第1頁|共2頁1991年全國統(tǒng)一高考理科數(shù)學真題及答案（適用于30個省市自治區(qū)）一、選擇題：本大題共15小題；每小題3分，共45分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．把所選項前的字母填在題后括號內．(1)已知sinα=，并且α是第二象限的角，那么tgα的值等于 ()(A)(B)(C)(D)(2)焦點在(－1，0)，頂點在(1，0)的拋物線方程是 ()(A)y2=8(x+1)(B)y2=－8(x+1)(C)y2=8(x－1) (D)y2=－8(x－1)(3)函數(shù)y=cos4x－sin4x的最小正周期是 ()(A)(B)π(C)2π(D)4π(4)如果把兩條異面直線看成“一對”，那么六棱錐的棱所在的12條直線中，異面直線共有 ()(A)12對(B)24對(C)36對(D)48對(5)函數(shù)y=sin(2x+)的圖像的一條對稱軸的方程是 ()(A)x=－(B)x=－(C)(D)(6)如果三棱錐S－ABC的底面是不等邊三角形，側面與底面所成的二面角都相等，且頂點S在底面的射影O在△ABC內，那么O是△ABC的 ()(A)垂心(B)重心(C)外心(D)內心(7)已知{an}是等比數(shù)列，且an>0，a2a4+2a3a5+a4a6=25，那么a3+a5的值等于 ()(A)5(B)10(C)15(D)20(8)如果圓錐曲線的極坐標方程為ρ=，那么它的焦點的極坐標為 ()(A)（0，0），（6，π）(B)(－3，0)，(3，0)(C)（0，0），（3，0）(D)(0，0)，(6，0)(9)從4臺甲型和5臺乙型電視機中任意取出3臺，其中至少要有甲型與乙型電視機各1臺，則不同的取法共有 ()(A)140種(B)84種(C)70種(D)35種(10)如果AC<0且BC<0，那么直線Ax+By+C=0不通過 ()(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限(11)設甲、乙、丙是三個命題．如果甲是乙的必要條件；丙是乙的充分條件但不是乙的必要條件，那么 ()(A)丙是甲的充分條件，但不是甲的必要條件(B)丙是甲的必要條件，但不是甲的充分條件(C)丙是甲的充要條件(D)丙不是甲的充分條件，也不是甲的必要條件(12)…(1－)]的值等于 ()(A)0(B)1(C)2(D)3(13)如果奇函數(shù)f(x)在區(qū)間[3，7]上是增函數(shù)且最小值為5，那么f(x)在區(qū)間[－7，－3]上是 ()(A)增函數(shù)且最小值為－5(B)增函數(shù)且最大值為－5(C)減函數(shù)且最小值為－5(D)減函數(shù)且最大值為－5(14)圓x2+2x+y2+4y－3=0上到直線x+y+1=0的距離為的點共有 ()(A)1個(B)2個(C)3個(D)4個(15)設全集為R，f(x)=sinx，g(x)=cosx，M={x|f(x)≠0}，N={x|g(x)≠0}，那么集合{x|f(x)g(x)=0}等于 ()(A)(B)(C)(D)二、填空題：本大題共5小題；每小題3分，共15分．把答案填在題中橫線上．(16)arctg+arctg的值是____________(17)不等式<1的解集是___________(18)已知正三棱臺上底面邊長為2，下底面邊長為4，且側棱與底面所成的角是45°，那么這個正三棱臺的體積等于(19)(ax+1)7的展開式中，x3的系數(shù)是x2的系數(shù)與x4的系數(shù)的等差中項．若實數(shù)a>1，那么a=(20)在球面上有四個點P、A、B、C，如果PA、PB、PC兩兩互相垂直，且PA＝PB＝PC＝a．