2025年高考圓錐曲線專項(xiàng)模擬試題卷及詳解考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。）1.已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的焦點(diǎn)在x軸上，則下列哪個結(jié)論正確？（1）$a^2+b^2=c^2$（2）$a^2-b^2=c^2$（3）$b^2-a^2=c^2$（4）$a^2+b^2=c^2$且$a^2-b^2=c^2$2.已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$的離心率$e=\frac{1}{2}$，則下列哪個結(jié)論正確？（1）$a>b$（2）$a<b$（3）$a^2-b^2=0$（4）$a^2-b^2>0$3.已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的左焦點(diǎn)坐標(biāo)為（-c，0），則下列哪個結(jié)論正確？（1）$c=a+b$（2）$c=a-b$（3）$c=a$（4）$c=b$4.已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$的右頂點(diǎn)坐標(biāo)為（a，0），則下列哪個結(jié)論正確？（1）$a^2+b^2=1$（2）$a^2-b^2=1$（3）$a^2+b^2=c^2$（4）$a^2-b^2=c^2$5.已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的漸近線方程為$y=\pm\frac{a}x$，則下列哪個結(jié)論正確？（1）$a^2-b^2=0$（2）$a^2+b^2=0$（3）$a^2-b^2\neq0$（4）$a^2+b^2\neq0$6.已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$的離心率$e=\frac{\sqrt{2}}{2}$，則下列哪個結(jié)論正確？（1）$a^2-b^2=a^2$（2）$a^2-b^2=b^2$（3）$a^2-b^2\neq0$（4）$a^2-b^2=b^2$且$a^2-b^2\neq0$7.已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為（c，0），則下列哪個結(jié)論正確？（1）$c=a+b$（2）$c=a-b$（3）$c=a$（4）$c=b$8.已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$的右頂點(diǎn)坐標(biāo)為（a，0），則下列哪個結(jié)論正確？（1）$a^2+b^2=1$（2）$a^2-b^2=1$（3）$a^2+b^2=c^2$（4）$a^2-b^2=c^2$9.已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的漸近線方程為$y=\pm\frac{a}x$，則下列哪個結(jié)論正確？（1）$a^2-b^2=0$（2）$a^2+b^2=0$（3）$a^2-b^2\neq0$（4）$a^2+b^2\neq0$10.已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$的離心率$e=\frac{\sqrt{3}}{2}$，則下列哪個結(jié)論正確？（1）$a^2-b^2=a^2$（2）$a^2-b^2=b^2$（3）$a^2-b^2\neq0$（4）$a^2-b^2=b^2$且$a^2-b^2\neq0$二、填空題（本大題共5小題，每小題10分，共50分。請將正確答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上。）11.已知橢圓$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$的離心率為$\frac{1}{2}$，求橢圓的焦距。12.已知雙曲線$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{9}=1$的左焦點(diǎn)坐標(biāo)為（-10，0），求雙曲線的實(shí)軸長度。13.已知橢圓$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$的離心率為$\frac{2}{5}$，求橢圓的短軸長度。14.已知雙曲線$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{9}=1$的漸近線方程為$y=\pm\frac{3}{2}x$，求雙曲線的虛軸長度。15.已知橢圓$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$的左焦點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，0），求橢圓的離心率。四、解答題（本大題共3小題，每小題15分，共45分。解答過程要寫出文字說明，必要時(shí)可輔以圖表。）16.已知橢圓$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$，求證：該橢圓的短軸長度等于其焦距。17.已知雙曲線$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1$，求點(diǎn)P（3，2）到該雙曲線的漸近線的距離。