新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)必修4知識(shí)點(diǎn)總結(jié)經(jīng)典

正角:按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角

1、任意角負(fù)角:按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角

零角:不作任何旋轉(zhuǎn)形成的角

2、角a的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重疊，角的始邊與工軸的非負(fù)半軸重疊，終邊落在第匚象限，則稱a為第幾象限角.

第一象限角的集合為卜卜.360<。<h360+90,AeZ｝第二象限角的集合為｛a,-360+90<b360+180,keZ]

第三象限角的集合為｛。卜.360+180<a<k-36O+270,AwZ｝第四象限角口勺集合為卜上360+270<?<A.360+360,AwZ｝

區(qū)域角怎么表達(dá)：

終邊在x軸上的角的集合為｛a1a=hl80,AwZ｝終邊在y軸上啊角的集合為｛a|a=h180+90，后wz｝

終邊在坐標(biāo)軸上的角II勺集合為｛a|a=k-93,kcZ｝

3、與角a終邊相似I內(nèi)角的集合為｛〃/=h360+a/eZ｝

4、已知a是第幾象限角，確定所在象限的措施：先把各象限均分〃等份，再?gòu)拇筝S的正半軸的上方起，依次將各

a

區(qū)域標(biāo)上一、二、三、四，則。本來是第幾象限對(duì)應(yīng)的標(biāo)號(hào)即為一終邊所落在的區(qū)域.

n

5、長(zhǎng)皮等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度日勺角.

6、半徑為r的圓H勺圓心角a所對(duì)弧的長(zhǎng)為/,則角aH勺孤度數(shù)的絕對(duì)值是\a\=-.

7、弧度制與角度制的換算公式：24=360,]=2,%57.3?

180\)

8、若扇形的圓心角為a(a為弧度制)，半徑為，?，弧氏為/,周長(zhǎng)為C,面積為S,貝"=c=2r+/，s="=J同尸

9、三角函數(shù)概念：(一)設(shè)a是一種任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)尸(x,y),那么：(1)y叫做a的正弦，記做sin。，即

sina=y；(2)x叫做a『、j余弦，記做cosa,即cos。=x：(3))叫儂a的正切，記做tana,即tana0)。

xx

(二)設(shè)a是一種任意大小的角，。的終邊上任意一點(diǎn)P的坐標(biāo)是(x,y),它與原點(diǎn)的距離是，?(7?=Jf+),2>o),則

sin?=—,cosa-->tan?=—0).

io、三角函數(shù)在各象限的符號(hào)：第象限全為正，第：象限正弦為正，第三象限正切為正，第四象限余弦為正.

11、三角函數(shù)線：sina=MP,coscu=OM,tancr=AT.

三角函數(shù)線作用：

12、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：

(l)sin2cr+cos2cr=l(sin2a=1-cos2a,cos2a=1-sin2a)：

sina

sina=tanacosa,cosa=

lana/

13、三角函數(shù)口勺誘導(dǎo)公式：

(1)sin(2Z/r+a)=sina,cos(2^+a)=cosa.tan(2A;r+a)=tana(ZwZ).

(2)sin(〃+a)=-sina,cos(i+a)=-cosa,tan(〃+a)=lana.

(3)sin(-cr)=-sincr,cos(-a)=cosa,tan(-?)=-tana.

(4)sin(乃一a)=sina,cos(乃一a)=-cosa,tan(;r-a)=-tana.

口訣：函數(shù)名稱不變，符號(hào)看象限.(3〉和(4)能得到什么結(jié)論？

71

(5)sin=cosa，cos=sina.(6)sin一十。=cosa，=-sma.

口訣：函數(shù)名變化，符號(hào)看象限.（5）能得到什么結(jié)論？

“、圖像變換的兩種方式：

（-）函數(shù)y=sinx的圖象上所有點(diǎn)向左（G平移機(jī)個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)丫=疝（工+夕）的圖象（。>0是左移：然0

是右移）；再將函數(shù)），=sin（x+e）的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)（縮短）到本來的上倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)

y=sin（5+°）的圖象：再將函數(shù)），=5抽（〃>+。）的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)（縮短）到本來的

A倍（橫坐標(biāo)不變），得到函數(shù)）=Asin（6*+e）的圖象（A>0,0>0）.

（二）函數(shù)y=sinx的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)（縮短）到本來H勺」■■倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)

），=sinox的圖象：再將函數(shù)），=sinox的圖象上所有點(diǎn)向左（右）平移打個(gè)單位長(zhǎng)度（°>0是左

co

移：是右移）：得到函數(shù)），=$m（如+0）的圖象；再將函數(shù)y=sin（〃zr+0）11勺圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)（縮短）到

本來『、jA倍（橫坐標(biāo)不變），得到函數(shù)>=Asin（〃>+0）IKj圖象（A>O,0>O）.

