專(zhuān)題11二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象和性質(zhì)

內(nèi)容導(dǎo)航——預(yù)習(xí)三步曲

第一步：學(xué)

析教材學(xué)知識(shí)：教材精講精析、全方位預(yù)習(xí)

練題型強(qiáng)知識(shí)：X大核心考點(diǎn)精準(zhǔn)練

第二步：記

串知識(shí)識(shí)框架：思維導(dǎo)圖助力掌握知識(shí)框架、學(xué)習(xí)目標(biāo)復(fù)核內(nèi)容掌握

第三步：測(cè)

過(guò)關(guān)測(cè)穩(wěn)提升：小試牛刀檢測(cè)預(yù)習(xí)效果、查漏補(bǔ)缺快速提升

知識(shí)點(diǎn)1、二次函數(shù)yax2bxc(a0)與ya(xh)2k(a0)之間的相互關(guān)系

1.頂點(diǎn)式化成一般式

從函數(shù)解析式y(tǒng)a(xh)2k我們可以直接得到拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)(h，k)，所以我們稱(chēng)ya(xh)2k

為頂點(diǎn)式，將頂點(diǎn)式y(tǒng)a(xh)2k去括號(hào)，合并同類(lèi)項(xiàng)就可化成一般式y(tǒng)ax2bxc．

2.一般式化成頂點(diǎn)式

22

22b2bbb

yaxbxcaxxcaxxc

aa2a2a

2

b4acb2

ax．

2a4a

b4acb2

對(duì)照ya(xh)2k，可知h，k．

2a4a

bb4acb2

∴拋物線(xiàn)yax2bxc的對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x，頂點(diǎn)坐標(biāo)是,．

2a2a4a

方法歸納：

bb4acb2

1．拋物線(xiàn)yax2bxc的對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x，頂點(diǎn)坐標(biāo)是,，可以當(dāng)作公式

2a2a4a

加以記憶和運(yùn)用．

2．求拋物線(xiàn)yax2bxc的對(duì)稱(chēng)軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)通常用三種方法：配方法、公式法、代入法，這三種

方法都有各自的優(yōu)缺點(diǎn)，應(yīng)根據(jù)實(shí)際靈活選擇和運(yùn)用．

【課前熱身】

1．（24-25九年級(jí)上·海南省直轄縣級(jí)單位·期中）求二次函數(shù)y2x28x6的對(duì)稱(chēng)軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)和最值．

2．（24-25九年級(jí)上·吉林·期中）已知二次函數(shù)yx24x3．

2

(1)用配方法將其化為yaxhk的形式；

(2)寫(xiě)出拋物線(xiàn)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的坐標(biāo)．

知識(shí)點(diǎn)2、二次函數(shù)yax2bxc(a0)的圖象的畫(huà)法

1.一般方法：列表、描點(diǎn)、連線(xiàn)；

2.簡(jiǎn)易畫(huà)法：五點(diǎn)定形法.

其步驟為：

(1)先根據(jù)函數(shù)解析式，求出頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱(chēng)軸，在直角坐標(biāo)系中描出頂點(diǎn)M，并用虛線(xiàn)畫(huà)出對(duì)稱(chēng)軸．

(2)求拋物線(xiàn)yax2bxc與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，

當(dāng)拋物線(xiàn)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，描出這兩個(gè)交點(diǎn)A、B及拋物線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)C，再找到點(diǎn)C關(guān)于對(duì)稱(chēng)

軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D，將A、B、C、D及M這五個(gè)點(diǎn)按從左到右的順序用平滑曲線(xiàn)連結(jié)起來(lái)．

方法歸納：

當(dāng)拋物線(xiàn)與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)或無(wú)交點(diǎn)時(shí)，描出拋物線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)C及對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D，由C、M、D三點(diǎn)可

粗略地畫(huà)出二次函數(shù)圖象的草圖；如果需要畫(huà)出比較精確的圖象，可再描出一對(duì)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A、B，然后順次用

