專題20點(diǎn)與圓的位置關(guān)系（9大類型精準(zhǔn)練+過關(guān)檢測）

內(nèi)容導(dǎo)航——預(yù)習(xí)三步曲

第一步：學(xué)

析教材學(xué)知識：教材精講精析、全方位預(yù)習(xí)

練題型強(qiáng)知識：9大核心考點(diǎn)精準(zhǔn)練

第二步：記

串知識識框架：思維導(dǎo)圖助力掌握知識框架、學(xué)習(xí)目標(biāo)復(fù)核內(nèi)容掌握

第三步：測

過關(guān)測穩(wěn)提升：小試牛刀檢測預(yù)習(xí)效果、查漏補(bǔ)缺快速提升

知識點(diǎn)1.點(diǎn)和圓的位置關(guān)系

（1）點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有3種．設(shè)O的半徑為r，點(diǎn)P到圓心的距離OP＝d，則有：

①點(diǎn)P在圓外d＞r⊙

②點(diǎn)P在圓上?d＝r

①點(diǎn)P在圓內(nèi)?d＜r

（2）點(diǎn)的位置?可以確定該點(diǎn)到圓心距離與半徑的關(guān)系，反過來已知點(diǎn)到圓心距離與半徑的關(guān)系可以確定該

點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．

（3）符號“”讀作“等價(jià)于”，它表示從符號“”的左端可以得到右端，從右端也可以得到左端．

知識點(diǎn)2.圓?的確定條件?

不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓．

要點(diǎn)歸納：這里的“三個(gè)點(diǎn)”不是任意的三點(diǎn)，而是不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)，而在同一直線上的三個(gè)

點(diǎn)不能畫一個(gè)圓．“確定”一詞應(yīng)理解為“有且只有”，即過不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)有且只有一個(gè)圓，

過一點(diǎn)可畫無數(shù)個(gè)圓，過兩點(diǎn)也能畫無數(shù)個(gè)圓，過不在同一條直線上的三點(diǎn)能畫且只能畫一個(gè)圓．

方法總結(jié)：破“鏡”重圓問題一確定圓心的方法

對于已知圓上的某段孤，作出全部圓的問題，實(shí)質(zhì)上屬于確定圓心的問題.解決此類問題的方法是在圓

孤上任意找三，點(diǎn)，形成兩條線段，則這兩條線段垂直平分線的交點(diǎn)就是圓心，圓心到圓孤上任意點(diǎn)的距

離就是半徑圓心和半徑確定了，圓就可以輕松畫出來了：

知識點(diǎn)3.三角形的外接圓

（1）外接圓：經(jīng)過三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的圓，叫做三角形的外接圓．

（2）外心：三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的外心．

1

（3）概念說明：

①“接”是說明三角形的頂點(diǎn)在圓上，或者經(jīng)過三角形的三個(gè)頂點(diǎn)．

②銳角三角形的外心在三角形的內(nèi)部；直角三角形的外心為直角三角形斜邊的中點(diǎn)；鈍角三角形的外心在

三角形的外部．

③找一個(gè)三角形的外心，就是找一個(gè)三角形的三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)，三角形的外接圓只有一個(gè)，而

一個(gè)圓的內(nèi)接三角形卻有無數(shù)個(gè)．

知識點(diǎn)4.反證法

1.反證法

假設(shè)命題的結(jié)論不成立,由此經(jīng)過推理得出矛盾,由矛盾斷定所作假設(shè)不正確,從而得到原命

題成立.這種方法叫做反證法.反證法是一種間接證明命題的方法.

2.用反證法證明命題的一般步驟

(1)假設(shè)命題的結(jié)論不成立;

(2)從這個(gè)假設(shè)出發(fā),經(jīng)過推理論證,得出矛盾

(3)由矛盾判定假設(shè)不正確,從而肯定原命題的結(jié)論正確

【類型1】點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

1．（2025·廣東廣州·二模）已知等邊三角形ABC的三個(gè)頂點(diǎn)均在O上，BC3，O所在的平面內(nèi)有一

點(diǎn)P，若OP1，則點(diǎn)P與O的位置關(guān)系是（）

A．點(diǎn)P在O上B．點(diǎn)P在O內(nèi)C．點(diǎn)P在O外D．無法確定

【答案】B

【分析】本題主要考查點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，等邊三角形的性質(zhì)、三角函數(shù)及垂徑定理，熟練掌握點(diǎn)與圓的

位置關(guān)系，等邊三角形的性質(zhì)、三角函數(shù)及垂徑定理是解題的關(guān)鍵；過點(diǎn)O作ODBC于點(diǎn)D，連接OB,OC，

13OB

由題意易得BDCDBC，BODCOD，然后可得OB3，進(jìn)而問題可求解．

22sinBOD

【詳解】解：如圖，過點(diǎn)O作ODBC于點(diǎn)D，連接OB,OC，

2

13

∴BDCDBC，BODCOD，

22

∵VABC是等邊三角形，

∴A60，

∴BOC2A120，

∴BODCOD60，

OB

∴OB3，

sinBOD

∵OP13，

∴點(diǎn)P在O內(nèi)；

故選B．

2．（2025·云南·中考真題）已知O的半徑為5cm，若點(diǎn)P在O上，則點(diǎn)P到圓心O的距離為cm．

【答案】5

【分析】本題考查了點(diǎn)和圓的位置關(guān)系，根據(jù)點(diǎn)到圓心的距離和圓的半徑之間的數(shù)量關(guān)系，即可判斷點(diǎn)和

圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是理解設(shè)點(diǎn)到圓心的距離為d，圓的半徑為r，若點(diǎn)在圓外，則d>r時(shí)，當(dāng)點(diǎn)

在圓上時(shí)，則dr時(shí)；當(dāng)點(diǎn)在圓內(nèi)時(shí)，則dr．

【詳解】解：∵點(diǎn)P在O上，

∴點(diǎn)P到圓心O的距離為5cm，

故答案為：5．

3．（24-25九年級上·江蘇無錫·期中）O的直徑為8cm，點(diǎn)P到圓心O的距離為5cm，點(diǎn)P與O的位置

關(guān)系是．

【答案】點(diǎn)P在O外

【分析】本題主要考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．若點(diǎn)與圓心的距離d，圓的半徑為r，則當(dāng)d>r時(shí)，點(diǎn)在圓

外；當(dāng)dr時(shí)，點(diǎn)在圓上；當(dāng)dr時(shí)，點(diǎn)在圓內(nèi)，據(jù)此求解即可．

【詳解】解：∵O的直徑為8cm，

∴O的半徑為4cm，

∵點(diǎn)P到圓心O的距離為5cm，4<5，

∴點(diǎn)P與O的位置關(guān)系是點(diǎn)P在O外．

故答案為：點(diǎn)P在O外．

3

4．（24-25九年級上·江蘇鹽城·階段練習(xí)）設(shè)O的半徑為2，點(diǎn)P到圓心的距離OPm，且m使關(guān)于x

的方程2x222xm10有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，試確定點(diǎn)P與O的位置關(guān)系．

【答案】點(diǎn)P在O內(nèi)

【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系兩個(gè)知識點(diǎn)；先由一元二次方程根的判

別式確定出m的范圍，再與半徑比較即可判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．

【詳解】解：∵m使關(guān)于x的方程2x222xm10有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

∴(22)242(m1)0，

解得：m2，

∵圓的半徑為2，

∴點(diǎn)P在O內(nèi)．

【類型2】已知點(diǎn)與圓的位置關(guān)系求半徑

5．（23-24九年級上·海南省直轄縣級單位·期末）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，以原點(diǎn)O為圓心，5為半徑作O，

已知A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A3，4，B3，3，C4，10．試判斷A、B、C三點(diǎn)與O的位置關(guān)

系．

【答案】點(diǎn)A在O上，點(diǎn)B在O內(nèi)，點(diǎn)C在O外

【分析】本題考查了平面內(nèi)兩點(diǎn)之間的距離、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，先根據(jù)平面內(nèi)兩點(diǎn)之間的距離公式求出OA、

OB、OC的長度，再與半徑進(jìn)行比較，即可得出答案．

2

【詳解】解：∵OA32425，OB(3)2(3)2325，OC4210265，

∴點(diǎn)A在O上，點(diǎn)B在O內(nèi)，點(diǎn)C在O外．

6．（24-25九年級上·陜西延安·期末）點(diǎn)P到圓心O的距離為7，若點(diǎn)P在圓O內(nèi)，則圓O的半徑r滿足

（）

A．0r7B．0r7C．r7D．r7

【答案】C

【分析】本題考查對點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判斷．解題的關(guān)鍵：要確定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，主要確定點(diǎn)與圓

心的距離與半徑的大小關(guān)系，若點(diǎn)到圓心的距離為d，圓的半徑r，則d>r時(shí)，點(diǎn)在圓外；當(dāng)dr時(shí)，點(diǎn)

在圓上；當(dāng)dr時(shí)，點(diǎn)在圓內(nèi)，反過來與成立．據(jù)此解答即可．

【詳解】解：∵點(diǎn)P到圓心O的距離為7，點(diǎn)P在圓O內(nèi)，

∴OPr，即r7．

故選：C．

7．（24-25九年級上·浙江杭州·期末）數(shù)軸上有點(diǎn)A、點(diǎn)B，點(diǎn)A表示實(shí)數(shù)6，點(diǎn)B表示實(shí)數(shù)b，B半徑為

4，若點(diǎn)A在B內(nèi)．則實(shí)數(shù)b的取值范圍是（）

A．b2B．b10C．b2或b10D．2b10

【答案】D

4

【分析】本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：點(diǎn)的位置可以確定該點(diǎn)到圓心距離與半徑的關(guān)系，反過來已知點(diǎn)

到圓心距離與半徑的關(guān)系可以確定該點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．首先確定AB的取值范圍，然后根據(jù)點(diǎn)A所表示的

實(shí)數(shù)寫出b的取值范圍，即可得到正確選項(xiàng)．

【詳解】解：∵B半徑為4．若點(diǎn)A在B內(nèi)，

∴AB4，

∵點(diǎn)A所表示的實(shí)數(shù)為6，

∴2b10，

故選：D．

8．（24-25九年級上·江西宜春·階段練習(xí)）已知點(diǎn)P不在半徑為8的O內(nèi)，如果設(shè)OPx，那么x的取值

范圍是．

【答案】x8

【分析】本題考查了點(diǎn)和圓的位置關(guān)系，根據(jù)點(diǎn)不在圓內(nèi)，可知點(diǎn)在圓上或圓外，即得點(diǎn)到圓心的距離dr，

