第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年福建省福州十五中高一（下）期末數學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知△ABC的外接圓圓心為O，且2AO=AB+AC，|OA|=|ACA.14BC B.34BC C.2.已知平面向量a=(2,4)，b=(2,1)，則向量a在向量(a+2A.(53,53) 3.已知一組樣本數據x1，x2，?，x7(x1<xA.6x1+1，6x2+1，…，6x7+1的平均數為6x?

B.2x1+1，2x2+1，…，2x7+1的方差為s2

C.44.小明參加一場弓箭比賽，需要連續(xù)射擊三個靶子，每次射箭結果互不影響，已知他射中這三個靶子的概率分別為x，x，13，若他恰好射中兩個靶子的概率是16，那么他三個靶子都沒射中的概率是(

)A.13 B.25 C.385.如圖，已知△ABC用斜二測畫法得到的水平放置的直觀圖為△A′B′C′，已知△A′B′C′是周長為6的正三角形，則△ABC的面積是(

)A.22

B.4

C.26.如圖，已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為4，E是棱CA.92

B.18

C.187.如圖，已知正三棱柱ABC?A1B1C1,AB1=A.1

B.104

C.648.在三棱錐P?ABC中，PA=BC=10，PB=AC=5，PC=AB=A.28π B.2873π C.二、多選題：本題共4小題，共24分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.將一枚質地均勻的骰子拋擲兩次，記事件A=“第一次出現奇數點”，事件B=“兩次點數之積為偶數”，事件C=“兩次點數之和為5”，則(

)A.事件A?B是必然事件 B.事件A與事件B是互斥事件

C.事件B包含事件C D.事件A與事件C是相互獨立事件10.已知復數z=1+3i，則A.|z|=2

B.z+(2+3i)z?=0

C.z在復平面內對應的點在第一象限

11.在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，則下列說法正確的是(

)A.若sin2A>sin2B+sin2C，則△ABC是鈍角三角形

B.若△ABC是銳角三角形，則sinA>cosB

C.若b=4，c=3，12.下列結論錯誤的是(

)A.若向量a=(1,2)，b=(1,1)，且a與a+λb的夾角為銳角，則λ的取值范圍是(?53,+∞)

B.若非零向量a，b滿足|a|=|b|=|a?b|，則a與a+b的夾角為60°

C.若向量a，b滿足(a?2b)?b三、填空題：本題共1小題，每小題6分，共6分。13.已知|z|=1，則|z+3?4i|的取值范圍是______．四、解答題：本題共5小題，共80分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。14.(本小題16分)

已知△ABC的內角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，向量m=(a+b,sinC)，n=(b?c,sinB?sinA)，且m//n．

(1)求A；

(2)若BD=3DC,AD=1，求△ABC面積的最大值；

(3)若15.(本小題16分)

2023年10月22日，漢江生態(tài)城2023襄陽馬拉松在湖北省襄陽市成功舉行，志愿者的服務工作是馬拉松成功舉辦的重要保障，襄陽市新時代文明實踐中心承辦了志愿者選拔的面試工作.現隨機抽取了100名候選者的面試成績，并分成五組：第一組[45,55)，第二組[55,65)，第三組[65,75)，第四組[75,85)，第五組[85,95]，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.已知第一、二組的頻率之和為0.3，第一組和第五組的頻率相同．

(1)估計這100名候選者面試成績的平均數和第25百分位數；

(2)在這100名候選者用分層隨機抽樣的方法從第四組和第五組面試者內抽取10人，再從這10名面試者中隨機抽取兩名，求兩名面試者成績都在第五組的概率．

(3)現從以上各組中用分層隨機抽樣的方法選取20人，擔任本市的宣傳者.若本市宣傳者中第二組面試者的面試成績的平均數和方差分別為62和40，第四組面試者的面試成績的平均數和方差分別為80和70，據此估計這次第二組和第四組所有面試者的面試成績的方差．16.(本小題16分)

Matlab是一種數學軟件，用于數據分析、無線通信、深度學習、圖象處理與計算機視覺、信號處理、量化金融與風險管理、人工智能機器人和控制系統(tǒng)等領域，推動了人類基礎教育和基礎科學的發(fā)展.某學校舉行了相關Matlab專業(yè)知識考試，試卷中只有兩道題目，已知甲同學答對每題的概率都為p，乙同學答對每題的概率都為q(p>q)，且在考試中每人各題答題結果互不影響.已知每題甲、乙同時答對的概率為12，恰有一人答對的概率為512．

(1)求p和q的值；

(2)試求兩人共答對17.(本小題16分)

如圖，在三棱錐P?ABC中，平面PAB⊥平面ABC，△PAB為等邊三角形，AC⊥BC且AC=BC=2，O，M分別為AB，PB的中點．

(1)求證：平面MOC⊥平面PAB；

(2)求直線MC與平面ABC所成角的正弦值．18.(本小題16分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC=2π3，E為棱PA的中點，PA=PB=4，PD=23，直線PA與BC所成的角的大小為π3．

