PAGE1專(zhuān)題09有理數(shù)混合運(yùn)算易錯(cuò)問(wèn)題與化簡(jiǎn)絕對(duì)值問(wèn)題內(nèi)容導(dǎo)航——預(yù)習(xí)三步曲第一步：學(xué)析教材學(xué)知識(shí)：教材精講精析、全方位預(yù)習(xí)練題型強(qiáng)知識(shí)：6大核心考點(diǎn)精準(zhǔn)練第二步：記串知識(shí)識(shí)框架：思維導(dǎo)圖助力掌握知識(shí)框架、學(xué)習(xí)目標(biāo)復(fù)核內(nèi)容掌握第三步：測(cè)過(guò)關(guān)測(cè)穩(wěn)提升：小試牛刀檢測(cè)預(yù)習(xí)效果、查漏補(bǔ)缺快速提升知識(shí)點(diǎn)01有理數(shù)混合運(yùn)算易錯(cuò)問(wèn)題1.運(yùn)算順序混亂：未遵循“先乘方，再乘除，最后加減”的順序，如忽略括號(hào)優(yōu)先級(jí)，或?qū)ν?jí)運(yùn)算從左到右的規(guī)則執(zhí)行錯(cuò)誤（例：誤將3-5×2先算減法）。2.符號(hào)處理失誤：乘除運(yùn)算中忽略負(fù)數(shù)符號(hào)，如(-3)÷(-2)誤算為-1.5；加減運(yùn)算中去括號(hào)時(shí)符號(hào)錯(cuò)誤，如3-(2-5)誤得3-2-5。3.分?jǐn)?shù)與小數(shù)轉(zhuǎn)換錯(cuò)誤：混合運(yùn)算中分?jǐn)?shù)與小數(shù)運(yùn)算時(shí)未統(tǒng)一形式，導(dǎo)致計(jì)算出錯(cuò)（如0.5×1/3誤算為0.5÷3）。知識(shí)點(diǎn)02化簡(jiǎn)絕對(duì)值相關(guān)知識(shí)點(diǎn)1.絕對(duì)值代數(shù)意義：若a>0，則|a|=a；若a=0，|a|=0；若a<0，|a|=-a，需先判斷絕對(duì)值內(nèi)數(shù)的正負(fù)性。2.化簡(jiǎn)步驟：先分析絕對(duì)值內(nèi)式子的符號(hào)，再根據(jù)定義去絕對(duì)值符號(hào)，如化簡(jiǎn)|3-π|時(shí)，因3-π<0，故|3-π|=π-3。3.含字母絕對(duì)值化簡(jiǎn)：需分類(lèi)討論字母取值范圍，如|a|化簡(jiǎn)時(shí)，分a≥0和a<0兩種情況，避免直接去掉絕對(duì)值符號(hào)。【題型1有理數(shù)中乘除混合運(yùn)算易錯(cuò)】例題：（24-25七年級(jí)上·四川綿陽(yáng)·期中）計(jì)算：．【答案】/【知識(shí)點(diǎn)】有理數(shù)乘除混合運(yùn)算【分析】本題主要考查有理數(shù)乘除法，原式先把除法轉(zhuǎn)換為乘法，進(jìn)行乘法計(jì)算即可．【詳解】解：．【變式訓(xùn)練】1．（24-25七年級(jí)上·廣東佛山·階段練習(xí)）計(jì)算：．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】有理數(shù)乘除混合運(yùn)算【分析】本題考查有理數(shù)的乘除法混合運(yùn)算，先把除法轉(zhuǎn)化為乘法，然后約分解題即可．【詳解】解：，故答案為：．2．（23-24七年級(jí)上·陜西西安·期中）計(jì)算的結(jié)果是．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】有理數(shù)乘除混合運(yùn)算【分析】本題考查了有理數(shù)的乘除混合運(yùn)算，熟練掌握有理數(shù)的乘除混合運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．先計(jì)算有理數(shù)除法，再計(jì)算有理數(shù)乘法，即得答案．【詳解】．故答案為：．3．（24-25七年級(jí)上·黑龍江·課后作業(yè)）計(jì)算：．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】有理數(shù)乘除混合運(yùn)算【分析】本題主要考查了有理數(shù)乘除混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則，是解題的關(guān)鍵．先變除法為乘法，然后根據(jù)有理數(shù)乘法運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：．故答案為：．【題型2含乘方的有理數(shù)混合運(yùn)算】例題：（24-25七年級(jí)下·甘肅蘭州·期中）計(jì)算：【答案】【知識(shí)點(diǎn)】含乘方的有理數(shù)混合運(yùn)算【分析】本題考查了含乘方的有理數(shù)混合運(yùn)算，掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．先計(jì)算乘方和絕對(duì)值，再計(jì)算乘除法，最后計(jì)算加減法即可．【詳解】解：．【變式訓(xùn)練】1．（24-25六年級(jí)上·上海·階段練習(xí)）計(jì)算：；【答案】【知識(shí)點(diǎn)】含乘方的有理數(shù)混合運(yùn)算【分析】本題主要考查了含乘方的有理數(shù)混合計(jì)算，按照先計(jì)算乘方，再計(jì)算乘除法，最后計(jì)算加減法，有括號(hào)先計(jì)算括號(hào)的運(yùn)算順序求解即可．【詳解】解：．2．（24-25七年級(jí)上·河北邢臺(tái)·階段練習(xí)）計(jì)算：．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】含乘方的有理數(shù)混合運(yùn)算【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握運(yùn)算法則和運(yùn)算順序．先計(jì)算乘方，然后計(jì)算乘除，最后計(jì)算加減．【詳解】解：原式．3．（24-25七年級(jí)上·廣東佛山·階段練習(xí)）計(jì)算：【答案】5【知識(shí)點(diǎn)】含乘方的有理數(shù)混合運(yùn)算【分析】本題主要考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，原式分別計(jì)算乘方、絕對(duì)值，再計(jì)算乘法，最后進(jìn)行加法運(yùn)算即可得到答案．【詳解】解：．4．（24-25七年級(jí)上·廣東佛山·階段練習(xí)）計(jì)算：【答案】【知識(shí)點(diǎn)】含乘方的有理數(shù)混合運(yùn)算【分析】此題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算．