第二十四章圓第5課圓周角(2)——圓內(nèi)接四邊形

知識點(diǎn)

圓內(nèi)接四邊形

如果一個(gè)多邊形的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，這個(gè)多邊形叫

做圓內(nèi)接多邊形，這個(gè)圓叫做這個(gè)多邊形的外接圓．

如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形．求證：∠A＋∠C＝

180°，∠B＋∠D＝180°.

360180180

其他證明方法：如圖，作直徑AE交⊙O于點(diǎn)E，連接DE，BE.

∵AE是⊙O的直徑，∴∠ADE＝∠ABE＝90°.∵∠ADE＋∠DEB＋∠ABE＋∠BAD＝360°，∴∠DEB＋

∠BAD＝180°.

由圓周角定理的推論，得∠BCD＝∠DEB.

∴∠BAD＋∠BCD＝

180°.

由四邊形內(nèi)角和為360°，得∠ABC＋∠ADC＝180°.

圓內(nèi)接四邊形的對角

?．互補(bǔ)

1．

【例1】(紹興中考)如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，若∠D＝

100°，則∠B＝

?．80°

2．

(北師九下P81習(xí)題T2改編)如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，已知

∠ADC＝140°，則∠ABC＝

，∠AOC＝

?．40°80°

3．

【例2】(人教九上P88練習(xí)T5改編)如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于

⊙O.

求證：∠DCE＝∠A．

證明：∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠A＋∠DCB＝180°.∵∠DCE＋∠DCB＝180°，∴∠DCE＝∠A．

4．

如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠DAE是四邊形ABCD的一

個(gè)外角，且DB＝DC.

求證：AD平分∠CAE.

證明：∵DB＝DC，∴∠DBC＝∠DCB.

∵∠EAD＋∠BAD＝180°，∠BAD＋∠DCB＝180°，∴∠EAD＝∠DCB.

∵∠DAC＝∠DBC＝∠DCB，∴∠EAD＝∠DAC.

∴AD平分∠CAE.

1．

(北師九下P81習(xí)題T2變式)如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊

形，若∠AOC＝160°，則∠ABC的度數(shù)是(

B

)A．

80°B．

100°C．

140°D．

160°B

2．

如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，BC是⊙O的直徑，

BC＝2CD，則∠BAD的度數(shù)是

?．120°

3．

(2024廣元)如圖，已知四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，E為

AD延長線上一點(diǎn)，∠AOC＝128°，則∠CDE等于(

A

)A．

64°B．

60°C．

54°D．

52°A

4．

如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠1＝∠2，延長BC到點(diǎn)E，

使得CE＝AB，連接ED.

求證：BD＝ED.

證明：∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠A＋∠DCB＝180°.∵∠DCB＋∠DCE＝180°，∴∠A＝∠DCE.

又∵AB＝CE，∴△ABD≌△CED(SAS)．

∴BD＝ED.

5．

(人教九上P90習(xí)題T13改編)(2024濱州)如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于

⊙O，若四邊形OABC為菱形，則∠D＝

?°.60

6．

(拓展題)(北京中考)如圖，圓內(nèi)接四邊形ABCD的對角線AC，

BD交于點(diǎn)E，BD平分∠ABC，∠BAC＝∠ADB.

(1)求證：DB平分∠ADC，并求∠BAD的大??；

(1)證明：∵∠BAC＝∠ADB，∠BAC＝∠CDB，∴∠ADB＝

∠CDB.

∴BD平分∠ADC.

∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD.

∵四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，∴∠ABC＋∠ADC＝180°.∴∠ABD＋∠CBD＋∠ADB＋∠CDB＝180°.∴2(∠ABD＋∠ADB)＝180°.∴∠ABD＋∠ADB＝90°.∴∠BAD＝180°－90°＝90°.

(2)過點(diǎn)C作CF∥AD交AB的延長線于點(diǎn)F，若AC＝AD，BF＝

2，求此圓半徑的長．

(2)解：∵∠BAE＋∠DAE＝90°，

∠BAE＝∠ADE，∴∠ADE＋∠DAE＝90°.∴∠AED＝90°.∵∠BAD＝90°，∴BD是圓的直徑．

∴BD垂直平分AC.

∴AD＝CD.

∵AC＝AD，∴△ACD是等邊三角形．∴∠ADC＝60°.

∵CF∥AD，∴∠F＋∠BAD＝180°.∴∠F＝90°.∵四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，∴∠ADC＋∠ABC＝180°.∵∠FBC＋∠ABC＝180°