第1頁|共2頁2007年北京高考理科數(shù)學(xué)真題及答案一、選擇題（共8小題，每小題5分，滿分40分）1．（5分）已知cosθ?tanθ＜0，那么角θ是（）A．第一或第二象限角 B．第二或第三象限角C．第三或第四象限角 D．第一或第四象限角2．（5分）函數(shù)f（x）=3x（0＜x≤2）的反函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢．（0，+∞） B．（1，9] C．（0，1） D．[9，+∞）3．（5分）平面α∥平面β的一個(gè)充分條件是（）A．存在一條直線a，a∥α，a∥βB．存在一條直線a，a?α，a∥βC．存在兩條平行直線a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥αD．存在兩條異面直線a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥α4．（5分）已知O是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，D為BC邊中點(diǎn)，且，那么（）A． B． C． D．5．（5分）記者要為5名志愿者和他們幫助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相鄰但不排在兩端，不同的排法共有（）A．1440種 B．960種 C．720種 D．480種6．（5分）若不等式組表示的平面區(qū)域是一個(gè)三角形，則a的取值范圍是（）A． B．0＜a≤1 C．0＜a≤1或 D．7．（5分）如果正數(shù)a，b，c，d滿足a+b=cd=4，那么（）A．a(chǎn)b≤c+d且等號(hào)成立時(shí)a，b，c，d的取值唯一B．a(chǎn)b≥c+d且等號(hào)成立時(shí)a，b，c，d的取值唯一C．a(chǎn)b≤c+d且等號(hào)成立時(shí)a，b，c，d的取值不唯一D．a(chǎn)b≥c+d且等號(hào)成立時(shí)a，b，c，d的取值不唯一8．（5分）對于函數(shù)①f（x）=lg（|x﹣2|+1），②f（x）=（x﹣2）2，③f（x）=cos（x+2），判斷如下三個(gè)命題的真假：命題甲：f（x+2）是偶函數(shù)；命題乙：f（x）在（﹣∞，2）上是減函數(shù)，在（2，+∞）上是增函數(shù)；命題丙：f（x+2）﹣f（x）在（﹣∞，+∞）上是增函數(shù)．能使命題甲、乙、丙均為真的所有函數(shù)的序號(hào)是（）A．①③ B．①② C．③ D．②二、填空題（共6小題，每小題5分，滿分30分）9．（5分）=．10．（5分）若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n2﹣10n（n=1，2，3，…），則此數(shù)列的通項(xiàng)公式為；數(shù)列nan中數(shù)值最小的項(xiàng)是第項(xiàng)．11．（5分）在△ABC中，若tanA=，C=150°，BC=2，則AB=．12．（5分）已知集合A={x||x﹣a|≤1}，B={x|x2﹣5x+4≥0}．若A∩B=?，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．13．（5分）2002年在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會(huì)，會(huì)標(biāo)是以我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖為基礎(chǔ)設(shè)計(jì)的．弦圖是由四個(gè)全等直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形（如圖）．如果小正方形的面積為1，大正方形的面積為25，直角三角形中較小的銳角為θ，那么cos2θ的值等于．14．（5分）已知函數(shù)f（x），g（x）分別由下表給出x123f（x）131x123g（x）321則f[g（1）]的值為；滿足f[g（x）]＞g[f（x）]的x的值是．三、解答題（共6小題，滿分80分）15．（13分）數(shù)列{an}中，a1=2，an+1=an+cn（c是常數(shù)，n=1，2，3，…），且a1，a2，a3成公比不為1的等比數(shù)列．（1）求c的值；（2）求{an}的通項(xiàng)公式．16．（14分）如圖，在Rt△AOB中，，斜邊AB=4．Rt△AOC可以通過Rt△AOB以直線AO為軸旋轉(zhuǎn)得到，且二面角B﹣AO﹣C是直二面角．動(dòng)點(diǎn)D在斜邊AB上．