平滑曲線(xiàn)連結(jié)五點(diǎn)，畫(huà)出二次函數(shù)的圖象

【課前熱身】

1．（21-22九年級(jí)上·陜西渭南·階段練習(xí)）已知二次函數(shù)的解析式

yx22x3，補(bǔ)充下表，并根據(jù)表中的數(shù)據(jù)在如圖所示的平面直角坐

標(biāo)系中，利用描點(diǎn)法畫(huà)出這個(gè)二次函數(shù)的示意圖．

2．（22-23九年級(jí)上·北京東城·期末）已知二次函數(shù)yax2bxc部分自

變量x與函數(shù)值y的對(duì)應(yīng)值如下表所示：

(1)求二次函數(shù)解析式；

(2)在平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出二次函數(shù)的圖象；

(3)當(dāng)3x2時(shí)，y的取值范圍是____________．

知識(shí)點(diǎn)3、二次函數(shù)yax2bxc(a0)的圖象與性質(zhì)

1.二次函數(shù)yax2bxc(a0)圖象與性質(zhì)

2.二次函數(shù)yax2bxc(a0)圖象的特征與a、b、c及b2-4ac的符號(hào)之間的關(guān)系

項(xiàng)目

字母的符號(hào)圖象的特征

字母

a＞0開(kāi)口向上

a

a＜0開(kāi)口向下

ab＞0(a，b同號(hào))對(duì)稱(chēng)軸在y軸左側(cè)

b

ab＜0(a，b異號(hào))對(duì)稱(chēng)軸在y軸右側(cè)

c=0圖象過(guò)原點(diǎn)

cc＞0與y軸正半軸相交

c＜0與y軸負(fù)半軸相交

b2-4ac=0與x軸有唯一交點(diǎn)

b2-4acb2-4ac＞0與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)

b2-4ac＜0與x軸沒(méi)有交點(diǎn)

【課前熱身】

1．（2025·黑龍江佳木斯·二模）已知二次函數(shù)yax2bxc的圖象如圖所示，則下

列結(jié)論正確的是（）

A．a(chǎn)0B．b0C．c0D．b24ac0

2．（24-25九年級(jí)下·廣東汕頭·階段練習(xí)）若拋物線(xiàn)y2x24xc經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,m)和點(diǎn)B(3,n)，試比較m與

n的大小．

3．（23-24九年級(jí)上·河南周口·階段練習(xí)）如圖，已知拋物線(xiàn)yx2mxn過(guò)點(diǎn)A與B2，0，與y軸交于

點(diǎn)C0，2．點(diǎn)D在拋物線(xiàn)上，且與點(diǎn)C關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸l對(duì)稱(chēng)．

(1)求該拋物線(xiàn)的函數(shù)關(guān)系式和對(duì)稱(chēng)軸；

(2)求△BCD的面積．

知識(shí)4、求二次函數(shù)yax2bxc(a0)的最大（?。┲档姆椒?/p>

b

如果自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，那么函數(shù)在頂點(diǎn)處取得最大（或最小）值，即當(dāng)x時(shí)，

2a

4acb2

y最值．

4a

要點(diǎn)歸納：

b

如果自變量的取值范圍是x1≤x≤x2，那么首先要看是否在自變量的取值范圍x1≤x≤x2內(nèi)，若在

2a

b4acb2

此范圍內(nèi)，則當(dāng)x時(shí)，y最值，若不在此范圍內(nèi)，則需要考慮函數(shù)在x1≤x≤x2范圍內(nèi)的

2a4a

2

增減性，如果在此范圍內(nèi)，y隨x的增大而增大，則當(dāng)x＝x2時(shí)，y最大值ax2bx2c；當(dāng)x＝x1時(shí)，

2，如果在此范圍內(nèi)，y隨x的增大而減小，則當(dāng)x＝x時(shí)，2；當(dāng)

y最小值ax1bx1c1y最大值=ax1+bx1+c

2b

x＝x2時(shí)，y=ax+bx+c，如果在此范圍內(nèi)，y值有增有減，則需考察x＝x1，x＝x2，x時(shí)y

最小值222a

值的情況．

【課前熱身】

1．（2025·遼寧撫順·二模）二次函數(shù)yx24x1的最小值是（）

A．3B．3C．5D．5

2．（24-25九年級(jí)下·天津和平·開(kāi)學(xué)考試）二次函數(shù)yx22x4的圖象開(kāi)口向，頂點(diǎn)坐標(biāo)，

當(dāng)3x2時(shí)y的取值范圍的是．

3．（24-25九年級(jí)上·河南平頂山·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)yax2bxc經(jīng)過(guò)點(diǎn)