(1)證明：PC//平面BDE；

(2)證明：PD⊥平面ABCD；

答案和解析1.【答案】D

【解析】解：如圖，因為2AO=AB+AC，所以O為BC的中點，

又因為O為△ABC的外接圓圓心，

所以BC為圓O的直徑，且OA=OB=OC，∠BAC=90°，

又因為|OA|=|AC|，

所以△ACO為等邊三角形，即∠ACO=60°，

因為△AOB為等腰三角形，所以∠OAB=∠OBA=90°?60°=30°，

因為△ABC為以BC為斜邊的直角三角形，所以|AB|=32|BC|，

所以向量AB在向量BC上的投影向量為：

|AB|?cos150°?BC2.【答案】D

【解析】解：由a=(2,4)，b=(2,1)，可得|a|=22+42=25，

a?b=2×2+4×1=8，且a+2b=(2,4)+2(2,1)=(6,6)，

則a?(a+23.【答案】C

【解析】解：樣本數據x1，x2，?，x7(x1<x2<…<x7)的平均數為x?，方差為s2，

對于A，6x1+1，6x2+1，…，6x7+1的平均數為6x?+1，故A錯誤；

對于B，2x1+1，2x2+1，…，2x7+1的方差為4s2，故B錯誤；

對于C，∵25%×7=1.75<2，

∴4x1+1，4x2+1，…，4x7+1的25%分位數為4x24.【答案】C

【解析】解：根據題意，記小明射中三個靶子分別為事件D，E，F，且D，E，F相互獨立，且P(D)=P(E)=x，P(F)=13，

恰好能射中兩個靶子為事件D?EF，DE?F，DEF?，且三個事件兩兩互斥，

又由他恰好射中兩個靶子的概率是16，則P(D?EF+DE?F+DEF?)=P(D?EF)+PDE?F)+P(DEF?5.【答案】D

【解析】解：根據題意，△A′B′C′是周長為6的正三角形，其邊長為2，

則直觀圖的面積S′=12×2×2×sin60°=3，

故原圖面積S=22S′=26.【答案】B

【解析】解：根據題意可知，正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為4，E是棱C1D1的中點，

取DD1的中點F，連接EF，易知EF//DC1//AB1，所以平面AB1E與DD1交點為F，

則平面AB1EF為平面AB1E截正方體的截面，四邊形AB1EF為等腰梯形，

過F做FG⊥AB1，由AB=AD=B1C17.【答案】B

【解析】解：如圖，取AC的中點D，連接DC1、BD，可得AM//DC1，

∠BC1D(或其補角)就是異面直線AM與BC1所成角，

因為矩形AA1B1B中，對角線AB1=2AB，

所以矩形AA1B1B是正方形，可得正三棱柱ABC?A1B1C1的所有棱長都相等，

設三棱柱的棱長都為2，則|DC1|=5，|BD|=3，|BC1|=22，

因為8.【答案】D

【解析】解：根據題意可得該三棱錐P?ABC可放置到長，寬，高分別為a，b，c的長方體中，

且a2+b2=10a2+c2=5b2+c2=13，所以a2+b29.【答案】ACD

【解析】解：事件A的基本事件有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，

事件B的基本事件有：(1,2)，(1,4)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,2)，(3,4)，(3,6)(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,2)，(5,4)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，