先算乘方，化簡(jiǎn)絕對(duì)值，括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算，再算乘除法，最后算加減．【詳解】，，．5．（24-25七年級(jí)上·甘肅平?jīng)觥て谀┯?jì)算：(1)(2)【答案】(1)14(2)26【知識(shí)點(diǎn)】含乘方的有理數(shù)混合運(yùn)算【分析】本題考查有理數(shù)混合運(yùn)算，熟練掌握有理數(shù)運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．（1）先計(jì)算乘方，再計(jì)算乘法，最后計(jì)算加減即可（2）先計(jì)算乘方與求絕對(duì)值，再計(jì)算乘法，最后計(jì)算加減即可．【詳解】（1）解：原式；（2）解：原式．【題型3有理數(shù)的混合運(yùn)算中的新定義型問(wèn)題】例題：（24-25七年級(jí)上·河南周口·階段練習(xí)）定義一種新運(yùn)算：．如：．(1)_____；(2)求的值．【答案】(1)3(2)【知識(shí)點(diǎn)】含乘方的有理數(shù)混合運(yùn)算【分析】本題考查了新定義，以及含乘方的有理數(shù)的混合運(yùn)算，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)，代入數(shù)值計(jì)算，即可作答．（2）先算出，再計(jì)算，即可作答．【詳解】（1）解：依題意，，故答案為：3；（2）解：依題意，，．【變式訓(xùn)練】1．（24-25七年級(jí)上·貴州畢節(jié)·期中）對(duì)于任意有理數(shù)a，b，我們定義一種新運(yùn)算“”，規(guī)定：，如：．(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)49；(2)109．【知識(shí)點(diǎn)】含乘方的有理數(shù)混合運(yùn)算【分析】本題主要考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，理解新定義是解題的關(guān)鍵．（1）直接根據(jù)新定義的法則，結(jié)合有理數(shù)的相應(yīng)的運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算即可．（2）先根據(jù)新定義計(jì)算，再計(jì)算即可求解．【詳解】（1）解：．所以的值為49．（2）解：；．所以的值為109．2．（24-25七年級(jí)上·云南紅河·期中）【閱讀理解】材料一：類(lèi)比“有理數(shù)的乘方”的定義，我們規(guī)定：求若干個(gè)相同的非零有理數(shù)的商的運(yùn)算，叫作除方，如，等．把（記作讀作“的括號(hào)3次方”；把記作，讀作“3的括號(hào)4次方”．材料二：我們知道除法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算，例如：．(1)仿照上例，將下列除方運(yùn)算的結(jié)果寫(xiě)成冪的形式：①；②；(2)求的值．【答案】(1)①；②(2)【知識(shí)點(diǎn)】有理數(shù)乘除混合運(yùn)算、含乘方的有理數(shù)混合運(yùn)算【分析】本題考查有理數(shù)乘除運(yùn)算法則及對(duì)有理數(shù)乘方運(yùn)算的理解，理解新定義內(nèi)容，掌握有理數(shù)乘除法和有理數(shù)乘方的運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)除方的概念的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算；（2）根據(jù)除方內(nèi)容結(jié)合有理數(shù)的乘除法運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】（1）解：①；②．（2）解：．3．（24-25七年級(jí)上·遼寧阜新·期中）探究規(guī)律，完成相關(guān)題目．定義“*”運(yùn)算：；；；；；．(1)計(jì)算：①；②；③；(2)是否存在整數(shù)m，n，使得，若存在，直接寫(xiě)出的值，若不存在，說(shuō)明理由．【答案】(1)①29；②101；③，；(2)存在，或．【知識(shí)點(diǎn)】含乘方的有理數(shù)混合運(yùn)算【分析】本題考查有理數(shù)的運(yùn)算，新定義運(yùn)算；理解新定義是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)新定義進(jìn)行計(jì)算即可；（2）判斷，異號(hào)，根據(jù)題意求出的值為1或5，即可得到答案．【詳解】（1）解：①；②；③當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，；（2）解：存在，理由如下：，算出來(lái)的答案為負(fù)數(shù)，故，異號(hào)，m，n是整數(shù)，或，解得：或，或，綜上，的值為1或5，，．【題型4根據(jù)點(diǎn)在數(shù)軸的位置化簡(jiǎn)絕對(duì)值】例題：（23-24七年級(jí)上·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）有理數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的位置如圖所示，且．(1)填空：0；0．（“＜”或“＞”或“＝”填空）(2)化簡(jiǎn)代數(shù)式：．【答案】(1)；(2)【知識(shí)點(diǎn)】?jī)蓚€(gè)有理數(shù)的乘法運(yùn)算、有理數(shù)加法運(yùn)算、帶有字母的絕對(duì)值化簡(jiǎn)問(wèn)題、根據(jù)點(diǎn)在數(shù)軸的位置判斷式子的正負(fù)【分析】本題考查了利用數(shù)軸判斷式子的正負(fù)和化簡(jiǎn)絕對(duì)值，解題關(guān)鍵是得到式子的正負(fù)，兩數(shù)相乘，同號(hào)得正異號(hào)得負(fù)，絕對(duì)值不相等的異號(hào)兩數(shù)相加，和取絕對(duì)值較大的加數(shù)的符號(hào)．（1）根據(jù)和即可判斷正負(fù)；（2）先判斷絕對(duì)值內(nèi)式子的正負(fù)，再去掉絕對(duì)值進(jìn)行化簡(jiǎn)即可．【詳解】（1）解：∵，且，∴；故答案分別為：；；（2）解：∵且，∴，，∴．