A(0,3),B(1,2),C(2,9)點(diǎn)．

(1)求該拋物線(xiàn)的解析式；

(2)若(5,n),(m,n)是拋物線(xiàn)上不同的兩點(diǎn)，求m的值；

(3)當(dāng)3≤x≤3時(shí)，直接寫(xiě)出y的取值范圍：．

【類(lèi)型1】把y=ax2+bx+c配成頂點(diǎn)式

111

1．（2025·貴州遵義·模擬預(yù)測(cè)）二次函數(shù)yx2x的頂點(diǎn)在第________象限？

248

A．一B．二C．三D．四

2．（23-24九年級(jí)上·安徽亳州·階段練習(xí)）用配方法求二次函數(shù)y2x28x7的頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱(chēng)軸．

3．（2025·浙江杭州·一模）在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)yx2k2xk（k為常數(shù)）圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是

h,m．

(1)判斷點(diǎn)(1,-1)是否在該函數(shù)的圖象上，并說(shuō)明理由．

1

(2)求證：hm．

4

【類(lèi)型2】畫(huà)y=ax2+bx+c的圖象

4．（24-25九年級(jí)上·山西臨汾·期末）已知二次函數(shù)yx24x3．

(1)該二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是_____________、_____________，頂點(diǎn)坐標(biāo)是_____________；

(2)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，畫(huà)出二次函數(shù)yx24x3的大致圖象；

(3)當(dāng)1x4時(shí)，結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫(xiě)出y的取值范圍_____________．

5．（24-25九年級(jí)上·北京·期中）已知二次函數(shù)yax2bxca0的圖象過(guò)點(diǎn)A0,3，B2,3，C1,0．

(1)求該拋物線(xiàn)的表達(dá)式；

(2)補(bǔ)全表格，畫(huà)出二次函數(shù)的圖象；

x……

y……

(3)關(guān)于該二次函數(shù)，下列說(shuō)法正確的有______．

①圖象開(kāi)口朝下，頂點(diǎn)為1,4；

②當(dāng)x1時(shí)，y隨x增大而減?。?/p>

③當(dāng)0x3時(shí)，y的取值范圍為0y4；

④圖象與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)所形成的三角形面積為6．

【類(lèi)型3】二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象問(wèn)題

6．（2025·陜西·一模）關(guān)于x的二次函數(shù)yax22axa1（其中a1）的圖象可能是（）

A．B．C．D．

7．（2025·安徽六安·三模）如圖，拋物線(xiàn)yx22x2m（m為常數(shù)）與x

軸交于點(diǎn)A，B，與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C，若當(dāng)xn時(shí)，y0，那么關(guān)于x的

一次函數(shù)ymxn2的圖象可能是（）

A．B．C．D．

8．（24-25九年級(jí)上·陜西渭南·期中）如圖，已知拋物線(xiàn)yax2bxa0經(jīng)過(guò)A3,0，B4,4兩點(diǎn)．

(1)求拋物線(xiàn)的解析式；

2

(2)點(diǎn)C在拋物線(xiàn)yaxbxa0上，且在對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)，若點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為2，求點(diǎn)C到y(tǒng)軸的距離．

【類(lèi)型4】關(guān)于y=ax2+bx+c性質(zhì)的敘述

9．（2025·廣東梅州·二模）對(duì)于二次函數(shù)yx22x4，下列說(shuō)法正確的是()

A．當(dāng)x0，

y隨x的增大而減小B．當(dāng)x1時(shí)，y有最大值3

C．圖像的頂點(diǎn)1,3D．圖像與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)

1

10．（2025·陜西商洛·三模）已知二次函數(shù)yax22x（a為常數(shù)，且a0），下列結(jié)論中正確的是（）

2

A．對(duì)稱(chēng)軸在y軸左側(cè)B．當(dāng)x0時(shí)，y隨x的增大而增大

C．圖象一定不經(jīng)過(guò)第三象限D(zhuǎn)．圖象與x軸一定有兩個(gè)交點(diǎn)

2x,y

11．（2025·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線(xiàn)yaxbx3a0經(jīng)過(guò)點(diǎn)4,3，點(diǎn)11，x2,y2在此

拋物線(xiàn)上，當(dāng)3x12，1x20時(shí)，y1y20恒成立，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

