第1頁|共2頁2006年遼寧高考理科數(shù)學(xué)真題及答案第I卷（選擇題共60分）參考公式：球的表面積公式球的體積公式其中R表示球的半徑如果事件A、球的表面積公式球的體積公式其中R表示球的半徑 P（A+B）=P（A）+P（B）如果事件A、B相互獨立，那么 P（A·B）=P（A）·P（B）如果事件A在一次試驗中發(fā)生的概率P，那么n次獨立重復(fù)試驗中恰好發(fā)生k次的概率 一．選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，選擇一個符合題目要求的選項.（1）設(shè)集合A={1,2}，則滿足A∪B={1,2,3}的集合B的個數(shù)是 （A）1 （B）3 （C）4 （D）8（2）設(shè)是R上的任意函數(shù)，則下列敘述正確的是 （A）是奇函數(shù) （B）||是奇函數(shù) （C）－是偶函數(shù) （D）+是偶函數(shù)（3）給出下列四個命題： ①垂直于同一直線的兩條直線互相平行. ②垂直于同一平面的兩個平面互相平行. ③若直線與同一平面所成的角相等，則互相平行. ④若直線是異面直線，則與都相交的兩條直線是異面直線. 其中假命題的個數(shù)是 （A）1 （B）2 （C）3 （D）4（4）雙曲線的兩條漸近線與直線圍成一個三角形區(qū)域，表示該區(qū)域的不等式組是 （A） （B） （C） （D）（5）設(shè)eq\o\ac(○,+)是R上的一個運算，A是R的非空子集.若對任意，則稱A對運算eq\o\ac(○,+)封閉.下列數(shù)集對加法、減法、乘法和法（除數(shù)不等于零）四則運算都封閉的是 （A）自然數(shù)集 （B）整數(shù)集 （C）有理數(shù)集 （D）無理數(shù)集（6）△ABC的三內(nèi)角A，B，C，所對邊的長分別為，設(shè)向量p、q=若p∥q，，則角C的大小為 （A） （B） （C） （D）（7）與方程的曲線關(guān)于直線對稱的曲線的方程為 （A） （B） （C） （D）（8）曲線與曲線的 （A）焦距相等 （B）離心率相等 （C）焦點相同 （D）準(zhǔn)線相同（9）在等比數(shù)列中，前n項和為，若數(shù)列也是等比數(shù)列，則等于 （A） （B）3n （C）2n （D）（10）直線與曲線的公共點的個數(shù)為 （A）1 （B）2 （C）3 （D）4（11）已知函數(shù)則的值域是 （A）[－1，1] （B）[] （C）] （D）（12）設(shè)O（0，0），A（1，0），B（0，1），點P是線段AB上的一個動點，.若，則實數(shù)的取值范圍是 （A） （B） （C） （D）第II卷（非選擇題共90分）二．填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分.（13）設(shè)則.（14）=.（15）5名乒乓球隊員中，有2名老隊員和3名新隊員，現(xiàn)從中選出3名隊員排成1,2,3號參加團體比賽，則入選的3名隊員中至少有1名老隊員，且1、2號中至少有1名新隊員的排法有種.（以數(shù)作答）（16）若一條直線與一個正四棱柱各個面所成的角都為，則cos=.三．解答題：本大題共小題，共74分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。（17）（本小題滿分12分） 已知函數(shù)求： （Ⅰ）求函數(shù)的最大值及取得最大值的自變量x的集合； （Ⅱ）函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.（18）（本小題滿分12分） 已知正方形ABCD，E、F分別是邊AB、CD的中點，將△ADE沿DE折起，如圖所示，記二面角A—DE—C的大小為（Ⅰ）證明BF∥平面ADE；（Ⅱ）若△ACD為正三角形，試判斷點A在平面BCDE內(nèi)的射影G是否在直線EF上，證明你的結(jié)論，并求角的余弦值.（19）（本小題滿分12分） 現(xiàn)有甲、乙兩個項目，對甲項目每投資十萬元，一年后剩是1.2萬元、1.18萬元、1.17萬元的概率分別為、、；已知乙項目的利潤與產(chǎn)品價格的調(diào)整有關(guān)，在每次調(diào)整中，價格下降的概率都是，設(shè)乙項目產(chǎn)品價格在一年內(nèi)進行2次獨立的調(diào)整，記乙項目產(chǎn)品價格在一年內(nèi)的下降次數(shù)為ξ對乙項目每投資十萬元，ξ取0、1、2時，一年后相應(yīng)利潤是1.3萬元、1.25萬元、0.2萬元.