（Ⅰ）求證：平面COD⊥平面AOB；（Ⅱ）當(dāng)D為AB的中點(diǎn)時(shí)，求異面直線AO與CD所成角的余弦值大??；（Ⅲ）求CD與平面AOB所成角最大時(shí)的正切值大?。?7．（14分）如圖，矩形ABCD的兩條對角線相交于點(diǎn)M（2，0），AB邊所在直線的方程為x﹣3y﹣6=0點(diǎn)T（﹣1，1）在AD邊所在直線上．（Ⅰ）求AD邊所在直線的方程；（Ⅱ）求矩形ABCD外接圓的方程；（Ⅲ）若動(dòng)圓P過點(diǎn)N（﹣2，0），且與矩形ABCD的外接圓外切，求動(dòng)圓P的圓心的軌跡方程．18．（13分）某中學(xué)號(hào)召學(xué)生在今年春節(jié)期間至少參加一次社會(huì)公益活動(dòng)（以下簡稱活動(dòng)）．該校合唱團(tuán)共有100名學(xué)生，他們參加活動(dòng)的次數(shù)統(tǒng)計(jì)如圖所示．（1）求合唱團(tuán)學(xué)生參加活動(dòng)的人均次數(shù)；（2）從合唱團(tuán)中任意選兩名學(xué)生，求他們參加活動(dòng)次數(shù)恰好相等的概率．（3）從合唱團(tuán)中任選兩名學(xué)生，用ξ表示這兩人參加活動(dòng)次數(shù)之差的絕對值，求隨機(jī)變量ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望Eξ．19．（13分）如圖，有一塊半橢圓形鋼板，其半軸長為2r，短半軸長為r，計(jì)劃將此鋼板切割成等腰梯形的形狀，下底AB是半橢圓的短軸，上底CD的端點(diǎn)在橢圓上，記CD=2x，梯形面積為S．（Ⅰ）求面積S以x為自變量的函數(shù)式，并寫出其定義域；（Ⅱ）求面積S的最大值．20．（13分）已知集合A={a1，a2，…，ak（k≥2）}，其中ai∈Z（i=1，2，…，k），由A中的元素構(gòu)成兩個(gè)相應(yīng)的集合：S={（a，b）|a∈A，b∈A，a+b∈A}，T={（a，b）|a∈A，b∈A，a﹣b∈A}．其中（a，b）是有序數(shù)對，集合S和T中的元素個(gè)數(shù)分別為m和n．若對于任意的a∈A，總有﹣a?A，則稱集合A具有性質(zhì)P．（Ⅰ）檢驗(yàn)集合{0，1，2，3}與{﹣1，2，3}是否具有性質(zhì)P并對其中具有性質(zhì)P的集合，寫出相應(yīng)的集合S和T；（Ⅱ）對任何具有性質(zhì)P的集合A，證明：；（Ⅲ）判斷m和n的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

參考答案與試題解析一、選擇題（共8小題，每小題5分，滿分40分）1．（5分）已知cosθ?tanθ＜0，那么角θ是（）A．第一或第二象限角 B．第二或第三象限角C．第三或第四象限角 D．第一或第四象限角【解答】解：∵cosθ?tanθ=sinθ＜0，∴角θ是第三或第四象限角，故選C．2．（5分）函數(shù)f（x）=3x（0＜x≤2）的反函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢．（0，+∞） B．（1，9] C．（0，1） D．[9，+∞）【解答】解：函數(shù)f（x）=3x（0＜x≤2）的反函數(shù)的定義域就是函數(shù)f（x）=3x（0＜x≤2）的值域，由函數(shù)f（x）在其定義域內(nèi)是單調(diào)增函數(shù)得1＜f（x）≤9，故選B．3．（5分）平面α∥平面β的一個(gè)充分條件是（）A．存在一條直線a，a∥α，a∥βB．存在一條直線a，a?α，a∥βC．存在兩條平行直線a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥αD．存在兩條異面直線a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥α【解答】證明：對于A，一條直線與兩個(gè)平面都平行，兩個(gè)平面不一定平行．故A不對；對于B，一個(gè)平面中的一條直線平行于另一個(gè)平面，兩個(gè)平面不一定平行，故B不對；對于C，兩個(gè)平面中的兩條直線平行，不能保證兩個(gè)平面平行，故C不對；對于D，兩個(gè)平面中的兩條互相異面的直線分別平行于另一個(gè)平面，可以保證兩個(gè)平面平行，故D正確．4．（5分）已知O是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，D為BC邊中點(diǎn)，且，那么（）A． B． C． D．【解答】解：∵，∴，∵D為BC邊中點(diǎn)，∴，則，故選：A．