A．拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x2

B．拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)0,3

C．拋物線(xiàn)開(kāi)口向上

3

D．拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為2,

2

【類(lèi)型5】二次函數(shù)y=ax2+bx+c的對(duì)稱(chēng)性

12．（24-25九年級(jí)上·福建廈門(mén)·期中）二次函數(shù)yax2bxc的圖象上有兩點(diǎn)(3,4)和(5,4)，則此拋物

線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)（）

A．x1B．x1C．x2D．x3

13．（2025·山東濱州·二模）已知拋物線(xiàn)yax2bxc上部分點(diǎn)的橫坐標(biāo)x與縱坐標(biāo)y的對(duì)應(yīng)值如表：

x10123

y301m3

①拋物線(xiàn)開(kāi)口向上；②拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x1；③m的值為1；④圖象經(jīng)過(guò)一、二、四象限；⑤拋物

線(xiàn)在y軸左側(cè)的部分是上升的．上述結(jié)論中正確的是（）

A．①②④B．①②⑤C．②③④D．③④⑤

14．（22-23九年級(jí)上·浙江杭州·階段練習(xí)）已知二次函數(shù)yax2bxc自變量x與函數(shù)值y之間滿(mǎn)足下列

數(shù)量關(guān)系：則代數(shù)式abc的值等于．

x…0123…

y…3139…

【類(lèi)型6】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式

15．（24-25九年級(jí)上·云南紅河·期中）求下列拋物線(xiàn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式：

(1)頂點(diǎn)在原點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)(1,-1)；

(2)過(guò)點(diǎn)1,3，1,3，2,6；

(3)過(guò)點(diǎn)1,0，3,0，1,5；

(4)當(dāng)x4時(shí)，函數(shù)值y取得最小值為1，且此函數(shù)圖象與y軸交于點(diǎn)0,3．

2

16．（24-25九年級(jí)上·浙江杭州·階段練習(xí)）在直角坐標(biāo)系中，設(shè)函數(shù)y1axbxa（a，b是常數(shù)，a0）．

(1)已知函數(shù)y1的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)1,2和2,1，求函數(shù)y1的表達(dá)式．

(2)若函數(shù)y1圖象的頂點(diǎn)在函數(shù)y22ax的圖象上，求證：b2a．

17．（24-25九年級(jí)上·廣東廣州·階段練習(xí)）已知二次函數(shù)yax2bxc（a，b，c均為常數(shù)且a0）．

(1)若該函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)A(1,0)，點(diǎn)B(3,0)和點(diǎn)C(0,3)，求二次函數(shù)表達(dá)式；

(2)若b2a1，c2，且無(wú)論a取任何實(shí)數(shù)，該函數(shù)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)．

【類(lèi)型7】二次函數(shù)y=ax2+bx+c的平移問(wèn)題

18．（23-24九年級(jí)上·山東淄博·期中）已知二次函數(shù)yx2mxn．

(1)請(qǐng)利用配方法推導(dǎo)出它的對(duì)稱(chēng)軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)如果將該二次函數(shù)向右平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位，平移后的函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為y軸，求m的值．

2

19．（23-24九年級(jí)上·北京海淀·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線(xiàn)yax31經(jīng)過(guò)點(diǎn)4，2．

(1)求該拋物線(xiàn)的表達(dá)式；

(2)將該拋物線(xiàn)向上平移______個(gè)單位后，所得拋物線(xiàn)與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)．

33

20．（2025·河北邢臺(tái)·二模）如圖，已知拋物線(xiàn)L:yx2ax的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A2,，交y軸于點(diǎn)B．

22

(1)求a的值和拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)延長(zhǎng)AB至點(diǎn)C，使AB:BC1:1．若將拋物線(xiàn)L平移后恰好經(jīng)過(guò)A，C兩點(diǎn)，求平移的最短路程．

【類(lèi)型8】二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與系數(shù)之間關(guān)系

21．（2025·廣東清遠(yuǎn)·二模）如圖，二次函數(shù)yax2bxca0的圖象與x軸交

于點(diǎn)A3,0，與y軸交于點(diǎn)B，對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x1，下列四個(gè)結(jié)論：①該圖象經(jīng)過(guò)

點(diǎn)1,0；②bc0；③abc0；④2ab0，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）