事件C的基本事件有：(1,4)，(4,1)，(2,3)，(3,2)，

事件AC的基本事件有：(1,4)，(3,2)，

A：事件A∪B是必然事件，故正確；

B：因為A∩B≠?，所以事件A與事件B不是互斥事件，故錯誤；

C.因為C?B，所以事件B包含事件C，故正確；

D.因為P(A)=186×6=12，P(C)=46×6=19，P(AC)=26×6=118，所以P(A)?P(C)=P(AC)，

所以事件A與事件C是相互獨立事件，故正確；

10.【答案】ACD

【解析】解：復數z=1+3i，

A選項，|z|=12+(3)2=2，A正確；

B選項，z+(2+3i)z?=1+3i+(2+3i)(1?3i)=1+3i+2?23i+3i?3i2

=1+2+3=6，B錯誤；

C選項，復數z在復平面內對應的點坐標為(1,3)11.【答案】ABD

【解析】解：設△ABC的外接圓半徑為R，

由正弦定理可得sinA=a2R，sinB=b2R，sinC=c2R，

A選項，∵sin2A>sin2B+sin2C，∴a2>b2+c2，

由余弦定理可得cosA=b2+c2?a22bc<0，又A∈(0,π)，

∴A為鈍角，△ABC為鈍角三角形，故A選項正確；

B選項，∵△ABC是銳角三角形，

∴0<A<π2，0<B<π2，A+B>π2，

∴A>π2?B，0<π2?B<π2，0<A<π2，

∵函數y=sinx在(0,π2)上單調遞增，

∴sinA>sin(π2?B)=cosB，故B選項正確；

C選項，由正弦定理可得bsinB=csinC，

又b=4，c=3，C=π3，

∴4sinB=332，化簡可得sinB=233>1，

∴滿足條件的角B不存在，

∴滿足這組條件的三角形不存在，故C選項錯誤；

D選項，由余弦定理可得a2+b2?2abcosC=c2，又c2?12.【答案】ABD

【解析】解：對A選項，因為向量a=(1,2)，b=(1,1)，

所以a+λb=(1+λ,2+λ)，又a與a+λb的夾角為銳角，

所以a?(a+λb)=1+λ+4+2λ=3λ+5>0且2+λ≠2(1+λ)，

解得λ>?53且λ≠0，所以A選項錯誤；

對B選項，由|a|=|a?b|和|b|=|a?b|兩邊分別平方得：

|a|2=|b|2=2a?b，

則cos<a，a+b>=a?(a+b)|a||b|=a2+a?b|a|3a2=32|a|23|a13.【答案】[4,6]

【解析】解：|z|=1，

則|3?4i|?|z|≤|z+3?4i|≤|z|+|3?4i|，即4≤|z|≤6，

故|z+3?4i|的取值范圍是[4,6]．

故答案為：[4,6]．

根據已知條件，結合復數模公式，即可求解．

本題主要考查復數模公式，屬于基礎題．14.【答案】A=π3；

439；【解析】(1)根據題意可知，向量m=(a+b,sinC)，n=(b?c,sinB?sinA)，

則(a+b)(sinB?sinA)=(b?c)sinC，

根據正弦定理得(a+b)(b?a)=(b?c)c，即b2+c2?bc=a2，

根據余弦定理得cosA=b2+c2?a22bc=12，

∵A∈(0,π)，∴A=π3；

(2)由題意得AD=AB+BD=AB+34BC=AB+34(AC?AB)=14AB+34AC，

則AD2=116AB2+916AC2+38AB?AC，得116c2+916b2+31615.【答案】解：(1)由題意可知：10a+10b=0.310(0.045+0.020+a)=0.7，

解得a=0.005b=0.025，可知每組的頻率依次為：0.05，0.25，0.45，0.2，0.05，

所以平均數為50×0.05+60×0.25+70×0.45+80×0.2+90×0.05=69.5，

因為0.05+0.25=0.3>0.25，

設第25百分位數為x，則x∈[55,65)，則0.05+(x?55)×0.025=0.25，解得x=63，故第25百分位數為63．

(2)10人中，第四組為8人．第五組為2人，記第四組的人的編號為1到8，第五組的人的編號為9和10，

則樣本空間Ω={(1,2)，(1,3)，(1,4)，?(1,10)，(2,3)，(2,4)，?(2,10)，(3,4)，(3,5)，?(3,10)，(4,5)，

(4,6)，?(4,10)，(5,6)，?(5,10)，(6,7)，?(6,10)，(7,8)，(7,9)，(7,10)，(8,9)，(8,10)，(9,10)}共45個樣本點，

記兩名面試者成績都在第五組為事件A，則事件A={(9,10)}，故P(A)=145；

(3)設第二組、第四組面試者的面試成績的平均數與方差分別為x?1,x?2,s12,s2【解析】(1)首先算出a，b，然后根據平均數、百分位數的計算公式計算即可；

(2)由列舉法求解古典概型概率即可；

(3)由分層抽樣方差公式計算即可．

本題考查頻率分布直方圖的性質，百分位數的求解，加權平均數與方差的求解，古典概型的概率公式的應用，屬中檔題．16.【答案】解：(1)由題意可得pq=12p(1?q)+q(1?p)=512，

即pq=12p+q=1712，解得p=34q=23或p=23q=34，

∵p>q，∴p=34,q=23．

(2)設Ai={甲同學答對了i道題}，Bi={乙同學答對了i道題}，i=0，1，2，

由題意得，P(A1)=14×【解析】(1)根據題意列出關于p，q的方程解得即可．

(2)兩人共答對3道題，只可能為甲答對2道題乙答對1道題或甲答對1道題乙答對2道題，列式解得即可．

本題考查相互獨立事件概率乘法公式、全概率公式等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題．17.【答案】證明見解析；

64【解析】(1)證明：因為AC=BC，O為AB的中點，所以CO⊥AB，

因為CO?平面ABC，平面PAB⊥平面ABC，

平面PAB∩平面ABC=AB，所以CO⊥平面PAB，

因為CO?平面MOC，

所以平面MOC⊥平面PAB．

(2)過M作MH⊥AB=H，連接HC，

因為平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AB，

MH⊥AB且MH?平面PAB，

所以MH⊥平面ABC，

∠MCH即為直線MC與平面ABC所成角．

因為AC⊥BC且AC=BC=2，所以AB=22，

因為△PAB為等邊三角形，又M為PB的中點，

所以PO=6，MH=62，OH=12OB=14AB=22，CO=2，

則CH=C18.【答案】證明見解析；

證明見解析；

25【