【變式訓(xùn)練】1．（23-24七年級(jí)上·廣東揭陽(yáng)·期中）已知a，b，c三個(gè)數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示．(1)試判斷式子的符號(hào)；(2)化簡(jiǎn)：．【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】?jī)蓚€(gè)有理數(shù)的乘法運(yùn)算、帶有字母的絕對(duì)值化簡(jiǎn)問(wèn)題、整式的加減運(yùn)算、根據(jù)點(diǎn)在數(shù)軸的位置判斷式子的正負(fù)【分析】（1）由a，b，c三個(gè)數(shù)在數(shù)軸上的位置得出，，得出，，即可得出結(jié)果；（2）由絕對(duì)值的意義求出各個(gè)絕對(duì)值，再合并即可．【詳解】（1）根據(jù)a，b，c三個(gè)數(shù)在數(shù)軸上的位置得：，，∴，，∴；（2）．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸和有理數(shù)的關(guān)系、絕對(duì)值的意義、整式的加減；熟練掌握數(shù)軸和有理數(shù)的關(guān)系、絕對(duì)值的意義，并能進(jìn)行推理計(jì)算是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．2．（23-24七年級(jí)上·四川瀘州·期末）在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，(1)判斷下列各式與的大?。孩伲虎?；③；(2)化簡(jiǎn)式子：．【答案】(1)①；②；③(2)【知識(shí)點(diǎn)】?jī)蓚€(gè)有理數(shù)的乘法運(yùn)算、有理數(shù)的加減混合運(yùn)算、帶有字母的絕對(duì)值化簡(jiǎn)問(wèn)題、根據(jù)點(diǎn)在數(shù)軸的位置判斷式子的正負(fù)【分析】（）根據(jù)數(shù)軸可得，，，再根據(jù)有理數(shù)的運(yùn)算法則即可求解；（）由，，判斷出的符號(hào)，根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)去掉絕對(duì)值符號(hào)，再合并即可得到結(jié)果；本題考查了絕對(duì)值、數(shù)軸及有理數(shù)的運(yùn)算，通過(guò)數(shù)軸判斷出絕對(duì)值符號(hào)里面式子的符號(hào)是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：由數(shù)軸可得，，，，∴，，，故答案為：，，；（2）解：∵，，∴，，∴原式，，．3．（24-25七年級(jí)上·重慶巴南·階段練習(xí)）有理數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置如圖：(1)用“”或“”填空：a_____0，_____0，_____0，_____．(2)化簡(jiǎn)：【答案】(1)；；；(2)【知識(shí)點(diǎn)】有理數(shù)的減法運(yùn)算、有理數(shù)加法運(yùn)算、有理數(shù)四則混合運(yùn)算、根據(jù)點(diǎn)在數(shù)軸的位置判斷式子的正負(fù)【分析】本題主要考查了有理數(shù)與數(shù)軸，有理數(shù)的四則混合計(jì)算，化簡(jiǎn)絕對(duì)值：（1）根據(jù)數(shù)軸可得，據(jù)此根據(jù)有理數(shù)的加減計(jì)算法則求解即可；（2）由（1）可知，，據(jù)此化簡(jiǎn)絕對(duì)值，然后根據(jù)有理數(shù)的四則混合計(jì)算法則求解即可．【詳解】（1）解：由數(shù)軸可知，，∴，故答案為：；；；；（2）解：由（1）可知，，∴．【題型5利用分類(lèi)討論數(shù)學(xué)思想化簡(jiǎn)絕對(duì)值】例題：（2024七年級(jí)上·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）數(shù)學(xué)思想·分類(lèi)討論已知，則的值是多少？【答案】3或或1或【知識(shí)點(diǎn)】帶有字母的絕對(duì)值化簡(jiǎn)問(wèn)題、有理數(shù)的除法運(yùn)算【分析】本題考查有理數(shù)的加減法及絕對(duì)值的性質(zhì)的應(yīng)用，熟練掌握絕對(duì)值的性質(zhì)和分類(lèi)討論的思想是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意得到，，，再根據(jù)題意分類(lèi)討論，即可得到答案．【詳解】解：∵，故，，，①當(dāng)，，都大于0時(shí)，原式；②當(dāng)，，都小于0時(shí)，原式；③當(dāng)，，中有一個(gè)大于0，兩個(gè)小于0時(shí)，原式；④當(dāng)，，中有一個(gè)小于0，兩個(gè)大于0時(shí)，原式．∴的值是3或或1或．【變式訓(xùn)練】1．（23-24七年級(jí)上·浙江杭州·期中）在學(xué)習(xí)一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值過(guò)程中，化簡(jiǎn)時(shí)，可以這樣分類(lèi)：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．請(qǐng)用這種方法解決下列問(wèn)題．(1)當(dāng)時(shí)，則______；當(dāng)時(shí)，則______．(2)已知，是有理數(shù)，當(dāng)時(shí)，試求的值．(3)已知，，是非零有理數(shù)，滿(mǎn)足且，求的值．【答案】(1)；(2)或(3)【知識(shí)點(diǎn)】有理數(shù)的除法運(yùn)算、絕對(duì)值的幾何意義【分析】此題主要考查了絕對(duì)值的意義和有理數(shù)的混合運(yùn)算，（1）直接將，代入求出答案；（2）分別利用，或，分析得出答案；（3）根據(jù)題意得出，，中有兩個(gè)為正數(shù)，一個(gè)為負(fù)數(shù)，設(shè)，，代入即可求解．【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，則；當(dāng)時(shí)，則故答案為：；（2）解：當(dāng)時(shí)，則，同號(hào)①當(dāng)，時(shí)，②當(dāng)，時(shí)，（3）解：由，得，，且，，中有兩個(gè)為正數(shù)，一個(gè)為負(fù)數(shù)不妨設(shè)，，則原式2．