數(shù)學(xué)選修2-2知識點總結(jié)

一、導(dǎo)數(shù)

1,函數(shù)日勺平均變化率為包=包=/（占）―/（e）=/a+AX）―/（M）

AxAxx2-芭Av

注1：其中a是自變量的變化量，可正，可負(fù)，可零。

注2：函數(shù)歐I平均變化率可以看作是物體運(yùn)動日勺壬均速度。

2、導(dǎo)函數(shù)的概念：函數(shù)），=/（=在＞=/處H勺瞬時變化率是1加包=］而/（"。+9一/”。）,則

ADAx&VToAx

稱函數(shù)y=〃x）在點勺處可導(dǎo),并把這個極限叫做），=/（x）在X。處的導(dǎo)數(shù)，記作尸（胸）或

yIf，即/'（A-o）=lim包=lim＞一十―（X。）.

3.函數(shù)的平均變化率日勺幾何意義是割線的斜率；

函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是切線日勺斜率。

4導(dǎo)數(shù)的背景（1）切線的斜率；（2）瞬時速度;

5、常見的函數(shù)導(dǎo)數(shù)

函數(shù)導(dǎo)函數(shù)

y=c_y*=0

y=xn(/?GN")y'=nx''~x

>■=優(yōu)(4>()M01)y'=axIn67

_.v

y=ey?■，=ex

,1

y=log”x(a>0,aw1,戈>0)

x\ina

,1

y=Inxy=-

X

y=sinxy*=cosx

y=cosxy'=-sinx

6、常見日勺導(dǎo)數(shù)和定積分運(yùn)算公式:若/(x),g(x)均可導(dǎo)(可積)，則有:

和差日勺導(dǎo)數(shù)運(yùn)算[f(x)±g(x)]=fXx)±g\x)

"3?g(x)]=f'(x)g(x)±f(x)gXx)

積的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算

尤其他：[cy(x)]'=cr(x)

[犯]:fa)ga)-4')g'")(g(x)豐o)

Lg。)」[g(x)了

商的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算

尤其延島卜襦

f99

復(fù)合函數(shù)H勺導(dǎo)數(shù)

yx=)『％

"耳沖=

微積分基本定理

(其中「(x)=〃x))

￡[/(x)±f2(x)Kr=￡j\(x)dx±￡f2(x)dx

和差H勺積分運(yùn)算

r.甘中fw)^=H"/(幻心(攵為常數(shù))

九具龍：JaJa

積分日勺區(qū)間可加性Jf(x)dx=j/(x)公+j/(幻公(其中4<c<〃)

用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間為環(huán)節(jié)：

①求函數(shù)導(dǎo)數(shù)f\x)

②令尸(x)>(),解不等式，得工時范圍就是遞增區(qū)間.

③令廠(工)<(),解不等式，得x的范圍，就是遞減區(qū)間;

［注］:求單調(diào)區(qū)間之前?定要先看原函數(shù)【I勺定義域。

7.求可導(dǎo)函數(shù)的極值日勺環(huán)節(jié)：

（1）確定函數(shù)日勺定義域。

（2）求函數(shù)/U）時導(dǎo)數(shù)/。）

⑶求方程/*）=0口勺根

（4）用函數(shù)日勺導(dǎo)數(shù)為0日勺點，順次將函數(shù)的定義區(qū)間提成若干小開區(qū)間，并列成表格，

檢查尸。）在方程根左右時值的符號，假如左正右負(fù)，那么;U）在這個根處獲得極大值；假

如左負(fù)右正，那么7U）在這個根處獲得極小值；假如左右不變化符號，那么7U）在這個根處

無極值

8.運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值日勺環(huán)節(jié):求/（X）在上的最大值與最小值的環(huán)節(jié)如下：

⑴求/0）在上口勺極值；

⑵將/（幻口勺各極值與比較，其中最大的一種是最大值，最小的一種是最小值。

［注］:實際問題日勺開區(qū)間唯一極值點就是所求的最值點；

9.求曲邊梯形日勺思想和環(huán)節(jié):分割-近似替代-求和一取極限（“以直代也呻勺思想）

1D.定積分日勺性質(zhì)

根據(jù)定積分的定義，不難得出定積分的如下性質(zhì)：

性質(zhì)1\dx=b-a

性質(zhì)5若/(x)>0,XG[a,b],則￡f(x)dx>0

①推廣：￡[/(X)±/；(X)±?--±/?(x)j^-=￡fx{x)dx±￡f2(x)dx±±￡A?W

②推廣:￡f(x)dx=￡'f{x}dx+j<：f{x}clx++￡f(x)clx

y

1---、產(chǎn)sinx

O■“Anx

11定枳分的取值狀況:定枳分的值也許取正值，也也許取負(fù)值，還也許是0.

(1)當(dāng)對應(yīng)的曲邊梯形位于x軸上方時，定積分的值取正值，且等于x軸上方的圖

形面積;

(2)當(dāng)對應(yīng)的曲邊梯形位于x軸下方時,定積分的

值取負(fù)值,且等于x軸上方圖形面積的相反數(shù);

(3)當(dāng)位于x軸上方日勺曲邊梯形面積等于位于x

軸下方的曲邊梯形面積時，定積分時值為。，且等于x軸上方

圖形H勺面積減去下方H勺圖形的面積.