隨機變量ξ1，ξ2分別表示對甲、乙兩項目各投資十萬元一年后的利潤. （Ⅰ）求ξ1，ξ2的概率分布和數(shù)學(xué)期望Eξ1，Eξ2； （Ⅱ）當(dāng)Eξ1<Eξ2時，求p的取值范圍. （20）（本小題滿分14分） 已知點是拋物線上的兩個動點，O是坐標(biāo)原點，向量設(shè)圓C的方程為 （Ⅰ）證明線段AB是圓C的直徑； （Ⅱ）當(dāng)圓C的圓心到直線的距離的最小值為時，求的值.（21）（本小題滿分12分） 已知函數(shù)設(shè)的極小值點.在[]上，處取得最大值，在取得最小值.將 （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）若△ABC有一條邊平行于x軸，且面積為2+，求的值.（22）（本小題滿分2分） 已知設(shè) （Ⅰ）寫出； （Ⅱ）證明：對任意的，情有|2006年遼寧高考理科數(shù)學(xué)真題參考答案一．選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.（1）C（2）D（3）D（4）A（5）C（6）B（7）A（8）A（9）C（10）D（11）C（12）B二．填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分.（13）（14）－1（15）48（16）三、解答題（17）本小題考查三角公式、三角函數(shù)的性制裁及已知三角函數(shù)值求角等基礎(chǔ)知識，考查綜合運用三角函數(shù)有關(guān)知識的能力.滿分12分（I）解法一：……4分 因此，取得最大值的自變量x的集合是……8分 解法二：=……4分 因此，取得最大值的自變量x的集合是……8分（II）解： 由題意得 因此，的單調(diào)增區(qū)間是[].…………12分（18）本小題主要考查空間中的線面關(guān)系，解三角形等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力和思維能力.滿分12分.（I）證明：E、F分別是正方形ABCD的邊AB、CD的中點.∴ED∥FD，且EB=FD，∴四邊形EBFD是平行四邊形，∴EF∥ED.∵BD平面AED，而BF平面AED.∴BF∥平面AED.…………4分（II）解法一：點A在平面BCDE內(nèi)的射影G在直線EF上，過點A用AG⊥平面BCDE，垂足為G，連結(jié)GC，GD.∵△ACD為正三角形.∴AC=AD，∴GC=GD，∴G在CD的垂直平分線上，又∵EF是CD的垂直平分線，∴點A在平面BCDE內(nèi)的射影G在直線EF上.…………4分過G作GH⊥ED，垂足為H，連結(jié)AH，則AH⊥DE.∴∠AHG是二面角A—DE—C的平面角，即∠AHG=θ.設(shè)除正方形ABCD的邊長為2a，連結(jié)AF.在折后圖的△AEF中，AF=a，EF=2AE=2a，∴△AEF為直角三角形，AG·EF=AE·AF，∴AC=.在Rt△ADE中，AH·DE=AD·AE，∴AH=，∴∴………12分 解法二：點A在平面BCDE內(nèi)的射影G在直線EF上. 連結(jié)AF，在平面AEF內(nèi)過點A作AG⊥EF，垂足為G′ ∵△ACD為正三角形，F(xiàn)為CD的中點， ∴AD⊥CD. 又∵EF⊥CD， ∴CD⊥平面AEF， ∵AG′平面AEF， ∴CD⊥AG′， 又∵AG′⊥EF，且CD∩EF=F，CD平面BCDE，EF平面BCDE， ∴AC⊥平面BCDE， ∴G為A在平面BCDE內(nèi)的射影G， ∴點A在平面BCDE內(nèi)的射影G在直線EF上， 過G作CH⊥ED，垂足為H，連結(jié)AH，則AH⊥DE…………8分 ∴∠AHG是二面角A—DE—C的平面角，即∠AHG=θ. 設(shè)原正方形ABCD的邊長為2a. 在折后圖的△AEF中，AF=，EF=2AE=2a， ∴△AEF為直角三角形，AG·EF=AE·AF∴AC=.在Rt△ADE中，AH·DE=AD·AE， ∴AH=，∴∴………12分 解法三：點A在平面BCDE內(nèi)的射影G在直線EF上. 連結(jié)AF，在平面AEF內(nèi)過點A作AG⊥EF，垂足為G′ ∵△ACD為正三角形，F(xiàn)為CD的中點， ∴AF⊥CD. 又∵EF⊥CD， ∴CD⊥平面AEF， ∵CD平面BCDE， ∴平面AEF⊥平面BCDE. 