（23-24七年級(jí)上·浙江杭州·期中）在學(xué)習(xí)一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值過(guò)程中，化簡(jiǎn)時(shí)，可以這樣分類(lèi)：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．請(qǐng)用這種方法解決下列問(wèn)題．(1)當(dāng)時(shí)，則______；當(dāng)時(shí)，則______．(2)已知，是有理數(shù)，當(dāng)時(shí)，試求的值．(3)已知，，是非零有理數(shù)，滿(mǎn)足且，求的值．【答案】(1)；(2)或(3)【知識(shí)點(diǎn)】有理數(shù)的除法運(yùn)算、絕對(duì)值的幾何意義【分析】此題主要考查了絕對(duì)值的意義和有理數(shù)的混合運(yùn)算，（1）直接將，代入求出答案；（2）分別利用，或，分析得出答案；（3）根據(jù)題意得出，，中有兩個(gè)為正數(shù)，一個(gè)為負(fù)數(shù)，設(shè)，，代入即可求解．【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，則；當(dāng)時(shí)，則故答案為：；（2）解：當(dāng)時(shí)，則，同號(hào)①當(dāng)，時(shí)，②當(dāng)，時(shí)，（3）解：由，得，，且，，中有兩個(gè)為正數(shù)，一個(gè)為負(fù)數(shù)不妨設(shè)，，則原式3．（24-25七年級(jí)上·四川遂寧·階段練習(xí)）探究題：閱讀下列材料并解決有關(guān)問(wèn)題．我們知道，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．請(qǐng)用上面的結(jié)論解決下列問(wèn)題：(1)已知，是有理數(shù)，當(dāng)時(shí)，．(2)已知，，是有理數(shù)，當(dāng)時(shí)，．(3)已知，，，是有理數(shù)，當(dāng)時(shí)，的最大值是．【答案】(1)(2)或(3)【知識(shí)點(diǎn)】絕對(duì)值的幾何意義、有理數(shù)的除法運(yùn)算【分析】本題主要考查了絕對(duì)值的意義，（1）根據(jù)，得出，或，，然后根據(jù)絕對(duì)值的意義化簡(jiǎn)絕對(duì)值即可；（2）根據(jù)，得出a、b、c中有3個(gè)負(fù)數(shù)或一負(fù)兩正，然后根據(jù)絕對(duì)值的意義化簡(jiǎn)絕對(duì)值即可；（3）根據(jù)，得出、、、中有1個(gè)或3個(gè)負(fù)數(shù)，然后根據(jù)絕對(duì)值的意義化簡(jiǎn)絕對(duì)值即可求解．【詳解】（1）解：∵，∴a、b同號(hào)，即，或，，∴或；∴當(dāng)時(shí)，；故答案為：．（2）解：∵，∴a、b、c中有3個(gè)負(fù)數(shù)或兩正一負(fù)，當(dāng)a、b、c都是負(fù)數(shù)時(shí)，；當(dāng)a、b、c中有兩正一負(fù)時(shí)，設(shè)，；∴時(shí)，的值為或；故答案為：或．（3）解：∵，∴、、、中有1個(gè)或3個(gè)負(fù)數(shù)設(shè)，設(shè)，∴的最大值是【題型6利用點(diǎn)在數(shù)軸上的幾何意義化簡(jiǎn)絕對(duì)值】例題：（24-25七年級(jí)上·重慶萬(wàn)州·階段練習(xí)）閱讀下面材料：如圖，點(diǎn)在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)，則兩點(diǎn)之間的距離可以表示為，根據(jù)閱讀材料與你的理解回答下列問(wèn)題：(1)數(shù)軸上表示3與的兩點(diǎn)之間的距離是；(2)數(shù)軸上有理數(shù)x與有理數(shù)7所對(duì)應(yīng)兩點(diǎn)之間的距離用絕對(duì)值符號(hào)可以表示為；(3)代數(shù)式可以表示數(shù)軸上有理數(shù)x與有理數(shù)所對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離；若，則______；(4)求代數(shù)式的最小值為．【答案】(1)5(2)(3)43或7(4)504【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離、絕對(duì)值的幾何意義【分析】本題考查絕對(duì)值的幾何意義，數(shù)軸上兩點(diǎn)間距離公式：（1）根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)間距離公式即可求解；（2）根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)間距離公式即可求解；（3）表示數(shù)軸上有理數(shù)x與25所對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離為18，由此可解；（4）先計(jì)算的最小值，結(jié)合數(shù)軸，可得的最小值為．【詳解】（1）解：數(shù)軸上表示3與的兩點(diǎn)之間的距離是：，故答案為：5；（2）解：數(shù)軸上有理數(shù)x與有理數(shù)7所對(duì)應(yīng)兩點(diǎn)之間的距離用絕對(duì)值符號(hào)可以表示為：，故答案為：；（3）解：表示數(shù)軸上有理數(shù)x與25所對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離為18，因此或，故答案為：43或7；（4）解：當(dāng)時(shí)，有最小值，最小值為：，所以，當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為：504．故答案為：504．【變式訓(xùn)練】1．（24-25七年級(jí)上·河南駐馬店·期末）同學(xué)們都知道，表示4與之差的絕對(duì)值，實(shí)際上也可以理解為4與兩數(shù)在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離．例如，的幾何意義是數(shù)軸上表示有理數(shù)5的點(diǎn)與表示有理數(shù)的點(diǎn)之間的距離．根據(jù)所學(xué)知識(shí)試探索下列問(wèn)題的答案．