據(jù)此解答即可求解，掌握點(diǎn)到圓的位置關(guān)系是解題的關(guān)鍵．

【詳解】解：∵點(diǎn)P不在半徑為8的O內(nèi)，

∴點(diǎn)P在O上或O外，

∴OPx8，

故答案為：x8．

9．（21-22九年級上·江蘇南京·階段練習(xí)）在RtABC中，C90，BC4，AC3，

（1）斜邊AB上的高為________；

（2）以點(diǎn)C為圓心，r為半徑作⊙C

①若直線AB與⊙C沒有公共點(diǎn)，直接寫出r的取值范圍；

②若邊AB與⊙C有兩個(gè)公共點(diǎn)，直接寫出r的取值范圍；

③若邊AB與⊙C只有一個(gè)公共點(diǎn)，直接寫出r的取值范圍．

121212

【答案】（1）2.4；（2）①0r；②r3；③r或3r4

555

【分析】（1）勾股定理求得斜邊AB，進(jìn)而根據(jù)等面積法求得斜邊上的高；

（2）根據(jù)圓心到直線的距離與半徑比較，根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系以及點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，即可求得r的

取值范圍．

【詳解】（1）RtABC中，C90，BC4，AC3，

ABAC2BC25

設(shè)斜邊AB上的高為h,

11

ABhACBC,

22

ACBC3412

h,

AB55

5

12

故答案為：

5

12

（2）①若直線AB與⊙C沒有公共點(diǎn)，則AB⊙C相離，則r的取值范圍是0r；

5

12

②若邊AB與⊙C有兩個(gè)公共點(diǎn)，A點(diǎn)在圓外或者圓上，則r的取值范圍是r3；

5

12

③若邊AB與⊙C只有一個(gè)公共點(diǎn)，則AB⊙C相切，或者A點(diǎn)在圓內(nèi)，則r的取值范圍是r或3r4

5

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，直線與圓的位置關(guān)系以及點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，理解直線與圓的位置關(guān)系以

及點(diǎn)與圓的位置關(guān)系是解題的關(guān)鍵．

【類型3】利用點(diǎn)與圓的位置關(guān)系求最值

10．（22-23九年級上·江蘇淮安·期中）在矩形ABCD中，AB6，AD8．

(1)若以A為圓心，8長為半徑作A，則B、C、D與圓的位置關(guān)系是什么？

(2)若作A，使B、C、D三點(diǎn)至少有一個(gè)點(diǎn)在A內(nèi)，至少有一點(diǎn)在A外，則A的半徑r的取值范圍

是．

【答案】(1)點(diǎn)B在A內(nèi)，點(diǎn)C在A外，點(diǎn)D在A上

(2)6r10

【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)到圓的位置關(guān)系，比較AB,AC,AD與圓的半徑之間的大小關(guān)系，即可得解；

（2）根據(jù)題意，和點(diǎn)到圓心的距離與圓的半徑之間的關(guān)系，即可得解．

【詳解】（1）解：連接AC，

AB=6，AD8，

6

ACAB2BC2628210，

QeA的半徑為8，

AB8,AD8,AC8

點(diǎn)B在A內(nèi)，點(diǎn)C在A外，點(diǎn)D在A上；

（2）解：AB=6，AD8，AC10，

又以點(diǎn)A為圓心作A，使B，C，D三點(diǎn)中至少有一個(gè)點(diǎn)在圓內(nèi)，且至少有一點(diǎn)在圓外，

A的半徑r的取值范圍是6r10．

故答案為：6r10．

【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．熟練掌握點(diǎn)到圓心的距離d與圓的半徑r之間的關(guān)系，判斷點(diǎn)與圓的

位置關(guān)系，是解題的關(guān)鍵．

11．（23-24九年級上·河北邢臺·期中）在同一平面內(nèi)，已知O的半徑為4，圓心O到直線l的距離為6，P

為圓上的一個(gè)動點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線l的距離不可能是（）

A．2B．6C．10D．14

【答案】D

【分析】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，根據(jù)題意可知圓上的點(diǎn)P到直線l的最短距離為2，最長距離為10，

據(jù)此判斷即可，掌握直線與圓的位置與圓心到直線的距離之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．

【詳解】解：如圖，

由題意得，OA4，OB6，

當(dāng)點(diǎn)P在BO的延長線與O的交點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)P到直線l的距離最大，

此時(shí)，點(diǎn)P到直線l的最大距離是6410，

當(dāng)點(diǎn)P在BO與O的交點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)P到直線l的距離最小，

此時(shí)，點(diǎn)P到直線l的最小距離是642，

點(diǎn)P到直線l的距離2d10，

故點(diǎn)P到直線l的距離不可能是14，

故選：D．

12．（22-23九年級下·北京·階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A(0，6)、點(diǎn)B(0，2)，點(diǎn)C(4，0)、

點(diǎn)D(5，0)，AEB90，點(diǎn)F為DE中點(diǎn)，則CF長度的最小值為（）

7

134141

A．B．C．2D．1

2222

【答案】B

【分析】根據(jù)AEB90，得出點(diǎn)E在以N4,0為圓心，2為半徑的圓上運(yùn)動，由點(diǎn)F為DE中點(diǎn)，取點(diǎn)

M3,0，連接EM，根據(jù)點(diǎn)到圓的距離的最值問題求得N,E,M三點(diǎn)共線時(shí)EM取得最小值，進(jìn)而根據(jù)中

位線的性質(zhì)即可求解．

【詳解】解：如圖所示，取點(diǎn)N4,0，點(diǎn)M3,0，連接EM，NE

依題意，CDCM1,EFFD，

1

∴FCEM，

2

∵AEB90，得出點(diǎn)E在以N4,0為圓心，2為半徑的圓上運(yùn)動，

∴N,E,M三點(diǎn)共線時(shí)EM取得最小值，最小值為42+32=5，

∴ME523，

13

∴FCEM，

22

故選：B．

【點(diǎn)睛】本題考查了直徑所對的圓周角相等，中位線的性質(zhì)，勾股定理，坐標(biāo)與圖形，點(diǎn)到圓的最值問題，

8

兩點(diǎn)之間線段最短，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．

13．（2025九年級下·全國·專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)為3,3，點(diǎn)P的坐標(biāo)為1,0，點(diǎn)B的坐標(biāo)為1,0，

