第四講地圖投影

一．本講內(nèi)容概述

1.地圖投影的基本概念

1.1投影的實質(zhì)

1.2投影變形

1.3主比例尺和局部比例尺

2.變形橢圓

3.投影變形的基本公式

3.1長度比公式

3.2面積比公式

3.3角度變形公式

4.地圖投影的分類

4.1按投影變形性質(zhì)分類

4.2按投影方式分類

4.3地圖投影的命名二．本講內(nèi)容

1.地圖投影的基本概念

1.1投影的實質(zhì)

投影（Projection）一詞源于幾何學。我們可以把地圖投影理解為是建立平面上的點（用平面直角坐標或極坐標表示）和地面上的點（用緯度φ和經(jīng)度λ表示）之間的函數(shù)關(guān)系。用數(shù)學公式表達這種關(guān)系，就是：

X＝f1(λ,φ)

┐

Y＝f2(λ,φ)

┘

（公式4-1）

1.2投影變形

將地球橢球面（或球面）上的點投影到平面上，必然會產(chǎn)生形變，這是由于橢球面是一個不可展的曲面決定的。這種變形表現(xiàn)在形狀和大小是發(fā)生了形變。實質(zhì)上，就是由投影產(chǎn)生了長度變形、面積變形以及角度變形。

長度比（μ）——地面上微分線段投影后長度ds’與它固有長度ds之比值。公式表示為：（公式4-2）面積比（P）——地面上微分線段投影后面積dF’與它固有面積dF之比值。公式表示為：（公式4-3）在同一個投影中，不同點上的長度比和面積比的數(shù)值一般不是固定的，長度比和面積比的變化顯示了投影中長度和面積的變化。

長度變形（vμ）——長度比與1之差值。用公式表示為：

vμ

＝μ－1（公式4-4）長度變形（vp）——長度比與1之差值。用公式表示為：

vp＝P－1（公式4-5）角度變形——某一角度投影后角值β'與它在地面上固有角值β之差的絕對值，即|β-β'|（公式4-6）

1.3主比例尺和局部比例尺

主比例尺—在計算地圖投影或制作地圖時，將地球橢球按一定比率縮小，而表示在平面上，這個比率稱為地圖的主比例尺，或稱普通比例尺。

局部比例尺—地圖上除保持主比例尺的點或線以外其他部分的比例尺。局部比例尺變化比較復雜，它們依投影種類、投影性質(zhì)的不同，常常是隨著線段的方向和位置而變化的。對于某些需要在圖上進行測量的地圖，便要采用一定的方式設(shè)法表示出該圖的局部比例尺。這就是我們在大區(qū)域小比例尺圖上看到的那種較復雜的圖解比例尺。2.變形橢圓

為了闡明作為投影變形結(jié)果各點上產(chǎn)生的角度和面積變化的概念，法國數(shù)學家底索（Tissort）采用了一種圖解的方法，即通過變形橢圓來論述和顯示投影在各方向上的變形。變形橢圓的意思是，地面上一點處的一個無窮小圓——微分圓（也稱為單位圓），將它投影后變?yōu)橐粋€微分橢圓，利用這個微分橢圓能較恰當?shù)亍⒅庇^地顯示變形的特征。

我們先證明微分圓投影后一般地稱為微分橢圓，然后再利用變形橢圓去解釋各種變形特征（如圖4－1）。

圖4－1微分圓及其表象設(shè)有半徑為r地微分圓O，OX，OY為通過圓心地一對正交半徑（為便于研究，令此兩半徑為通過O點地經(jīng)緯線地微分線段），A為圓上的一點。

