第四講一數(shù)學(xué)歸納法一、選擇題1．某個命題：(1)當(dāng)n＝1時，命題成立．(2)假設(shè)n＝k(k≥1，k∈N*)時成立，可以推出n＝k＋2時也成立．則命題對______成立．()A．正整數(shù) B．正奇數(shù)C．正偶數(shù) D．奇數(shù)解析：由題意知，k＝1時，k＋2＝3；k＝3時，k＋2＝5，依此類推知，命題對所有正奇數(shù)成立，故選B.答案：B2．設(shè)f(n)＝eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋eq\f(1,n＋3)＋…＋eq\f(1,2n)(n∈N*)，在利用數(shù)學(xué)歸納法證明時，從n＝k到n＝k＋1需添的項為()A.eq\f(1,2k＋1)B.eqB.\f(1,2k＋2)C.eq\f(1,2k＋1)＋eq\f(1,2k＋2)D.eqD.\f(1,2k＋1)－eq\f(1,2k＋2)解析：因為f(k)＝eq\f(1,k＋1)＋eq\f(1,k＋2)＋…＋eq\f(1,2k)，所以f(k＋1)＝eq\f(1,k＋2)＋eq\f(1,k＋3)＋…＋eq\f(1,2k)＋eq\f(1,2k＋1)＋eq\f(1,2k＋2).故需添的項為eq\f(1,2k＋1)＋eq\f(1,2k＋2)－eq\f(1,k＋1)＝eq\f(1,2k＋1)－eq\f(1,2k＋2).答案：D3．記凸k邊形的內(nèi)角和為f(k)，則凸k＋1邊形的內(nèi)角和f(k＋1)＝f(k)＋A，則A＝()A.eq\f(π,2) B．πC．2π D.eq\f(3,2)π解析：從n＝k到n＝k＋1時，內(nèi)角和增加π.答案：B4．在數(shù)列{an}中，a1＝eq\r(2)－1，前n項和Sn＝eq\r(n＋1)－1，先算出數(shù)列的前4項的值，再根據(jù)這些值歸納猜想數(shù)列的通項公式是()A．a(chǎn)n＝eq\r(n＋1)－1 B．a(chǎn)n＝neq\r(n＋1)－1C．a(chǎn)n＝eq\r(2n)－eq\r(n) D．a(chǎn)n＝eq\r(n＋1)－eq\r(n)解析：因為a1＝eq\r(2)－1，S2＝eq\r(2＋1)－1＝eq\r(3)－1，所以a2＝(eq\r(3)－1)－(eq\r(2)－1)＝eq\r(3)－eq\r(2).則a3＝S3－S2＝(eq\r(3＋1)－1)－(eq\r(2＋1)－1)＝eq\r(4)－eq\r(3)，a4＝S4－S3＝(eq\r(4＋1)－1)－(eq\r(3＋1)－1)＝eq\r(5)－eq\r(4)，故猜想an＝eq\r(n＋1)－eq\r(n).答案：D5．已知f(n)＝(2n＋7)·3n＋9，存在自然數(shù)m，使得對任意n∈N*，都能使m整除f(n)，則最大的m的值為()A．30 B．26C．36 D．6解析：因為f(1)＝36，f(2)＝108＝3×36，f(3)＝360＝10×36，所以f(1)，f(2)，f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除．證明：n＝1,2時，由上得證，設(shè)n＝k(k≥2)時，f(k)＝(2k＋7)·3k＋9能被36整除，則f(k＋1)－f(k)＝(2k＋9)·3k＋1－(2k＋7)·3k＝(6k＋27)·3k－(2k＋7)·3k＝(4k＋20)·3k＝36(k＋5)·3k－2，故f(k＋1)能被36整除．因為f(1)不能被大于36的數(shù)整除，所以所求最大的m值等于36.答案：C6．在數(shù)列{an}中，a1＝eq\f(1,3)，且Sn＝n(2n－1)an，通過求a2，a3，a4，猜想an的表達(dá)式為()A.eq\f(1,n－1n＋1)B.eqB.\f(1,2n2n＋1)C.eq\f(1,2n－12n＋1)D.eqD.\f(1,2n＋12n＋2)解析：因為a1＝eq\f(1,3)，由Sn＝n(2n－1)an，得a1＋a2＝2×(2×2－1)a2，解得a2＝eq\f(1,15)＝eq\f(1,3×5)，a1＋a2＋a3＝3×(2×3－1)a3，解得a3＝eq\f(1,35)＝eq\f(1,5×7)，a1＋a2＋a3＋a4＝4×(2×4－1)a4，解得a4＝eq\f(1,63)＝eq\f(1,7×9).猜想an＝eq\f(1,2n－12n＋1).答案：C二、填空題7．用數(shù)學(xué)歸納法證明關(guān)于n的恒等式，當(dāng)n＝k時，表達(dá)式為1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2，則當(dāng)n＝k＋1時，表達(dá)式為__________________．解析：當(dāng)n＝k＋1時，左邊增加項(k＋1)(3k＋4)，右邊變?yōu)?k＋1)(k＋2)2.∴表達(dá)式為1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)(3k＋4)＝(k＋1)(k＋2)2.答案：1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)(3k＋4)＝(k＋1)(k＋2)28．