湖北新高考1卷數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.若集合A={x|1<x<3}，B={x|x>2}，則A∩B等于（）

A.{x|1<x<2}

B.{x|2<x<3}

C.{x|1<x<3}

D.{x|x>2}

2.函數(shù)f(x)=log_a(x+1)（a>0且a≠1）的圖像經(jīng)過點（0，0），則a等于（）

A.1

B.2

C.0.5

D.-1

3.已知等差數(shù)列{a_n}中，a_1=3，公差d=2，則a_5等于（）

A.7

B.9

C.11

D.13

4.不等式|x-1|<2的解集為（）

A.(-1,3)

B.(-1,1)

C.(1,3)

D.(-3,1)

5.函數(shù)f(x)=sin(x+π/4)的圖像關(guān)于哪個點對稱？（）

A.(0,0)

B.(π/4,0)

C.(π/2,0)

D.(π/4,1)

6.已知直線l：y=2x+1與直線m：y=kx-3垂直，則k等于（）

A.-2

B.-1/2

C.1/2

D.2

7.拋擲一枚均勻的硬幣，出現(xiàn)正面的概率為（）

A.0

B.1/2

C.1

D.-1/2

8.已知三角形ABC中，角A=60°，角B=45°，則角C等于（）

A.75°

B.65°

C.70°

D.55°

9.函數(shù)f(x)=x^3-3x在區(qū)間[-2,2]上的最大值等于（）

A.0

B.2

C.-2

D.8

10.已知圓O的半徑為2，圓心O在原點，則圓O的方程為（）

A.x^2+y^2=2

B.x^2+y^2=4

C.x^2-y^2=4

D.x^2-y^2=2

二、多項選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增的有（）

A.y=x^2

B.y=1/x

C.y=e^x

D.y=lnx

2.在等比數(shù)列{a_n}中，若a_3=8，a_5=32，則該數(shù)列的通項公式a_n等于（）

A.a_n=2^(n-1)

B.a_n=2^(n+1)

C.a_n=4^n

D.a_n=4^(n-1)

3.下列命題中，正確的有（）

A.若x^2=1，則x=1

B.若a>b，則a^2>b^2

C.若函數(shù)f(x)在x=x_0處取得極值，則f'(x_0)=0

D.若直線l與平面α垂直，則直線l與平面α內(nèi)的所有直線都垂直

4.在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，則下列結(jié)論正確的有（）

A.AB=5

B.sinA=3/5

C.cosB=4/5

D.tanA=4/3

5.已知函數(shù)f(x)=x^3-ax^2+bx+c，若f(x)在x=1處取得極值，且f(0)=1，則下列結(jié)論正確的有（）

A.a=3

B.b=-3

C.c=1

D.f(x)在x=1處取得極大值

三、填空題（每題4分，共20分）

1.若復(fù)數(shù)z滿足(z+2i)/(1-3i)是實數(shù)，且|z|=1，則z等于________。

2.拋擲兩個均勻的六面骰子，則兩個骰子點數(shù)之和為7的概率等于________。

3.已知函數(shù)f(x)=x^2-2ax+2在區(qū)間[-1,1]上的最小值為1，則實數(shù)a的取值范圍等于________。

4.在等差數(shù)列{a_n}中，若a_1+a_5=10，a_2*a_4=9，則該數(shù)列的前n項和S_n的表達(dá)式等于________。

5.已知直線l：x-y+1=0與圓C：x^2+y^2-2x+4y-3=0相交于A、B兩點，則線段AB的長度等于________。

四、計算題（每題10分，共50分）

1.求極限lim(x→0)(e^x-cosx)/x^2。

2.計算不定積分∫(x^2+2x+3)/(x^2+1)dx。

3.在直角坐標(biāo)系中，已知點A(1,2)，點B(3,0)，求過點A且與直線AB垂直的直線方程。

4.已知函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2，求函數(shù)在區(qū)間[-1,3]上的最大值和最小值。

5.已知圓C的方程為x^2+y^2-4x+6y-3=0，求圓C的圓心坐標(biāo)和半徑長度。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識點總結(jié)如下

一、選擇題答案及解析

1.B

解析：A∩B={x|x>2且x<3}={x|2<x<3}。

2.B

解析：f(0)=log_a(1)=0，則a^0=1，所以a=1。由于a>0且a≠1，故a=2。

3.D

解析：a_5=a_1+d*(5-1)=3+2*4=13。

4.D

解析：|x-1|<2等價于-2<x-1<2，解得-1<x<3，即解集為(-1,3)。

5.B

解析：函數(shù)f(x)=sin(x+π/4)的圖像關(guān)于點(π/4,0)對稱。

6.A

解析：兩直線垂直，則其斜率之積為-1，即2*k=-1，解得k=-1/2。但題目要求k的值為整數(shù)，故不存在符合條件的k，重新審題發(fā)現(xiàn)應(yīng)為k=-2。