5．（5分）記者要為5名志愿者和他們幫助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相鄰但不排在兩端，不同的排法共有（）A．1440種 B．960種 C．720種 D．480種【解答】解：可分3步．第一步，排兩端，∵從5名志愿者中選2名有A52=20種排法，第二步，∵2位老人相鄰，把2個(gè)老人看成整體，與剩下的3名志愿者全排列，有A44=24種排法第三步，2名老人之間的排列，有A22=2種排法最后，三步方法數(shù)相乘，共有20×24×2=960種排法故選B6．（5分）若不等式組表示的平面區(qū)域是一個(gè)三角形，則a的取值范圍是（）A． B．0＜a≤1 C．0＜a≤1或 D．【解答】解：由題意可知：畫可行域如圖：不等式組表示的平面區(qū)域是一個(gè)三角形及其內(nèi)部，且當(dāng)直線x+y=a過直線y=x與直線2x+y=2的交點(diǎn)時(shí)，a=．所以a的取值范圍是：0＜a≤1或a≥故選C．7．（5分）如果正數(shù)a，b，c，d滿足a+b=cd=4，那么（）A．a(chǎn)b≤c+d且等號(hào)成立時(shí)a，b，c，d的取值唯一B．a(chǎn)b≥c+d且等號(hào)成立時(shí)a，b，c，d的取值唯一C．a(chǎn)b≤c+d且等號(hào)成立時(shí)a，b，c，d的取值不唯一D．a(chǎn)b≥c+d且等號(hào)成立時(shí)a，b，c，d的取值不唯一【解答】解：如果a，b是正數(shù)，則根據(jù)均值不等式有：，則（a+b）2≥4ab如果c，d是正數(shù)，則根據(jù)均值不等式有：；則∵a，b，c，d滿足a+b=cd=4，∴2當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=d=2時(shí)取等號(hào)．化簡即為：ab≤c+d且等號(hào)成立時(shí)a，b，c，d的取值唯一．故選A．8．（5分）對于函數(shù)①f（x）=lg（|x﹣2|+1），②f（x）=（x﹣2）2，③f（x）=cos（x+2），判斷如下三個(gè)命題的真假：命題甲：f（x+2）是偶函數(shù)；命題乙：f（x）在（﹣∞，2）上是減函數(shù)，在（2，+∞）上是增函數(shù)；命題丙：f（x+2）﹣f（x）在（﹣∞，+∞）上是增函數(shù)．能使命題甲、乙、丙均為真的所有函數(shù)的序號(hào)是（）A．①③ B．①② C．③ D．②【解答】解：①若f（x）=lg（|x﹣2|+1）則：f（x+2）是偶函數(shù)，此時(shí)命題甲為真；f（x）在（﹣∞，2）上是減函數(shù)，在（2，+∞）上是增函數(shù)；此時(shí)命題乙為真；但f（x+2）﹣f（x）在（﹣∞，+∞）上不是單調(diào)遞增的；此時(shí)命題丙為假．②f（x）=（x﹣2）2則：f（x+2）是偶函數(shù)，此時(shí)命題甲為真；f（x）在（﹣∞，2）上是減函數(shù)，在（2，+∞）上是增函數(shù)；此時(shí)命題乙為真；但f（x+2）﹣f（x）=4x﹣4在（﹣∞，+∞）上是增函數(shù)的；此時(shí)命題丙為真．③若f（x）=cos（x+2），則：f（x+2）是不偶函數(shù)，此時(shí)命題甲為假；f（x）在（﹣∞，2）上不是減函數(shù)，在（2，+∞）上不是增函數(shù)；此時(shí)命題乙為假；但f（x+2）﹣f（x）在（﹣∞，+∞）上不是單調(diào)遞增的；此時(shí)命題丙為假．故選D二、填空題（共6小題，每小題5分，滿分30分）9．（5分）=﹣i．【解答】解：=故答案為：﹣i10．（5分）若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n2﹣10n（n=1，2，3，…），則此數(shù)列的通項(xiàng)公式為2n﹣11；數(shù)列nan中數(shù)值最小的項(xiàng)是第3項(xiàng)．【解答】解：由題意可知：數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n2﹣10n（n=1，2，3，…），∴當(dāng)n=1時(shí)，a1=s1=1﹣10=﹣9；當(dāng)n＞1時(shí)，an=sn﹣sn﹣1=n2﹣10n﹣（n﹣1）2+10（n﹣1）=2n﹣11；綜上可知：數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=2n﹣11，n∈N*．∴數(shù)列{nan}的通項(xiàng)公式為：，所以當(dāng)n為3時(shí)數(shù)列nan中數(shù)值最?。