(xiě)。Il1Il2Il3三、電路中具有受控源情況的分析

上面所分析的電路是不含有受控源的。如果電路中含有受控電壓源，可先把受控電壓源的控制量用回路電流來(lái)表示，暫時(shí)將受控電壓源視為獨(dú)立電壓源，按列回路電流方程的一般方法列于KVL方程的右邊，然后將用回路電流所表示的受控源電壓項(xiàng)移至方程的左邊即可。

如果電路中含有受控電流源，同理，先用回路電流來(lái)表示受控電流源的控制量，并暫時(shí)將受控電流源視為獨(dú)立電流源，按第二部分所述的具有電流源電路處理方法進(jìn)行處理。最后得到只有以回路電流為待求量的方程組。例11已知無(wú)伴電流控制電流源

id=

i2，電壓控制電壓源

ud=

u2，

試列出該電路的回路電流方程。

解：讓

iS1和

id都只有一個(gè)回路電流流過(guò)，前者為il1、后者為il3，

這就可不列回路1和回路3的KVL方程。

il1il2il3il4i2uS2R1R2R3R4iS1-+u2ud

id+++---uS3把控制量用有關(guān)回路電流表示，有：回路2：回路4：將

ud

=

u2=

R2(il1-

il2)代入上式，經(jīng)整理后得：

il1il2il3il4i2uS2R1R2R3R4iS1-+u2ud

id+++---uS3(1)根據(jù)給定的電路，通過(guò)選擇一個(gè)樹(shù)確定一組基本回路，并指定各回路電流(即連支電流)的參考方向；(2)按一般公式列出回路電流方程，注意自阻總是正的，互阻的正負(fù)由相關(guān)的兩個(gè)回路電流通過(guò)公共電阻時(shí)，兩者的參考方向是否相同而定。并注意該式右邊項(xiàng)取代數(shù)和時(shí)各個(gè)有關(guān)電壓源前面的正負(fù)號(hào)的確定方法；(3)當(dāng)電路中有受控源或無(wú)伴電流源時(shí)，需另行處理；(4)對(duì)于平面電路可用網(wǎng)孔電流法。應(yīng)用回路電流法進(jìn)行電路分析的一般步驟如下：3.3節(jié)點(diǎn)電壓法

回路電流法自動(dòng)滿足KCL?，F(xiàn)尋找另一組變量，使之自動(dòng)滿足KVL，不必列寫(xiě)對(duì)應(yīng)的方程。研究表明，若選節(jié)點(diǎn)電壓為變量，則KVL自動(dòng)滿足。當(dāng)以節(jié)點(diǎn)電壓為未知量列電路方程、求出節(jié)點(diǎn)電壓后，便可得到各支路電壓、電流。在電路中任選某一節(jié)點(diǎn)為參考節(jié)點(diǎn)，則獨(dú)立節(jié)點(diǎn)與參考節(jié)點(diǎn)之間的電壓稱為節(jié)點(diǎn)電壓，方向?yàn)閺莫?dú)立節(jié)點(diǎn)指向參考節(jié)點(diǎn)。KVL自動(dòng)滿足unA-unB

節(jié)點(diǎn)電壓法：以節(jié)點(diǎn)電壓為未知量列寫(xiě)電路方程進(jìn)行電路分析的方法。節(jié)點(diǎn)法(NodalAnalysis)是對(duì)獨(dú)立節(jié)點(diǎn)列KCL電流方程，故對(duì)具有n個(gè)節(jié)點(diǎn)的電路，獨(dú)立方程數(shù)為(n-1)個(gè)。unAunB++--(2)列KCL方程：一、怎樣列寫(xiě)節(jié)點(diǎn)電壓方程(1)選定參考節(jié)點(diǎn)，標(biāo)明其余

(n-

1)個(gè)獨(dú)立節(jié)點(diǎn)的電壓。由節(jié)點(diǎn)電壓可表示各支路電壓：由節(jié)點(diǎn)電壓可表示各支路電流：將支路特性代入KCL方程得：整理，得令Gk=1/Rk(k=1、2、3、4、5)，則：

