5.1 勾股定理及其逆定理第五章

勾股定理與實數(shù)學(xué)習(xí)目標(biāo)課時講解1課時流程2勾股定理勾股定理的證明勾股定理的應(yīng)用勾股定理的逆定理逐點導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升知1－講感悟新知知識點勾股定理1文字語言直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方圖示符號語言因為在Rt△ABC中，∠C=90°，所以a2+b2=c2變式a2=c2-b2，b2=c2-a2

知1－講感悟新知基本思想方法勾股定理把“形”與“數(shù)”有機(jī)地結(jié)合起來，即把直角三角形這個“形”與三邊關(guān)系這一“數(shù)”結(jié)合起來，它是數(shù)形結(jié)合思想的典范拓展設(shè)三角形的三邊長分別為a，b，c（c為最長邊），則在銳角三角形中滿足a2+b2>c2，在鈍角三角形中滿足a2+b2<c2

感悟新知知1－講特別提醒1.勾股定理揭示的是直角三角形三邊的平方關(guān)系，只有在直角三角形中才可以使用勾股定理。2.已知直角三角形的任意兩邊可以求出第三邊。感悟新知知1－講特別解讀運(yùn)用勾股定理求邊長時，關(guān)鍵是要分清直角邊和斜邊，明確所求的是哪一條邊。若題目中沒有明確指出哪條邊是斜邊，則需要分類討論，以免漏解。知1－練感悟新知[母題教材P125練習(xí)T1]在Rt△ABC中，∠A，∠B，∠C

的對邊長分別為a，

b，c，∠C=90°。(1)已知a=6，b=8，求c；(2)已知c=17，a=15，求b；(3)已知a∶b=3∶4，c=15，求b。例1解題秘方：緊扣“勾股定理的特征”解答。知1－練感悟新知解：(1)因為∠C=90°，a=6，b=8，所以由勾股定理，得c

2=a

2+b

2=62+82=100。所以c=10。(2)因為∠C=90°，c=17，a=15，所以由勾股定理，得b

2=c

2-a2=172-152=64。所以b=8。(3)因為a∶b=3∶4，所以設(shè)a=3x，則b=4x（x﹥0）。又因為∠C=90°，c=15，所以由勾股定理，得(3x)

2+(4x)

2=152，所以x=3。所以b=4x=12。知1－練感悟新知1-1.在Rt△ABC

中，斜邊BC=10，則BC2+AB2+AC2=(

)A.20 B.100C.200 D.144C知1－練感悟新知1-2.若直角三角形的兩直角邊為a，b，且滿足a2

－6a+9+|b

－4|=0，則該直角三角形的斜邊長為______________

。5感悟新知知2－講知識點勾股定理的證明2

方法圖形說明“趙爽弦圖”知2－講方法圖形說明劉徽“青朱出入圖”設(shè)大正方形的面積為S，則S=c2。

根據(jù)“出入相補(bǔ)，以盈補(bǔ)虛”的原理，有S=a2＋b2，所以a2＋b2＝c2知2－講方法圖形說明加菲爾德總統(tǒng)拼圖知2－講方法圖形說明畢達(dá)哥拉斯拼圖知2－講感悟新知特別解讀通過拼圖證明命題的方法：1.圖形經(jīng)過割補(bǔ)拼接后，只要沒有重疊、沒有空隙，面積就不會改變；2.根據(jù)同一種圖形的面積的不同表示方法列出等式；3.利用等式性質(zhì)驗證結(jié)論成立，即拼出圖形→寫出圖形面積的表達(dá)式→找出等量關(guān)系→恒等變形→推導(dǎo)命題結(jié)論。感悟新知知2－練圖5.1-1①是用硬紙板做成的兩個完全一樣的直角三角形，兩直角邊長分別為a

和b，斜邊長為c。圖5.1-1②是以c

為直角邊長的等腰直角三角形，請你開動腦筋，將它們拼成一個能證明勾股定理的圖形。(1)畫出拼成的這個圖形的示意圖，并寫出它是什么圖形；(2)利用這個圖形證明勾股定理。例2

知2－練感悟新知思路導(dǎo)引：知2－練感悟新知解：如圖5.1-2即為所求。它是直角梯形。(1)畫出拼成的這個圖形的示意圖，并寫出它是什么圖形；知2－練感悟新知