(1)若，則．(2)請(qǐng)找出符合條件的，使得．(3)由以上探索猜想：對(duì)于任何有理數(shù)是否有最小值？如果有，寫(xiě)出最小值；如果沒(méi)有，說(shuō)明理由．【答案】(1)1(2)或(3)有最小值，最小值為4【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離、絕對(duì)值的幾何意義【分析】本題考查了絕對(duì)值的幾何意義，會(huì)利用絕對(duì)值的幾何意義是解題的關(guān)鍵．（1）將改寫(xiě)成規(guī)定形式：，再根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義求解；（2）將改寫(xiě)成規(guī)定形式：，表示在數(shù)軸上找出某點(diǎn)，使它到與它到2的距離之和為9，畫(huà)出數(shù)軸，分類(lèi)討論求解；（3）的最小值表示在數(shù)軸上找出某點(diǎn)，使它到2的距離與它到6的距離之和最小，畫(huà)出數(shù)軸分析求解即可．【詳解】（1）解：將改寫(xiě)成規(guī)定形式：，表示在數(shù)軸上找出某一點(diǎn)，使它到5與它到的距離相等，根據(jù)幾何意義可知，它是5和的中點(diǎn)，畫(huà)出數(shù)軸知，；故答案為：1；（2）解：將改寫(xiě)成規(guī)定形式：，表示在數(shù)軸上找出某點(diǎn)，使它到與它到2的距離之和為9，畫(huà)出數(shù)軸如下：觀察發(fā)現(xiàn)：當(dāng)在與2之間（包括這兩點(diǎn)）時(shí)，到與到2的距離之和為.所以討論如下：當(dāng)時(shí)，是負(fù)數(shù)，也是負(fù)數(shù)，，解得；當(dāng)時(shí)，是非負(fù)數(shù)，是非正數(shù)，，無(wú)解；當(dāng)時(shí)，是正數(shù)，也是正數(shù)，，解得.所以，或滿(mǎn)足；（3）解：有最小值，最小值為4，理由如下：就是規(guī)定形式，的最小值表示在數(shù)軸上找出某點(diǎn)，使它到2的距離與它到6的距離之和最小，畫(huà)出數(shù)軸如下：觀察發(fā)現(xiàn)：當(dāng)在2與6之間時(shí)（包括這兩點(diǎn)），到2的距離與到6的距離之和是4；當(dāng)和時(shí)，到2的距離與到6的距離之和都大于4，所以有最小值，最小值為4．2．（24-25七年級(jí)上·云南曲靖·期中）閱讀下面材料：點(diǎn)A、B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a、b，在數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)之間的距離．回答下列問(wèn)題：(1)數(shù)軸上表示和1兩點(diǎn)之間的距離是____，數(shù)軸上表示x和2的兩點(diǎn)之間的距離是____；(2)數(shù)軸上表示a和1的兩點(diǎn)之間的距離為6，則a表示的數(shù)為_(kāi)___；(3)若x表示一個(gè)有理數(shù)，則有最小值嗎？若有，請(qǐng)求出最小值；若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)4，(2)或(3)有最小值，6【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離、絕對(duì)值的幾何意義【分析】本題考查了數(shù)軸，絕對(duì)值的性質(zhì)；（1）根據(jù)在數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)之間的距離為即可求解；（2）根據(jù)在數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)之間的距離為列方程即可求解；（3）根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義，即可得解．【詳解】（1）解：數(shù)軸上表示和1兩點(diǎn)之間的距離是，數(shù)軸上表示x和2的兩點(diǎn)之間的距離是，故答案為：4，；（2）解：∵數(shù)軸上表示a和1的兩點(diǎn)之間的距離為，∴或，故答案為：或．（3）解：∵數(shù)軸上表示x和的兩點(diǎn)之間的距離是，數(shù)軸上表示x和的兩點(diǎn)之間的距離是，數(shù)軸上表示和的兩點(diǎn)之間的距離是，∴在數(shù)軸上的幾何意義是：表示有理數(shù)x的點(diǎn)到及到4的距離之和，∴當(dāng)，即表示有理數(shù)x的點(diǎn)在和4之間時(shí)，它的最小值為6．3．（24-25七年級(jí)上·廣東湛江·期中）先閱讀，結(jié)合數(shù)軸與絕對(duì)值的知識(shí)回答下列問(wèn)題：【閱讀】：表示與差的絕對(duì)值，也可理解為與兩數(shù)在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離；可以看作，表示與的差的絕對(duì)值，也可理解為與兩數(shù)在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離．【探索】：(1)數(shù)軸上表示和兩點(diǎn)之間的距離是________；一般地、數(shù)軸上表示數(shù)和數(shù)的兩點(diǎn)之間的距離等于．如果表示數(shù)和的兩點(diǎn)之間的距離是，那么的值為_(kāi)_______．(2)若，，且數(shù)、在數(shù)軸上表示的點(diǎn)分別是點(diǎn)、點(diǎn)，則、兩點(diǎn)間的最大距離是________，最小距離是________；(3)利用數(shù)軸找出所有符合條件的整數(shù)點(diǎn)，使得，這些點(diǎn)表示的數(shù)的和是________．(4)應(yīng)用：小明媽媽要租房，使小明到學(xué)校與媽媽到上班地點(diǎn)距離和最小，若把租房地記作，媽媽上班地點(diǎn)記作，小明學(xué)校記作2，那么距離和的最小值是：________．(5)拓展：的最小值是：________．【答案】(1)，或；(2)，；(3)；(4)；(5)．【知識(shí)點(diǎn)】絕對(duì)值的幾何意義、帶有字母的絕對(duì)值化簡(jiǎn)問(wèn)題、數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離【分析】本題主要考查了數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離、絕對(duì)值．