第五講圓錐投影一．本講內(nèi)容概述

1.圓錐投影

1.1圓錐投影的一般公式及其分類

1.2等角圓錐投影

單標(biāo)準(zhǔn)緯線等角圓錐投影

雙標(biāo)準(zhǔn)緯線等角圓錐投影

應(yīng)用舉例：百萬分之一地圖等角圓錐投影

1.3等面積圓錐投影

單標(biāo)準(zhǔn)緯線等面積圓錐投影

雙標(biāo)準(zhǔn)緯線等面積圓錐投影

1.4等距離圓錐投影

單標(biāo)準(zhǔn)緯線等距離圓錐投影

雙標(biāo)準(zhǔn)緯線等距離圓錐投

1.5圓錐投影變形分析及應(yīng)用

2.方位投影

2.1方位投影的一般公式及其應(yīng)用

2.2等角方位投影

2.3等面積方位投影

2.4等距離方位投影

2.5透視方位投影

2.6方位投影變形分析和應(yīng)用

3.圓柱投影

3.1圓柱投影的一般公式及分類

3.2等角圓柱投影

3.3高斯－克呂格投影

3.4通用橫軸墨卡托投影

3.5圓柱投影的變形分析與應(yīng)用

4.偽圓錐、偽圓柱投影、偽方位投影和多圓錐投影

4.1偽圓錐投影

4.2偽圓柱投影

4.3多圓錐投影二．本講內(nèi)容

1.

圓錐投影

1.1圓錐投影的一般公式及其分類

設(shè)想將一個圓錐套在地球橢球體上而把地球橢球上的經(jīng)緯線網(wǎng)投影到圓錐面上，然后沿著某一條母線（經(jīng)線）將圓錐面切開而展開成平面，就得到圓錐投影。

按圓錐面與地球橢球體所處的相對位置，又可將圓錐投影分為三種形式(如圖5－1)圖5－1三種形式的圓錐投影正軸圓錐投影：圓錐軸與地球橢球的旋轉(zhuǎn)軸相一致。

橫軸圓錐投影：圓錐軸與地球橢球的長軸相一致。

斜軸圓錐投影：圓錐軸通過橢球的中心，但不與橢球的長軸或短軸相重合。

在制圖實踐中，廣泛采用的正軸圓錐投影。對于斜軸、橫軸圓錐投影，由于計算時需要經(jīng)過坐標(biāo)換算，且投影后的經(jīng)緯線形狀均為復(fù)雜曲線，所以應(yīng)用較少。

圓錐投影中緯線投影后為同心圓弧，經(jīng)線投影后相交于一點的直線束，且夾角于經(jīng)差成正比。

圓錐投影（正軸）一般公式為：

（公式5－1）式中，ρ為緯線投影半徑，函數(shù)f取決于投影的性質(zhì)（等角、等積或等距離投影），它僅隨緯度的變化而變化；λ是地球橢球面上兩條經(jīng)線的夾角；δ是兩條經(jīng)線夾角在平面上投影的；a是小于1的常數(shù)。在正軸圓錐投影中，經(jīng)緯線投影后正交，故經(jīng)緯線方向就是主方向。因此經(jīng)緯線長度（m，n）也就是極值長度比（a，b），m，n中數(shù)值大的為a，數(shù)值小的為b?？紤]到ρ的數(shù)值由圓心起算，而地球橢球緯度由赤道起算，兩者方向相反，故在m式子前加上負(fù)號。

1.2等角圓錐投影

在等角圓錐投影中，微分圓的表象保持為圓形，也就是同一點上各個方向上的長度比均相等，或者說保持角度沒有變形。本投影也稱為蘭勃特（Lambert)正形圓錐投影。

根據(jù)等角條件m＝n（或a＝b），或ω＝0，可推導(dǎo)出如下公式中：（公式5－2）式中，ρ為等角圓錐投影緯圈半徑；a，K是投影常數(shù)，且K的幾何意義是赤道的投影半徑；，。