蚀鸢笧椋篴n=2n﹣11，n∈N*、3．11．（5分）在△ABC中，若tanA=，C=150°，BC=2，則AB=．【解答】解：∵tanA=∴sinA=根據(jù)正弦定理可得：∴AB=×=故答案為：12．（5分）已知集合A={x||x﹣a|≤1}，B={x|x2﹣5x+4≥0}．若A∩B=?，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（2，3）．【解答】解：集合A={x||x﹣a|≤1}={x|a﹣1≤x≤a+1}，B={x|x2﹣5x+4≥0}={x|x≥4或x≤1}．又A∩B=?，∴，解得2＜a＜3，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是（2，3）．故應(yīng)填（2，3）．13．（5分）2002年在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會(huì)，會(huì)標(biāo)是以我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖為基礎(chǔ)設(shè)計(jì)的．弦圖是由四個(gè)全等直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形（如圖）．如果小正方形的面積為1，大正方形的面積為25，直角三角形中較小的銳角為θ，那么cos2θ的值等于．【解答】解：∵大正方形面積為25，小正方形面積為1，∴大正方形邊長為5，小正方形的邊長為1．∴5cosθ﹣5sinθ=1，∴cosθ﹣sinθ=．∴兩邊平方得：1﹣sin2θ=，∴sin2θ=．∵θ是直角三角形中較小的銳角，∴0＜θ＜．∴cos2θ=．故答案為：14．（5分）已知函數(shù)f（x），g（x）分別由下表給出x123f（x）131x123g（x）321則f[g（1）]的值為1；滿足f[g（x）]＞g[f（x）]的x的值是2．【解答】解：f[g（1）]=f（3）=1當(dāng)x=1時(shí)f[g（1）]=1，g[f（1）]=g（1）=3不滿足f[g（x）]＞g[f（x）]當(dāng)x=2時(shí)，f[g（2）]=f（2）=3，g[f（2）]=g（3）=1滿足f[g（x）]＞g[f（x）]當(dāng)x=3時(shí)f[g（3）]=f（1）=1，g[f（3）]=g（1）=3不滿足f[g（x）]＞g[f（x）]故滿足f[g（x）]＞g[f（x）]的x的值是2故答案為1；2三、解答題（共6小題，滿分80分）15．（13分）數(shù)列{an}中，a1=2，an+1=an+cn（c是常數(shù)，n=1，2，3，…），且a1，a2，a3成公比不為1的等比數(shù)列．（1）求c的值；（2）求{an}的通項(xiàng)公式．【解答】解：（1）a1=2，a2=2+c，a3=2+3c，因?yàn)閍1，a2，a3成等比數(shù)列，所以（2+c）2=2（2+3c），解得c=0或c=2．當(dāng)c=0時(shí)，a1=a2=a3，不符合題意舍去，故c=2．（2）當(dāng)n≥2時(shí)，由于a2﹣a1=c，a3﹣a2=2c，an﹣an﹣1=（n﹣1）c，所以．又a1=2，c=2，故an=2+n（n﹣1）=n2﹣n+2（n=2，3，）．當(dāng)n=1時(shí)，上式也成立，所以an=n2﹣n+2（n=1，2，）16．（14分）如圖，在Rt△AOB中，，斜邊AB=4．Rt△AOC可以通過Rt△AOB以直線AO為軸旋轉(zhuǎn)得到，且二面角B﹣AO﹣C是直二面角．動(dòng)點(diǎn)D在斜邊AB上．（Ⅰ）求證：平面COD⊥平面AOB；（Ⅱ）當(dāng)D為AB的中點(diǎn)時(shí)，求異面直線AO與CD所成角的余弦值大??；（Ⅲ）求CD與平面AOB所成角最大時(shí)的正切值大小．【解答】解：（I）由題意，CO⊥AO，BO⊥AO，∴∠BOC是二面角B﹣AO﹣C是直二面角，又∵二面角B﹣AO﹣C是直二面角，∴CO⊥BO，又∵AO∩BO=O，∴CO⊥平面AOB，又CO?平面COD，∴平面COD⊥平面AOB．（4分）（II）解法一：作DE⊥OB，垂足為E，連接CE（如圖），則DE∥AO，∴∠CDE是異面直線AO與CD所成的角．在Rt△COE中，CO=BO=2，，∴．又．∴∴在Rt△CDE中，．∴異面直線AO與CD所成角的余弦值大小為．（9分）解法二：建立空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz，如圖，則O（0，0，0），，C（2，0，0），，∴，，∴=．∴異面直線AO與CD所成角的余弦值為．