18.已知橢圓$\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{25}=1$的左焦點(diǎn)坐標(biāo)為（-5，0），求橢圓上一點(diǎn)Q的坐標(biāo)，使得點(diǎn)Q到橢圓的兩個焦點(diǎn)的距離之和等于10。五、計(jì)算題（本大題共3小題，每小題15分，共45分。計(jì)算結(jié)果要準(zhǔn)確到小數(shù)點(diǎn)后兩位。）19.已知橢圓$\frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{36}=1$的離心率為$\frac{3}{8}$，求橢圓的長軸長度和短軸長度。20.已知雙曲線$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{9}=1$的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為（5，0），求雙曲線的實(shí)軸長度和虛軸長度。21.已知橢圓$\frac{x^2}{49}+\frac{y^2}{16}=1$的離心率為$\frac{5}{7}$，求橢圓的焦距。六、綜合題（本大題共1小題，共15分。要求綜合運(yùn)用所學(xué)知識解決問題。）22.已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$的離心率為$\frac{1}{2}$，且點(diǎn)A（2，3）在橢圓上，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。本次試卷答案如下：一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分。）1.答案：（2）$a^2-b^2=c^2$解析：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，其中焦點(diǎn)到中心的距離為c，根據(jù)雙曲線的定義有$c^2=a^2+b^2$。2.答案：（1）$a>b$解析：橢圓的離心率$e=\frac{c}{a}$，其中c是焦點(diǎn)到中心的距離，a是半長軸的長度。由于$e=\frac{1}{2}$，則$a>b$。3.答案：（3）$c=a$解析：雙曲線的左焦點(diǎn)坐標(biāo)為（-c，0），根據(jù)雙曲線的定義有$c^2=a^2+b^2$，由于焦點(diǎn)在x軸上，故$b=0$，所以$c=a$。4.答案：（4）$a^2-b^2=c^2$解析：橢圓的右頂點(diǎn)坐標(biāo)為（a，0），根據(jù)橢圓的定義有$a^2=b^2+c^2$，所以$a^2-b^2=c^2$。5.答案：（3）$a^2-b^2\neq0$解析：雙曲線的漸近線方程為$y=\pm\frac{a}x$，根據(jù)雙曲線的定義有$a^2-b^2\neq0$。6.答案：（4）$a^2-b^2=b^2$且$a^2-b^2\neq0$解析：橢圓的離心率$e=\frac{\sqrt{2}}{2}$，根據(jù)橢圓的定義有$a^2-b^2=b^2$，且$a^2-b^2\neq0$。7.答案：（1）$c=a+b$解析：雙曲線的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為（c，0），根據(jù)雙曲線的定義有$c^2=a^2+b^2$，所以$c=a+b$。8.答案：（4）$a^2-b^2=c^2$解析：橢圓的右頂點(diǎn)坐標(biāo)為（a，0），根據(jù)橢圓的定義有$a^2=b^2+c^2$，所以$a^2-b^2=c^2$。9.答案：（3）$a^2-b^2\neq0$解析：雙曲線的漸近線方程為$y=\pm\frac{a}x$，根據(jù)雙曲線的定義有$a^2-b^2\neq0$。10.答案：（4）$a^2-b^2=b^2$且$a^2-b^2\neq0$解析：橢圓的離心率$e=\frac{\sqrt{3}}{2}$，根據(jù)橢圓的定義有$a^2-b^2=b^2$，且$a^2-b^2\neq0$。二、填空題（本大題共5小題，每小題10分，共50分。）11.答案：焦距為2$\sqrt{7}$解析：橢圓的離心率$e=\frac{c}{a}$，其中c是焦點(diǎn)到中心的距離，a是半長軸的長度。由于$e=\frac{1}{2}$，則$c=a\sqrt{1-e^2}=a\sqrt{1-\frac{1}{4}}=a\sqrt{\frac{3}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}a$。焦距為$2c=2\times\frac{\sqrt{3}}{2}a=\sqrt{3}a$，代入橢圓方程得$a^2=\frac{4}{3}$，所以焦距為$2\sqrt{7}$。12.答案：實(shí)軸長度為2$\sqrt{13}$解析：雙曲線的實(shí)軸長度為$2a$，其中a是實(shí)軸半長軸的長度。由于左焦點(diǎn)坐標(biāo)為（-10，0），則$c=10$，根據(jù)雙曲線的定義有$c^2=a^2+b^2$，代入雙曲線方程得$a^2+b^2=100$，又因?yàn)?a^2=4$，所以$b^2=96$，實(shí)軸長度為$2a=2\sqrt{4}=2\sqrt{13}$。13.答案：短軸長度為4解析：橢圓的短軸長度為$2b$，其中b是短軸半長軸的長度。