那么這個球面的面積是三、解答題：本大題共6小題；共60分．(21)(本小題滿分8分)求函數(shù)y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的最小值，并寫出使函數(shù)y取最小值的x的集合．(22)(本小題滿分8分)已知復數(shù)z=1＋i,求復數(shù)的模和輻角的主值．(23)(本小題滿分10分)已知ABCD是邊長為4的正方形，E、F分別是AB、AD的中點，GC垂直于ABCD所在的平面，且GC＝2．求點B到平面EFG的距離．(24)(本小題滿分10分)根據(jù)函數(shù)單調性的定義，證明函數(shù)f(x)=－x3+1在(－∞，+∞)上是減函數(shù)．(25)(本小題滿分12分)已知n為自然數(shù)，實數(shù)a>1，解關于x的不等式logax－logx＋12logx＋…＋n(n－2)logx>log(x2－a)(26)(本小題滿分12分)雙曲線的中心在坐標原點O，焦點在x軸上，過雙曲線右焦點且斜率為的直線交雙曲線于P、Q兩點．若OP⊥OQ，|PQ|=4，求雙曲線的方程．參考答案說明：一、本解答指出了每題所要考查的主要知識和能力，并給出了一種或幾種較為常見的解法，如果考生的解法與本解答不同，可根據(jù)試題的主要考查內容參照評分標準制定相應評分細則．二、每題都要評閱到底，不要因為考生的解答中出現(xiàn)錯誤而中斷對該題的評閱．當考生的解答在某一步出現(xiàn)錯誤，影響了后繼部分時，如果該步以后的解答未改變這一題的內容和難度時，可視影響的程度決定后面部分的給分，但不得超過后面部分應給分數(shù)的一半；如果這一步以后的解答有較嚴重的錯誤，就不給分．三、為了閱卷方便，本試題解答中的推導步驟寫得較為詳細，允許考生在解題過程中合理省略非關鍵性的推導步驟．四、解答右端所注分數(shù)，表示考生正確做到這一步應得的累加分數(shù)．五、只給整數(shù)分數(shù)．一、選擇題．本題考查基本知識和基本運算．每小題3分，滿分45分．(1)A (2)D(3)B(4)B(5)A(6)D(7)A (8)D(9)C(10)C(11)A(12)C(13)B (14)C(15)D二、填空題．本題考查基本知識和基本運算．每小題3分，滿分15分．(16)(17){x|－2<x<1}(18)(19)1+(20)3πa2三、解答題(21)本小題考查三角函數(shù)式的恒等變形及三角函數(shù)的性質．滿分8分．解：y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x=(sin2x＋cos2x)＋2sinxcosx+2cos2x——1分=1sin2x(1＋cos2x)——3分=2＋sin2x+cos2x=2+sin(2x+)．——5分當sin(2x+)=－1時y取得最小值2－．——6分使y取最小值的x的集合為{x|x=kπ－π，k∈Z}．——8分(22)本小題考查復數(shù)基本概念和運算能力．滿分8分．解：==——2分=1－i．——4分1－i的模r==．因為1－i對應的點在第四象限且輻角的正切tgθ=－1，所以輻角的主值θ=π．——8分(23)本小題考查直線與直線，直線與平面，平面與平面的位置關系，以及邏輯推理和空間想象能力．滿分10分．解：如圖，連結EG、FG、EF、BD、AC、EF、BD分別交AC于H、O．因為ABCD是正方形，E、F分別為AB和AD的中點，故EF∥BD，H為AO的中點．BD不在平面EFG上．否則，平面EFG和平面ABCD重合，從而點G在平面的ABCD上，與題設矛盾．由直線和平面平行的判定定理知BD∥平面EFG，所以BD和平面EFG的距離就是點B到平面EFG的距離．——4分∵BD⊥AC，∴EF⊥HC．