A的半徑為1，C為圓上一動點(diǎn)，Q為BC的中點(diǎn)，連接PC，OQ，則OQ長的最大值為()

A．5B．2.5C．6D．3

【答案】D

【分析】本題考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，三角形的中位線，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．掌握三角形的中位線定理，

點(diǎn)與圓的位置關(guān)系是解題的關(guān)鍵．由點(diǎn)P、點(diǎn)B的坐標(biāo)得O是BP的中點(diǎn)，則OQ是CBP的中位線，

1

OQPC，當(dāng)PC的長最大時(shí)，OQ的長最大，根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系可得PC長的最大值為AP1，求出

2

2

AP13325，即可求解．

【詳解】解：點(diǎn)P的坐標(biāo)為1,0，點(diǎn)B的坐標(biāo)為1,0，

O是BP的中點(diǎn)，

Q為BC的中點(diǎn)，

OQ是CBP的中位線，

1

OQPC，

2

當(dāng)PC的長最大時(shí)，OQ的長最大，如圖，

點(diǎn)A的坐標(biāo)為3,3，點(diǎn)P的坐標(biāo)為1,0，

AP(13)2325，

PC長的最大值為AP16，

1

OQ長的最大值為OQPC3，

2

故選：D．

【類型4】三角形的外心

9

14．（24-25九年級下·四川遂寧·階段練習(xí)）下列四個(gè)命題中，正確的有（）

①圓的對稱軸是直徑；②經(jīng)過三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓；③三角形的外心到三角形各邊的距離都相等；④半徑相

等的兩個(gè)半圓是等?。?/p>

A．4個(gè)B．3個(gè)C．2個(gè)D．1個(gè)

【答案】D

【分析】此題考查了圓中的有關(guān)概念和性質(zhì)．根據(jù)相關(guān)知識進(jìn)行解答即可．

【詳解】解：①圓的對稱軸是直徑所在的直線，故原說法錯(cuò)誤；

②當(dāng)三點(diǎn)共線的時(shí)候，不能作圓，故原說法錯(cuò)誤；

③三角形的外心是三角形三邊的垂直平分線的交點(diǎn)，所以三角形的外心到三角形各頂點(diǎn)的距離都相等，故

原說法錯(cuò)誤；

④在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧是等弧，所以半徑相等的兩個(gè)半圓是等弧，故原說法正確．

故選：D．

15．（24-25九年級上·山東聊城·期中）如圖所示的網(wǎng)格由邊長相同的小正方形組成，點(diǎn)

A，B，C，D，E，F(xiàn)，G在小正方形的頂點(diǎn)上，則VABC的外心是（）

A．點(diǎn)DB．點(diǎn)EC．點(diǎn)FD．點(diǎn)G

【答案】C

【分析】本題考查了三角形的外心的定義，根據(jù)三角形三邊垂直平分線相交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)叫做它的外心，

據(jù)此解答即可求解，掌握三角形的外心的定義是解題的關(guān)鍵．

【詳解】解：如圖，連接AF、BF、CF，

由勾股定理得，F(xiàn)A12225，F(xiàn)B22125，F(xiàn)C22125，

∴FAFBFC，

∴點(diǎn)F是VABC的外心，

故選：C．

16．（24-25九年級上·湖北恩施·階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)O是VABC的外心，若A70，則BOC．

10

【答案】140

【分析】本題考查了三角形外心，圓周角定理，熟練掌握三角形的外心，圓周角定理是解題的關(guān)鍵．利用

三角形的外心的得出BOC為圓心角，A為圓周角，根據(jù)圓周角定理得出BOC2A即可．

【詳解】解：∵點(diǎn)O是VABC的外心，A70，

∴BOC2A140，

故答案為：140．

17．（24-25九年級上·河北石家莊·期末）如圖，VABC外接圓的圓心坐標(biāo)為．

【答案】5,0

【分析】本題考查了線段的垂直平分線及三角形的外心．三角形三邊的垂直平分線的交點(diǎn)是三角形的外

心．解決本題需仔細(xì)分析三條線段的特點(diǎn)．利用網(wǎng)格，作線段BC線段AB的垂直平分線相交于D，再根據(jù)

圖形寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)即可．

【詳解】解：作線段BC、線段AB的垂直平分線相交于點(diǎn)D，如圖，

由圖可得點(diǎn)D的坐標(biāo)為：5,0，

故答案為：5,0．

18．（24-25九年級上·云南玉溪·期中）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是2,0，2,3，M

是OAB的外接圓，則圓心M的坐標(biāo)為．

11

【答案】1,1.5

【分析】本題考查了特殊三角形外心，根據(jù)直角三角形的外心為斜邊的中點(diǎn)，即可求解．

【詳解】解：如圖所示，

∵點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是2,0，2,3，

∴ABOA

∴VAOB是直角三角形，

∵M(jìn)是OAB的外接圓，

∴MAMBMA

∴M在OB上，且為OB的中點(diǎn)

∴M1,1.5，

故答案為：1,1.5．

19．（23-24九年級上·福建福州·期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，VABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別三個(gè)是A4,0，

B1,3，C3,3．

(1)把VABC繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180后得到對應(yīng)的ABC，請畫出旋轉(zhuǎn)后的ABC；

(2)若點(diǎn)P為VABC的外心，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

12

【答案】(1)見解析

(2)2,1

【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的作圖，三角形的外心，掌握旋轉(zhuǎn)的作圖方法，以及三角形的外心是三邊垂直平

分線是交點(diǎn)，是解題的關(guān)鍵．

（1）連接AO,BO,CO并延長，使AOAO,BOBO,COCO，再依次連接點(diǎn)A,B,C即可；

（2）找出BC，AB垂直平分線的交點(diǎn)，即可解答．

【詳解】（1）解：如圖1所示：ABC即為所求；

（2）解：如圖2，點(diǎn)P為VABC的外心，

∵四邊形ANBM為正方形，

∴MN為AB的垂直平分線，

∵B1,3，C3,3，

∴BC的垂直平分線為直線x2，

由圖可知，BC的垂直平分線與AB的垂直平分線相交于點(diǎn)2,1，

∴點(diǎn)2,1為VABC外心，

13

∴點(diǎn)P坐標(biāo)為2,1．

故答案為：2,1．

【類型5】三角形的外接圓的有關(guān)計(jì)算

20．（24-25九年級上·云南昆明·期中）如圖，在Rt△ABC中，C90，AC3cm，BC4cm，則它的

外心與頂點(diǎn)C的距離為（）

A．5cmB．2.5cmC．3cmD．4cm

【答案】B

【分析】直角三角形的外心與斜邊中點(diǎn)重合，因此外心到直角頂點(diǎn)的距離正好是斜邊的一半；由勾股定理

易求得斜邊AB的長，進(jìn)而可求出外心到直角頂點(diǎn)C的距離．

【詳解】解：∵Rt△ABC中，C90，AC3cm，BC4cm，

ABAC2BC232425cm，

1

斜邊上的中線長AB2.5cm，

2

因而外心到直角頂點(diǎn)C的距離等于斜邊的中線長2.5cm.

故選：B．

【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的外接圓半徑的求法，熟記直角三角形的外接圓是以斜邊中點(diǎn)為圓心，以

斜邊的一半為半徑的圓是解題關(guān)鍵．

21．（24-25九年級下·廣東汕頭·階段練習(xí)）一個(gè)直角三角形的兩條直角邊長是方程x214x480的兩個(gè)

根，則此直角三角形外接圓的半徑等于（）

A．3B．4C．5D．6

【答案】C

【分析】本題考查的是直角三角形的外接圓半徑，重點(diǎn)在于理解直角三角形的外接圓是以斜邊中點(diǎn)為圓心，

斜邊長的一半為半徑的圓．根據(jù)題意可知，直角三角形的兩條直角邊長是方程x214x480的兩個(gè)根，

解可得方程x214x480的兩個(gè)根為6與8；故直角三角形外接圓的直徑即斜邊邊長為10；故半徑等于5．

【詳解】解：x214x480，

解得：x16，x28，

∴斜邊邊長為628210，

即直角三角形外接圓的直徑是10，

∴半徑等于5．

14

故選：C

22．（2023·江蘇揚(yáng)州·三模）在VABC中，AB4，C60，AB，則BC的長的取值范圍是．

83

【答案】4BC

3

【分析】本題考查了三角形的三邊關(guān)系、直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)；作出VABC的外接圓進(jìn)

83

行推理計(jì)算是解題的關(guān)鍵．作VABC的外接圓，求出當(dāng)BAC90時(shí)，BC是直徑最長為；當(dāng)

3

BACABC時(shí)，VABC是等邊三角形，BCACAB4，而BACABC，即可得出答案．

【詳解】解：作VABC的外接圓，如圖所示：

∵BACABC，AB4，

當(dāng)BAC90時(shí)，BC是直徑最長，

∵C60，

∴ABC30，

∴BC2AC，AB3AC4，

43

∴AC，

3

83

∴BC；

3

當(dāng)BACABC時(shí)，VABC是等邊三角形，BCACAB4，

∵BACABC，

83

∴BC長的取值范圍是4BC；

3

83

故答案為：4BC．

3

23．（19-20九年級上·江蘇南京·期末）如圖，在VABC中，ABAC210，BC4，O是VABC的外

接圓．

15

(1)求O的半徑；

(2)若在同一平面內(nèi)的P也經(jīng)過B、C兩點(diǎn)，且PA2，請直接寫出P的半徑的長．

10

【答案】(1)

3

(2)25或217

【分析】（1）過點(diǎn)A作ADBC，垂足為D，連接OB、OC，根據(jù)勾股定理即可求解；

（2）分點(diǎn)P在點(diǎn)A的上方和下方，兩種情況，進(jìn)行求解即可．

【詳解】（1）過點(diǎn)A作ADBC，垂足為D，連接OB、OC，

ABAC，ADBC，

AD垂直平分BC，

OBOC，

點(diǎn)O在BC的垂直平分線上，即O在AD上，

BC4，

1

BDBC2，

2

在Rt△ABD中，ADB90，AB210，

ADAB2BD26，

設(shè)OAOBr，則OD6r．

在Rt△OBD中，ODB90，

OD2BD2OB2，即(6r)222r2．

10

解得r，

3

10

即O的半徑為；

3

（2）當(dāng)P也經(jīng)過B、C兩點(diǎn)，且PA2，如圖：

16

設(shè)PBr，

∵PA2，則PD624或628，

∵BD2，

PB422225或PB8222217．

∴P的半徑的長為25或217．

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形外接圓、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、垂徑定理，解決本題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確確

定點(diǎn)P的兩個(gè)位置．

【類型6】確定圓的條件

24．（22-23九年級下·江蘇南通·開學(xué)考試）下列命題正確的是（）

A．三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓

B．平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的弧

C．圓內(nèi)接平行四邊形一定是矩形

D．在同圓或等圓中，弦相等則所對的弧相等

【答案】C

【分析】利用確定圓的條件、垂徑定理、圓周角定理及圓內(nèi)接多邊形的性質(zhì)分別判斷后即可確定正確的選

項(xiàng)．

【詳解】A、不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓，故原命題錯(cuò)誤，不符合題意；

B、平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的弧，故原命題錯(cuò)誤，不符合題意；

C、圓內(nèi)接平行四邊形一定是矩形正確，符合題意；

D、在同圓或等圓中，弦相等則所對的優(yōu)弧相等，所對的劣弧相等，故原命題錯(cuò)誤，不符合題意；

故選：C．

【點(diǎn)睛】考查了命題與定理的知識，解題的關(guān)鍵是了解確定圓的條件、垂徑定理、圓周角定理及圓內(nèi)接多

邊形的性質(zhì)，難度不大．

25．（18-19九年級下·全國·單元測試）如圖的矩形ABCD中，E為AB的中點(diǎn)，有一圓過C、D、E三點(diǎn)，

且此圓分別與AD,BC相交于P、Q兩點(diǎn)．甲、乙兩人想找到此圓的圓心O，其作法如下：

17

（甲）作∠DEC的角平分線L，作DE的中垂線，交L于O點(diǎn)，則O即為所求；

（乙）連接PC,QD，兩線段交于一點(diǎn)O，則O即為所求

對于甲、乙兩人的作法，下列判斷何者正確？（）

A．兩人皆正確B．兩人皆錯(cuò)誤

C．甲正確，乙錯(cuò)誤D．甲錯(cuò)誤，乙正確

【答案】A

【分析】證明O為DEC的兩邊中垂線的交點(diǎn)，判斷甲，根據(jù)90的圓周角所對的弦是直徑判斷乙，從而可

得答案．

【詳解】解：甲，∵矩形ABCD，E為AB的中點(diǎn)，

∴AE=EB，∠A=∠B=90，AD=BC，

∴△ADE≌△BCE（SAS），

∴ED=EC，

∴△DEC為等腰三角形，

∵射線L為∠DEC的角平分線，

∴射線L為線段CD的中垂線，

∴O為兩中垂線之交點(diǎn)，即O為△CDE的外心，

∴O為此圓圓心．

乙，∵∠ADC=90，∠DCB=90，

∴PC、QD為此圓直徑，

∴PC與DQ的交點(diǎn)O為此圓圓心，因此甲、乙兩人皆正確．

故選：A．

18

【點(diǎn)睛】本題考查的是確定圓的條件，涉及到矩形性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、

圓周角定理、垂徑定理的推論，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)、圓周角定理是解題的關(guān)鍵．

26．（24-25九年級上·江蘇南京·期末）若在平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)A1,1，B1,1，Cm,3不能確定一

個(gè)圓，則m的值是．

【答案】3

【分析】本題考查一次函數(shù)與幾何的綜合應(yīng)用．熟練掌握待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，一次函數(shù)的圖

象和性質(zhì)，確定圓的條件，是解題的關(guān)鍵．

根據(jù)不在同一直線的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓，得到當(dāng)點(diǎn)C在直線上，三個(gè)點(diǎn)不能確定一個(gè)圓，進(jìn)行求解即可．

【詳解】解：設(shè)直線AB的解析式為ykxb，

把A1,1，B1,1代入，

kb1

得，

kb1

k1

解得，

b0

∴yx，

∴Cm,3代入，

得m3，

∴當(dāng)m3時(shí)，

平面直角坐標(biāo)系中的三個(gè)點(diǎn)A1,1，B1,1，Cm,3不能確定一個(gè)圓．

故答案為：3．

【類型7】反證法

27．（24-25九年級上·浙江金華·開學(xué)考試）用反證法證明命題“在同一平面內(nèi)，若直線ac，bc，則ab”

時(shí)，應(yīng)假設(shè)（）

rr

A．a(chǎn)PcB．a(chǎn)與b不平行C．bPcD．a(chǎn)b

【答案】B

【分析】本題考查的是反證法、兩直線的位置關(guān)系，解此題關(guān)鍵要懂得反證法的意義及步驟，在假設(shè)結(jié)論

不成立時(shí)要注意考慮結(jié)論的反面所有可能的情況，如果只有一種，那么否定一種就可以了，如果有多種情

況，則必須一一否定．反證法的步驟中，第一步是假設(shè)結(jié)論不成立，反面成立，可據(jù)此進(jìn)行判斷．

【詳解】解：反證法證明“在同一平面內(nèi)，若ac，bc，則ab”時(shí)，應(yīng)假設(shè)a與b不平行，即a與b相

交．

故選：B．

28．（24-25九年級上·福建廈門·期中）用反證法證明：在同一直線上的三點(diǎn)不能確定一個(gè)圓，首先應(yīng)假

設(shè)．

19

【答案】在同一直線上的三點(diǎn)能確定一個(gè)圓

【分析】本題考查反證法，根據(jù)反證法的步驟，第一步應(yīng)假設(shè)結(jié)論的反面成立，作答即可．

【詳解】解：用反證法證明：在同一直線上的三點(diǎn)不能確定一個(gè)圓，首先應(yīng)假設(shè)在同一直線上的三點(diǎn)能確

定一個(gè)圓；

故答案為：在同一直線上的三點(diǎn)能確定一個(gè)圓

29．（24-25九年級上·陜西渭南·期中）如圖，在VABC中，點(diǎn)D、E分別在AC、AB上，連接BD、CE，

BD、CE相交于點(diǎn)O．用反證法證明：BD和CE不可能互相平分．

【答案】證明見解析

【分析】本題主要考查反證法的證明方法，反證法的步驟：首先假設(shè)反論題正確，然后依據(jù)規(guī)則進(jìn)行推理，

若出現(xiàn)與已知條件不符或與公理定理相矛盾的情形，即可證明反論題不成立，原命題正確．

第一步先假設(shè)BD和CE互相平分，根據(jù)平行四邊形的判定和性質(zhì)得到BECD，即AB∥AC，與已知矛盾，

從而證明原命題正確．

【詳解】證明：連接DE．假設(shè)BD和CE互相平分．

QBD和CE互相平分，

∴四邊形EBCD是平行四邊形，

∴BE∥CD．

∵在VABC中，點(diǎn)D、E分別在AC、AB上，

AB與AC不可能平行，與已知矛盾，

故假設(shè)不成立，BD和CE不可能互相平分．

【類型8】基本作圖問題

30．（24-25九年級下·吉林長春·期中）如圖是由邊長為1的小正方形構(gòu)成的88網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂

點(diǎn)叫做格點(diǎn)，圓上三點(diǎn)A、B、C均為格點(diǎn)，僅用無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中畫圖，完成下列各題：

20

(1)在圖1中，畫出圓心O．

(2)在圖2中，點(diǎn)D為圓上任意一點(diǎn)，在圓上找一點(diǎn)E，使得DE是圓上最長的弦．

(3)在圖3中，點(diǎn)M是圓上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合），作一條弦PQ，使得PQAM．

【答案】(1)見解析

(2)見解析

(3)見解析

【分析】本題是圓的綜合題，考查作圖，垂徑定理，線段的垂直平分線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是理解

題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題．

（1）分別作AB,AC的垂直平分交于點(diǎn)O，即可求解；

（2）連接DO，并延長DO交圓O于點(diǎn)E，即可求解；

（3）分別連接MO,AO，并延長MO,AO分別交圓O于點(diǎn)Q，P，即可求解．

【詳解】（1）解：如圖，點(diǎn)O即為所求；

（2）解：如圖，點(diǎn)E即為所求；

21

（3）解：如圖，PQ即為所求．

31．（2025·吉林長春·一模）圖①、圖②均是55的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，小正方形

的邊長為1，點(diǎn)A、B均在格點(diǎn)上．只用無刻度的直尺，分別在給定的網(wǎng)格中按要求作圖，不要求寫出畫法，

保留作圖痕跡．

(1)在圖①中作出直線AP，使APAB，點(diǎn)P為格點(diǎn)；

(2)在圖②中作出以線段AB為腰的等腰三角形ABC，點(diǎn)C為格點(diǎn)，且VABC的面積為8；

(3)在圖②中作出VABC的外接圓圓心O（不要求畫O）．

【答案】(1)見解析

(2)見解析

(3)見解析

【分析】本題考查了網(wǎng)格作圖，等腰三角形的定義，勾股定理與網(wǎng)格問題，三角形的外接圓圓心的定義，

數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵；

（1）找到12的格點(diǎn)P，作直線AP即可求解；

（2）根據(jù)等腰三角形的定義以及軸對稱的性質(zhì)，作出等腰三角形VABC，

（3）根據(jù)三角形的外接圓圓心的定義，找到AC,AB的垂直平分線的交點(diǎn)O，即可求解．

【詳解】（1）解：如圖，直線AP即為所求；

22

如圖，

1

∵CD90,tanAPCtanDAB

2

∴APCDAB

又∵CAPAPC90

∴CAPDAB90，即PAB90

（2）解：如圖，VABC即為所求；

∵ABBA25

∴VABC是等腰三角形，

∵AC4，B到AC的距離為4

∴VABC的面積為8；

（3）解：如圖，點(diǎn)O即為所求，

同（1）作出AB的垂直平分線與AC的垂直平分線交于點(diǎn)O，

∴O到A,B,C的距離相等，即O是VABC的外接圓圓心．

32（2025·河南信陽·二模）學(xué)校耕讀園里有一塊空地，空地上有三棵樹A，B，C，學(xué)校想修建一個(gè)圓形苗圃，

使三棵樹都在苗圃的邊上．

23

(1)請你把苗圃的位置畫出來（尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；

(2)若VABC中，BC4米，AC6米，C90，試求圓形苗圃的面積．

【答案】(1)見解析

(2)圓形花壇的面積為13π平方米

【分析】本題考查了作垂直平分線，畫三角形的外接圓，勾股定理，直角所對的弦是直徑；

（1）根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)，求三角形的外接圓；

（2）根據(jù)勾股定理求斜邊，斜邊的一半就是圓的半徑，即可求圓的面積．

【詳解】（1）解：如圖，O即為苗圃的位置．

（2）∵C90，BC4米，AC6米，

∴ABBC2AC24262213米，

∴VABC外接圓的半徑為13米．

∴圓形花壇的面積為13π平方米．

【類型9】新定義材料問題

33．（2025·江西撫州·模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O的半徑為1．對于O的弦AB和不在直線

AB上的點(diǎn)C，給出如下定義：若點(diǎn)C關(guān)于直線AB的對稱點(diǎn)C在O上或其內(nèi)部，且ACB，則稱點(diǎn)C

是弦AB“可及點(diǎn)”．

1

(1)如圖，點(diǎn)A0,1，B1,0．在點(diǎn)C12,0，C21,2，C3,0中，點(diǎn)_____是弦AB的“可及點(diǎn)”，其中

2

24

_____；

(2)若點(diǎn)D是弦AB的“90可及點(diǎn)”，求點(diǎn)D的橫坐標(biāo)的最大值．

【答案】(1)C2，45

1+2

(2)

2

【分析】（1）作出O關(guān)于AB的對稱圓O，根據(jù)題意可得點(diǎn)C應(yīng)在O的圓內(nèi)或圓上，可證明O(1,1)，

利用勾股定理分別求出三個(gè)點(diǎn)到O(1,1)的距離即可得到答案；

（2），取AB中點(diǎn)為H，連接DH，可證明點(diǎn)D在以H為圓心，HA為半徑的AB上方半圓上運(yùn)動（不包括

11

端點(diǎn)A、B），則當(dāng)DH∥x軸時(shí)，點(diǎn)D橫坐標(biāo)最大，求出HD的長和H,即可得到答案．

22

【詳解】（1）解：作出O關(guān)于AB的對稱圓O，

若點(diǎn)C關(guān)于直線AB的對稱點(diǎn)C在O上或其內(nèi)部，且ACB，則稱點(diǎn)C是

弦AB的“可及點(diǎn)”，

點(diǎn)C應(yīng)在O的圓內(nèi)或圓上，

點(diǎn)A0,1，B1,0，

OAOB1，

QAOB90，

ABOOAB45，

由對稱得：∠OAB∠OAB45，OAOA1，

∴OAO90，即OAOA，

O(1,1)，

1

∵C12,0，C21,2，C3,0，

2

∴22，故C在外，不符合題意；

C1O1210211O

C2O211，故C2在O上，符合題意；

2

125

，故C在O外，不符合題意，

C3O11013

22

點(diǎn)C2是弦AB的“可及點(diǎn)”，

25

∵B，O，C2三點(diǎn)共線，

1

ACBAOB45，

22

故答案為：C2，45；

（2）解：如圖所示，取AB中點(diǎn)為H，連接DH，

ADB90，

HDHAHB，

點(diǎn)D在以H為圓心，HA為半徑的AB上方半圓上運(yùn)動（不包括端點(diǎn)A、B），

∴當(dāng)DH∥x軸時(shí)，點(diǎn)D橫坐標(biāo)最大，

OAOB1，AOB90，

ABOA2OB22，

12

HDAB，

22

點(diǎn)A0,1，B1,0，

11

H,，

22

12

xxDH，

DH2

1+2

點(diǎn)D的橫坐標(biāo)的最大值為，

2

26

+

故答案為：12；

2

【點(diǎn)睛】本題主要考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，坐標(biāo)與圖形，兩點(diǎn)距離計(jì)算公式，圓周角定理，直角所對的

弦是直徑等等，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．

34．（2025·北京順義·一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O的半徑為2．對于O的弦AB和點(diǎn)C（C可以

與A，B重合）給出如下定義：若直線CO經(jīng)過弦AB的一個(gè)端點(diǎn)，另一端點(diǎn)與點(diǎn)C之間的距離恰好等于CO，

則稱點(diǎn)C是弦AB的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”．

(1)如圖，點(diǎn)A2,0．

①點(diǎn)B(2,2)，在點(diǎn)C1(1,1)，C2(2,0)，C3(1,0)中，弦AB的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”是________；

②點(diǎn)C4,0，若點(diǎn)C是弦AD的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)________；

43

(2)已知點(diǎn)M0,4，N(,0)．線段MN上存在弦PQ的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，記PQ的長為t，直接寫出t的取值范

3

圍．

115115

【答案】(1)①C1(1,1)，C2(2,0)；②(,)，(,)；

2222

(2)2t6，10t23．

【分析】（1）①如圖所示，通過題中關(guān)聯(lián)點(diǎn)的定義，分別分析點(diǎn)C1、C2、C3即可判斷；②根據(jù)題意分析可

得CD4，以點(diǎn)C為圓心，半徑為4作圓，交圓O于點(diǎn)D1、點(diǎn)D2，過點(diǎn)D1作D1Hx軸于點(diǎn)H，連接OD1、

222222221

CD1，設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為x,y，則ODOHCDCH，即2x44x，解得x，進(jìn)而求出

1112

點(diǎn)D1的縱坐標(biāo)，考慮軸對稱的性質(zhì)，可得點(diǎn)D2與點(diǎn)D1關(guān)于x軸對稱，即可求出點(diǎn)D1、D2的坐標(biāo)；

（2）通過分析可得線段MN與圓O相切，設(shè)線段MN與圓O相切于點(diǎn)H，連接OH，設(shè)線段MN上的“關(guān)聯(lián)

點(diǎn)”為點(diǎn)C，當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)H時(shí)，CO取最小值，最小值為2，當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)M時(shí)，CO取最大值，最大值為4，

2CO4，第一種情況，連接OC交圓O于點(diǎn)P，以點(diǎn)C為圓心，CO長為半徑作圓，交圓O于點(diǎn)Q、點(diǎn)Q

（PQPQ，點(diǎn)Q不用考慮），過點(diǎn)Q作QEOC于點(diǎn)E，連接OQ、CQ、PQ，設(shè)CQCOm，根據(jù)

27

8

勾股定理，得PQ8，第二種情況，連接OC，延長CO交圓O于點(diǎn)P，以點(diǎn)C為圓心，CO長為半徑

m

作圓，交圓O于點(diǎn)Q、點(diǎn)Q（PQPQ，點(diǎn)Q不用考慮），過點(diǎn)Q作QEOC于點(diǎn)E，連接OQ、CQ、PQ，