12.物理中常用的微積分知設(shè)(1)位移的導(dǎo)數(shù)為速度，速度的

導(dǎo)數(shù)為加速度。(2)力的積分為功。

二、推理與證明知識點

13.歸納推理的I定義:

從個別事實中推演出一般性向結(jié)論，像這樣的推理一般稱為歸納推理。

歸納推理是由部分到雌，由個別到.嚶的推理。

14.歸納推理的思維過程大體如圖:

4?iT虹田L(fēng)-Ml布，L

15.歸納推理的特點:

①歸納推理的前提是幾種己知日勺特殊現(xiàn)象,歸納所得的結(jié)論是尚屬未知H勺一般現(xiàn)象。

②由歸納推理得到的結(jié)論具有猜測日勺性質(zhì),結(jié)論與否真實，還需通過邏輯證明和試驗檢查,

因此，它不能作為數(shù)學(xué)證明的工具。

③歸納推理是一種具有發(fā)明性口勺推理，通過歸納推理的猜測，可以作為深入研究H勺起點，

協(xié)助人們發(fā)現(xiàn)問題和提出問題。

16.類比推理的定義：

根據(jù)兩個（或兩類）對象之間在某些方面的I相似或相似，推演出它們在其他方面也相似或

相似，這樣的I推理稱為類比推理。類比推理是由蟀到造穌的推理。

17.類比推理的思維過程

rGI聞ifIL々六IN半?日人

18.演繹推理的定義：

演繹推理是根據(jù)己經(jīng)有H勺事實和時的H勺結(jié)論（包括定義、公理、定理等）按照嚴(yán)格的邏輯

法則得到新結(jié)論的推理過程。演繹推理是由一般到特殊日勺推理。

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19.演繹推理日勺重要形式：三段論

20.“三段論”可以表達(dá)為：①大前題：M是P②小前提：S是M③結(jié)論：S是P。

其中①是大前提，它提供了一種一般性的原理；②是小前提，它指出了一種特殊對象;

③是結(jié)論，它是根據(jù)一般性原理，對特殊狀況做出日勺判斷。

21.直接證明是從命題H勺條件或結(jié)論出發(fā)，根據(jù)已知日勺定義、公理、定理，直接推證結(jié)論日勺

真實性。直接證明包括綜合法和分析法。

22.綜合法就是“由因?qū)Ч保瑥囊阎獥l件出發(fā)，不停用必要條件替代前面日勺條件，直至推

出要證的結(jié)論。

23.分析法就是從所要證明的結(jié)論出發(fā)，不停地用充足條件替代前面的條件或者一定成立的

式子，可稱為“由果索因”。

要注意論述的形式：要證A,只要證8,8應(yīng)是A成立的充足條件.分析法和綜合法常結(jié)合

使用，不要將它們割裂開。

24反證法：是指從否認(rèn)的結(jié)論出發(fā)，通過邏輯推理，導(dǎo)出矛盾，證明結(jié)論的否認(rèn)是錯誤日勺,

從而肯定原結(jié)論是對的的證明措施。

25.反證法H勺一般環(huán)節(jié)

(1)假設(shè)命題結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論日勺背面成立；

12)從假設(shè)出發(fā)，通過推理論證，得出矛盾；

13)從矛盾鑒定假設(shè)丕?2幽??，即所求證命題對的。

26常見的“結(jié)論詞”與“反義詞”

原結(jié)論詞反義詞原結(jié)論詞反義詞

至少有一種一種也沒有對所有歐Jx都成立存在X使不成立

至多有一種至少有兩個對任意X不成立存在X使成立

至少有n個至多有n-1個p或q~>p且~*q

至多有〃個至少有n+1個p且q—\p或—>q

27.反證法口勺思維措施?:正?難?則?反

28.歸繆矛盾

(1)與已?知?條?件?矛盾:

(2)與已經(jīng)有公理、定理、定義矛盾;

(3)白?相?矛盾.

29.數(shù)學(xué)歸納法(只能證明與正?整?數(shù)?有關(guān)口勺數(shù)學(xué)命題)的環(huán)節(jié)

(1)證明：當(dāng)〃取第.?即值幾(%eN')時命題成立；

⑵假設(shè)當(dāng)n=k(k￡N",且行m)時命題成立，證明當(dāng)昆二1時命題也成立.

由(1),(2)可知，命題對于從加開始的所有正整數(shù)〃都對的

?［注］:常用于證明不完全歸納法推測所得命題H勺對的性的證明。

三、數(shù)系的)擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念知識點

30.復(fù)數(shù)的概念：形如曠見時數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中i叫虛數(shù)單位，。叫實部，人叫虛部，數(shù)

集。={°+尻|a,bwR}叫做復(fù)數(shù)集。

規(guī)定：a+bi=c+dia=c11b=d,

強(qiáng)調(diào)：兩復(fù)數(shù)不能比較大小，只有相等或不相等。

實數(shù)S-0)

31.數(shù)集日勺關(guān)系：復(fù)數(shù)Z?虛數(shù)廠般虛數(shù)("0)

~［純虛數(shù)(4=0)

32.復(fù)數(shù)的幾何意義：復(fù)數(shù)與平面內(nèi)H勺點或有序?qū)崝?shù)對一一對應(yīng)。

33.復(fù)平面：根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義，任何一種復(fù)數(shù)z=〃+4,都可以由一種有序?qū)崝?shù)對3/)

唯一確定。

由于有序?qū)崝?shù)對(。/)與平面直角坐標(biāo)系中的點一一對應(yīng)，因此復(fù)數(shù)集與平面直角坐標(biāo)

系中H勺點集之間可以建立一一對應(yīng)。這個建立了直角坐標(biāo)系來表達(dá)復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面,

k軸叫做實軸,y軸叫做虛軸。實軸上時點都表達(dá)實數(shù),除了原點外，虛軸上日勺點都表達(dá)純

虛數(shù)。

34.求復(fù)數(shù)日勺模(絕對值)與復(fù)數(shù)z對應(yīng)時向量厲H勺模，叫