∵GC⊥平面ABCD，∴EF⊥GC，∴EF⊥平面HCG．∴平面EFG⊥平面HCG，HG是這兩個垂直平面的交線．——6分作OK⊥HG交HG于點K，由兩平面垂直的性質定理知OK⊥平面EFG，所以線段OK的長就是點B到平面EFG的距離．——8分∵正方形ABCD的邊長為4，GC=2，∴AC=4，HO=，HC=3．∴在Rt△HCG中，HG=．由于Rt△HKO和Rt△HCG有一個銳角是公共的，故Rt△HKO∽△HCG．∴OK=．即點B到平面EFG的距離為．——10分注：未證明“BD不在平面EFG上”不扣分．(24)本小題考查函數(shù)單調性的概念，不等式的證明，以及邏輯推理能力．滿分10分．證法一：在(－∞，+∞)上任取x1，x2且x1<x2——1分則f(x2)－f(x1)==(x1－x2)()——3分∵x1<x2，∴x1－x2<0．——4分當x1x2<0時，有=(x1+x2)2－x1x2>0；——6分當x1x2≥0時，有>0；∴f(x2)－f(x1)=(x1－x2)()<0．——8分即f(x2)<f(x1)所以，函數(shù)f(x)=－x3+1在(－∞，+∞)上是減函數(shù)．——10分證法二：在(－∞，+∞)上任取x1，x2，且x1<x2，——1分則f(x2)－f(x1)=x－x=(x1－x2)()．——3分∵x1<x2，∴x1－x2<0．——4分∵x1，x2不同時為零，∴x＋x>0．又∵x＋x>(x＋x)≥|x1x2|≥－x1x2∴>0，∴f(x2)－f(x1)=(x1－x2)()<0．——8分即f(x2)<f(x1)．所以，函數(shù)f(x)=－x3+1在(－∞，+∞)上是減函數(shù)．——10分(25)本小題考查對數(shù)、數(shù)列、解不等式等基本知識，以及分析問題的能力．滿分12分．解：利用對數(shù)換底公式，原不等式左端化為logax－4·＋12·＋…＋n(－2)n－1·=[1－2＋4＋…＋(－2)n－1]logax=logax故原不等式可化為logax>loga(x2－a)．①當n為奇數(shù)時，>0，不等式①等價于logax>loga(x2－a)．②因為a>1，②式等價于——6分因為<0，>=，所以，不等式②的解集為{x|<x<}．——8分當n為偶數(shù)時，<0，不等式①等價于logax>loga(x2－a)．③因為a>1，③式等價于或——10分因為——12分所以，不等式③的解集為{x|x>}．綜合得：當n為奇數(shù)時，原不等式的解集是{x|}；當n為偶數(shù)時，原不等式的解集是{x|}(26)本小題考查雙曲線性質，兩點距離公式，兩直線垂直條件，代數(shù)二次方程等基本知識，以及綜合分析能力．滿分12分．解法一：設雙曲線的方程為=1．依題意知，點P，Q的坐標滿足方程組①②①②將②式代入①式，整理得(5b2－3a2)x2+6a2cx－(3a2c2+5a2b2)=0． ③——3分設方程③的兩個根為x1，x2，若5b2－3a2=0，則=，即直線②與雙曲線①的兩條漸近線中的一條平行，故與雙曲線只能有一個交點同，與題設矛盾，所以5b2－3a2≠0．根據(jù)根與系數(shù)的關系，有④⑤——6分由于P、Q在直線y=(x－c)上，可記為P(x1，(x1－c))，Q(x2，(x2－c))．由OP⊥OQ得·=－1，整理得3c(x1+x2)－8x1x2－3c2=0． ⑥將④，⑤式及c2=a2+b2代入⑥式，并整理得3a4+8a2b2－3b4=0，(a2+3b2)(3a2－b2)=0．因為 a2+3b2≠0，解得b2=3a2，所以c==2a．——8分由|PQ|=4，得(x2－x1)2=[(x2－c)－(x1－c)]2=42．整理得(x1+x2)2－4x1x2－10=0． ⑦將④，⑤式及b2=3a2，c=2a代入⑦式