上式簡(jiǎn)記為節(jié)點(diǎn)電壓方程的標(biāo)準(zhǔn)形式。iS11=iS1-iS2+iS3—流入節(jié)點(diǎn)1的電流源電流的代數(shù)和。

iS22=

-iS3—流入節(jié)點(diǎn)2的電流源電流的代數(shù)和。

其中iSk

—流入節(jié)點(diǎn)時(shí)該項(xiàng)前面取正號(hào)，流出時(shí)取負(fù)號(hào)。

G11=G1+G2+G3+G4—節(jié)點(diǎn)1的自電導(dǎo)，是該節(jié)點(diǎn)所有支路的電導(dǎo)之和。

G22=G3+G4+G5—節(jié)點(diǎn)2的自電導(dǎo)，是該節(jié)點(diǎn)所有支路的電導(dǎo)之和。

G12=

G21

=

-(G3+G4)—節(jié)點(diǎn)1與節(jié)點(diǎn)2間的互電導(dǎo)，是節(jié)點(diǎn)1與節(jié)點(diǎn)2間

的所有支路的電導(dǎo)之和，并冠以負(fù)號(hào)。

*自電導(dǎo)總為正，互電導(dǎo)總為負(fù)。*電流源支路電導(dǎo)為零。

自電導(dǎo)簡(jiǎn)稱自導(dǎo)

(self-admittance)

互電導(dǎo)簡(jiǎn)稱互導(dǎo)

(mutual-admittance)

iS11=iS1-iS2+iS3iS22=

-iS3若電路中含有電壓源與電阻串聯(lián)的支路：整理，并記Gk=1/Rk，得

等效電流源二、電路中含有電壓源時(shí)的情況一般情況：其中Gkk—自電導(dǎo)，等于接在節(jié)點(diǎn)

k上的所有支路的電導(dǎo)之和(包括電壓源與電阻串聯(lián)支路)。總為正。

*當(dāng)電路含受控源時(shí)，系數(shù)矩陣一般不再為對(duì)稱陣。iSkk

—流入節(jié)點(diǎn)

k

的所有電流源電流的代數(shù)和(包括由電壓源與電阻串聯(lián)支路等效的電流源)。流入取正，流出取負(fù)。

Gkj

=

Gjk

—互電導(dǎo)，等于接在節(jié)點(diǎn)

k與節(jié)點(diǎn)

j之間的所有支路的電導(dǎo)之和，并冠以負(fù)號(hào)。

仿真如果電路中具有某些電壓源支路，而這些電壓源沒(méi)有電阻與之串聯(lián)，這種電壓源稱之無(wú)伴電壓源。當(dāng)無(wú)伴電壓源作為一條支路連接于兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間時(shí)，該支路的電阻為零，即電導(dǎo)等于無(wú)限大，支路電流不能通過(guò)支路電壓表示，節(jié)點(diǎn)電壓方程的列寫(xiě)就遇到困難，可采用下述兩種方法處理。方法1：把無(wú)伴電壓源中的電流作為變量，每引入一個(gè)這樣的變量，同時(shí)增加一個(gè)節(jié)點(diǎn)電壓與電壓源電壓之間的約束方程，把這些約束方程與節(jié)點(diǎn)電壓方程合并成一組聯(lián)立方程，其方程數(shù)與變量數(shù)相同。方法2：選擇無(wú)伴電壓源的一端作為參考節(jié)點(diǎn)，無(wú)伴電壓源另一端的節(jié)點(diǎn)電壓就是已知的電壓源電壓。這種處理方法可以減少未知節(jié)點(diǎn)電壓的個(gè)數(shù)。例12試列寫(xiě)下圖含無(wú)伴電壓源電路的節(jié)點(diǎn)電壓方程。方法1：以電壓源電流為變量，增加一個(gè)節(jié)點(diǎn)電壓與電壓源間的關(guān)系。G3G1G4G5G2+-USI123例12試列寫(xiě)下圖含無(wú)伴電壓源電路的節(jié)點(diǎn)電壓方程。方法2：選擇合適的參考點(diǎn)。G3G1G4G5G2+-US123三、電路中具有受控源情況的分析

如果電路中具有受控源，建立節(jié)點(diǎn)電壓方程時(shí)，先將控制量用節(jié)點(diǎn)電壓表示。若受控源為受控電流源，可暫時(shí)將受控電流源當(dāng)作獨(dú)立電流源，按列寫(xiě)節(jié)點(diǎn)電壓方程的一般方法列寫(xiě)方程，然后把用節(jié)點(diǎn)電壓表示的受控電流源這項(xiàng)移到方程的左邊即可。若受控源為受控電壓源，可暫時(shí)將受控電壓源視為獨(dú)立電壓源，按第二部分所述的具有電壓源電路的處理方法進(jìn)行處理。這樣，無(wú)論那種受控源都可以變換為電壓控制電流源，最后得到只含有節(jié)點(diǎn)