2024-2025學(xué)年港中三模一．選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分．每小題只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求．1.第六代戰(zhàn)斗機(jī)是一種人工智能控制的吸氣式超高音速戰(zhàn)斗機(jī)，此類戰(zhàn)機(jī)速度預(yù)計(jì)可以突破5馬赫，飛行一小時(shí)的距離約為22100000米，將數(shù)據(jù)22100000用科學(xué)記數(shù)法表示時(shí)，正確的是（）A. B. C. D.2.我國古代數(shù)學(xué)的發(fā)展歷史源遠(yuǎn)流長，曾誕生了很多偉大的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)．下列與我國古代數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)相關(guān)的圖形中，既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形的是（）A. B.C. D.3.下列各式計(jì)算正確是（）A. B.C. D.4.2025年是乙已年，其中“乙”是天干，“已”是地支．天干地支紀(jì)年法起源于古代中國的歷法制定，用于記錄年份、月份、日期等時(shí)間單位，由十個(gè)天干和十二個(gè)地支組成．天干包括甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸．地支包括子、丑、寅、卯、辰、已、午、未、申、酉、戌、亥．從“天干”中抽一個(gè)，抽到“乙”的概率是（）A. B. C. D.5.如圖，小茗同學(xué)在物理實(shí)驗(yàn)操作課中觀察光折射現(xiàn)象，發(fā)現(xiàn)水平放置的水杯底部有一束光線從水中射向空氣時(shí)要發(fā)生折射．當(dāng)入射光線和水杯的底面成，折射光線與水杯口平面成時(shí)，的度數(shù)是（）A. B. C. D.6.《九章算術(shù)》中有一道“甲乙持錢”問題，大意如下：甲、乙兩人各有錢，但數(shù)目未知．若甲得到乙錢的一半，則甲有50錢；若乙得到甲錢的三分之二，則乙也有50錢，問甲、乙原有多少錢？設(shè)甲原有錢，乙原有錢，則（）A. B. C. D.7.如圖，在等腰三角形中，，以為直徑作，與，分別相交于點(diǎn)，，點(diǎn)是上一點(diǎn)，，則的長度為（）A. B. C. D.8.已知點(diǎn)，，直線經(jīng)過點(diǎn)．當(dāng)該直線與線段有交點(diǎn)時(shí)，k的取值范圍是（）A.或 B.且C.或 D.或9.如圖，在正方形中，，點(diǎn)M、N分別是邊、上的動(dòng)點(diǎn)，且，連接、交于點(diǎn)E，點(diǎn)F是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接、，則的最小值為（）A. B. C.5 D.10.如圖，一個(gè)容量為的杯子中裝有的水，先將顆相同的小玻璃球放入這個(gè)杯中后，總體積變?yōu)?，接著依次放入個(gè)相同的小鐵塊，直到放入第個(gè)后，發(fā)現(xiàn)有水溢出．若每個(gè)小玻璃球的體積是，每個(gè)小鐵塊的體積是，則（）A.BC.杯子中僅放入個(gè)小鐵塊，水一定會(huì)溢出D.杯子中僅放入個(gè)小玻璃球，水一定不會(huì)溢出二、填空題：本題共5小題，每小題3分，共15分．11.因式分解：________．12.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)I是△ABC的內(nèi)心，∠AIC＝124°，點(diǎn)E在AD的延長線上，則∠CDE的度數(shù)為_____．13.若關(guān)于x的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍為______．14.湖西橋是濟(jì)南大明湖景區(qū)一座拋物線形拱橋，按圖所示建立平面直角坐標(biāo)系，得到拋物線解析式為，正常水位時(shí)水面寬為，當(dāng)水位上升時(shí)水面寬為__________．15.1930年，德國漢堡大學(xué)的學(xué)生考拉茲，曾經(jīng)提出過這樣一個(gè)數(shù)學(xué)猜想：對(duì)于每一個(gè)正整數(shù)，如果它是奇數(shù)，則對(duì)它乘3再加1；如果它是偶數(shù)，則對(duì)它除以2．如此循環(huán)，最終都能夠得到1．這一猜想后來成為著名的“考拉茲猜想”，又稱“奇偶?xì)w一猜想”．雖然這個(gè)結(jié)論在數(shù)學(xué)上還沒有得到證明，但舉例驗(yàn)證都是正確的，例如：取正整數(shù)5，最少經(jīng)過下面5步運(yùn)算可得1，即：．如果正整數(shù)m最少經(jīng)過7步運(yùn)算可得到1，則滿足m的所有的值的和為__________．三、解答題：本題共8個(gè)小題，共75分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．16.（1）計(jì)算：．（2）先化簡，再從，0，1，2中選取一個(gè)適合的數(shù)代入求值．17.隨著科技的發(fā)展，人工智能漸漸走進(jìn)了人們的生活，大大提高了工作效率．特別是“”的問世將人工智能技術(shù)運(yùn)用推向高潮．某科技公司推出甲、乙兩款人工智能學(xué)習(xí)輔導(dǎo)軟件，相關(guān)人員在某學(xué)校開展對(duì)甲、乙兩款人工智能學(xué)習(xí)輔導(dǎo)軟件使用滿意度評(píng)分調(diào)查．測(cè)試成績分為A、B、C、D四個(gè)等級(jí)，其中相應(yīng)等級(jí)的得分依次記為10分、9分、8分、7分．相關(guān)人員隨機(jī)抽取甲、乙兩款學(xué)習(xí)輔導(dǎo)軟件各25份得分?jǐn)?shù)據(jù)，并整理繪制成如下統(tǒng)計(jì)圖表．