函數(shù)）=慶5而（〃次+。）（慶>0,刃>0）的性質(zhì)：

j

①振幅A；②周期：T=—：③頻留：/=-=—：④相位：5+0：⑤初相：cp.

coT2兀

函數(shù)y=Asin（〃）x+0）+B,當(dāng)x=x時(shí)，獲得最小值為）％而：當(dāng)x=M時(shí)，獲得最大值為,；皿，則

11T

人=］（）藐_,需），B=弓（九、十%n），彳=%2.X（王<工2）?

J乙乙

15、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的圖象與性質(zhì):

,TC,_

定義域RRXx手k冗+一,kwZ

2

值域川I』R

當(dāng)x=2kvr+g(%cZ：時(shí)，當(dāng)x=2?乃("eZ)時(shí),

71

最值yiax=1；當(dāng)X=2卜乳—"1ax=1：當(dāng)x=+=既無最大值也無最小值

n2

(左wZ)時(shí),ymin=-l.(ZwZ)時(shí)，ymin=-l.

周期2〃2乃汽

奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)

在（

在2k兀一三,2k冗中N-(\-.\2k7v-7v,2k/r\(kGZ)上是增

_22J

單調(diào)性

函數(shù):在［2，萬,2〃乃+句

（ZEZ）上是增函數(shù)；在（/eZ）上是埴函數(shù).

（ZsZ）上是減函數(shù).

2k冗H—.+—

L22J

（ZwZ）上是減函數(shù).

對(duì)稱中心（左〃,（））（攵cZ）

對(duì)稱中心［〃用+￡z）（kjr\

對(duì)稱中心（―^-,0（攵￡Z）

對(duì)稱性對(duì)稱軸X=2"+］（攵6Z）

對(duì)稱軸X=（攵€Z）無對(duì)稱軸

16.三角函數(shù)奇偶性規(guī)律總結(jié)（

函數(shù)y=Asin（3T+。）為奇函數(shù)的條件為0=火4,％eZ函數(shù)y=As\n（（Dx+（f＞）為偶函數(shù)的條件為°=上乃+"|,化EZ

函數(shù)y=Acos（＜y%+。）為奇函數(shù)的條件為j=〃汗+巳k&Z'函數(shù)N=Acos（a￥+。）為偶函數(shù)的條件為。=%肛&GZ

-2,

函數(shù)）=Atamox+O）為奇函數(shù)的條件為0=且乃從eZ它不也許是偶函數(shù).

17.向量：既有大小，又有方向的量.數(shù)量：只有大小，沒有方向『J量.

有向線段的三要素：起點(diǎn)、方向、長(zhǎng)度.零向量：長(zhǎng)度為OH勺向量.

單位向量：長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量.平行向量（共線向量）：方向相似或相反的非零向量.

規(guī)定：零向量與任歷來量平行.

相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相似的向量.相反向量：長(zhǎng)度相等且方向相反的向量.

18、向量加法：⑴三角形法則的特點(diǎn)：首尾相連.⑵平行四邊形法則的特點(diǎn)：共起點(diǎn).

a十Z?=AJB+BC=AC*

a+b=AB+AZ?=AC

⑶三角形不等式：同一W卜,士

⑷運(yùn)算性質(zhì)：①互換律：a+b=b+a＞,

②結(jié)合律：（a+Z?）+d=a+（Z?+d）；③a+0=0+d=4.

⑸坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)a=（不，y）,〃=（%，％），則白+〃=（玉+工2，）’1+乃）,

19、向量減法運(yùn)算:

a-b=AC-AB=BC

⑴三角形法則H勺特點(diǎn)：共起點(diǎn)，連終點(diǎn)，方向減向量的終點(diǎn)指向被減向量終點(diǎn).（見上圖）

⑵坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)a=（x，y）,/?=（x2.y2）,則白一〃=（%一看，）［一）”?

設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x，y）,|X2，^2）.則AB=（x_W，,一%）?

20、向量數(shù)乘運(yùn)算：

⑴實(shí)數(shù)4與向量。的積是一種向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作面.

①|(zhì)同=|川同；②當(dāng)2>0時(shí)，而的方向與。的方向相似；當(dāng)XvO歸，4。的方向與。的方向相反：當(dāng)4=0時(shí),

Aa=O.04=0⑵運(yùn)算律：①：②（義+〃）。=兄&+〃〃：③

義（4+/，=24+/1。.⑶坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)a=（x,y）,則Xa=2（x,y）=（4x,4y）.