A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)

22．（2025·山東青島·模擬預(yù)測(cè)）如圖，二次函數(shù)yax2bxc(a0)圖象的一部分與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)

為(1,0)，對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x1，結(jié)合圖象給出下列結(jié)論：

2

①abc0；②9a3bc0；③abambm（m為任意實(shí)數(shù)）；④若點(diǎn)x1,y1，x2,y2，均在二次函

數(shù)圖像上，且滿(mǎn)足x11x21，則y1y2；

其中正確的結(jié)論有．

【類(lèi)型9】二次函數(shù)y=ax2+bx+c的最值問(wèn)題

23．（2025·河南平頂山·二模）已知二次函數(shù)yax22ax2a0.

(1)若該二次函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)4,9，求a的值．

(2)請(qǐng)直接寫(xiě)出此拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸．

(3)當(dāng)0x3時(shí)，y的最大值是6，求a的值．

24．（2025·安徽淮北·三模）已知拋物線(xiàn)L：yax2bxc的系數(shù)a，b，c滿(mǎn)足等式abc1a0．

(1)若拋物線(xiàn)L經(jīng)過(guò)點(diǎn)A1,n，求n的值．

(2)若a1，拋物線(xiàn)L還經(jīng)過(guò)另一點(diǎn)Bm,1，且0m1．

①求b的取值范圍．

②記拋物線(xiàn)L的頂點(diǎn)縱標(biāo)為t，求t的最小值．

25．（2025·山東聊城·三模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線(xiàn)yx24mx5．

1

(1)若拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x，求頂點(diǎn)坐標(biāo)；

2

,

(2)已知Mx1,y1，Nx2y2是拋物線(xiàn)上兩點(diǎn)，當(dāng)x1x24且x1x2時(shí)．都有y1y2，求m的取值范圍；

(3)當(dāng)1x2時(shí)，二次函數(shù)的最大值與最小值的差為4，求m的值．

【類(lèi)型10】二次函數(shù)y=ax2+bx+c性質(zhì)的推理計(jì)算與證明

x,yx,y

26．（2025·北京海淀·三模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)11，22，x3,y3在拋物線(xiàn)

yax22a2x(a0)上．

(1)判斷此拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由；

(2)已知對(duì)于a3x1a1，2x24，x38，總有y1y2，求y3的取值范圍．

27．（24-25九年級(jí)下·安徽池州·期中）已知二次函數(shù)yx2bx2．

(1)若二次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)2,0，求二次函數(shù)圖象與x軸的另外一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)．

(2)若當(dāng)自變量x取任意實(shí)數(shù)時(shí)，總有對(duì)應(yīng)的函數(shù)值ym，求m的取值范圍（用含有b的式子表示）．

(3)當(dāng)tyh時(shí)，1x3，求h和b的值及t的取值范圍．

28．（2025·浙江杭州·三模）已知二次函數(shù)yx24x的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)比二次函數(shù)yx2ax（a為常數(shù)）

的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)大1．

(1)求a的值；

(2)二次函數(shù)yx2ax（a為常數(shù)）的圖象是否可以由yx24x平移得到？如果可以，請(qǐng)說(shuō)出平移方案；

如果不可以，請(qǐng)說(shuō)明理由．

22

(3)設(shè)點(diǎn)A(x1,y1)在拋物線(xiàn)yx4x上，點(diǎn)Bx1m,y1n在拋物線(xiàn)yxax上．若n3m，且x10，

m0，求n的值；

【類(lèi)型11】二次函數(shù)y=ax2+bx+c與公共點(diǎn)的計(jì)算與證明

29．（2025·安徽阜陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知在平面直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)ykx3經(jīng)過(guò)點(diǎn)2,5，與拋物線(xiàn)

5

yx2bxc的對(duì)稱(chēng)軸交于點(diǎn)n,．

2

(1)求k，b的值；

222

(2)若拋物線(xiàn)yxbxc與x軸交于x1,0，x2,0且2x2x19，令hx13x2，求h的最大值；

(3)當(dāng)1x2時(shí)，拋物線(xiàn)yx2bxc與直線(xiàn)ykx3有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求c的取值范圍．

30．（2025·江蘇鹽城·一模）點(diǎn)Am,0和點(diǎn)B2m,nm0在二次函數(shù)yax2bxca0圖象上，

(1)當(dāng)n0時(shí)，m1時(shí)

①求證：c0；

②已知點(diǎn)M3,5和點(diǎn)N1,3，若二次函數(shù)yax2bxca0

的圖象與線(xiàn)段MN只有一個(gè)交點(diǎn)，求a的取值范圍；

(2)當(dāng)n1時(shí)，求證：2b2ac0．

【類(lèi)型12】二次函數(shù)y=ax2+bx+c的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題

31．（2025·陜西榆林·三模）冬暖夏涼的黃土窯洞藏著四千年的智慧，

高窗與厚土交織出天人合一的居住哲學(xué)．如圖1所示的窯洞，其下部

近似為矩形OCAB（圖2），上部近似為一條拋物線(xiàn)．已知AC4米，

AB2.5米，窯洞的最高點(diǎn)P（拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)）離地面AC的距離為4

米．以O(shè)B所在直線(xiàn)為x軸，OC所在直線(xiàn)為y軸建立平面直角坐標(biāo)系．

(1)求拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式；

(2)若在窯洞的上部安裝兩根窗框DG、EF，點(diǎn)D、E在矩形OCAB的

邊BO上，點(diǎn)F、G在拋物線(xiàn)上，點(diǎn)D與點(diǎn)E恰好是OB的三等分點(diǎn)（點(diǎn)D在點(diǎn)E的左側(cè)），求這兩根窗框

的總長(zhǎng)度DGEF．

32．（2025·河北邢臺(tái)·三模）“投壺”是古人宴會(huì)時(shí)的一種娛樂(lè)游戲，參與者需站在一定距離外，將箭矢投入

壺中，以投入的數(shù)量和方式計(jì)算得分．嘉嘉體驗(yàn)了投壺游戲后作出示意圖如圖1，以投壺者所站位置為原點(diǎn)，

地面為x軸，1dm為1個(gè)單位長(zhǎng)度建立平面直角坐標(biāo)系，投擲過(guò)程中箭矢前端點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑可看作拋物線(xiàn)

2

yaxhk的一部分，點(diǎn)P從點(diǎn)Mm,n處出手(m2)，矩形ABCD為壺，OA20dm，AB5dm，

BC1dm．

1

(1)如圖1，a，若點(diǎn)M為拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)，m6，且拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)N16,9．

20

①求拋物線(xiàn)的解析式；

②若點(diǎn)P最終落在A(yíng)B上，求此時(shí)BP的長(zhǎng)；

③豎直提高點(diǎn)P的出手位置（點(diǎn)M），使點(diǎn)P落在BC上（不含邊界），求n的取值范圍．

(2)如圖2，調(diào)整出手的力度和角度，使拋物線(xiàn)在點(diǎn)Qm4,n1處到達(dá)最高點(diǎn)．若點(diǎn)P經(jīng)過(guò)點(diǎn)B正上方2dm

處，直接寫(xiě)出點(diǎn)P在點(diǎn)C正上方的距離（用含m的式子表示）．

【類(lèi)型13】二次函數(shù)y=ax2+bx+c與幾何綜合問(wèn)題

2

33．（2025·安徽宿州·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線(xiàn)yxbxc與x軸交于A(yíng)x1,0，Bx2,0兩點(diǎn)x1x2，

與y軸交于點(diǎn)C0,3，對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x1．

(1)求拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式．

(2)點(diǎn)P在直線(xiàn)AC上方的拋物線(xiàn)上，PDy軸，交直線(xiàn)AC于點(diǎn)D，求線(xiàn)段PD的最大值．

(3)拋物線(xiàn)上是否存在一點(diǎn)Q，使得△QBC的面積等于3？若存在，求出點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)q的值；若不存在，

請(qǐng)說(shuō)明理由．

34．（24-25九年級(jí)下·福建漳州·期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線(xiàn)yax2bx2a0交x

軸于A(yíng)1,0，B4,0兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，直線(xiàn)BC交拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)D，P為x軸下方拋物線(xiàn)上一點(diǎn)．

(1)求拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式；

(2)直線(xiàn)AP，BP分別交對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)M，N，當(dāng)點(diǎn)M，N均在點(diǎn)D的下方時(shí)，求證：DMDN為定值．

