第1頁|共2頁1999年全國統(tǒng)一高考文科數(shù)學(xué)真題及答案（適用于30個省市自治區(qū)）本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分。第I卷1至2頁。第II卷3至8頁。共150分?？荚嚂r間120分鐘。第I卷（選擇題共60分）注意事項：l.答第I卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考試科目、試卷類型（A或B）用鉛筆涂寫在答題卡上。2.每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后。再選涂其它答案，不能答在試題卷上。3.考試結(jié)束，監(jiān)考人將本試卷和答題卡一并收回。參考公式：三角函數(shù)的積化和差公式sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]/2 cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]/2sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]/2正棱臺、圓臺的側(cè)面積公式：S臺側(cè)=(c'+c)L/2其中c'和c表示圓臺的上下底面的周長，L表示斜高或母線長。臺體的體積公式：其中s,s'分別表示上下底面積，h表示高。一.選擇題：本大題共14小題；第(1)—(1O)題每小題4分，第(11)—(14)題每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選頂中，只有一頂是符合題目要求的。（1）如圖，I是全集，M、P、S是I的3個子集，則陰影部分所表示的集合是（A）（M∩P〕∩S（B）（M∩P）∪S（C〕（M∩P）∩（D〕（M∩P）∪（2）已知映射f：A→B，其中，集合A＝{-3，-2，-1，1，2，3，4}，集合B中的元素都是A中元素在映射f下的象，且對任意的a∈A，在B中和它對應(yīng)的元素是|a|，則集合B中元素的個數(shù)是（A）4（B）5（C）6（D）7（3）若函數(shù)y＝f（x）的反函數(shù)是y=g（x），f（a）=b，ab≠0，則g（b）等于（A）a（B）a-1（C）b（D）b-1（4）函數(shù)f（x）＝Msin（ωx+ρ）（ω>0）在區(qū)間[a，b]上是增函數(shù)，且f（a）=-M，f（b）=M，則函數(shù)g（x）=Mcos（ωx+ρ）在[a，b]上（A）是增函數(shù)（B）是減函數(shù)（C）可以取得最大值M（D）可以取得最小值-M（5）若f（x）sinx是周期為∏的奇函數(shù)，則f（x）可以是（A）sinx（B）cosx（C）sin2x（D）cos2x（6）曲線x2+y2+2x-2y=0關(guān)于（A）直線x=軸對稱（B）直線y=-x軸對稱（C）點（-2，）中心對稱（D）點（-，0）中心對稱（7）若干毫升水倒人底面半徑為2cm的圓柱形器皿中，量得水面的高為6cm，若將這些水倒入軸截面是正三角形的倒圓錐形器皿中，則水面的高度是（A）6cm（B）6cm（C）2cm（D）3cm（8）若（2x＋）3＝a0+a1x+a2x2+a3x3，則（a0+a2）2-（a1+a3）2的值為（A）-1（B）l（C）0（D）2（9）直線x＋y-2=O截圓x2+y2=4得的劣弧所對的圓心角為（A）（B）（C）（D）（10）如圖，在多面體ABCDEF中，已知面ABCD是邊長為3的正方形，EF∥AB，EF=3/2，EF與面AC的距離為2，則該多面體的體積為（A）9/2（B）5（C）6（D）15/2（11）若sina＞tga＞ctga(-＜a＜)，則a∈（A）（-，-）（B）（-，0）（C）（0，）（D）（，）（12）如果圓臺的上底面半徑為5，下底面半徑為R，中截面把圓臺分為上、下兩個圓臺，它們的側(cè)面積的比為1：2，那么R=（A）10（B）15（C）20（D）25（13）給出下列曲線：①4x+2y-1=0②x2+y2=3③x2/2+y2=1④x2/2-y2=1其中與直線r＝-2x-3有交點的所有曲線是（A）①③（B）②④（C）①②③（D）②③④（14）某電腦用戶計劃使用不超過500元的資金購買單價分別為60元、70元的單片軟件和盒裝磁盤根據(jù)需要，軟件至少買3片，磁盤至少買2盒則不同的選購方式共有（A）5種（B）6種（C）7種（D）8種第Ⅱ卷(非選擇題共90分)二．填空題：本大題共4小題；每小題4分，共16分，把答案填在題中橫線(15)設(shè)橢圓(a>b>0)的右焦點為F1，右準(zhǔn)線為l1若過F1且垂直于x軸的弦的長等于點F1到l1的距離，則橢圓的離心率是_______________(16)在一塊并排10壟的田地中，選擇2壟分別種植A、B兩種作物，每種作物種植一壟，為有利于作物生長．