解決本題的關(guān)鍵在于根據(jù)數(shù)軸上點(diǎn)的位置去掉絕對(duì)值符號(hào)，解題過(guò)程中要注意分類(lèi)討論．（1）根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離公式求出表示和兩點(diǎn)之間的距離；根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離公式列出關(guān)于的方程，解方程求出；（2）首先根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)分別求出、的值，再根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離公式分情況求出點(diǎn)、點(diǎn)之間的距離，通過(guò)比較找出最大距離和最小距離；（3）根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離，可知當(dāng)時(shí)，，找到之間的所有整數(shù)并求和即可；（4）分情況求出的取值范圍，根據(jù)取值范圍確定的最小值；（5）由（4）可知，當(dāng)時(shí)，有最小值，根據(jù)規(guī)律去掉絕對(duì)值符號(hào)求合即可．【詳解】（1）解：數(shù)軸上表示和兩點(diǎn)之間的距離是；表示數(shù)和的兩點(diǎn)之間的距離是，，整理得：，解得：或；故答案為：；或；（2）解：，，解得：或，，，解得：或，當(dāng)，時(shí)，，當(dāng)，時(shí)，，當(dāng)，時(shí)，，當(dāng)，時(shí)，，、兩點(diǎn)間的最大距離是，最小距離是；（3）解：如下圖所示，，表示數(shù)軸上表示的點(diǎn)到表示數(shù)的點(diǎn)之間的距離，表示數(shù)軸上表示的點(diǎn)到表示數(shù)的點(diǎn)之間的距離，表示到點(diǎn)和的距離之和等于的點(diǎn)，從數(shù)軸上可知，表示數(shù)的點(diǎn)在數(shù)軸上表示數(shù)和之間，這些點(diǎn)表示的數(shù)有、、、、、、、，這些點(diǎn)表示的數(shù)的和是，故答案為：；（4）解：當(dāng)時(shí)，，，，；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，，，距離和的最小值是：；（5）解：由可知當(dāng)時(shí)，有最小值，，故答案為：．一、單選題1．（23-24七年級(jí)上·青海西寧·期中）計(jì)算的結(jié)果等于（

）A．10 B． C．5 D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】有理數(shù)乘除混合運(yùn)算【分析】本題考查了有理數(shù)的乘除運(yùn)算，先把除法轉(zhuǎn)化為乘法，然后根據(jù)有理數(shù)的乘法法則計(jì)算即可．【詳解】解∶，故選∶C．2．（2025·河南開(kāi)封·二模）實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上的位置如圖所示，下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)點(diǎn)在數(shù)軸的位置判斷式子的正負(fù)、有理數(shù)的除法運(yùn)算、有理數(shù)的減法運(yùn)算、兩個(gè)有理數(shù)的乘法運(yùn)算【分析】此題考查了數(shù)軸與絕對(duì)值，有理數(shù)的運(yùn)算，弄清數(shù)軸上點(diǎn)的位置是解本題的關(guān)鍵．根據(jù)數(shù)軸上點(diǎn)的位置判斷，且，再進(jìn)一步分析即可．【詳解】解：由數(shù)軸上的點(diǎn)位置得：，且，∴，，，，故選：B．3．（24-25七年級(jí)上·山東濟(jì)南·期中）已知非零實(shí)數(shù)，，滿(mǎn)足，且，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】有理數(shù)除法的應(yīng)用、帶有字母的絕對(duì)值化簡(jiǎn)問(wèn)題【分析】本題主要考查絕對(duì)值的性質(zhì)，對(duì)已知條件進(jìn)行分析，借助有理數(shù)的加法法則，假設(shè)，，之間的關(guān)系，是本題解題關(guān)鍵．對(duì)已知條件進(jìn)行分析，由，，的對(duì)稱(chēng)性，不妨設(shè)，則，由此即可求解【詳解】解∶∵，且，∴，，中有一個(gè)為，不妨設(shè)，則，∴，不妨設(shè)，則，∴故選∶．4．（23-24七年級(jí)上·四川眉山·期末）定義一種對(duì)正整數(shù)的“運(yùn)算”：①當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，結(jié)果為；②當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，結(jié)果為（其中是使為奇數(shù)的正整數(shù)）并且運(yùn)算重復(fù)進(jìn)行，例如：時(shí)，其“運(yùn)算”如下：若，則第次“運(yùn)算”的結(jié)果是（

）A． B． C． D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】程序流程圖與有理數(shù)計(jì)算【分析】本題考查了程序流程圖與有理數(shù)計(jì)算，根據(jù)運(yùn)算法則可得從第五次開(kāi)始，奇數(shù)次輸出的結(jié)果為，偶數(shù)次輸出的結(jié)果為，據(jù)此即可求解，找到變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：由題意可得，當(dāng)時(shí)，第一次輸出的結(jié)果為，第二次輸出的結(jié)果為，第三次輸出的結(jié)果為，第四次輸出的結(jié)果為，第五次輸出的結(jié)果為，第六次輸出的結(jié)果為，第七次輸出的結(jié)果為，第八次輸出的結(jié)果為，，∴從第五次開(kāi)始，奇數(shù)次輸出的結(jié)果為，偶數(shù)次輸出的結(jié)果為，∴第次“運(yùn)算”的結(jié)果是，故選：．二、填空題5．（24-25七年級(jí)上·北京順義·期末）計(jì)算：.