概率與統(tǒng)計(jì)大題練習(xí)(含參考答案)一、離散型隨機(jī)變量的分布與數(shù)字特征某新能源汽車廠生產(chǎn)的電池組需經(jīng)過(guò)三道質(zhì)檢工序，每道工序的質(zhì)檢獨(dú)立進(jìn)行。已知第一道工序的次品檢出率為5%，第二道為3%，第三道為2%。若某電池組在任意一道工序被檢出次品，則該電池組被標(biāo)記為不合格品；若三道工序均未檢出次品，則標(biāo)記為合格品?，F(xiàn)隨機(jī)抽取100個(gè)電池組進(jìn)行檢驗(yàn)，設(shè)X為其中合格品的數(shù)量。（1）求X的概率分布類型及參數(shù)；（2）計(jì)算P(X=95)（結(jié)果保留4位小數(shù)）；（3）求X的數(shù)學(xué)期望E(X)和方差D(X)。解答：（1）每個(gè)電池組成為合格品的概率需三道工序均未檢出次品。由于各工序獨(dú)立，合格品概率p=(1-5%)×(1-3%)×(1-2%)=0.95×0.97×0.98≈0.90307。抽取100個(gè)電池組，每個(gè)電池組是否合格為伯努利試驗(yàn)，故X服從二項(xiàng)分布，參數(shù)為n=100，p≈0.90307，即X~B(100,0.90307)。（2）二項(xiàng)分布概率公式為P(X=k)=C(n,k)p^k(1-p)^{n-k}。代入k=95，n=100，p≈0.90307，1-p≈0.09693：P(X=95)=C(100,95)×(0.90307)^95×(0.09693)^5。計(jì)算組合數(shù)C(100,95)=C(100,5)=75287520；(0.90307)^95≈e^{95×ln0.90307}≈e^{95×(-0.0998)}≈e^{-9.481}≈7.43×10^{-5}；(0.09693)^5≈(0.09693)^2×(0.09693)^2×0.09693≈0.00939×0.00939×0.09693≈8.63×10^{-6}；因此P(X=95)≈75287520×7.43×10^{-5}×8.63×10^{-6}≈75287520×6.41×10^{-10}≈0.0483。（3）二項(xiàng)分布的期望E(X)=np=100×0.90307≈90.307；方差D(X)=np(1-p)=100×0.90307×0.09693≈8.753。二、連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度與期望某城市7月份的日最高氣溫（單位：℃）服從正態(tài)分布N(32,2.52)。記Y為隨機(jī)選取一天的最高氣溫，Z為該月任意5天的平均最高氣溫（7月共31天，假設(shè)抽樣為有放回）。（1）求P(30≤Y≤35)；（2）求Z的概率分布及P(Z>33)；（3）若某日最高氣溫超過(guò)36℃為“高溫日”，求7月份高溫日天數(shù)的期望。解答：（1）Y~N(32,2.52)，標(biāo)準(zhǔn)化得Z=(Y-32)/2.5~N(0,1)。P(30≤Y≤35)=P((30-32)/2.5≤Z≤(35-32)/2.5)=P(-0.8≤Z≤1.2)。查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表：Φ(1.2)=0.8849，Φ(-0.8)=1-Φ(0.8)=1-0.7881=0.2119，故概率為0.8849-0.2119=0.6730。（2）Z為5天的平均氣溫，根據(jù)中心極限定理，Z~N(μ,σ2/n)，即Z~N(32,2.52/5)=N(32,1.25)。P(Z>33)=P((Z-32)/√1.25>(33-32)/√1.25)=P(Z>0.894)≈1-Φ(0.894)≈1-0.8146=0.1854。（3）設(shè)7月份高溫日天數(shù)為W，每天是高溫日的概率p=P(Y>36)=P(Z>(36-32)/2.5)=P(Z>1.6)=1-Φ(1.6)=1-0.9452=0.0548。7月共31天，W~B(31,0.0548)，期望E(W)=31×0.0548≈1.7。三、統(tǒng)計(jì)推斷與假設(shè)檢驗(yàn)?zāi)呈称窂S聲稱其生產(chǎn)的餅干每袋平均重量為200g，標(biāo)準(zhǔn)差為5g。質(zhì)檢部門從生產(chǎn)線隨機(jī)抽取25袋餅干，測(cè)得樣本平均重量為198.5g。假設(shè)重量服從正態(tài)分布，顯著性水平α=0.05。（1）檢驗(yàn)該廠聲稱的平均重量是否成立（雙側(cè)檢驗(yàn)）；（2）若實(shí)際平均重量為199g，求該檢驗(yàn)的功效（1-β）。解答：（1）原假設(shè)H?:μ=200，備擇假設(shè)H?:μ≠200?？傮w標(biāo)準(zhǔn)差σ=5已知，樣本量n=25，故檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量Z=(X?-μ?)/(σ/√n)=(198.5-200)/(5/5)=-1.5。雙側(cè)檢驗(yàn)臨界值為±Zα/2=±1.96。計(jì)算得|Z|=1.5<1.96，故不拒絕H?，認(rèn)為該廠聲稱的平均重量成立。