35．（2025·山東東營(yíng)·三模）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)yx2bxc與x軸交于點(diǎn)A，B，與y軸交于

點(diǎn)C，且點(diǎn)A坐標(biāo)為5，0，點(diǎn)B坐標(biāo)為1，0．

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)如圖1，若點(diǎn)P是第二象限內(nèi)拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線(xiàn)AC距離的最大值；

(3)如圖2，若點(diǎn)M是拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，點(diǎn)N是拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)M使以A、C、M、N為頂

點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

一、單選題

1．（24-25九年級(jí)上·廣東廣州·期中）二次函數(shù)yx2bxc的圖象過(guò)A3,1，B5,1兩點(diǎn)，則此拋物線(xiàn)的

對(duì)稱(chēng)軸是（）

A．直線(xiàn)x1B．直線(xiàn)x3C．直線(xiàn)x4D．直線(xiàn)x5

2

2．（2025·安徽滁州·一模）已知二次函數(shù)yx4kxkk0的圖像經(jīng)過(guò)Ak,y1，B4k,y2兩點(diǎn)，則

下列判斷中正確的是（）

A．存在實(shí)數(shù)k，使得y1kB．存在實(shí)數(shù)k，使得y20

C．無(wú)論實(shí)數(shù)k為何值，都有y1kD．無(wú)論實(shí)數(shù)k為何值，都有y20

3．（2025·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）已知二次函數(shù)yxa3xa，點(diǎn)A1,y1，Bx2,y2均在該二次函

數(shù)圖象上．若y1y2，則x2的取值范圍為（）

A．4x21B．1x24C．4x26D．6x28

4．（2025·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）已知二次函數(shù)yax24axca0，當(dāng)x1時(shí)，y隨x的增大而增大，

、

點(diǎn)Ax1,y1Bx2,y2在該函數(shù)圖象上，若x1x21，x1x2，則y1與y2的大小關(guān)系是（）

A．y1y2B．y1y2C．y1y2D．無(wú)法判斷

5．（2025·四川南充·中考真題）已知某函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，當(dāng)0x2時(shí)，yx22x；當(dāng)x2時(shí)，

y2x4．若直線(xiàn)yxb與這個(gè)函數(shù)圖象有且僅有四個(gè)不同交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)b的范圍是（）

191

A．b0B．b

444

11

C．b0D．b或b0

44

6．（24-25九年級(jí)下·陜西西安·期中）已知二次函數(shù)yax22axa3a1的圖象經(jīng)過(guò)四個(gè)象限，則a的

值可以是（）

A．2B．3C．4D．6

7．（2025·四川廣安·中考真題）如圖，二次函數(shù)yax2bxc（a，b，c為常數(shù)，a0）

的圖象交x軸于A(yíng)，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)是1,0，點(diǎn)B的坐標(biāo)是n,0，有下列結(jié)論：

2

①abc0；②4ac2b；③關(guān)于x的方程axbxc0的解是x11，x2n；

bn1

④．其中正確的有（）

2a2

A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)

8．（2025·湖南·模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，當(dāng)且僅當(dāng)某點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)數(shù)值完全一致時(shí)，該點(diǎn)被定義

49

為“完美點(diǎn)”．如若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)相等，則稱(chēng)點(diǎn)P為“完美點(diǎn)”，已知二次函數(shù)yax28x(a是

4

常數(shù)，a0)的圖象上有且只有一個(gè)“完美點(diǎn)”，且當(dāng)0xm時(shí)，函數(shù)yax28x9的最小值為9，最大

值為7，則m的取值范圍是（）

A．1m4B．4m6C．4m8D．m4

二、填空題

2

9．（24-25九年級(jí)上·內(nèi)蒙古烏?！て谀┯门浞椒▽3x26x寫(xiě)成yaxhk的形式是．

10．（24-25九年級(jí)上·河南信陽(yáng)·期末）若二次函數(shù)ymx2xmm1的圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，則m的值

為．

211、、、、1、

11．（2025·貴州遵義·模擬預(yù)測(cè)）已知二次函數(shù)yxxm、且有Ay1B1y2Cy3、

242

、

則y1y2、y3按從大到小的順序排列為．

12．（2025·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)yax22axa0，點(diǎn)A為拋物線(xiàn)的頂

點(diǎn)，點(diǎn)