【答案】/【知識(shí)點(diǎn)】有理數(shù)乘除混合運(yùn)算【分析】本題考查了有理數(shù)的乘除運(yùn)算，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握有理數(shù)的乘除法則．先根據(jù)有理數(shù)的除法法則，把除法化成乘法，然后根據(jù)有理數(shù)的乘法法則計(jì)算即可．【詳解】解：原式，，，故答案為：．6．（2025·四川資陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）有理數(shù)m、n對(duì)應(yīng)點(diǎn)在數(shù)軸上的位置，若圖所示，則下列關(guān)系中正確的有（填寫(xiě)序號(hào)）．①；②；③；④；⑤．【答案】①③⑤【知識(shí)點(diǎn)】絕對(duì)值的幾何意義、利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大小、根據(jù)點(diǎn)在數(shù)軸的位置判斷式子的正負(fù)【分析】本題考查了數(shù)軸，有理數(shù)的大小比較等知識(shí)，由數(shù)軸可得，，逐一判斷即可，掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：由數(shù)軸可得：，，∵，，∴，故①符合題意；∵，∴，故②不符合題意；∵，∴，，又∵，∴，故③符合題意；∵，∴，故④不符合題意；∵，，∴，故⑤符合題意；綜上，符合題意的有①③⑤，故答案為：①③⑤．7．（24-25七年級(jí)上·西藏林芝·期中）新定義：規(guī)定“”是一種數(shù)學(xué)運(yùn)算符號(hào)，且，，，，，則．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】有理數(shù)乘除混合運(yùn)算【分析】本題考查了有理數(shù)乘除混合運(yùn)算，理解新運(yùn)算的定義是解題關(guān)鍵．根據(jù)新運(yùn)算的定義將所求的式子進(jìn)行轉(zhuǎn)化，再計(jì)算有理數(shù)的乘除法即可得．【詳解】解：由題意得：，故答案為：．8．（24-25七年級(jí)上·安徽蚌埠·期中）下列結(jié)論：①若為有理數(shù)，則；②若，則；③若，則；④若，則，則其中正確的結(jié)論的是（填序號(hào)）．【答案】②【知識(shí)點(diǎn)】絕對(duì)值的幾何意義、有理數(shù)除法的應(yīng)用、絕對(duì)值非負(fù)性【分析】此題主要考查了有理數(shù)的運(yùn)算，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，絕對(duì)值的意義，理解絕對(duì)值的意義，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握有理數(shù)的運(yùn)算是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．①根據(jù)a為有理數(shù)得，由此可對(duì)該結(jié)論進(jìn)行判斷；②根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得，，則，由此可對(duì)該結(jié)論進(jìn)行判斷；③根據(jù)得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，沒(méi)有意義，由此可對(duì)該結(jié)論進(jìn)行判斷；④根據(jù)得：（Ⅰ）當(dāng)a、b、c中有兩正一負(fù)時(shí)，不妨假設(shè)a、b為正，c為負(fù)，則一，(Ⅱ)當(dāng)a、b、c都是負(fù)數(shù)時(shí)，則，由此可對(duì)該結(jié)論進(jìn)行判斷，綜上所述即可得出答案．【詳解】解：①為有理數(shù)，，故結(jié)論①不正確；②，，又，，，，故結(jié)論②正確；③，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，沒(méi)有意義，故結(jié)論③不正確；④，有以下兩種情況：（I）當(dāng)a、b、c中有兩正一負(fù)時(shí)，不妨假設(shè)a、b為正，c為負(fù)，，，，；(II）當(dāng)a、b、c都是負(fù)數(shù)時(shí)，則，，，，故結(jié)論④不正確；綜上所述：正確的結(jié)論是②，故答案為：②．三、解答題9．（24-25七年級(jí)上·湖南長(zhǎng)沙·階段練習(xí)）計(jì)算：(1)；(2)．【答案】(1)2(2)11【知識(shí)點(diǎn)】有理數(shù)乘法運(yùn)算律、有理數(shù)乘除混合運(yùn)算【分析】本題主要考查了有理數(shù)混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握有理數(shù)混合運(yùn)算法則，“先算乘方，再算乘除，最后算加減，有小括號(hào)的先算小括號(hào)里面的”．（1）根據(jù)有理數(shù)乘除混合運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可；（2）根據(jù)有理數(shù)乘法的分配律進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】（1）解：；（2）解：．10．（24-25七年級(jí)上·山西呂梁·期末）計(jì)算：(1)(2)【答案】(1)30(2)4【知識(shí)點(diǎn)】含乘方的有理數(shù)混合運(yùn)算、有理數(shù)乘法運(yùn)算律【分析】本題主要考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．（1）原式先計(jì)算乘方，再運(yùn)用乘法分配律進(jìn)行計(jì)算即可；（2）原式先計(jì)算乘方和化簡(jiǎn)絕對(duì)值，再計(jì)算除法，最后計(jì)算加減法即可．【詳解】（1）解：；（2）解：11．（24-25七年級(jí)上·山東聊城·期末）計(jì)算(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【知識(shí)點(diǎn)】有理數(shù)乘法運(yùn)算律、含乘方的有理數(shù)混合運(yùn)算、有理數(shù)的除法運(yùn)算【分析】本題考查了有理數(shù)的計(jì)算，包括有理數(shù)的乘方、絕對(duì)值、乘除法和加減法．【詳解】（1）解：原式（2）解：原式（3）解：原式12．（24-25七年級(jí)上·甘肅定西·期中）我們定義一種新運(yùn)算：．例如：．