用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)n為正奇數(shù)時，xn＋yn能被x＋y整除”，當(dāng)?shù)诙郊僭O(shè)n＝2k－1(k∈N*，k≥1)命題為真時，進(jìn)而需證n＝________時，命題亦真．解析：因為n為正奇數(shù)，假設(shè)n＝2k－1成立后，需證明的應(yīng)為n＝2k＋1時成立．答案：2k＋19．設(shè)平面內(nèi)有n條直線(n≥2)，其中有且僅有兩條直線互相平行，任意三條直線不過同一點(diǎn)．若用f(n)表示這n條直線交點(diǎn)的個數(shù)，則f(4)＝________；當(dāng)n>4時，f(n)＝________(用n表示)．解析：f(2)＝0，f(3)＝2，f(4)＝5，f(5)＝9，每增加一條直線，交點(diǎn)增加的個數(shù)等于原來直線的條數(shù)．所以f(3)－f(2)＝2，f(4)－f(3)＝3，f(5)－f(4)＝4，…，f(n)－f(n－1)＝n－1.累加，得f(n)－f(2)＝2＋3＋4＋…＋(n－1)＝eq\f(2＋n－1,2)(n－2)．所以f(n)＝eq\f(1,2)(n＋1)(n－2)．答案：5eq\f(1,2)(n＋1)(n－2)三、解答題10．用數(shù)學(xué)歸納法證明：若n∈N*，則coseq\f(α,2)coseq\f(α,22)coseq\f(α,23)…coseq\f(α,2n)＝eq\f(sinα,2nsin\f(α,2n)).證明：(1)n＝1時，左邊＝coseq\f(α,2)，右邊＝eq\f(sinα,2sin\f(α,2))＝coseq\f(α,2)，左邊＝右邊，等式成立．(2)假設(shè)n＝k(k≥1，k∈N*)時，等式成立，即coseq\f(α,2)coseq\f(α,22)coseq\f(α,23)…coseq\f(α,2k)＝eq\f(sinα,2ksin\f(α,2k))，當(dāng)n＝k＋1時，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(α,2)cos\f(α,22)cos\f(α,23)…cos\f(α,2k))).coseq\f(α,2k＋1)＝eq\f(sinα,2ksin\f(α,2k))·coseq\f(α,2k＋1)＝eq\f(sinα,2k＋1·sin\f(α,2k＋1)cos\f(α,2k＋1))·coseq\f(α,2k＋1)＝eq\f(sinα,2k＋1·sin\f(α,2k＋1))，即當(dāng)n＝k＋1時，等式也成立．由(1)(2)知，等式對n∈N*均成立．11．已知數(shù)列{an}滿足a1＝0，a2＝1，當(dāng)n∈N*時，an＋2＝an＋1＋an，求證：數(shù)列{an}的第4m＋1項(m∈N*證明：(1)當(dāng)m＝1時，a4m＋1＝a5＝a4＋a3＝(a3＋a2)＋(a2＋a1＝(a2＋a1)＋2a2＋a1＝3a2＋2即當(dāng)m＝1時，第4m＋1項能被3整除．(2)假設(shè)當(dāng)m＝k(k≥1)時，a4k＋1能被3整除，則當(dāng)m＝k＋1時，a4(k＋1)＋1＝a4k＋5＝a4k＋4＋a4k＋3＝2a4k＋3＋a4k＋22(a4k＋2＋a4k＋1)＋a4k＋2＝3a4k＋2＋2a4k顯然，3a4k＋2能被3整除，又由假設(shè)知a4k＋1能被3整除所以3a4k＋2＋2a4k＋1能被3即當(dāng)m＝k＋1時，a4(k＋1)＋1也能被3整除．由(1)和(2)知，對于n∈N*，數(shù)列{an}中的第4m＋1項能被3整除．12．(能力挑戰(zhàn))平面上有n(n∈N*，n≥2)條直線，其中任意兩條直線不平行，任意三條直線不過同一點(diǎn)，求證：這n條直線共有f(n)＝eq\f(nn－1,2)個交點(diǎn)．證明：(1)當(dāng)n＝2時，因為符合條件時兩直線只有1個交點(diǎn)，又f(2)＝eq\f(2×2－1,2)＝1，所以當(dāng)n＝2時，命題成立．(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥2，且k∈N*)時命題成立，就是該平面內(nèi)滿足題設(shè)的任何k條直線的交點(diǎn)個數(shù)為f(k)＝eq\f(kk－1,2).則當(dāng)n＝k＋1時，任取其中一條直線記為l，如圖，剩下的k條直線為l1，l2，…，lk.由歸納假設(shè)知，它們之間的交點(diǎn)個數(shù)為f(k)＝eq\f(kk－1,2)＝eq\f(nn－1,2).由于l與這k條直線均相交且任意三條不過同一點(diǎn)，所以直線l與l1，l2，l3，…，lk的交點(diǎn)共有k個．f(k＋1)＝f(k)＋k＝eq\f(kk－1,2)＋k，所以f(k＋1)＝eq\f(kk－1,2)＋eq\f(2k,2)＝eq\f(kk－1＋2k,2)＝eq\f(k[k－1＋2],2)＝eq\f(k＋1[k＋1－1],2)