式中，a，K是投影常數(shù)，但尚需要進(jìn)一步確定，現(xiàn)在討論幾種決定a，K的方法。

(1)單標(biāo)準(zhǔn)緯線等角圓錐投影

這種情況下通常指定制圖區(qū)域內(nèi)某條指定緯線或沿著制圖區(qū)域內(nèi)中間的一條緯線上無長度變形。這條無變形的緯線稱為標(biāo)準(zhǔn)緯線，用φo表示標(biāo)準(zhǔn)緯線的緯度，則可確定

（公式5－3）式中，N0為標(biāo)準(zhǔn)緯線的卯酉圈曲率半徑。(2)雙標(biāo)準(zhǔn)緯線等角圓錐投影

這種情況下通常指定制圖區(qū)域內(nèi)某兩條緯線φ1，φ2，要求在這兩條緯線上沒有長度變形，即長度比為1，φ1，φ2稱為標(biāo)準(zhǔn)緯線。由條件n1=n2=1可確定投影系數(shù)：

（公式5－4）(3)應(yīng)用舉例：百萬分之一地圖等角圓錐投影

1962年聯(lián)合國于德國波恩舉行的世界百萬之一國際地圖技術(shù)會議通過的制圖規(guī)范，建議用等角圓錐投影替代改良多圓錐投影作為百萬之一的圖的數(shù)據(jù)基礎(chǔ)，以使世界百萬之一地形圖與世界百萬之一航空圖在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)上能更好地協(xié)調(diào)一致。

百萬之一地圖采用兩種投影，即由赤道至北緯84o及赤道至南緯80o之間，采用等角圓錐投影，極區(qū)附近，即由南緯80o至南極、北緯84o至北極采用等角方位投影。

1：100萬地圖采用的等角圓錐投影是對每幅圖單獨進(jìn)行投影，規(guī)定每幅圖內(nèi)有兩條標(biāo)準(zhǔn)緯線，并指定標(biāo)準(zhǔn)緯線的緯度：（公式5－5）式中φS，φN為圖幅南、北邊緯線的緯度。

投影常數(shù)按下式計算：（公式5－6）百萬之一地圖圓錐投影中，經(jīng)線是輻射直線，每一幅圖與東西相鄰的圖幅可以完全拼接。但沿著緯線方向拼接時，因拼接線在不同的投影帶中投影后的曲率不同，致使其不能完全吻合，拼接時會產(chǎn)生裂隙。其裂隙角（a）和裂隙距（△）可由下式計算：

（公式5－7）△式中λ和L分別為經(jīng)差和圖廓邊長。

我國自1978年以后采用等角圓錐投影作為百萬之一地形圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。其分幅與國際上1962年所采用的分幅一致，但投影的標(biāo)準(zhǔn)線的位置與國際上指定的緯度稍有差異。

本投影的投影常數(shù)由邊緯和中緯長度變形絕對值相等的條件求得，即：（公式5－8）式中rs，rN，rm為圖幅南、北、中間緯線的緯圈半徑。

（公式5－9）本投影的變形值極微小，長度變形在邊緯與中緯上為±0.030﹪，面積變形約為長度變形的兩倍。

本投影屬割圓錐投影，兩條標(biāo)準(zhǔn)緯線的緯度實際上在靠近邊緯上、下約35的位置，近似地表示為：（公式5－10）不同緯度帶圖幅在接合時產(chǎn)生的裂隙的大小同前面所敘述的相同。1.3等面積圓錐投影

等面積圓錐投影保持制圖區(qū)域的面積大小不變，也就是面積比等于1（P＝ab=1)。

正軸等面積圓錐投影的一般公式匯集如下：（公式5－11）在本投影中也有兩個常數(shù)α，c需要確定。

（1）單標(biāo)準(zhǔn)緯線等面積圓錐投影

在本投影中，指定一條緯線φo上沒有長度變形，即為單標(biāo)準(zhǔn)緯線投影，又可稱為正軸等面積切圓錐投影。根據(jù)投影條件，在緯線φo上no＝1過那可得：

（公式5－12）

式中，

（2）雙標(biāo)準(zhǔn)緯線等面積圓錐投影

本投影指定兩條緯線φ1，φ2上長度比n1=n2=1，則按條件可得：

（公式5－13）本投影在兩條緯線上無長度變形，即為雙標(biāo)準(zhǔn)緯線，也稱正軸等面積割圓錐投影，有的地圖上稱之為亞爾勃斯等面積圓錐投影（AlbersEquivalentConicalProjection）。該投影在制圖實踐中應(yīng)用較廣，現(xiàn)將相關(guān)的公式匯集如下：

（公式5－14）1.4等距離圓錐投影

正軸等距離圓錐投影沿經(jīng)線保持等距離，即m=1，據(jù)此條件可得ρ＝c-s。其中c為積分常數(shù)，s為赤道到某緯度φ的經(jīng)線弧長，當(dāng)φ＝0，s＝0，故知c即為赤道的投影半徑。

本投影的公式為：（公式5－15）由上述式子可知，等距離圓錐投影也有兩個常數(shù)α,c需要確定。下面來求定常數(shù)α,c。

（1）單標(biāo)準(zhǔn)緯線等距離圓錐投影

本投影指定制圖區(qū)域中某緯線φ0上長度比為1且為最小。根據(jù)可得n0＝1可得：（公式5－16）s0是自赤道到緯度φ0的子午線弧長。（2）雙標(biāo)準(zhǔn)緯線等距離圓錐投影

在制圖區(qū)域中，設(shè)φ1，φ2兩條緯線上無長度變形。在φ1，φ2兩條標(biāo)準(zhǔn)緯線上n1=n2=1，據(jù)此條件可得：

（公式5－17）

本投影中兩條標(biāo)準(zhǔn)緯線是指定的，通常為等距離圓錐投影，它是等距離圓錐投影中運(yùn)用最廣泛的一種投影，其公式匯集如下：（公式5－18）1.5圓錐投影變形分析及應(yīng)用

正軸圓錐投影的變形只與緯度發(fā)生關(guān)系，而與緯差無關(guān)，因此同一條緯線上的變形是相等的，也就是說，圓錐投影的等變形與緯線一致。

在圓錐投影中，變形的分布與變化隨著標(biāo)準(zhǔn)緯線選擇的不同而不同。

等角圓錐投影變形的特點是：角度沒有變形，沿經(jīng)、緯線長度變形是一致的（即m＝n），面積比為長度比的平方。

等面積圓錐投影變形的特點是：投影保持了制圖區(qū)域面積投影后不變，即面積變形為零，但角度變形較大，沿經(jīng)線長度比和沿緯線長度比互為倒數(shù)（）。

等距離圓錐投影變形的特點是：變形大小介于等角圓錐投影和等面積圓錐投影之間，除沿經(jīng)線長度比保持為1以外，沿緯線長度比與面積比相一致（n＝p）。根據(jù)圓錐投影變形的特征可以得出結(jié)論：圓錐投影最適合于作為中緯度處沿著未詳伸展的制圖區(qū)域之投影。

圓錐投影在編制各種比例尺地圖中得到了廣泛的應(yīng)用，這是有一系列原因的。首先是地球上廣大陸地位于中緯地區(qū)，其次是這種投影經(jīng)緯線形狀簡單，經(jīng)線為輻射直線，緯線為同心圓弧，在編圖過程中比較方便，特別在使用地圖和進(jìn)行圖上量算時比較方便，通過一定的方法，容易改正變形。

在制圖實踐中，等角圓錐投影得到了廣泛的采用，如前面介紹的雙標(biāo)準(zhǔn)線等角圓錐投影用于百萬之一地圖。一些小型分?。▍^(qū)）地圖集的普通地圖也采用等角圓錐投影編制的。

正軸等面積圓錐投影應(yīng)用在編制一些行政區(qū)劃圖、人口地圖及社會經(jīng)濟(jì)圖等地圖中。中國科學(xué)院地理研究所編制的1：400萬《中國地勢圖》采用該投影編制時所采用的兩條標(biāo)準(zhǔn)緯線φ1＝25，φ2＝45。

正軸等距離圓錐投影在我國應(yīng)用較少，在一些圖集中可見少量采用。2.