要求A、B兩種作物的間隔不小于6壟，則不同的選壟方法共有______種(用數(shù)字作答)(17)若正數(shù)a、b滿足ab=a+b+3，則ab的取值范圍是____________(18)α、β是兩個不同的平面，m、n是平面α及β之外的兩條不同直線，給出四個論斷：①m⊥n②α⊥β③n⊥β④m⊥α以其中三個論斷作為條件，余下一個論斷作為結(jié)論，寫出你認為正確一個命題：_________________________三．解答題：本大題共6小題；共74分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟(19)(本小題滿分10分)解方程－31gx+4=0(20)(本小題滿分12分)數(shù)列{an}的前n項和記為Sn，已知an=5Sn－3(n∈N)求(a1+a3+…+a2n－1)的值．(21)(本小題滿分12分)設(shè)復(fù)數(shù)z=3cosθ+isinθ．求函數(shù)y=tg(θ－argz)(0<θ<)的最大值以及對應(yīng)的θ值(22)(本小題滿分12分)如圖，已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1，點E在棱D1D上，截面EAC∥D1B，且面EAC與底面ABCD所成的角為45o，AB=a．(Ⅰ)求截面EAC的面積；(Ⅱ)求異面直線A1B1與AC之間的距離；(Ⅲ)求三棱錐B1－EAC的體積．(23)(本小題滿分14分)下圖為一臺冷軋機的示意圖．冷軋機由若干對軋輥組成，帶鋼從一端輸入，經(jīng)過各對軋輥逐步減薄后輸出．(Ⅰ)輸入帶鋼的厚度為a，輸出帶鋼的厚度為β，若每對軋輥的減薄率不超過r0，問冷軋機至少需要安裝多少對軋輥？輸入該對的帶鋼厚度－從該對輸出的帶鋼厚度輸入該對的帶鋼厚度－從該對輸出的帶鋼厚度輸入該對的帶鋼厚度(一對軋輥減薄率=)(Ⅱ)已知一臺冷軋機共有4對減薄率為20%的軋輥，所有軋輥周長均為1600mm，若第k對軋輥有缺陷，每滾動一周在帶鋼上壓出一個疵點，在冷軋機輸出的帶鋼上，疵點的間距為Lk，為了便于檢修，請計算L1、L2、L3并填入下表(軋鋼過程中，帶鋼寬度不變，且不考慮損耗)．軋輥序號k1234疵點間距Lk(單位：mm)1600(24)(本小題滿分14分)如圖，給出定點A(a，0)(a>0，a≠1)和直線l：x=－1，B是直線l上的動點，∠BOA的角平分線交AB于點C，求點C的軌跡方程，并討論方程表示的曲線類型與a值的關(guān)系．參考答案說明：一．本解答指出了每題要考查的主要知識和能力，并給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據(jù)試題的主要考查內(nèi)容比照評分標(biāo)準(zhǔn)制訂相應(yīng)的評分細則．二．對計算題，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯誤時，如果后繼部分的解答未改變該題的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的給分，但不得超過該部分正確解答應(yīng)得分數(shù)的一半；如果后繼部分的解答有較嚴重的錯誤，就不再給分．三．解答右端所注分數(shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分數(shù)．四．只給整數(shù)分數(shù)．選擇題和填空題不給中間分．一．選擇題：本題考查基本知識和基本運算．第(1)—(10)題每小題4分，第(11)—(14)題每小題5分．滿分60分．C(2)A(3)A(4)C(5)B(6)B(7)B(8)A(9)C(10)D(11)B(12)D(13)D(14)C二．填空題：本題考查基本知識和基本運算．每小題4分，滿分16分．(15)(16)12(17)(18)m⊥α，n⊥β，α⊥βm⊥n或m⊥n，m⊥α，n⊥βα⊥β三．解答題(19)本小題主要考查對數(shù)方程、無理方程的解法和運算能力．滿分10分．解：設(shè)，原方程化為y－y2+2=0——4分解得y=－1，y=2．——6分因為，所以將y=－1舍去．由=2，得lgx=2，所以x=100．——9分經(jīng)檢驗，x=100為原方程的解．——10分(20)本小題主要考查等比數(shù)列和數(shù)列極限等基礎(chǔ)知識．滿分12分．解：由Sn=a1+a2+…+an知an=Sn－Sn－1(n≥2)，a1=S1，——2分由已知an=5Sn—3得an－1=5Sn－1—3．