又∵平面AEF∩平面BCDE=DEF，AG′⊥EF. ∴AG′⊥平面BCDE，即G′為A在平面BCDE內(nèi)的射影G， ∴點A在平面BCDE內(nèi)的射影G在直線EF上.……8分 過G作GH⊥DE，垂足為H，連結(jié)AH，則AH⊥DE， ∴∠AHG是二面角A—DE—C的平面角，即∠AHG=θ. ∴△AEF為直角三角形，AG·EF=AE·AF∴AC=.在Rt△ADE中，AH·DE=AD·AE， ∴AH=，∴∴………12分（19）本小題主要考查二項分布、分布列、數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識，考查學(xué)生運用概率知識解決實際問題的能力.滿分12分.（I）解法一：ξ1的概率分布為ξ11.21.181.17PEξ1=1.2×+1.18×+1.17×=1.18.…………3分由題設(shè)得，即ξ的概率分布為ξ21.31.250.2P…………6分…………6分所以ξ2的數(shù)學(xué)Eξ2=1.3×+1.25×+0.2×=1.3－+2.5×+0.2×=－－0.1p+1.3.…………9分 解法二：ξ1的概率分布為ξ11.21.181.17PEξ1=1.2×+1.18×+1.17×=1.18.…………3分設(shè)Ai表示事件“第i次調(diào)整，價格下降”（i=1,2），則 故ξ2的概率分布為ξ21.31.250.2P…………6分…………6分所以ξ2的數(shù)學(xué)Eξ2=1.3×+1.25×+0.2×=1.3－+2.5×+0.2×=－－0.1p+1.3.…………9分（II）解：由，得，整理得，解得因為所以，當(dāng)時，p的取值范圍是…………12分（20）本小題主要考查平面向量的基本運算，圓與拋物線的方程，點到直線的距離等基礎(chǔ)知識，以及綜合運用解析幾何知識解決問題的能力，滿分14分.（I）證法一：①……3分設(shè)點M（x，y）是以線段AB為直徑的圓上的任意一點，則即展開上式并將①代入得故線段AB是圓C的直徑.證法二：①……3分若直線（x，y）在以線AB為直徑的圓上，則去分母得點滿足上方程，展開并將①代入得 ，所以線AB是圓C的直徑.……6分證法三：①……3分以AB為直徑的圓的方程是，展開，并將①代入得.所以線段AB是圓C的直徑………………6分（II）解法一：設(shè)圓C的圓心為C（x，y），則 所以圓心的軌跡方程為：………………11分 設(shè)圓心C到直線的距離為d，則 當(dāng)，由題設(shè)得，……14分解法二：設(shè)圓C的圓心為C（x，y），則 ………………9分 所以圓心的軌跡方程為：………………11分 設(shè)直線的距離為，則 因為的公共點. 所以當(dāng)僅有一個公共點時， 該點到的距離最小，最小值為，②③ ②③ 將②代入③得 ………………14分解法三：設(shè)圓C的圓心為C（x，y），則 若圓心C到直線的距離為d，那 ……9分 當(dāng)，由題設(shè)得，……14分（21）本小題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，函數(shù)，函數(shù)極值的判定，閉區(qū)間上二次函數(shù)的最值，等差數(shù)列等基礎(chǔ)知識的綜合運用，考查用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想分析問題，解決問題的能力.滿分12分.（I）解：令…………2分 所以在x=－1處取極小值，即………………6分（II）解法一：的圖象開口向上，對稱軸方程是，，知，在[1－，0]上的最大值為，即，又由，知，，即，，……9分 由△ABC有一條邊平行于x軸，得AC平行于x軸，所以，即① 又由△ABC的面積為，得， 利用，得.② 聯(lián)立①，②可得……12分解法二：由上的最大值為即由，知，，即，，……9分 由△ABC有一條邊平行于x軸，得AC平行于x軸，所以，即① 又由△ABC的面積為，得， 利用，得.② 聯(lián)立①，②可得……12分（22）本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的基本計算，函數(shù)的性質(zhì)，絕對值不等式及組合數(shù)性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查歸納推理能力以及綜合運用數(shù)學(xué)知識分析問題和解決問題的能力.滿分12分.（I）解：由已知推得，從而有 …………3分（II）證法一：當(dāng)時， 當(dāng)恒有 ………………7分 ==