（9分）（III）由（I）知，CO⊥平面AOB，∴∠CDO是CD與平面AOB所成的角，且．當(dāng)OD最小時(shí)，∠CDO最大，這時(shí)，OD⊥AB，垂足為D，，，∴CD與平面AOB所成角的最大時(shí)的正切值為．（14分）17．（14分）如圖，矩形ABCD的兩條對角線相交于點(diǎn)M（2，0），AB邊所在直線的方程為x﹣3y﹣6=0點(diǎn)T（﹣1，1）在AD邊所在直線上．（Ⅰ）求AD邊所在直線的方程；（Ⅱ）求矩形ABCD外接圓的方程；（Ⅲ）若動(dòng)圓P過點(diǎn)N（﹣2，0），且與矩形ABCD的外接圓外切，求動(dòng)圓P的圓心的軌跡方程．【解答】解：（I）因?yàn)锳B邊所在直線的方程為x﹣3y﹣6=0，且AD與AB垂直，所以直線AD的斜率為﹣3又因?yàn)辄c(diǎn)T（﹣1，1）在直線AD上，所以AD邊所在直線的方程為y﹣1=﹣3（x+1）．3x+y+2=0．（II）由解得點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，﹣2），因?yàn)榫匦蜛BCD兩條對角線的交點(diǎn)為M（2，0）．所以M為矩形ABCD外接圓的圓心．又．從而矩形ABCD外接圓的方程為（x﹣2）2+y2=8．（III）因?yàn)閯?dòng)圓P過點(diǎn)N，所以|PN|是該圓的半徑，又因?yàn)閯?dòng)圓P與圓M外切，所以|PM|=|PN|+2，即|PM|﹣|PN|=2．故點(diǎn)P的軌跡是以M，N為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為2的雙曲線的左支．因?yàn)閷?shí)半軸長a=，半焦距c=2．所以虛半軸長b=．從而動(dòng)圓P的圓心的軌跡方程為．18．（13分）某中學(xué)號(hào)召學(xué)生在今年春節(jié)期間至少參加一次社會(huì)公益活動(dòng)（以下簡稱活動(dòng)）．該校合唱團(tuán)共有100名學(xué)生，他們參加活動(dòng)的次數(shù)統(tǒng)計(jì)如圖所示．（1）求合唱團(tuán)學(xué)生參加活動(dòng)的人均次數(shù)；（2）從合唱團(tuán)中任意選兩名學(xué)生，求他們參加活動(dòng)次數(shù)恰好相等的概率．（3）從合唱團(tuán)中任選兩名學(xué)生，用ξ表示這兩人參加活動(dòng)次數(shù)之差的絕對值，求隨機(jī)變量ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望Eξ．【解答】解：由圖可知，參加活動(dòng)1次、2次和3次的學(xué)生人數(shù)分別為10、50和40．（1）該合唱團(tuán)學(xué)生參加活動(dòng)的人均次數(shù)為==2.3．（2）從合唱團(tuán)中任選兩名學(xué)生，他們參加活動(dòng)次數(shù)恰好相等的概率為P0==．（3）從合唱團(tuán)中任選兩名學(xué)生，記“這兩人中一人參加1次活動(dòng)，另一人參加2次活動(dòng)”為事件A，“這兩人中一人參加2次活動(dòng)，另一人參加3次活動(dòng)”為事件B，“這兩人中一人參加1次活動(dòng)，另一人參加3次活動(dòng)”為事件C．易知P（ξ=1）=P（A）+P（B）=+=；P（ξ=2）=P（C）==；ξ的分布列：ξ的數(shù)學(xué)期望：Eξ=0×+1×+2×=．19．（13分）如圖，有一塊半橢圓形鋼板，其半軸長為2r，短半軸長為r，計(jì)劃將此鋼板切割成等腰梯形的形狀，下底AB是半橢圓的短軸，上底CD的端點(diǎn)在橢圓上，記CD=2x，梯形面積為S．（Ⅰ）求面積S以x為自變量的函數(shù)式，并寫出其定義域；（Ⅱ）求面積S的最大值．【解答】解：（I）依題意，以AB的中點(diǎn)O為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系O﹣xy（如圖），則點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為x，點(diǎn)C的縱坐標(biāo)y滿足方程，解得=，其定義域?yàn)閧x|0＜x＜r}．（II）記f（x）=4（x+r）2（r2﹣x2），（0＜x＜r），則f′（x）=8（x+r）2（r﹣2x）．令f′（x）=0，得．因?yàn)楫?dāng)時(shí)，f′（x）＞0；當(dāng)時(shí)，f′（x）＜0，所以是f（x）的最大值．因此，當(dāng)時(shí)，S也取得最大值，最大值為．即梯形面積S的最大值為．20．（13分）已知集合A={a1，a2，