(2)利用這個圖形證明勾股定理。知2－練感悟新知2-1.如圖①，Rt△ABC的三邊長分別為a，b，c，∠ACB=90°，以AC為一邊作正方形ACDE，點B在邊CD上，將△ABC裁剪拼接至△AFE的位置，如圖②，請用圖①、圖②的面積不變證明勾股定理。證明：如圖，連接BF。因為AC＝b，所以正方形ACDE的面積為b2。易知CD＝DE＝AC＝b，EF＝BC＝a，所以BD＝CD－BC＝b－a，DF＝DE＋EF＝a＋b。易知∠CAE＝90°，所以∠BAC＋∠BAE＝90°。易知∠BAC＝∠FAE，所以∠FAE＋∠BAE＝90°。又因為AB＝AF＝c，所以△BAF為等腰直角三角形，感悟新知感悟新知知3－講感悟新知知識點勾股定理的應(yīng)用31.勾股定理的應(yīng)用范圍勾股定理是直角三角形的一個重要性質(zhì)，它把直角三角形有一個直角的“形”的特點轉(zhuǎn)化為三邊“數(shù)”的關(guān)系。利用勾股定理，可以解決與直角三角形有關(guān)的計算和證明問題，還可以解決生活、生產(chǎn)中的一些實際問題。感悟新知2.勾股定理應(yīng)用的常見類型(1)已知直角三角形的任意兩邊求第三邊；(2)已知直角三角形的任意一邊確定另兩邊的關(guān)系；(3)證明包含有平方關(guān)系的幾何問題；(4)求解幾何體表面上的最短路程問題；(5)構(gòu)造方程（或方程組）計算有關(guān)線段長度，解決生產(chǎn)、生活中的實際問題。知3－講感悟新知知3－講特別解讀運(yùn)用勾股定理解決實際問題的一般步驟：1.從實際問題中抽象出幾何圖形;2.確定要求的線段所在的直角三角形;3.找準(zhǔn)直角邊和斜邊，根據(jù)勾股定理建立等量關(guān)系;4.求得結(jié)果。知3－練感悟新知[母題教材P128習(xí)題T4]如圖5.1-3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，CD⊥AB，垂足為D，求CD

的長。例3知3－練感悟新知解題秘方：緊扣“同一個直角三角形的面積的兩種表示方法”求解，即利用面積法解決問題。知3－練感悟新知

知3－練感悟新知方法技巧：已知直角三角形的兩邊長求斜邊上的高的方法第1步：用兩種方法分別表示同一圖形的面積；第2步：利用面積相等列出一個方程；第3步：解方程即可求出斜邊上的高。感悟新知知3－講特別提醒若所求線段不在直角三角形中，常作輔助線（如作三角形的高）構(gòu)造直角三角形。知3－練感悟新知3-1.

[中考·重慶]如圖，在△ABC中，AB=AC，AD是BC邊上的中線，若AB=5，BC=6，則AD的長度為________

。4知3－練感悟新知[母題教材P128習(xí)題T6]如圖5.1-4，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長為8，正方形A，B，C

的面積分別是15，12，17，求正方形D

的面積。例4

知3－練感悟新知思路導(dǎo)引：知3－練感悟新知解：根據(jù)勾股定理可知，S

正方形A+S

正方形B=S

正方形P，S

正方形C+S

正方形D=S正方形Q，S

正方形P+S

正方形Q=S

正方形M，所以S

正方形A+S

正方形B+S

正方形C+S

正方形D=S

正方形M。因為S

正方形M=82=64，所以S

正方形A+S

正方形B+S

正方形C+S

正方形D=64。又因為正方形A，

B，C

的面積分別是15，12，17，所以S正方形D=64-（15+12+17）=20，即正方形D

的面積為20。知3－練感悟新知規(guī)律總結(jié)：與直角三角形三邊相關(guān)的正方形、等邊三角形、半圓形等，一般都具有相同的結(jié)論：兩條直角邊上圖形的面積之和等于斜邊上圖形的面積。知3－練感悟新知4-1.如圖，分別以Rt△ABC的三邊為斜邊向外作等腰直角三角形，若AD=4，則陰影部分的面積為(