(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)1(2)4【知識(shí)點(diǎn)】含乘方的有理數(shù)混合運(yùn)算【分析】本題主要考查了新定義，含乘方的有理數(shù)混合計(jì)算：（1）根據(jù)新定義得到，據(jù)此代值計(jì)算即可；（2）根據(jù)新定義得到，再根據(jù)，進(jìn)行計(jì)算求解即可．【詳解】（1）解：由題意得：；（2）解：．13．（24-25七年級(jí)上·湖北恩施·期中）已知有理數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，且．(1)求與的值．(2)化簡(jiǎn)：．【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)點(diǎn)在數(shù)軸的位置判斷式子的正負(fù)、有理數(shù)四則混合運(yùn)算、帶有字母的絕對(duì)值化簡(jiǎn)問(wèn)題、有理數(shù)的除法運(yùn)算【分析】（1）根據(jù)數(shù)軸可得，再由得到，據(jù)此求解即可；（2）由數(shù)軸可知，據(jù)此化簡(jiǎn)絕對(duì)值并計(jì)算求解即可．【詳解】（1）解：∵，且，∴，∴；（2）解：由數(shù)軸可知，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了有理數(shù)與數(shù)軸，有理數(shù)的四則混合計(jì)算，有理數(shù)的除法和加法計(jì)算，化簡(jiǎn)絕對(duì)值等等，熟練掌握相關(guān)計(jì)算法則是解題的關(guān)鍵．14．（24-25七年級(jí)上·浙江金華·階段練習(xí)）定義新運(yùn)算：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)其中，是實(shí)數(shù)，如．計(jì)算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)．【知識(shí)點(diǎn)】含乘方的有理數(shù)混合運(yùn)算【分析】（）根據(jù)新定義列出算式，然后根據(jù)運(yùn)算法則即可求解；（）根據(jù)新定義列出算式，然后根據(jù)運(yùn)算法則即可求解；本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：；（2）解：，則．15．（24-25七年級(jí)上·福建漳州·期中）結(jié)合數(shù)軸與絕對(duì)值的知識(shí)回答下列問(wèn)題：(1)數(shù)軸上表示1和4的兩點(diǎn)之間的距離是_______；數(shù)軸上表示和2兩點(diǎn)之間的距離是_______；一般地，數(shù)軸上表示數(shù)和數(shù)的兩點(diǎn)之間的距離等于．如數(shù)軸上表示數(shù)與數(shù)5兩點(diǎn)之間的距離等于．(2)若數(shù)軸上的點(diǎn)表示的數(shù)，求的最小值；(3)若數(shù)軸上的點(diǎn)表示的數(shù)，當(dāng)?shù)淖钚≈禐?0（為常數(shù)），求的值．【答案】(1)，(2)6(3)或【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離、帶有字母的絕對(duì)值化簡(jiǎn)問(wèn)題、絕對(duì)值的幾何意義【分析】本題考查了絕對(duì)值在數(shù)軸上的應(yīng)用，關(guān)鍵判斷正負(fù)去掉絕對(duì)值符號(hào)．（1）直接用兩數(shù)相減的絕對(duì)值求出兩點(diǎn)的距離；（2）根據(jù)a的大小判斷出絕對(duì)值符號(hào)里面結(jié)果的正負(fù)，再去掉絕對(duì)值符號(hào)求值；（3）根據(jù)a的取值范圍結(jié)合數(shù)軸解答即可．【詳解】（1）解：數(shù)軸上表示4和1的兩點(diǎn)之間的距離是，數(shù)軸上表示和2兩點(diǎn)之間的距離是；（2）解：當(dāng)數(shù)軸上表示數(shù)的點(diǎn)位于表示數(shù)與2兩點(diǎn)之間時(shí)（包括這兩點(diǎn)），的值為6；當(dāng)數(shù)軸上表示數(shù)的點(diǎn)在表示數(shù)2的點(diǎn)的右邊時(shí)，的值大于6；當(dāng)數(shù)軸上表示數(shù)的點(diǎn)在表示數(shù)的點(diǎn)的左邊時(shí)，的值大于6；所以的最小值為6；（3）解：當(dāng)時(shí)，的最小值為6，不合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，要使的最小值為10，結(jié)合數(shù)軸可得；當(dāng)時(shí)，要使的最小值為10，結(jié)合數(shù)軸可得；綜上所述或．16．（24-25八年級(jí)上·湖南邵陽(yáng)·期末）定義新運(yùn)算：，（右邊的運(yùn)算為平常的加、減、乘、除）．例如：，．若，則稱(chēng)有理數(shù)，為“隔一數(shù)對(duì)”．例如：，，，所以2，3就是一對(duì)“隔一數(shù)對(duì)”．(1)下列各組數(shù)是“隔一數(shù)對(duì)”的是______（請(qǐng)?zhí)钚蛱?hào)）．①，；②，；(2)計(jì)算：．(3)已知兩個(gè)連續(xù)的非零整數(shù)都是“隔一數(shù)對(duì)”．計(jì)算：．【答案】(1)①(2)(3)【知識(shí)點(diǎn)】有理數(shù)四則混合運(yùn)算【分析】本題考查有理數(shù)的定義新運(yùn)算，仔細(xì)審題，理解題干中的新定義，熟練掌握有理數(shù)的混合運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．（1）按照題干定義進(jìn)行計(jì)算，判斷是否滿(mǎn)足條件即可；（2）直接根據(jù)題目定義分別計(jì)算各項(xiàng)，然后再合并求解即可；（3）根據(jù)定義進(jìn)行變形和拆項(xiàng)，然后根據(jù)規(guī)律求解即可．【詳解】（1）解：①；∵，，∴，則①是“隔一數(shù)對(duì)”；②；∵，，∴，則②不是“隔一數(shù)對(duì)”；故答案為：①；（2）解：；（3）解：．17．（2024七年級(jí)上·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中，我們常用到“分類(lèi)討論”的數(shù)學(xué)思想，