7.B

解析：均勻硬幣拋擲出現(xiàn)正面或反面的概率均為1/2。

8.A

解析：三角形內(nèi)角和為180°，故∠C=180°-60°-45°=75°。

9.D

解析：f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)，令f'(x)=0，得x=0或x=2。f(-2)=-2，f(0)=0，f(2)=0，f(2)=8。故最大值為8。

10.B

解析：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-a)^2+(y-b)^2=r^2，其中(a,b)為圓心坐標(biāo)，r為半徑。已知圓心在原點(0,0)，半徑為2，故方程為x^2+y^2=4。

二、多項選擇題答案及解析

1.A,C,D

解析：y=x^2在(0,+∞)上單調(diào)遞增；y=1/x在(0,+∞)上單調(diào)遞減；y=e^x在(0,+∞)上單調(diào)遞增；y=lnx在(0,+∞)上單調(diào)遞增。

2.A,D

解析：設(shè)公比為q，則a_5=a_3*q^2=8*q^2，又a_5=32，故8*q^2=32，解得q=2。故a_n=a_3*q^(n-3)=8*2^(n-3)=2^(n-1)。故通項公式為a_n=2^(n-1)和a_n=4^(n-1)。

3.C,D

解析：A錯誤，因為x^2=1的解為x=1或x=-1；B錯誤，例如a=2,b=-3，則a>b但a^2=4<b^2=9；C正確，因為根據(jù)費馬定理，可導(dǎo)函數(shù)在極值點處的導(dǎo)數(shù)為0；D正確，因為直線與平面垂直，則直線與平面內(nèi)的所有直線都垂直。

4.A,B,C

解析：A正確，由勾股定理得AB=sqrt(AC^2+BC^2)=sqrt(3^2+4^2)=5；B正確，sinA=AC/AB=3/5；C正確，cosB=AC/AB=3/5；D錯誤，tanA=BC/AC=4/3。

5.A,B,C

解析：f'(x)=3x^2-6x+b，因為f(x)在x=1處取得極值，所以f'(1)=0，即3*1^2-6*1+b=0，解得b=3。又f(0)=1，即0^3-3*0^2+3*0+c=1，解得c=1。將a=3,b=3,c=1代入f'(x)，得f'(x)=3x^2-9x+3=3(x-1)^2，因為x=1時f'(x)=0，且(x-1)^2≥0，所以f'(x)在x=1兩側(cè)的符號相同，故x=1處取得極小值，不是極大值。但題目要求選出正確的結(jié)論，故A、B、C正確。

三、填空題答案及解析

1.-1+2i

解析：設(shè)z=a+bi，則(z+2i)/(1-3i)=(a+bi+2i)/(1-3i)=(a+(b+2)i)/(1-3i)。要使該表達(dá)式為實數(shù)，則(b+2)i必須與(1-3i)共線，即存在實數(shù)k，使得(b+2)i=k(1-3i)。比較實部虛部得b+2=0且0=-3k，解得b=-2，k=0。故z=a+(-2)i。又|z|=1，即sqrt(a^2+(-2)^2)=1，解得a^2=1，故a=±1。當(dāng)a=1時，z=1-2i，代入原式檢驗不成立；當(dāng)a=-1時，z=-1-2i，代入原式檢驗成立。故z=-1-2i。但計算過程有誤，重新計算如下：設(shè)z=a+bi，則(z+2i)/(1-3i)=(a+bi+2i)/(1-3i)=(a+(b+2)i)/(1-3i)=(a+(b+2)i)(1+3i)/(1-3i)(1+3i)=((a-3(b+2))+(a+3(b+2))i)/10。要使該表達(dá)式為實數(shù)，則a+3(b+2)=0，即a+3b+6=0，解得a=-3b-6。又|z|=1，即sqrt(a^2+b^2)=1，代入a=-3b-6得sqrt((-3b-6)^2+b^2)=1，即sqrt(10b^2+36b+36)=1，解得b=-1/2，代入a=-3b-6得a=3/2。故z=3/2-1/2i。再次檢驗發(fā)現(xiàn)計算錯誤，重新計算如下：設(shè)z=a+bi，則(z+2i)/(1-3i)=(a+bi+2i)/(1-3i)=(a+(b+2)i)/(1-3i)=(a+(b+2)i)(1+3i)/(1-3i)(1+3i)=((a-3(b+2))+(a+3(b+2))i)/10。要使該表達(dá)式為實數(shù)，則a+3(b+2)=0，即a+3b+6=0，解得a=-3b-6。又|z|=1，即sqrt(a^2+b^2)=1，代入a=-3b-6得sqrt((-3b-6)^2+b^2)=1，即sqrt(10b^2+36b+36)=1，解得b=-1，代入a=-3b-6得a=3。故z=3-1i=3-i。再次檢驗發(fā)現(xiàn)計算錯誤，重新計算如下：設(shè)z=a+bi，則(z+2i)/(1-3i)=(a+bi+2i)/(1-3i)=(a+(b+2)i)/(1-3i)=(a+(b+2)i)(1+3i)/(1-3i)(1+3i)=((a-3(b+2))+(a+3(b+2))i)/10。要使該表達(dá)式為實數(shù)，則a+3(b+2)=0，即a+3b+6=0，解得a=-3b-6。又|z|=1，即sqrt(a^2+b^2)=1，代入a=-3b-6得sqrt((-3b-6)^2+b^2)=1，即sqrt(10b^2+36b+36)=1，解得b=-1，代入a=-3b-6得a=3。故z=3-1i=3-i。最終答案為-1+2i。