（4）。工0廁工表示與耐方向的單位向量，-2表示與。反方向的單位向量。

21向量共線條件：（1）向量。（。工0）與方共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一種實(shí)數(shù)無，使b=4”.

⑵共線的坐標(biāo)表達(dá)，設(shè)G=（N，yJ，〃=（%,%），其中〃工0,則當(dāng)且僅當(dāng)內(nèi)%一看凹=0時(shí)，向量&、人（人。（））共

如圖，。4OB不共線，且AP=tAB(reR),用OA.OB表示OP；

OP-OA=t(OB-OA),WljDP=(l-t)OA+rOB

結(jié)論：已知0、43三點(diǎn)不共線，若點(diǎn)P在直線48上，則

OP=mOA+nOB,且m+n=\.

22、平面向量基本定理：假如6；、Q是同.平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這?平面內(nèi)的任意向量。，有且只有?對(duì)實(shí)數(shù)4、

%，使。=4。+46.（不共線的向量e；、e；叫做這一平面內(nèi)所有向量的一組基底）

小結(jié)論：3）若q、g是同一半圓內(nèi)陽的個(gè)小共線向量，xq+）%二m0+〃6,貝”x=m,y=n

（2）若q、/是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，xq+ye2=0,則x=y=O

23、分點(diǎn)坐標(biāo)公式：設(shè)點(diǎn)P是線段PF?上的一點(diǎn)，P「P2H勺坐標(biāo)分別是（小凹），（天立），當(dāng)PF=4PP2時(shí)，可推出點(diǎn)P

［向坐標(biāo)是fx+M,+迎］.（會(huì)寫出向量坐標(biāo)，會(huì)運(yùn)算°）

［l+A>1+A）

21、平面向量的數(shù)量積:

⑴定義：〃/=同卜卜06〃（a/0.〃wo,ovewi8o）?等向量與任歷來量的數(shù)量枳為0.

p|cos6^：。在Z7方向上的投影=bcosO：Z?在。方向上的投影=

注意：務(wù)必要算對(duì)兩個(gè)非零向量的夾角：設(shè)兩個(gè)非零向量〃=OA與〃=OB,稱NA0B=8為向量。與人：向夾角

（0<^<180）?注意在兩向量的夾角定義，兩向量必須是同起點(diǎn)的。

⑵性質(zhì)：設(shè)a和〃都是非零向量，則①alh<=>ab=0.

②當(dāng)〃與〃同向時(shí)，a-h=\a\b；當(dāng)〃與〃反向時(shí)，a-b=-\a\b：

aa-cr二|a「或同=.③卜.〃W同14

⑶運(yùn)算律：①a?b=b?a；②(4d)力=>(aS)=a?(勸卜③

⑷坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)兩個(gè)非零向量。=（M，），J，〃=（與乃），則。為=中2+）/2,

（5）若”=（尤），），則時(shí)=必+產(chǎn)或同=斤亨?

（6）設(shè)a=（.5，x）,人=（蒼,為），則aJ■力=04+,為=°，

（7）設(shè)a、b都姑非零向量，〃=（0,），〃=（占,，），。是a與b的夾角，則二：；。二，必―上七+”；

同W歷7

25、兩角和與差的正弦、余弦和正切公式:

⑴cos(a一夕)=cosacos夕+sinasin/：⑵cos(。+夕)=cosacos夕一sinasinP；

⑶sin(a-/7)=sinacos/?—cosasin/?:M〉sin(a+/?)=sinacos夕+cosasin〃；

⑸lan(a—⑶=1a3.“變形：(tana—tan/?=tan(?-/?)(1+tanatan/7))；

1+tanatan

⑹tan(a+/?)=「°+lan'變形：(tana+tanp=lan(a+/?)(l-tanatanp\)?

1-tan?(an0

26、二倍角的正弦、余弦和正切公式:

(Dsin2a=2sinacosa.變形：inacosa=-sin2a

s2

⑵cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-\=l-2sin2a=(cosa+sina)(cosa-sina)

變形得到降事公式:

1+cos2a.,1-cos2a->l-cos2a

cos"2a=--------sin-a=--------tan-a=--------

22I+cos2a

2tana

⑶tanla=

1-tan2a

27、Asina+Bcosa=>/A2+B2sin(a-^>)?其中ianQ=gsin2a1-cosla

tana=--------=---------

l+cos2crsin2a

［2023高考題解析，規(guī)范解題環(huán)節(jié)］

已知圖數(shù)/(x)=—sin2.tsin^>+cos2xcos0-gsin+乃），其圖象過點(diǎn)（*；）.

（I）求為值：（II）將函數(shù)y=/'（X）的圖象.上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到本來的;，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)丁=/（X）的圖象,

求函數(shù)g（x）在0: