PAGE1專題06有理數(shù)的乘法和除法內(nèi)容導航——預習三步曲第一步：學析教材學知識：教材精講精析、全方位預習練題型強知識：9大核心考點精準練第二步：記串知識識框架：思維導圖助力掌握知識框架、學習目標復核內(nèi)容掌握第三步：測過關測穩(wěn)提升：小試牛刀檢測預習效果、查漏補缺快速提升知識點01有理數(shù)的乘法法則（1）兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘.（2）任何數(shù)同0相乘，都得0.（3）多個有理數(shù)相乘的法則：①幾個不等于0的數(shù)相乘，積的符號由負因數(shù)的個數(shù)決定，當負因數(shù)有奇數(shù)個時，積為負；當負因數(shù)有偶數(shù)個時，積為正．②幾個數(shù)相乘，有一個因數(shù)為0，積就為0．倒數(shù)：乘積是1的兩個有理數(shù)互為倒數(shù).【注意】：①0沒有倒數(shù)；②倒數(shù)等于它本身的數(shù)有1和-1.知識點02有理數(shù)的乘法運算律（1）乘法交換律：；（2）乘法結(jié)合律：；（3）乘法分配律：．知識點03確定乘積符號（1）若a＜0，b＞0，則ab<0；（2）若a＜0，b＜0，則ab>0；（3）若ab＞0，則a、b同號；（4）若ab＜0，則a、b異號；（5）若ab=0，則a、b中至少有一個數(shù)為0.知識點04有理數(shù)除法法則◆除以一個不為0的數(shù)，等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)◆兩數(shù)相除（被除數(shù)不為0），同號得正，異號得負，并把絕對值相除.【注意】：0除以任何不為0的數(shù)，都得0.【題型1兩個有理數(shù)的乘法運算】例題：（2024七年級上·浙江·專題練習）計算：(1)；(2)；(3)；(4)．【變式訓練】1．（2024七年級上·全國·專題練習）計算：(1)(2)(3)(4)2．（2024七年級上·浙江·專題練習）計算：(1)；(2)；(3)；(4)；3．（2024六年級上·上?！ｎ}練習）計算(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)．【題型2多個有理數(shù)的乘法運算】例題：（2024七年級上·全國·專題練習）計算：(1)；(2)．【變式訓練】1．（2024七年級上·全國·專題練習）計算：(1)；(2)．2．（2024七年級上·全國·專題練習）計算：(1)；(2)；(3)．3．（2024七年級上·全國·專題練習）計算：(1)；(2)；(3)；(4)．【題型3倒數(shù)】例題：（2025·江蘇南京·二模）的倒數(shù)是．【變式訓練】1．（24-25六年級上·上?！るA段練習）的倒數(shù)是．2．（24-25六年級上·上海閔行·階段練習）的倒數(shù)是．3．（24-25七年級上·陜西榆林·階段練習）的相反數(shù)是，的倒數(shù)為．【題型4有理數(shù)乘法運算律】例題：（24-25七年級上·吉林四平·期末）計算：【變式訓練】1．（24-25九年級下·山東濟南·開學考試）計算：．2．（24-25七年級上·廣東河源·期中）下面是樂樂同學進行有理數(shù)運算的過程，請認真閱讀并完成相應任務．解：第一步第二步第三步．第四步任務：(1)填空：①以上運算步驟中，第一步依據(jù)的運算律是；②第步開始出現(xiàn)錯誤，錯誤的原因是．(2)請直接寫出正確的計算結(jié)果．3．（24-25七年級上·廣東江門·期中）計算：能用簡算的用簡算(1)；(2)．【題型5有理數(shù)乘法的實際應用】例題：（24-25七年級上·廣東梅州·期中）某一出租車一天下午以鼓樓為出發(fā)點在東西方向運營，向東走為正，向西走為負，行車里程（單位：）依先后次序記錄如下：．(1)將最后一名乘客送到目的地，出租車離鼓樓出發(fā)點多遠？在鼓樓的什么方向？(2)若每千米的價格為2元，司機一個下午的營業(yè)額是多少？【變式訓練】1．（24-25七年級上·福建漳州·期中）海洋科考隊于某天早晨乘船從海島M出發(fā)，在南北走向的海岸線上進行科考活動．規(guī)定向北行進為正，向南行進為負．從出發(fā)到結(jié)束當天的科考活動時，他們的行進里程（單位：海里）記錄如下：．(1)結(jié)束當天的科考活動時，科考隊是在海島M的北邊還是南邊？距離海島M有多遠？(2)從出發(fā)到結(jié)束當天的科考活動，科考隊的船只總共行駛了多少海里？(3)如果船只每行駛1海里耗油4升，那么在整個科考活動過程中，船只共耗油多少升？2．（24-25七年級上·湖南永州·期中）道州臍橙“橙紅鮮美、香甜多汁”，因出產(chǎn)于永州市道縣而得名．現(xiàn)有20筐道州臍橙，以每筐千克的質(zhì)量為標準，超過或不足的千克數(shù)分別用正、負數(shù)來表示，記錄如下：與標準質(zhì)量的差值（單位：千克）筐數(shù)(1)這筐道州臍橙中，最重的一筐比最輕的一筐重多少千克？(2)若道州臍橙每千克售價元，則這筐道州臍橙可賣多少元？3．（24-25六年級上·上?！て谥校┩赓u送餐為我們生活帶來了許多便利，某學習小組調(diào)查了一名外賣小哥一周的送餐情況，規(guī)定送餐量超過40單（送一次外賣為一單）的部分記為“”，低于40單的部分記為“”，下表是該外賣小哥一周的送餐量：星期一二三四五六日送餐量/單(1)求外賣小哥這一周平均每天送餐多少單．(2)外賣小哥每天的工資由底薪30元加上送單補貼構成，送單補貼的方案如下：每天送餐量不超過40單的部分，每單補貼4元；超過40單但不超過50單的部分，每單補貼6元：超過50單的部分，每單補貼8元．求外賣小哥這一周工資收入多少元．【題型6有理數(shù)的除法運算】例題：（2024七年級上·全國·專題練習）計算：(1)；(2)；(3)；(4)．【變式訓練】1．（24-25七年級上·全國·課后作業(yè)）計算：(1)；(2)；(3)；(4)．2．（24-25七年級上·全國·假期作業(yè)）計算：(1)(2)(3)(4)3．（2024七年級上·江蘇·專題練習）計算：(1)；(2)；(3)；(4)．【題型7有理數(shù)的乘除混合運算】例題：（24-25六年級上·黑龍江哈爾濱·期中）計算：(1)；(2)；(3)；(4)．【變式訓練】1．（24-25七年級上·黑龍江·期中）計算：(1)；(2)；(3)；(4)．2．（2024七年級上·全國·專題練習）計算：(1)；(2)；(3)．3．（2024七年級上·全國·專題練習）計算．(1)；(2)．【題型8有理數(shù)的乘除混合運算之新定義型問題】例題：（2024七年級上·全國·專題練習）中考新趨勢?新定義若規(guī)定：，例如：，試求的值．【變式訓練】1．（24-25七年級上·陜西寶雞·階段練習）定義新運算“※”：對于有理數(shù)a，b（a，b都不為0），．例如：．求的值．2．（24-25七年級上·廣東江門·階段練習）“”表示一種新的運算，它是這樣定義的：．例如：(1)求的值；(2)求的值．3．（24-25七年級上·廣東惠州·階段練習）在有理數(shù)的范圍內(nèi)，定義三個數(shù)之間的新運算“”，，例如．(1)計算：；(2)計算：；(3)計算：．【題型9有理數(shù)的除法中絕對值之分類討論問題】例題：（24-25七年級上·浙江金華·期中）分類討論是一種重要的數(shù)學方法，如在化簡時，可以這樣分類：當時，；當時，；當時，．用這種方法解決下列問題：(1)當時，求的值．(2)當時，求的值．(3)已知是有理數(shù)，當時，試求的值．【變式訓練】1．（23-24七年級上·貴州畢節(jié)·期末）有理數(shù)在數(shù)軸上對應點的位置如圖所示．(1)______0；（填“”或“”）(2)化簡：．2．（24-25七年級上·山東聊城·期中）閱讀下列材料并解決有關問題：我們知道，所以當時，；當時，，現(xiàn)在我們可以用這個結(jié)論來解決下面問題：(1)已知，是有理數(shù)，當時，求的值(2)已知，，是有理數(shù)，當，求的值(3)已知，，是有理數(shù)，，，求的值．3．（24-25七年級上·江蘇鹽城·期中）“分類討論”是一種重要數(shù)學思想方法，下面是運用分類討論的數(shù)學思想解問題的過程，請仔細閱讀，并解答題目后提出的兩個問題．例：三個有理數(shù)a，b，c滿足，求的值．解：由題意得：a，b，c三個有理數(shù)都為正數(shù)或其中一個為正數(shù)，另兩個為負數(shù)．①當a，b，c都是正數(shù)，即，，時，則：；②當a，b，c有一個為正數(shù)，另兩個為負數(shù)時，不妨設，，，則：，綜上述：的值為3或．請運用分類討論的數(shù)學思想方法解答下面的問題：(1)已知a，b是有理數(shù)，當時，求值．(2)已知a，b，c是有理數(shù)，，，求的值．一、單選題1．（2025·陜西延安·模擬預測）計算：（

）A． B． C．5 D．62．（2025·湖南常德·二模）下面算式錯誤的是（）A． B．C． D．3．（24-25七年級上·浙江溫州·階段練習）將下列運算符號填入算式的“”中，使運算結(jié)果最小的是（

）A． B． C． D．4．（2025·山東濟南·二模）已知表示有理數(shù)a，b的點在數(shù)軸上的位置如圖所示，則的值是（

）A．2023 B．2024 C．2025 D．20265．（2025·四川·模擬預測）定義一種新運算：

．如：

，則

的值為(

)A． B． C． D．二、填空題6．（2025·湖南·模擬預測）計算：．7．（2025·四川資陽·模擬預測）若，比較四個數(shù)的大小，并用“”連接．8．（24-25七年級上·山東威?！て谀┤鐖D，按程序框圖中的順序計算，當輸入的初始值x為32時，則輸出的最后結(jié)果為．9．（24-25六年級上·上海普陀·期中）定義：對于數(shù)對，如果，那么稱為“和積等數(shù)對”．如：因為，，所以，都是“和積等數(shù)對”．下列數(shù)對中，是“和積等數(shù)對”的是．（填序號）①；②；③．10．（24-25七年級上·湖北武漢·期末）下列說法：①若，則；②若，且，則；③若，則；④若，，，則．其中正確的有．（填序號）三、解答題11．（2024七年級上·全國·專題練習）計算：(1)；(2)．12．（2024七年級上·全國·專題練習）計算：(1)；(2)；(3)．13．（24-25七年級上·河南新鄉(xiāng)·階段練習）在1，，3，，中任意取出兩個數(shù)相乘，最大的積是a，最小的積是b．(1)求的值；(2)若，求的值．14．（24-25七年級上·甘肅慶陽·期末）閱讀下列材料：計算：解法一：原式；解法二：原式；解法三：原式的倒數(shù)為，所以原式(1)上面三種解法得出的結(jié)果不同，肯定有錯誤的解法，其中解法_________是錯誤的；(2)請你運用合適的方法計算：．15．（2024七年級上·遼寧·專題練習）閱讀下面解題過程并解答問題：計算：．解：原式（第一步）（第二步）第三步）(1)上面解題過程有兩處錯誤：第一處是第___________步，錯誤原因___________；第二處是第___________步，錯誤原因是___________；(2)請寫出正確的解題過程．16．（24-25七年級上·陜西延安·階段練習）定義新運算“*”，對于任意有理數(shù)a，b滿足，如：，．(1)求的值．(2)求的值．17．（24-25七年級上·山東濱州·期末）隨著手機的普及，微信的興起，許多人做起了“微商”，很多農(nóng)產(chǎn)品也改變了原來的銷售模式，實行了網(wǎng)上銷售，剛大學畢業(yè)的志強把自家的冬棗產(chǎn)品也放到了網(wǎng)上實行包郵銷售，他原計劃每天賣100斤冬棗，但由于種種原因，實際每天的銷售量與計劃量相比有出入，如表是某周的銷售情況（超