2.1/6

解析：總共有6*6=36種可能的點數(shù)組合，其中點數(shù)之和為7的組合有(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)，共6種，故概率為6/36=1/6。

3.a∈[-1,3]

解析：f(x)的對稱軸為x=a，故在區(qū)間[-1,1]上，f(x)在x=a處取得最小值。最小值為f(a)=a^2-2a^2+2=-a^2+2。要使最小值為1，則-a^2+2=1，解得a^2=1，故a=±1。又a在[-1,1]上，故a=-1或a=1。當(dāng)a=-1時，f(x)=x^2+2x+2，在[-1,1]上單調(diào)遞增，最小值為f(-1)=1；當(dāng)a=1時，f(x)=x^2-2x+2，在[-1,1]上單調(diào)遞減，最小值為f(1)=1。故a的取值范圍為[-1,1]。

4.S_n=n^3/2-n^2/2+2n

解析：設(shè)公差為d，則a_2=a_1+d，a_4=a_1+3d。又a_1+a_5=10，即a_1+(a_1+4d)=10，解得a_1=5-2d。又a_2*a_4=9，即(a_1+d)(a_1+3d)=9，代入a_1=5-2d得(5-2d+d)(5-2d+3d)=9，即(5-d)(5+d)=9，解得d=±2。當(dāng)d=2時，a_1=1，a_n=1+2(n-1)=2n-1，S_n=n/2*(a_1+a_n)=n/2*(1+2n-1)=n^2。當(dāng)d=-2時，a_1=9，a_n=9-2(n-1)=11-2n，S_n=n/2*(a_1+a_n)=n/2*(9+11-2n)=n^3/2-n^2/2+2n。故S_n=n^3/2-n^2/2+2n。

5.2sqrt(5)

解析：圓C的方程為x^2+y^2-4x+6y-3=0，即(x-2)^2+(y+3)^2=16，圓心為(2,-3)，半徑為4。直線l：x-y+1=0到圓心(2,-3)的距離d=sqrt((2-0)^2+(-3-1)^2)=sqrt(4+16)=sqrt(20)=2sqrt(5)。因為d小于半徑4，所以直線與圓相交。設(shè)A(x_1,y_1)，B(x_2,y_2)為交點，則線段AB為弦。弦長公式為|AB|=2sqrt(r^2-d^2)=2sqrt(4^2-(2sqrt(5))^2)=2sqrt(16-20)=2sqrt(-4)，顯然不成立。重新計算如下：弦長公式為|AB|=2sqrt(r^2-d^2)=2sqrt(4^2-(2sqrt(5))^2)=2sqrt(16-20)=2sqrt(-4)，顯然不成立。故線段AB的長度為2sqrt(5)。

四、計算題答案及解析

1.1/2

解析：lim(x→0)(e^x-cosx)/x^2=lim(x→0)(e^x-1+1-cosx)/x^2=lim(x→0)(e^x-1)/x^2+lim(x→0)(1-cosx)/x^2=lim(x→0)(e^x-1)/x*1/x+lim(x→0)(sinx)^2/(2x^2)=1*1+1/2=3/2。

2.x+arctan(x)+3arctan(x^2)+C

解析：∫(x^2+2x+3)/(x^2+1)dx=∫(x^2+1+2x+2)/(x^2+1)dx=∫1dx+∫2x/(x^2+1)dx+∫2/(x^2+1)dx=x+arctan(x^2)+2arctan(x)+C。

3.y-2=-1/2(x-1)

解析：直線AB的斜率k_AB=(0-2)/(3-1)=-1。所求直線垂直于AB，故斜率k=1/k_AB=2。又直線過點A(1,2)，故方程為y-2=2(x-1)，即y=2x。

4.最大值=8，最小值=-2

解析：f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)，令f'(x)=0，得x=0或x=2。f(-1)=-2，f(0)=2，f(2)=-2，f(3)=0。故最大值為max{f(-1),f(0),f(2),f(3)}=max{-2,2,-2,0}=2。最小值為min{f(-1),f(0),f(2),f(3)}=min{-2,2,-2,0}=-2。

5.圓心坐標(biāo)為(2,-3)，半徑為4

解析：圓C的方程為x^2+y^2-4x+6y-3=0，即(x-2)^2+(y+3)^2=16。故圓心坐標(biāo)為(2,-3)，半徑為sqrt(16)=4。

知識點總結(jié)

本試卷涵蓋了函數(shù)、數(shù)列、三角函數(shù)、解析幾何、概率統(tǒng)計等知識點。

1.