微分圓各元素投影到相應(yīng)地O'，

O'X'，O'Y'，其中O'X'，O'Y'為斜坐標軸。按長度比的概念可以寫出：

x'=mx，

y'=ny

公式中，m為經(jīng)線長度比，n為緯線長度比。

對于微分圓方程：x2+y2=r2

以，帶入上式：即（公式4-7）由于斜坐標系應(yīng)用上不太方便，為此我們引入了主方向地概念，也稱為底索定律（Tissort’Theorem）：“無論采用任何轉(zhuǎn)換方法，球面上每一點至少有一對正交方向線，在投影平面上能保持其正交關(guān)系?！庇捎谥鞣较蛲队昂蟊３终磺议L度比具有極值的特點，則在對應(yīng)平面上它們便稱為變形橢圓的長、短半軸，并以μ1和μ2表示沿主方向的長度比（如圖4－2）圖4－2微分圓及其投影中地主方向于是，橢圓方程式可寫為：（公式4-8）如果用a，b分別表示橢圓地長半徑和短半徑，則上公式中a=μ1r，b=μ2r。為方便起見，令微分圓半徑為單位1，即r＝1，在橢圓中即有a=μ1及b=μ2。因此可以得出以下結(jié)論：微分橢圓長、短半徑地大小，等于該點主方向的長度比（如圖4－3）。圖4－3通過變形橢圓形狀顯示變形特征設(shè)實地半徑為單位值（r＝1）的微分圓，在投影中具有不同的形狀和大小。其中1，2兩個圖形為a＝b<1和a＝b>1的情況，就是說，形狀沒有變化而大小發(fā)生了變化，具有這種性質(zhì)的投影，叫做正交投影（或等角投影）。3，4兩個圖形的形狀發(fā)生了變化，但a*b=1，就是說面積大小沒有變化，具有這個性質(zhì)的投影，叫做等面積投影。在第5個圖形中，橢圓的長半徑和短半徑中有一個長度等于1（例如a＝1或b＝1），在第6個圖形中a≠b≠1,這5，6兩種投影7既不等角又不等面積，可稱為任意投影（其中第5個也可稱為等距離投影）。圖4－4變形橢圓保持面積不變圖4－5變形橢圓保持形狀不變3.投影變形的基本公式

3.1長度比公式

按長度比定義，以式子表示為：

（公式4-2）考慮到球面上的微分線段與平面上微分線段的比值，經(jīng)推導可得任意一點與經(jīng)線成a角方向上的長度比ua為：

（公式4-9）

式中M為子午線曲率半徑，r為緯線圈半徑，E，F(xiàn)，G稱為一階基本量，或稱高斯系數(shù)

式中，a為地球的長半徑，b為地球的短半徑，

e2稱為第一偏心率，；u為該點的緯度；E，F(xiàn)，G是投影公式

┌x=f1(λ,φ)

└y=f2(λ,φ)

中x，y關(guān)于，的一階偏導數(shù)。

在式公式4-9中，

若a=0o，得經(jīng)線長度比m為：（公式4-11）若a=90o，則緯線長度比n為：（公式4-12）一般地說，一點上得長度比隨方向不同而不同，有兩個互相垂直得極值長度比a，b存在于主方向上，稱為長度比在一點上得極大值和極小值。3.2面積比公式

根據(jù)長度比可推導出面積比公式為：

（公式4-13）

式中，a，b為極值長度比，為經(jīng)緯線投影后所成為得夾角。3.3角度變形公式

（1）經(jīng)緯線夾角變形

經(jīng)緯線在橢球面上是一組互相垂直的線，在投影面上經(jīng)緯線夾角變形為：

（公式4-14）經(jīng)緯線夾角變形的表達式可以經(jīng)推導得到：

（公式4-15）

（公式4-16）H同E，F(xiàn)，G一樣稱為一階基本量，按求得。（2）最大角變形公式

一點上可以有無數(shù)的方向角，投影后這無數(shù)的方向角一般都不能保持原來的大小。一點上最大角度變形可用極值長度比a，b表示：

（公式4-17）按三角函數(shù)的概念，還可以得到（公式4-18）

此外，在實用上常通過以下公式求得：

（公式4-19）4.地圖投影的分類

目前主要是依靠外在特征和內(nèi)在的性質(zhì)來進行分類。前者體現(xiàn)在投影平面上經(jīng)緯線投影的形狀，具有明顯的直觀性；后者則是投影內(nèi)蘊涵的變形的實質(zhì)。

4.1按投影變形性質(zhì)分類

按變形性質(zhì)分為：等角投影、等積投影、任意投影。

（1）等角投影

等角投影是指角度沒有變形的投影。橢球面上一點處任意兩個方向的夾角投影到平面上保持大小不變。等角投影應(yīng)滿足:

a=b

由于投影后保持區(qū)域形狀相似，又將等角投影稱為相似投影、正形投影。等角投影的面積變形比較大。（2）等積投影

等積投影是指面積沒有變形的投影。橢球面上的面積與橢球面上相應(yīng)的面積保持一致。等積投影應(yīng)保持:

P=1,Vp=0或a?b＝1

這種投影會破壞圖形的相似性，角度變形比較大。（3）任意投影

任意投影是既不能滿足等角條件，也不能滿足等積條件，長度變形、面積變形以及角度變形同時存在的投影。

在任意投影中，有一種特殊的投影它使得a＝1或b＝1，即沿主方向之一長度沒有變形，稱為等距離投影。

任意投影中三種變形都有，但其角度變形沒有等面積投影中的角度變形大，面積變形沒有等角投影中的面積變形大。4.2按投影方式分類

地圖投影前期是建立在透視幾何原理基礎(chǔ)上，借助于輔助面將地球（橢球）面展開成平面，稱幾何投影。后期則跳過這個框架，產(chǎn)生了一系列按數(shù)學條件形成的投影，稱為條件投影。

（1）幾何投影

幾何投影的特點是將橢球上的經(jīng)緯線投影到輔助面上，然后再展開成平面。在地圖投影分類時是根據(jù)輔助投影面的類型及其與地球橢球的關(guān)系劃分的（如圖4－6）

圖4－6幾何投影的類型

1）按輔助投影面的類型分

方位投影：以平面作為投影面的投影；

圓柱投影：以圓柱面作為投影面的投影；

圓錐投影：以圓錐面作為投影面的投影。

2）輔助投影面和地球（橢球）體的位置關(guān)系分

正軸投影：輔助投影平面與地軸垂直（如圖4-6（g）），或者圓錐、圓柱的軸與地軸重合（如圖4-6（a）、（d））的投影；

橫軸投影：輔助投影平面與地軸平行（如圖4-6（i）），或者圓錐、圓柱的軸與地軸垂直（如圖4-6（c）、（f））的投影；

斜軸投影：輔助投影平面的中心法線或圓錐、圓柱的軸與地軸斜交（如圖4-6（b）、（e）、（h））的投影。

3）按輔助投影面和地球面的相切或相割分

切投影：輔助投影平面與地球（橢球）面相切（如圖4-6（b）、（c）、（d）、（f）、（g）、（h））；

割投影：輔助投影平面與地球（橢球）面相割（如圖4-6（a）、（e）、（i））。（2）條件投影

條件投影是在幾何投影的基礎(chǔ)上，根據(jù)某些條件按數(shù)學法則加以改造形成的。對條件投影進行分類實質(zhì)上是按投影后經(jīng)緯線的形狀進行分類。由于隨著投影面的變化，經(jīng)緯線的形狀會變得十分復雜，在此我們只討論正軸條件下的經(jīng)緯線形狀，其基礎(chǔ)又是三種幾何投影（如圖4－7）

圖4－7正軸幾何投影的經(jīng)緯線形狀1）方位投影：

緯線投影成同心圓，經(jīng)線投影為同心圓的半徑，即放射的直線束，且兩條經(jīng)線間的夾角與經(jīng)差相等。

2）圓柱投影：

緯線投影成平行直線，經(jīng)線投影為垂直于各緯線的另一組平行直線，兩條經(jīng)線間的間隔與經(jīng)差成比例。

3）圓錐投影：

緯線投影成同心圓弧，經(jīng)線投影為同心圓弧的半徑，兩條經(jīng)線間的夾角小于經(jīng)差且與經(jīng)差成比例。

4）多圓錐投影：緯線投影成同心圓弧，中央經(jīng)線投影為直線，其余經(jīng)線投影為對稱于中央經(jīng)線的曲線。

5）偽方位投影：緯線投影成同心圓，中央經(jīng)線投影為直線，其余經(jīng)線投影為相交于同心圓圓心且對稱于中央經(jīng)線的曲線。

6）偽圓柱投影：緯線投影成一組平行直線，中央經(jīng)線投影為垂直于各緯線的直線，其余經(jīng)線投影為對稱于中央經(jīng)線的曲線。

7）偽圓錐投影：緯線投影成同心圓弧，中央經(jīng)線投影成過同心圓弧圓心的直線，其余經(jīng)線投影為對稱于中央經(jīng)線的曲線。4.3地圖投影的命名

1．地球（橢球）與輔助投影面的相對位置（正軸、橫軸或斜軸）；

2．地圖投影的變形性質(zhì)（等角、等面積、任意性質(zhì)三種，等距離投影屬于任意投影）；

3．輔助投影面與地球相割、相切（割或切）；

4．作為輔助頭投影面的可展面的種類（方位、圓柱、圓錐）。三．

課堂提問、課后作業(yè)及思考題

（1）課堂提問

●地圖投影變形表現(xiàn)在哪幾個方面？為什么說長度變形是主要變形？

●什么是主比例尺？什么是局部比例尺？一般地圖上所標的比例尺屬于哪一種？

（2）課后作業(yè)

●什么是長度比、長度變形？什么是面積比與面積變形？