由于$e=\frac{2}{5}$，則$c=a\sqrt{1-e^2}=a\sqrt{1-\frac{4}{25}}=a\sqrt{\frac{21}{25}}=\frac{\sqrt{21}}{5}a$。焦距為$2c=2\times\frac{\sqrt{21}}{5}a=\frac{2\sqrt{21}}{5}a$，代入橢圓方程得$a^2=\frac{25}{4}$，所以短軸長度為$2b=2\sqrt{25}=4$。14.答案：虛軸長度為6解析：雙曲線的虛軸長度為$2b$，其中b是虛軸半長軸的長度。由于右焦點(diǎn)坐標(biāo)為（5，0），則$c=5$，根據(jù)雙曲線的定義有$c^2=a^2+b^2$，代入雙曲線方程得$a^2+b^2=25$，又因?yàn)?a^2=4$，所以$b^2=21$，虛軸長度為$2b=2\sqrt{21}=6$。15.答案：離心率為$\frac{3}{7}$解析：橢圓的離心率$e=\frac{c}{a}$，其中c是焦點(diǎn)到中心的距離，a是半長軸的長度。由于左焦點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，0），則$c=3$，代入橢圓方程得$a^2=7$，所以$e=\frac{c}{a}=\frac{3}{\sqrt{7}}=\frac{3}{7}$。三、解答題（本大題共3小題，每小題15分，共45分。）16.答案：證明：橢圓的短軸長度等于其焦距。解析：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，其中a是半長軸的長度，b是半短軸的長度，c是焦距。由于$c^2=a^2-b^2$，所以$b^2=a^2-c^2$。又因?yàn)?b^2+c^2=a^2$，所以$b^2=a^2-c^2=c^2$，即短軸長度等于焦距。17.答案：點(diǎn)P（3，2）到雙曲線的漸近線的距離為$\frac{3}{5}$解析：雙曲線的漸近線方程為$y=\pm\frac{a}x$，其中a是實(shí)軸半長軸的長度，b是虛軸半長軸的長度。由于雙曲線的方程為$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{9}=1$，所以$a^2=4$，$b^2=9$，$a=2$，$b=3$。點(diǎn)P（3，2）到漸近線$y=\frac{3}{2}x$的距離為$d=\frac{|3\times3-2\times2|}{\sqrt{3^2+2^2}}=\frac{3}{5}$。18.答案：橢圓上一點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（$\frac{9}{5}$，$\frac{4}{5}$）解析：橢圓的方程為$\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{25}=1$，左焦點(diǎn)坐標(biāo)為（-5，0），根據(jù)橢圓的定義有$c^2=a^2-b^2$，代入方程得$25=a^2-36$，解得$a^2=61$，所以$a=\sqrt{61}$。點(diǎn)Q到兩個焦點(diǎn)的距離之和等于橢圓的長軸長度$2a$，即$2\sqrt{61}$。設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x，y），則根據(jù)距離公式有$\sqrt{(x+5)^2+y^2}+\sqrt{(x-5)^2+y^2}=2\sqrt{61}$，平方后化簡得$2x^2+2y^2+50=61$，即$x^2+y^2=\frac{11}{2}$。代入橢圓方程得$\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{25}=1$，解得$x=\frac{9}{5}$，$y=\frac{4}{5}$。四、計(jì)算題（本大題共3小題，每小題15分，共45分。）19.答案：長軸長度為8，短軸長度為6解析：橢圓的離心率$e=\frac{3}{8}$，根據(jù)橢圓的定義有$e=\frac{c}{a}$，其中c是焦點(diǎn)到中心的距離，a是半長軸的長度。由于$e=\frac{3}{8}$，則$c=a\sqrt{1-e^2}=a\sqrt{1-\frac{9}{64}}=a\sqrt{\frac{55}{64}}=\frac{\sqrt{55}}{8}a$。焦距為$2c=2\times\frac{\sqrt{55}}{8}a=\frac{\sqrt{55}}{4}a$，代入橢圓方程得$a^2=\frac{64}{55}$，所以長軸長度為$2a=2\times\frac{\sqrt{64}}{\sqrt{55}}=8$，短軸長度為$2b=2\times\frac{\sqrt{36}}{\sqrt{55}}=6$。20.答案：實(shí)軸長度為4，虛軸長度為6解析：雙曲線的實(shí)軸長度為$2a$，其中a是實(shí)軸半長軸的長度。由于右焦點(diǎn)坐標(biāo)為（5，0），則$c=5$，根據(jù)雙曲線的定義有$c^2=a^2+b^2$，代入雙曲線方程得$a^2+b^2=25$，又因?yàn)?a^2=4$，所以$b^2=21$，實(shí)軸長度為$2a=2\sqrt{4}=4$，虛軸長度為$2b=2\sqrt{21}=6$。21.答案：焦距為5解析：橢圓的離心率$e=\frac{5}{7}$，根據(jù)橢圓的定義有$e=\frac{c}{a}$，其中c是焦點(diǎn)到中心的距離，a是半長軸的長度。由于$e=\frac{5}{7}$，則$c=a\sqrt{1-e^2}=a\sqrt{