（2）檢驗(yàn)功效為當(dāng)H?為真（μ=199）時(shí)拒絕H?的概率。拒絕域?yàn)閨Z|>1.96，即X?<200-1.96×(5/5)=198.04或X?>200+1.96×1=201.96。當(dāng)μ=199時(shí)，X?~N(199,1)，計(jì)算P(X?<198.04或X?>201.96)。P(X?<198.04)=Φ((198.04-199)/1)=Φ(-0.96)=0.1685；P(X?>201.96)=1-Φ((201.96-199)/1)=1-Φ(2.96)=0.0015；故功效=0.1685+0.0015=0.1700。四、聯(lián)合分布與相關(guān)系數(shù)設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度為：f(x,y)={2e^{-(x+2y)},x>0,y>0{0,其他}（1）求X和Y的邊緣概率密度；（2）判斷X與Y是否獨(dú)立；（3）計(jì)算協(xié)方差Cov(X,Y)和相關(guān)系數(shù)ρ(X,Y)。解答：（1）X的邊緣密度f(wàn)_X(x)=∫?^∞2e^{-(x+2y)}dy=2e^{-x}∫?^∞e^{-2y}dy=2e^{-x}×(1/2)=e^{-x}（x>0），否則0；Y的邊緣密度f(wàn)_Y(y)=∫?^∞2e^{-(x+2y)}dx=2e^{-2y}∫?^∞e^{-x}dx=2e^{-2y}×1=2e^{-2y}（y>0），否則0。（2）聯(lián)合密度f(wàn)(x,y)=2e^{-(x+2y)}=e^{-x}×2e^{-2y}=f_X(x)f_Y(y)，故X與Y獨(dú)立。（3）因X與Y獨(dú)立，Cov(X,Y)=0，相關(guān)系數(shù)ρ(X,Y)=0。五、實(shí)際應(yīng)用：產(chǎn)品質(zhì)量控制某手機(jī)廠生產(chǎn)的芯片需通過(guò)兩項(xiàng)測(cè)試：電流測(cè)試（通過(guò)率92%）和溫度測(cè)試（通過(guò)率88%）。兩項(xiàng)測(cè)試獨(dú)立進(jìn)行，只有兩項(xiàng)均通過(guò)才算合格?，F(xiàn)從一批芯片中隨機(jī)抽取1000件，設(shè)A為電流測(cè)試通過(guò)但溫度測(cè)試未通過(guò)的數(shù)量，B為兩項(xiàng)均通過(guò)的數(shù)量。（1）求A的期望和方差；（2）求P(B≥850)（用正態(tài)近似計(jì)算）。解答：（1）單個(gè)芯片電流通過(guò)但溫度未通過(guò)的概率p_A=0.92×(1-0.88)=0.92×0.12=0.1104；A~B(1000,0.1104)，故E(A)=1000×0.1104=110.4；D(A)=1000×0.1104×(1-0.1104)=1000×0.1104×0.8896≈98.21。（2）B為兩項(xiàng)均通過(guò)的數(shù)量，概率p_B=0.92×0.88=0.8096，B~B(1000,0.8096)。用正態(tài)近似，B近似服從N(np,np(1-p))=N(809.6,809.6×0.1904≈154.25)，標(biāo)準(zhǔn)差≈12.42。P(B≥850)=P(B≥849.5)（連續(xù)性修正），標(biāo)準(zhǔn)化得Z=(849.5-809.6)/12.42≈39.9/12.42≈3.21。查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，Φ(3.21)=0.9993，故P(B≥850)=1-0.9993=0.0007。六、方差分析某藥廠用三種工藝生產(chǎn)同一藥物，分別抽取5批產(chǎn)品測(cè)量有效成分含量（mg），數(shù)據(jù)如下：|工藝1|工藝2|工藝3||-------|-------|-------||28|25|22||30|27|24||29|26|23||31|28|25||27|29|21|顯著性水平α=0.05，檢驗(yàn)三種工藝的有效成分含量是否有顯著差異。解答：（1）計(jì)算各工藝樣本均值：工藝1：(28+30+29+31+27)/5=29；工藝2：(25+27+26+28+29)/5=27；工藝3：(22+24+23+25+21)/5=23；總均值：(29×5+27×5+23×5)/15=(145+135+115)/15=395/15≈26.333。（2）計(jì)算平方和：組間平方和SSB=5×[(29-26.333)2+(27-26.333)2+(23-26.333)2]=5×[(2.667)2+(0.667)2+(-3.333)2]=5×(7.111+0.444+11.109)=5×18.664=93.32；組內(nèi)平方和SSW=Σ(各數(shù)據(jù)-組均值)2：工藝1：(28-29)2+…+(27-29)2=1+1+0+4+4=10；工藝2：(25-27)2+…+(29-27)2=4+0+1+1+4=10；工藝3：(22-23)2+…+(21-23)2=1+1+0+4+4=10；SSW=10+10+10=30；總平方和SST=SSB+SSW=93.32+30=123.32