方位投影

2.1方位投影的一般公式及其應(yīng)用

方位投影可視為將一個平面切于或割于地球某一點或一部分，在將地球球面上的經(jīng)緯線網(wǎng)投影到此平面上。圖5－2方位投影示意圖如圖5-2，設(shè)E為投影平面，C為地球球心，Q為投影中心，即球面坐標(biāo)原點。QP、QA為垂直圈，其投影后成為直線Q'、P'，今設(shè)球面上有一點A，其投影為A'，在投影平面上，令Q'P'為X軸，在O'點垂直于Q'P'的直線為Y軸，又令QA的投影Q'A'長度為ρ，QA與QP的交角為a，其投影為δ，于是有：（公式5－19）式中z，a是以Q為原點的球面極坐標(biāo)。

若用平面直角坐標(biāo)系表示，則有：（公式5－20）由此看來，方位投影主要是決定ρ的函數(shù)形式，由于決定ρ的函數(shù)形式的方法不同，方位投影可以有很多類型。

關(guān)于z和a，可以由地理坐標(biāo)變換為球面坐標(biāo)的方法來求定。

下面來研究方位投影的長度比、面積比和角度變形公式。如圖5－3所示，圖5－3球面和平面的表象設(shè)A'，B'，C'，D'為球面A，B，C，D的投影，垂直圈QA與QD的夾角為d，弧QB＝z。在投影面上，∠A'

Q'D'＝ρ，以μ1表示垂直圈長度比，以μ2表示等高圈長度比，則：

（公式5－21）

因A'B’＝dρ，B'C'＝ρdz，AB＝Rdz，BC=Rsinzdα，代入上式，則有：

（公式5－22）應(yīng)為垂直圈與等高圈相當(dāng)于正軸時的經(jīng)緯線，在投影中相互正交，所以μ1，μ2就是極值長度比，所以面積比為：

（公式5－23）最大角度變形為：

或

（公式5－24）下面是方位投影的一般公式：

（公式5－25）由此可見，所以方位投影具有共同的特征，就是由投影中心到任何一點的方位角保持與實地相等（無變形）。

方位投影可以劃分為非透視投影和透視投影兩種，前者按投影的性質(zhì)又可以分為等角、等面積和任意（包括等距離）投影，后者有一定視點，隨著視點位置不同又可分為正射、外心、球面和球心投影。按投影面和地球相對位置的不同，可分為：

正軸方位投影，此時Q與P重合，又稱為極方位投影（φ0=900）；

橫軸方位投影，此時Q點在赤道上，又稱為赤道方位投影（φ0=00）；

斜軸方位投影，此時Q點位于上述兩種情況以外的任何位置，又稱為水平方位投影（00<φ0<900

）；

根據(jù)投影面與地球相切或相割的關(guān)系又可以分為切方位投影和割方位投影。2.2等角方位投影

各種方位投影具有一個共同特點，就是它們的差別僅僅在于ρ的函數(shù)形式，而且ρ僅是極距z的函數(shù)（在正軸時為緯度φ的函數(shù)），所以基本問題是決定ρ的函數(shù)形式。

（公式5－26）式中R為地球半徑，指定的某等高圈zk上μ2(k)=1。

這樣，等角方位投影的公式匯集如下：

（公式5－27）]等角方位投影相當(dāng)于后面講的透視方位投影中的球面投影。

圖5－4，5－4，5－6分別為正、橫、斜三種等角投影的半球經(jīng)緯線網(wǎng)形狀。圖5－4正軸等角方位投影圖5－5橫軸等角方位投影圖5－6斜軸等角方位投影2.3等面積方位投影

在等面積方位投影中，保持面積沒有變形，所以在決定ρ=f(z)的函數(shù)形式時，必須使其適合等面積條件，即面積比P＝1，據(jù)此可得等面積方位投影中ρ的函數(shù)形式:ρ=2Rcosδ（公式5－28）等面積方位投影公式匯集如下：

（公式5－29）2.4等距離方位投影

等距離方位投影通常是沿垂直圈長度比等于1的一種方位投影。因此需使ρ=f(z)滿足等距離條件，也就是μ1＝1，根據(jù)此條件ρ＝Rz。因此等距離方位投影公式可匯集為：

（公式5－30）2.5透視方位投影

透視方位投影屬于方位投影的一種，它是用透視的原理來確定ρ=f(z)的函數(shù)形式。它除了具有方位投影的一般特征外，還有透視關(guān)系，即地面點和相對投影點之間有一定的透視關(guān)系。通常視點的位置出于垂直于投影面的地球直徑或延長線上，如圖5－7所示。圖5－7透視方位示意圖2.6方位投影變形分析和應(yīng)用圖5－8方位投影等變形線如圖5－8所示，在正軸中與緯線一致，在斜軸或橫軸中與等高圈一致。由于這個特點，就制圖區(qū)域而言，方位投影適宜于具有圓形輪廓的地區(qū)。就制圖區(qū)域地理位置而言，在兩極地區(qū)，適宜用正軸投影，赤道附近地區(qū)，適宜用橫軸投影，其他地區(qū)用斜軸投影。

由圖5－8可以看出，兩種方位投影中變形的增長方向不同。在切方位投影中，切點Q上沒有變形，其變形隨著遠(yuǎn)離Q點而增大；在割方位投影中，在所割小圓上μ2＝1，角度變形與“切”的情況一樣，其他變形（垂直圈長度變形與面積變形）則自所割小圓向內(nèi)與向外增大。

因為各種方位投影具有不同的特點，故具有不同的用途。

等角方位投影：在歐洲有些國家曾用它作為大比例尺地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。美國采用的所謂通用極球面投影（UPS）實質(zhì)上就是正軸等角割方位投影。等角方位投影格網(wǎng)的工程和科研方面可用以解球面三角問題。

等面積方位投影：該投影在廣大地區(qū)的小比例尺制圖中，特別是東西半球圖應(yīng)用的很多，許多世界地圖集中，為表示東、西半球才用橫軸等面積方位投影，通常在東半球的投影λ0=900E，西半球取φ0=00，λ0=1100W

各大洲常采用斜軸等面積方位投影。其投影中心常取以下位置：對于中國全國，也有用斜軸等面積方位投影方案，其投影中心取φ0=+300，λ0=1050E。

等距離方位投影：其應(yīng)用也是比較廣泛的，大多數(shù)世界地圖集中的南北極圖采用正軸等距離方位投影，橫軸投影用來編制東西半球圖，斜軸投影在制圖實踐中也有很廣泛的應(yīng)用，如東南亞地圖（φ0=+27030'，λ0=1050E）及中華人民共和國掛圖也采用過這種投影。3.

圓柱投影

3.1圓柱投影的一般公式及分類

在正常位置的圓柱投影中，緯線表象為平行直線，經(jīng)線表象也平行直線，且與緯線正交，如圖5－9。圖5－9圓柱投影示意圖根據(jù)經(jīng)緯線表征特征，可以得到圓柱投影的一般公式：

（公式5－31）圓柱投影按投影變形性質(zhì)分，有等角、等積和等距方位投影。

圓錐投影按圓錐體面與地球體面切、割的位置分，有圓錐體軸與地軸重合的正切或正割圓錐投影、與地軸垂直的橫圓錐投影、與地軸斜交的斜圓錐投影。

在應(yīng)用上，以扽教圓柱投影最為廣（不論是正軸，還是橫軸），而等面積圓柱投影極少應(yīng)用，等距離圓柱投影也有時采用。3.2等角圓柱投影

正軸等角圓柱投影又稱為墨卡托（Mercator）投影，它是16世紀(jì)荷蘭地圖學(xué)家墨卡托所創(chuàng)造的，迄今還是廣泛應(yīng)用于航海、航空方面的重要投影之一。該投影公式匯集如下：

（公式5－32）等角航線是地面上兩點之間的一條特殊的定位線，它是兩點間同所有經(jīng)線構(gòu)成的相同方位角的一條曲線，它在航海中具有特殊意義，當(dāng)船只按等角航線航行時，則理論上可不改變某一固定的方位角而到達(dá)終點。等角航行又名恒向線、斜航線。它在墨卡托投影中的表象成為兩點之間的直線，這點不難理解。墨卡托投影是等角投影，而經(jīng)線又是平行直線，那么兩點間的一條等方位曲線在該投影中當(dāng)然只能是連接兩點的一條直線。這個特點也就是墨卡托投影之所以被廣泛應(yīng)用于航海、航空方面的原因。

橫軸等角圓柱投影應(yīng)用很廣，應(yīng)用中為限制變形采用分帶法。下面來介紹等角橫切橢圓柱投影，即高斯－克呂格（Guass-Krüger）投影。3.3高斯－克呂格投影

高斯－克呂格投影是等角橫切橢圓柱投影。它是設(shè)想用一個橢圓柱套在地球橢球外面，并與某一條子午線相切（此子午線稱為中央子午線或中央經(jīng)線），橢圓柱的中心軸位于橢球的赤道面上，如圖5－10所示，再按高斯－克呂格投影所規(guī)定的條件，將中央經(jīng)線東、西各一定的經(jīng)差范圍內(nèi)的經(jīng)緯線交點投影到橢球柱面上，并將此圓柱展為平面，即得本投影。圖5－10高斯－克呂格投影示意圖這個投影可由下述三個條件確定：

1.中央經(jīng)線和赤道投影后為互相垂直得直線，且為投影得對稱軸；

2.投影具有等角得性質(zhì)；

3.中央經(jīng)線投影后保持長度不變。

分析高斯－克呂格投影長度比公式可得其變形規(guī)律如下：

1.當(dāng)λ＝0時，μ＝1，即中央經(jīng)線上沒有任何變形，滿足中央經(jīng)線投影后保持長度不變的條件。

2.λ均以偶次方出現(xiàn)，且各項均為正號，所以在本投影中，除中央經(jīng)線上長度比為1以外，其它任何點上長度比均大于1。

3.在同一條緯線上，離中央經(jīng)線越遠(yuǎn)，則變形越大，最大值位于投影帶的邊緣。

4.在同一條經(jīng)線上，緯度越低，變形越大，最大值位于赤道上。

5.本投影屬于等角投影性質(zhì)，故沒有角度變形，面積比為長度比的平方。

6.長度比的等變形線平行于中央子午線。

1949年中華人民共和國成立后，就確定該投影為我國地形圖系列中1：50萬，1：20萬，1：10萬，1：5萬，1：2.5萬，1：1萬及更大比例尺地形圖得數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，一些其他國家（如朝鮮、蒙古、前蘇聯(lián)等國）也采用它作為地形圖得數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。美國、英國、加拿大、法國等國家也有局部地區(qū)采用該投影作為大比例尺地圖得數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。3.4通用橫軸墨卡托投影

通用橫軸墨卡托投影簡稱UTM投影。與高斯－克呂格投影相比，這兩種投影之間僅存在著很少的差別。從幾何意義看，UTM投影屬于橫軸等角割投影，圓柱割地球于兩條等高圈（對地球而言）上，投影后兩條割線上沒有變形，中央經(jīng)線上長度比小于1（見圖5－11）。圖5－11

UTM投影示意圖該投影在一些國家和地區(qū)的地形圖上得到了廣泛使用，但各國和地區(qū)采用的橢球體很不一致。3.5圓柱投影的變形分析與應(yīng)用

通過研究圓柱投影長度比公式（指正軸投影）可知，圓柱投影的變形像圓錐投影一樣，也是緊隨緯度而變化的。在同緯線上的變形相同而與經(jīng)度無關(guān)。因此，在圓柱投影中等變形線與緯線相合，成為平行直線。如圖5－12

圖5－12圓柱投影等變形線圓柱投影的變化的特征是以赤道為對稱軸，南北同名危險上的變形大小相同。

因標(biāo)準(zhǔn)緯線不同可分切（切于赤道）圓柱及割（割于南北同名緯線）圓柱投影。

在切圓柱投影中，赤道上沒有發(fā)生變形，變行自赤道向兩側(cè)隨著緯度的增加而增大。

在割圓柱投影中，在兩條標(biāo)準(zhǔn)緯線上沒有變形，變形自標(biāo)準(zhǔn)緯線向內(nèi)（向赤道）及向外（向兩極）增大。

圓柱投影中，經(jīng)線表象為平行直線，這種情況與低緯度處經(jīng)線的近似平行相一致。因此，圓柱投影一般比較適宜于低緯度沿緯度伸展的地區(qū)。

在斜軸或橫軸圓柱投影中，變形沿著等高圈的增大而增大，在所切的大圓上（橫軸為中央線上）沒有變形。梭魚對于沿著某大圓方向伸展的地區(qū)，為使變形分布均勻而較小，可以選擇一斜圓柱切于大圓上，對于沿經(jīng)線伸展的地區(qū)，則可以采用橫軸圓柱投影。4.偽圓錐、偽圓柱投影和多圓錐投影

4.1偽圓錐投影

偽圓錐投影的緯線投影為一組同心圓圓弧，經(jīng)線為對稱于中央直經(jīng)線的曲線（如圖5－13）。

圖5－13偽圓錐投影示意圖在偽圓錐投影中，除了中央經(jīng)線外，其余經(jīng)線均為曲線。如果經(jīng)線稱為交于緯線共同圓心的直線束，則該投影就成為圓錐投影。另一方面，若緯線半徑無窮大，則緯線變成一組平行直線，這時所得到的是偽圓柱投影?？梢?，不論圓錐投影或偽圓柱投影都可以說是偽圓錐投影的特例。

根據(jù)變形性質(zhì)來分析偽圓錐投影，因為偽圓錐投影的經(jīng)緯線不正交，故不可能有等角投影，而只能有等面積投影。在偽圓錐投影的實際應(yīng)用中，最常見的是彭納等面積偽圓錐投影。

彭納投影是保持緯度長度不變的等面積偽圓錐投影，即n=1,P=1。該投影的中央經(jīng)線及指定的緯線上沒有變形，所以它的等變形線在中心點（λ0，φ0）附近是“雙曲線”。彭納投影的經(jīng)緯線網(wǎng)如圖5－14所示。圖中另一組曲線是角度等變形線，對成于中央經(jīng)線。圖5－14彭納投影彭納投影曾因用于法國地形圖而著名。其后因發(fā)現(xiàn)它不是等角投影，不適于軍事方面使用，故現(xiàn)在很少用于地形圖。現(xiàn)在一般用于小比例尺地圖，例如中國地圖出版社出版的《世界地圖集》中的亞洲政區(qū)圖，單幅的亞洲地圖，英國《泰晤士世界地圖集》中澳洲與西南太平洋地圖，均采用此投影。在其他國家出版的地圖和地圖集中，也?？煽吹接迷撏队熬幹频臍W洲、亞洲、北美洲和南美洲以及個別地區(qū)的地圖。4.2偽圓柱投影

偽圓柱投影中緯線投影為平行直線，經(jīng)線投影為對稱于中央直線的曲線。

偽圓柱投影中以等面積投影較多，下面介紹一種等面積偽圓柱投影：正弦曲線等面積偽圓柱投影。

本投影桑遜（Sanson）投影或稱Sanson－Flamsteed投影。

本投影中緯線投影為間隔現(xiàn)等且互相平