極限部分試題及答案

單項選擇題(每題2分,共10題)1.$\lim\limits_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=$(）A.0B.1C.-1D.不存在2.當(dāng)$x\to0$時,$x^2$是比$x$()的無窮小。A.高階B.低階C.同階D.等價3.$\lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^x=$()A.0B.1C.eD.$\infty$4.若$\lim\limits_{x\toa}f(x)$存在,則$f(x)$在$x=a$處()A.有定義B.無定義C.不一定有定義D.以上都不對5.已知$\lim\limits_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}=$()A.0B.1C.2D.不存在6.當(dāng)$x\to0$時,與$x$等價的無窮小是()A.$2x$B.$x^2$C.$\sinx$D.$\cosx$7.$\lim\limits_{x\to0}\frac{1-\cosx}{x^2}=$()A.0B.$\frac{1}{2}$C.1D.28.若$\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=A$,則當(dāng)$x$足夠大時,$f(x)$與$A$的關(guān)系是()A.相等B.無限接近C.大于D.小于9.$\lim\limits_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=$()A.0B.1C.-1D.不存在10.函數(shù)$y=\frac{1}{x-1}$在$x\to1$時的極限為()A.0B.1C.$\infty$D.不存在多項選擇題(每題2分,共10題)1.以下哪些是無窮小量()A.當(dāng)$x\to0$時,$x$B.當(dāng)$x\to\infty$時,$\frac{1}{x}$C.當(dāng)$x\to0$時,$\sinx$D.當(dāng)$x\to0$時,$1-\cosx$2.極限存在的準則有(）A.夾逼準則B.單調(diào)有界準則C.等價無窮小替換準則D.洛必達法則3.當(dāng)$x\to0$時,下列哪些與$x$是同階無窮小()A.$2x$B.$x+x^2$C.$\tanx$D.$\sqrt{x}$4.下列極限值為1的有()A.$\lim\limits_{x\to0}\frac{\sinx}{x}$B.$\lim\limits_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}$C.$\lim\limits_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}$D.$\lim\limits_{x\to0}(1+x)^{\frac{1}{x}}$5.計算極限的方法有()A.直接代入法B.約去零因子法C.分子分母有理化法D.等價無窮小替換法6.若$\lim\limits_{x\toa}f(x)$與$\lim\limits_{x\toa}g(x)$都存在,則()A.$\lim\limits_{x\toa}[f(x)+g(x)]$存在B.$\lim\limits_{x\toa}[f(x)-g(x)]$存在C.$\lim\limits_{x\toa}[f(x)g(x)]$存在D.$\lim\limits_{x\toa}\frac{f(x)}{g(x)}$($g(a)\neq0$)存在7.以下說法正確的是(）A.無窮小與有界函數(shù)的乘積是無窮小B.無窮大與無窮大的乘積是無窮大C.無窮小與無窮大的乘積是1D.兩個無窮小的和是無窮小8.當(dāng)$x\to\infty$時,以下哪些函數(shù)極限為0()A.$\frac{1}{x^2}$B.$\frac{\sinx}{x}$C.$e^{-x}$D.$\frac{1}{x+1}$9.等價無窮小在()情況下可以替換。A.乘除運算B.加減運算C.復(fù)合函數(shù)中D.任何運算10.下列極限中,極限值為$\infty$的有()A.$\lim\limits_{x\to0^+}\frac{1}{x}$B.$\lim\limits_{x\to0^-}\frac{1}{x}$C.$\lim\limits_{x\to\infty}x^2$D.$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{1}{x}$判斷題(每題2分,共10題)1.無窮小量就是很小很小的數(shù)。()2.若$\lim\limits_{x\toa}f(x)=A$,則$f(a)=A$。（)3.兩個無窮小的商一定是無窮小。()4.$\lim\limits_{x\to\infty}\sinx$不存在。()5.當(dāng)$x\to0$時,$x$與$x^2$是等價無窮小。（)6.極限$\lim\limits_{x\to0}\frac{1}{x}$存在。()7.單調(diào)有界數(shù)列必有極限。()8.等價無窮小替換只能在乘除運算中使用。()9.若$\lim\limits_{x\toa}f(x)$存在,$\lim\limits_{x\toa}g(x)$不存在,則$\lim\limits_{x\toa}[f(x)+g(x)]$不存在。(）10.當(dāng)$x\to\infty$時,$e^x$是無窮大。（）簡答題(每題5分,共4題)1.簡述無窮小的定義。答:在某一過程中,以零為極限的變量稱為無窮小量。2.什么是等價無窮小?答：在某一過程中,兩個無窮小之比的極限為1,則這兩個無窮小是等價無窮小。3.簡述極限存在的夾逼準則。答:若在某一變化過程中,函數(shù)$f(x)$,$g(x)$,$h(x)$滿足$g(x)\leqf(x)\leqh(x)$,且$\limg(x)=\limh(x)=A$,則$\limf(x)=A$。4.簡述單調(diào)有界準則。答:單調(diào)遞增且有上界的數(shù)列必有極限,單調(diào)遞減且有下界的數(shù)列必有極限。討論題(每題5分,共4題)1.討論極限在實際生活中的應(yīng)用。答:極限在實際生活中應(yīng)用廣泛,如在計算物體的瞬時速度、曲線的切線斜率、不規(guī)則圖形面積等方面。通過極限概念,可將復(fù)雜變化過程簡化為近似計算,進而解決很多實際問題。2.分析等價無窮小替換在極限計算中的作用和注意事項。答:作用是簡化極限計算,將復(fù)雜無窮小替換為簡單等價形式。注意事項:只能在乘除運算中使用,在加減運算中使用時需謹慎,要保證替換后不改變極限值。3.探討極限與函數(shù)連續(xù)性的關(guān)系。答:函數(shù)在某點連續(xù)的充要條件是函數(shù)在該點的極限值等于函數(shù)值。極限是研究函數(shù)連續(xù)性的基礎(chǔ),若極限不存在或極限值與函數(shù)值不等,則函數(shù)在該點不連續(xù)。4.談?wù)勅绾卫斫鉄o窮大與無窮小的關(guān)系。答:在自變量的同一變化過程中,若$f(x)$為無窮大,則$\frac{1}{f(x)}$為無窮小;反之,若$f(x)$為無窮小且$f(x)\neq0$,則$\frac{1}{f(x)}$為無窮大,二者相互依存。答案單項選擇題1.B2.A3.C4.C