平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)甲軟件測(cè)試得分9b10乙軟件測(cè)試得分9c根據(jù)以上信息，解答下列問題：（1）將甲軟件測(cè)試得分統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整；（2）_________，_________，；（3）如果是你會(huì)選擇哪種人工智能學(xué)習(xí)軟件？并說明理由．（4）本次調(diào)查中，若有1200名學(xué)生對(duì)甲款人工智能學(xué)習(xí)輔導(dǎo)軟件進(jìn)行了評(píng)分，有1000名學(xué)生對(duì)乙款人工智能學(xué)習(xí)輔導(dǎo)軟件進(jìn)行了評(píng)分，估計(jì)其中對(duì)甲、乙兩款人工智能學(xué)習(xí)輔導(dǎo)軟件測(cè)試評(píng)分為A等級(jí)的學(xué)生總?cè)藬?shù)．18.如圖，在?ABCD中，按下列步驟作圖：①以點(diǎn)B為圓心，以適當(dāng)長為半徑作弧，交AB于點(diǎn)M．交BC于點(diǎn)N；②再分別以點(diǎn)M和點(diǎn)N為圓心，大于MN的長為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)G；③作射線BG交AD于F；④過點(diǎn)A作AE⊥BF交BF于點(diǎn)P，交BC于點(diǎn)E；⑤連接EF，PD．（1）求證：四邊形ABEF是菱形；（2）若AB＝4，AD＝6，∠ABC＝60°，求DP的長．19.綜合與實(shí)踐一天，某校九年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組開展了項(xiàng)目式主題學(xué)習(xí)，具體如下：項(xiàng)目名稱測(cè)量底部無法到達(dá)的物體高度問題情境某校園內(nèi)有一座孔子雕像（如圖1所示），雕像底座的底面是一個(gè)正方形．九年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組利用所學(xué)知識(shí)，測(cè)量這座雕像的高度（含底座的高度）．?dāng)?shù)學(xué)建模如圖2，設(shè)雕像底座的底面是正方形，它的中心為，雕像的頂端為點(diǎn)，過點(diǎn)作底座底面（正方形）的垂線恰好經(jīng)過它的中心，則線段的長即為這座雕像的高度．測(cè)量工具足夠長的卷尺測(cè)角儀測(cè)量步驟該校九年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組提供了下面的測(cè)量方法，并繪制了如圖3所示的測(cè)量示意圖．第一步，數(shù)學(xué)興趣小組用卷尺測(cè)得雕像底座底面（正方形）邊長為米；第二步，數(shù)學(xué)興趣小組用卷尺在雕像底座底面所在平面上取一適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)，使，此時(shí)用卷尺得點(diǎn)到雕像底座底面（正方形）邊的距離（的長）為米；第三步，某同學(xué)繼續(xù)站在E處（表示測(cè)角儀到底座底面所在平面的距離）用測(cè)角儀測(cè)得此時(shí)雕像頂端的仰角為；第四步，用卷尺測(cè)得米．計(jì)算結(jié)果根據(jù)上面的測(cè)量方法，若，，，，求的長（精確到）．參考數(shù)據(jù)：，，．20.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形的頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，反比例函數(shù)的表達(dá)式為．（1）若反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過正方形的中心．①求的值；②若反比例函數(shù)圖象與交于點(diǎn)，連接，，求的面積．（2）若在反比例函數(shù)圖象的上方，且在正方形內(nèi)（不含邊界）只有1個(gè)整點(diǎn)（橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)），則的取值范圍是_____．21.如圖，在中，，以斜邊上的中線為直徑作，與交于點(diǎn)M，與的另一個(gè)交點(diǎn)為E，過M作，垂足為N．（1）求證：是的切線；（2）若的直徑為10，，求的長．22.綜合與探究問題情境：數(shù)學(xué)課上，同學(xué)們以等腰直角三角形為背景，探索圖形運(yùn)動(dòng)變化中元素之間的不變關(guān)系．如圖1，已知中，．點(diǎn)是射線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到線段（點(diǎn)分別是的對(duì)應(yīng)點(diǎn)）．特例分析：（1）創(chuàng)思小組先研究了點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)的情形，如圖2．連接．請(qǐng)判斷此時(shí)線段與的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；深入探究：（2）博聞小組沿著上述思路繼續(xù)探究，他們改變點(diǎn)的位置，提出了如下問題，請(qǐng)你解答：①如圖3，當(dāng)點(diǎn)在線段上，連接，猜想線段與的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，說明理由；②在點(diǎn)沿射線方向運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在某一時(shí)刻使是以為腰的等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出相應(yīng)的兩點(diǎn)間的距離；若不存在，說明理由．23.已知拋物線交軸于，兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，對(duì)稱軸為．（1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）當(dāng)時(shí)，求取值范圍；（3）將拋物線向上平移個(gè)單位長度，平移后的拋物線與直線相交于（點(diǎn)在點(diǎn)的左邊）兩點(diǎn)，若，求的最大值．參考答案一．選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分．每小題只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求．1.C．2.B．3.A．4.B．5.D．6.A7.C8.D9.A．10.．二、填空題：本題共5小題，每小題3分，共15分．11.．12.68°．13.且．14.．15.．三、解答題：本題共8個(gè)小題，共75分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．16.解：（1）原式；（2），∵，，∴，，當(dāng)時(shí)，原式；當(dāng)時(shí)，原式．17.（1）解：相關(guān)人員隨機(jī)抽取甲、乙兩款學(xué)習(xí)輔導(dǎo)軟件各25份得分?jǐn)?shù)據(jù)，∴甲軟件測(cè)試得分中，等級(jí)人數(shù)有：，甲軟件測(cè)試得分統(tǒng)計(jì)圖如下圖為所求：（2）解：甲軟件測(cè)試分?jǐn)?shù)如下：7，8，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，9，9，10，10，10，10，10，10，10，10，10，10，那么中位數(shù)為：9，，由乙軟件測(cè)試得分統(tǒng)計(jì)圖，等級(jí)占比：，，等級(jí)占比最多，乙軟件眾數(shù)為：9，．故答案為：，，；（3）解：會(huì)選擇甲種人工智能學(xué)習(xí)軟件，理由如下；甲、乙兩種人工智能學(xué)習(xí)軟件的中位數(shù)相同，但是甲種人工智能軟件的平均數(shù)和眾數(shù)都要大于乙種人工智能軟件對(duì)應(yīng)的平均數(shù)和眾數(shù)，∴會(huì)選擇甲種人工智能學(xué)習(xí)軟件；（4）解：對(duì)甲款人工智能學(xué)習(xí)輔導(dǎo)軟件評(píng)分為A等級(jí)占比為：，對(duì)甲款人工智能學(xué)習(xí)輔導(dǎo)軟件評(píng)分為A等級(jí)人數(shù)為：（人），對(duì)乙款人工智能學(xué)習(xí)輔導(dǎo)軟件評(píng)分為A等級(jí)的人占比為，對(duì)乙款人工智能學(xué)習(xí)輔導(dǎo)軟件評(píng)分為A等級(jí)人數(shù)為：（人），評(píng)分為A等級(jí)的總?cè)藬?shù)為：（人）．答：估計(jì)甲、乙兩款人工智能學(xué)習(xí)輔導(dǎo)軟件測(cè)試評(píng)分為A等級(jí)的學(xué)生總?cè)藬?shù)800人．18.解：（1）證明：由作圖知BA＝BE，∠ABF＝∠EBF，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠EBF＝∠AFB，∴∠ABF＝∠AFB，∴AB＝AF＝BE，∴四邊形ABEF是平行四邊形，又AB＝BE，∴四邊形ABEF是菱形；（2）解：作PH⊥AD于H，∵四邊形ABEF是菱形，∠ABC＝60°，AB＝4，∴AB＝AF＝4，∠ABF＝∠AFB＝30°，AP⊥BF，∴APAB＝2，∴PH，DH＝5，∴DP2．19.解：，，，點(diǎn)在的垂直平分線上．點(diǎn)是正方形的中心，點(diǎn)在的垂直平分線上，點(diǎn)，，在同一條直線上，米，（米），過點(diǎn)作于點(diǎn)，，，，四邊形是矩形，米，米，在中，，（米），（米）．20.（1）解：①正方形的頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，,，正方形的中心坐標(biāo)為，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過正方形的中心，；②如圖，由題意可得反比例函數(shù)解析式為，當(dāng)時(shí)，可得，解得，經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的解，，，的面積為；（2）解：如圖，將正方形分成9個(gè)邊長為小正方形，根據(jù)題意可得，當(dāng)反比例函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，，當(dāng)反比例函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，，若在反比例函數(shù)圖象的上方，且在正方形內(nèi)（不含邊界）只有1個(gè)整點(diǎn)（橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)），則的取值范圍是，故答案為：．21.（1）證明：連接，如圖1，∵，∴，在中，是斜邊上的中線，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∵過O，∴是的切線；（2）解：連接，，∵是的直徑，∴，，即，，由（1）知：，∴M為的中點(diǎn)，∵，∴，∴，∴在中，，∴．22.解：（1），．證明：線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，．，．，，，四邊形是平行四邊形，，．（2）解：①，．理由：連接，并延長交于點(diǎn)，．線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，，．，，，，．，四邊形是平行四邊形．，②存在；當(dāng)點(diǎn)D在線段上時(shí)，由①知：，，當(dāng)時(shí)，，，即，解得或（不符合題意，舍去）；當(dāng)時(shí)，由①知：，，，，，和重合，故不存在，不符合題意，舍去；當(dāng)點(diǎn)