)A.8 B.16C.24 D.32B知3－練感悟新知如圖5.1-5，在Rt△ABC中，∠C=90°，AM

是中線，MN⊥AB，垂足為N。求證：AN2－BN2=AC2。例5知3－練感悟新知思路導(dǎo)引：知3－練感悟新知證明：因為MN⊥AB，所以在Rt△AMN中，AN

2+MN

2=AM

2。在Rt△BMN中，BN

2+MN

2=MB2。所以AM2-AN

2=MB

2-BN

2，即AN

2-BN

2=AM

2-MB

2。在Rt△AMC中，因為∠C=90°，所以AM

2-MC

2=AC

2。又因為AM

是中線，所以MC=MB。所以AM2-MB

2=AC

2。所以AN

2-BN

2=AC

2。知3－練感悟新知5-1.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AM=CM，MP⊥AB于點P。求證：BP2=BC2+AP

2。知3－練感悟新知證明：如圖，連接BM。因為PM⊥AB，所以△BMP和△AMP均為直角三角形。所以BP2＋PM2＝BM2，AP2＋PM2＝AM2。因為∠C＝90°，所以BC2＋CM2＝BM2，所以BP2＋PM2＝BC2＋CM2。因為CM＝AM，所以CM2＝AM2＝AP2＋PM2。所以BP2＋PM2＝BC2＋AP2＋PM2。所以BP2＝BC2＋AP2。知3－練感悟新知一架5m長的梯子，斜靠在一豎直墻上，這時梯足距墻腳3m，若梯子的頂端下滑1m，則梯足將滑動()A.0m B.1mC.2m D.3m例6

知3－練感悟新知思路導(dǎo)引：知3－練感悟新知解：根據(jù)題意，建立如圖5.1-6所示的模型。由題知AB=A1B

1=5m，AA

1=1m，BC=3m。因為在Rt△ABC

中，∠ACB=90°，所以

AC2=AB

2－BC

2=16。所以AC=4m。因為在Rt△A1B

1C

中，∠A

1CB

1=90°，A1C=AC－AA

1=4－1=3（m），所以B

1C

2=A

1B

12－A

1C

2=16。所以B

1C=4m。所以BB

1=B

1C-BC=4－3=1（m）。所以梯足將滑動1m。答案：B知3－練感悟新知6-1.一艘船由A港沿北偏東60°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行40km至C港，則A，C兩港之間的距離為________

km。50知3－練感悟新知6-2.如圖，小巷左右兩側(cè)是豎直的墻，一架梯子斜靠在左墻時，梯子底端到左墻腳的距離為7m，頂端距離地面24m。如果保持梯子底端位置不動，將梯子斜靠在右墻時，頂端距離地面20m，則小巷的寬度為__________

。22m

感悟新知知4－講知識點勾股定理的逆定理41.勾股定理的逆定理:如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形。2.利用邊的關(guān)系判定直角三角形的步驟感悟新知知4－講3.勾股定理與其逆定理的關(guān)系勾股定理勾股定理的逆定理條件在Rt△ABC

中，∠A，

∠B，∠C的對邊長分別為a，b，c，∠C=90°在△ABC中，∠A，∠B，∠C

的對邊長分別為a，b，c，且a2＋b2＝c2結(jié)論a2＋b2＝c2△ABC

為直角三角形，且∠C=90°

知4－講感悟新知特別提醒1.勾股定理的逆定理是判定直角三角形的一個依據(jù)，在判定時不能說“在直角三角形中”“直角邊”“斜邊”，因為還沒有確定是直角三角形。2.a2＋b2＝c2只是一種表現(xiàn)形式，滿足a2＝b2＋c2或b2＝a2＋c2的也是直角三角形，只是這時a或b為斜邊長。感悟新知知4－講勾股定理勾股定理的逆定理關(guān)系

感悟新知知4－練[母題教材P127例3]判斷滿足下列條件的三角形是不是直角三角形：(1)在△ABC

中，∠A=25°，∠C=65°；(2)在△ABC中，AC=12，AB=20，BC=16；(3)一個三角形的三邊長a，b，c

滿足a∶b∶c=5∶12∶13。例7知4－練感悟新知解題秘方：緊扣“有兩個角互余的三角形是直角三角形”和“勾股定理的逆定理”進(jìn)行判斷。知4－練感悟新知解：

(1)在△ABC