——4分于是an－an－1=5(Sn－Sn－1)=5an，所以an=－an－1．——6分由a1=5S1—3，得a1=．所以，數(shù)列{an}是首項a1=，公比q=－的等比數(shù)列．——8分由此知數(shù)列a1，a3，a5，…，a2n－1，…是首項為a1=，公比為的等比數(shù)列．∴(a1+a3+a5+…+a2n－1)=．——12分(21)本小題主要考查復(fù)數(shù)的基本概念、三角公式和不等式等基礎(chǔ)知識，考查綜合運用所學(xué)數(shù)學(xué)知識解決問題的能力．滿分12分．解：由得．由z=3cosθ+isinθ得tg(argz)=．——3分故y=tg(θ－argz)——6分∵，∴．——9分當(dāng)且僅當(dāng)=tgθ()時，即tgθ=時，上式取等號．所以當(dāng)θ=時，函數(shù)y取得最大值．——12分(22)本小題主要考查空間線面關(guān)系、二面角和距離的概念，邏輯思維能力、空間想象能力及運算能力．滿分12分．(Ⅰ)解：如圖，連結(jié)DB交AC于O，連結(jié)EO．∵底面ABCD是正方形，∴DO⊥AC．又∵ED⊥底面AC，∴EO⊥AC．∴∠EOD是面EAC與底面AC所成二面角的平面角，——2分∴∠EOD=45o．DO=a，AC=a，EO=a·sec45o=a．故S△EAC=a2．——4分(Ⅱ)解：由題設(shè)ABCD－A1B1C1D1是正四棱柱，得A1A⊥底面AC，A1A⊥AC．又A1A⊥A1B1，∴A1A是異面直線A1B1與AC間的公垂線．——6分∵D1B∥面EAC，且面D1BD與面EAC交線為EO，∴D1B∥EO．又O是DB的中點，∴E是D1D的中點，D1B=2EO=2a．∴D1D==a．異面直線A1B1與AC間的距離為a．——8分(Ⅲ)解法一：如圖，連結(jié)D1B1．∵D1D=DB=a，∴BDD1B1是正方形．連結(jié)B1D交D1B于P，交EO于Q．∵B1D⊥D1B，EO∥D1B，∴B1D⊥EO．又AC⊥EO，AC⊥ED．∴AC⊥面BDD1B1，∴B1D⊥AC，∴B1D⊥面EAC．∴B1Q是三棱錐B1－EAC的高．——10分由DQ=PQ，得B1Q=B1D=a．∴所以三棱錐B1－EAC的體積是．——12分解法二：連結(jié)B1O，則=2．——10分∵AO⊥面BDD1B1，∴AO是三棱錐A－EOB1的高，AO=a．在正方形BDD1B1中，E、O分別是D1D、DB的中點(如右圖)，則．∴．所以三棱錐B1－EAC的體積是．——12分(23)本小題主要考查等比數(shù)列、對數(shù)計算等基本知識，考查綜合運用數(shù)學(xué)知識和方法解決實際問題的能力．滿分14分．(Ⅰ)解：厚度為α的帶鋼經(jīng)過減薄率均為r0的n對軋輥后厚度為α(1－r0)n．為使輸出帶鋼的厚度不超過β，冷軋機的軋輥數(shù)(以對為單位)應(yīng)滿足α(1－r0)n≤β，即(1－r0)n≤．——4分由于(1－r0)n>0，>0，對上式兩端取對數(shù)，得nlg(1－r0)≤lg．由于lg(1－r0)<0，所以n≥．因此，至少需要安裝不小于的整數(shù)對軋輥．——7分(Ⅱ)解法一：第k對軋輥出口外疵點間距離為軋輥周長，在此處出口的兩疵點間帶鋼的體積為1600·α(1－r)k·寬度(其中r=20%)，而在冷軋機出口處兩疵點間帶鋼的體積為Lk·α(1－r)4·寬度．因?qū)挾认嗟?，且無損耗，由體積相等得1600·α(1－r)k=Lk·α(1－r)4(r=20%)，即Lk=1600·0.8k－4．——10分由此得L3=2000(mm)，L2=2500(mm)，L1=3125(mm)．填表如下軋輥序號k1234疵點間距Lk(mm)3125250020001600解法二：第3對軋輥出口疵點間距為軋輥周長，在此處出口的兩疵點間帶鋼體積與冷軋機出口處兩疵點間帶鋼體積相等，因?qū)挾炔蛔?，?600=L3·(1－0.2)，所以L3==2000(mm)．——10分同理L2==2500(mm)．L1==3125(mm)．填表如下軋輥序號k1234疵點間距Lk(mm)3125250020001600——14分(24)本小題主要考查曲線與方程，直線和圓錐曲線等基礎(chǔ)知識，以及求動點軌跡的基本技能和綜合運用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力．滿分14分．解法一：依題意，記B(－1，b)(b∈R)，則直線OA和OB的方程分別為y=0和y=－bx．設(shè)點C(x，y)，則有0≤x<a，由OC平分∠AOB，知點C到OA、OB距離相等．根據(jù)點到直線的距離公式得．①——4分依題設(shè)，點C在直線AB上，故有